本 章 内 容
1.网络图论初步
2.支路电流法
3.网孔电流法
4.回路电流法
5.节点电压法
6.改进节点法
7.割集电压法第二章 (1) 电路基本分析方法概述本章讨论线性电阻电路的一般分析方法，包括：
支路电流法 回路电流法网孔电流法 节点电压法割集电压法分析方法的理论基础是基尔霍夫电压定律（ KVL）和电流定律（ KCL），以及元件电压电流关系。通过建立电路方程来分析计算电路中的电压电流功率，并讨论如何 借助网络图论的知识来选取独立方程 。
本章内容是电路分析的基础，掌握各种计算方法对电路分析是十分重要的。
讨论,电路方程的建立
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6I
5I 1
R 3
I 3
1
2 3
右图电路，若电阻和电压源的数值均已知，则由 KCL和 KVL得方程：
回路 1,I3 × R3 ＋ I4 × R4= － Us2
回路 2,－ I5 × R5－ I3 × R3 =－ Us1
回路 3,I4 × R4＋ I6 × R6－ I5 × R5 = 0
回路 4,I6 × R6= Us1 +Us2 (外围回路,顺时针 )
回路 5,.,,,,,,,
通过网络图论知识来选取一组合适的方程,
节点 1,－ I1＋ I2＋ I3 = 0
节点 2,－ I3＋ I4＋ I5 = 0
节点 3,－ I2－ I4＋ I6 = 0
节点 4,I1－ I5－ I6 = 0
2.1 网络图论的概念图的概念：对于一个由 集中参数元件 组成的电网络，
若用线段表示支路，用黑圆点表示节点，由此得到一个由线条和点所组成的图形，称此图为原电网络的拓扑图，简称为图。
U s 1 U s 3
R 1
R 2
R 3
I
2
I
1
I
3①
②
①
②
1
2
3
2.1.1 电路图与拓扑图实际电路图线图是由点（节点）和线段（支路）组成,反映实际电路的结构 （支路与节点之间的连接关系）。
R 2
R 5
R 4
R 1
R 3
R 6
U s 1
①
②
③
④
对应的线图
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
有向图如果线图各支路规定了一个方向（用箭头表示，一般取与电路图中支路电流方向一致），则称为有向图。
有向图
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
b 表示支路数
n 表示节点数表示网孔数l
回路,由若干支路组成的通路。
网孔回路,回路内无任何支路，则此回路称为网孔回路。
①
②
④
③
2
3
45
1
⑤
当图的任二节点间至少存在一条通路时，称为 连通图,否则为非连通图 。
非连通图连通图任二个节点之间至少存在一个回路，则称为 不可分图,
否则为 可分图 。
1
2
3
4 5
6
7
8
①
② ③
④ ⑤
⑥
⑦
可分图有向图结构形式,
如果图能无任何交叉地画在平面上，则称为 平面图,否则为 非平面图 。
1 2
3
4
5
6
8
109
7
非平面图
= b － n ＋ 1
连通平面不可分图的网孔数为
l
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
2.1.2 树的概念树 T是图 G的一个子图，它包含所有节点与一些支路的集合。
树 T满足下面三个条件：
T是连通的；
包含 G的全部节点；
不包含回路。
①
②
④
③
1
2
3
树 T1
有向图 G
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
①
②
③
④
2 4
5
树 T2
有向图树的选择是不唯一的，一般可选出多个树。
树支、连支、单连支回路
①
②
④
③
1
2
3
①
②
④
③
1
2
3
4
5
6树 T所包含的支路称为 树支 ；
（图中支路 1,2,3）
图 G中其余的支路称为 连支 ；
（图中支路 4,5,6）
树支数 = n － 1 (节点数减 1）
连支数 =支路数－ 树支数
= b － n＋ 1 =（网孔数）
单连支回路
①
②
④
③
1
2
3
4
5
6
①
②
④
③
1
2
3
4
①
回路 1
①
②
④
③
1
2
3
② 5
回路 2
①
②
④
③
1
2
3 6
③
回路 3
单连支回路：每一连支可与其两端之间的唯一树支路径构成一条唯一的回路。此回路称为单连支回路。回路方向与连支一致。
如选 1,2,3为树支，则有连支 4,5,6组成的单连支回路如下选定了有向图的树，则单连支回路的路径与方向也唯一确定了。
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
选 1,4,6为树的单连支回路。
①
②
④
③
1
2
3 6
③
4
5 ①
②
选 1,2,3为树的单连支回路。
已知连支电流可解出电路各支路电流 !
2.1.3 割集
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
C S 1
C S 2
C S 3
割集是图的一个子集（某些支路的集合），满足
移去该子集，连通图分为两部分；
少移去其中任一条，图保持连通。
割集用符号 CS来表示，规定了割集的方向，则割集又可看成一个闭合面。割集为一个广义的节点，流出割集表面的电流代数和为零。
如图，割集 CS1包含 1,2,3支路,割集 CS2包含 1,2,5,6
支路,割集 CS3包含 1,4,6支路 。
单树支割集
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
C S 1
C S 2
C S 3
选定一个树，每一割集只包含一条树支，则称为单树支割集。单树支割集的方向取与树支方向一致。
如图，选 1,2,3支路为树支，
则单树支割集如图所示。
已知树支电压可解出电路各支路电流 !
割集 1包含的支路,1,4,6
割集 2包含的支路,2,4,5,6
割集 3包含的支路,3,5,6
小结本节主要介绍网络图论的基本知识，需掌握的主要知识点有：
节点、支路、回路、网孔
有向图
树、树支、连支、单连支回路
割集、单树支割集网孔回路数 = 单连支回路数 = 支路数－节点数＋ 1
以 支路电流作为未知量,直接应用 KCL和 KVL建立电路方程,然后求解所列的方程组解出各支路电流,这种方法称为 支路电流法 。
2.2 支路电流法电路节点数为 n,支路数为 b.
为求 b个支路电流,必须有 b个独立方程 。
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
5
I
4
R 5
R 6
I
6
①
②
③
④
如图所示电路，共有 4个节点,6条支路，设电源和电阻的参数已知，用支路电流法求各支路电流。
下面介绍支路电流法求支路电流的步骤及方程的选取：
1>,对各支路、节点编号，并标出支路电流的参考方向。
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
5
I
4
R 5
R 6
I
6
①
②
③
④
2>,根据基尔霍夫节点电流定律，列出节点电流方程：
节点 1,-I1-I2+I3=0
节点 2,+I2+I4+I5=0
节点 3,-I3-I4+I6=0
节点 4,+I1-I5-I6=0
注意,节点 4的电流方程为其余 3个方程的线性组合，此方程为非独立方程，在计算时应删除。
在用支路法计算时，只需列出 n-1 个独立的节点电流方程。
建立节点电流方程
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
5
I
4
R 5
R 6
I
6
1
2
3
3>,根据基尔霍夫回路电压定律，列出回路电压方程：
建立回路电压方程时，可选取 网孔回路 或 单连支回路 。 电路中无电流源支路时，可选择网孔回路 。
网孔回路电压方程必为独立方程。
网孔回路电压方程数 =b（支路数）－ n（节点数）＋ 1
建立回路电压方程回路 1,I1× R1－ US1－ I2× R2＋ I5× R5=0
回路 2,I3× R3＋ US3－ I4× R4＋ I2× R2=0
回路 3,I4× R4＋ I6× R6－ I5× R5=0
图中设定三个网孔回路的绕行方向，
列出回路电压方程：
解出支路电流
4>,由 n-1个节点电流方程和 b-n+1个网孔电压方程（共 b
个方程）可解出 b个支路电流变量。
回路 1,I1× R1－ US1－ I2× R2＋ I5× R5=0
回路 2,I3× R3＋ US3－ I4× R4＋ I2× R2=0
回路 3,I4× R4＋ I6× R6－ I5× R5=0
节点 1,-I1-I2+I3=0
节点 2,+I2+I4+I5=0
节点 3,-I3-I4+I6=0
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
5
I
4
R 6
I
6
①
②
③
④
R 5
1
2
3
由上面的六个方程可解出六个支路电流变量。
支路电流法例题 1
例 1,图示电路,US1=10V，
US3=13V,R1=1?,R2=3?,
R3=2?，求各支路电流及电压源的功率。
用支路电流法解题，参考方向见图
－ I1＋ I2－ I3=0
I1 × R1－ US1＋ I2 × R2=0
I2 × R2＋ I3× R3－ US3=0
U s 1 U s 3
R 1
R 2
R 3
I
2
I
1
I
3
1
2
①
②
－ I1 ＋ I2 － I3 =0
I1 － 10＋ 3× I2 =0
3× I2 ＋ 2× I3 － 13=0
解得,I1 =1A,I2 =3A,I3 =2A
电压源 US1的功率,PUS1=US1× I1 =10× 1=10W (发出）
电压源 US3的功率,PUS3=US3× I3 =13× 2=26W (发出）
支路电流法例题 2
例 2,图示电路,US=7V,R1=1?,
R2=3?,IS=1A。求各支路电流及电流源的功率。
（外围有电流源支路）
节点电流方程 I1－ I2＋ IS=0
网孔 1电压方程 － I1× R1－ I2× R2－ US=0
R 1
R 2
U s
I S
I
1
I
2
1
2
解,取网孔回路方向如图，列节点电流方程和网孔 1的电压方程如下代入数据得 I1－ I2＋ 1=0 解得 I1= － 2.5A
－ I1－ 3× I2－ 7=0 I2= － 1.5A
电流源功率为 PIS=(I2× R2) × IS= － 4.5W (吸收功率 )
R 1
R 2
U s
I S
I
1
I
2
1
2
网孔 2因为存在电流源，无法列写电压方程。实际上 由于电流源支路的电流已知，支路电流变量数减少一个，该网孔电压方程无需列写。
建立单连支回路电压方程
1
2
3
4
5 6
5) 电路中存在电流源支路时，用支路电流法解题时电压方程的建立可选单连支回路 。
U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
5
I
4
R 5
R 6
I
6
I S2
1
2
3
回路 1,I3× R3＋ US3＋ I6 × R6＋ I1× R1－ US1=0
回路 2,I4 × R4＋ I6 × R6－ I5 × R5=0
在选取 单连支回路时，电流源支路选为连支 。
如选 1,5,6支路为树支，则可列出连支
3,4 的单连支回路 1和 2的电压方程,
单连支回路 3为电流源连支，因此该回路不列电压方程。 U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
5
I
4
R 5
R 6
I
6
I S2
1
2
3
由上面 2个单连支回路电压方程和 3个节点电流方程即可解出 5个支路电流变量。
节点电流方程为
-I1-IS2+I3=0
IS2+I4+I5=0
-I3-I4+I6=0
支路电流法例题 3
R 1
U s 1
I S2
U s 2 R 4
I S4 R 5
I 1 I
5
R 3
I 3① ②
例 3,图示电路,US1=1V，
US2=5V,IS2=2A,IS4=4A，
R1=1?,R3=3?,R4=4?，
R5=5?，求各支路电流及电流源的功率。
解：支路及节点见图，对节点 1,2列电流方程
－ I1－ IS2＋ I3=0
－ I3－ IS4＋ I5=0
R 1
U s 1
I S2
U s 2 R
4
I S4 R 5
I 1 I
5
R 3
I 3① ②
电路中存在两条电流源支路,选取支路 1,3为树支,则连支 5
的单连支回路电压方程为,
I5× R5＋ I1× R1－ US1＋ I3× R3=0
代入数据得：
－ I1－ 2＋ I3 =0
－ I3－ 4＋ I5 =0
5× I5 ＋ I1 － 1＋ 3× I3 =0
解得 I1 =－ 3.89A
I3 =－ 1.89A
I5 =2.11A
1
2
3
4
5
①
① ②
③
电流源 IS2,IS4两端的电压 UIS2,UIS4为
UIS2=US1－ R1× I1－ US2=1－ 1× (－ 3.89)－ 5=－ 0.11V
UIS4=R5× I5＋ R4× IS4=5× 2.11＋ 4× 4= 26.55V
R 1
U s 1
I S2
U s 2 R 4
I S4
R 5
I 1 I 5
R 3
I 3① ②
U I s 2
U I s 4
电流源 IS2,IS4的功率为
PIS2= UIS2× IS2=－ 0.22W (吸收功率）
PIS4= UIS4× IS4=106.2 W (发出功率）
支路电流法例题 4
（包含受控源支路分析）
例 4,图示电路,US1=1V，，
R1=1?,R2=2?,R3=3?，
=3，求各支路电流。
解：电路中存在一个电压控制电压源（ VCVS），对于存在受控源电路，用支路电流法解题时，① 受控源先当作独立电源,
列节点和网孔方程
I1＋ I2＋ I3=0
I1× R1－ I2× R2－ US1=0
I2× R2＋?U1－ I3× R3=0
U s 1
R 1
R 2 R 31
2
I 1
I 2 I 3
U 1 U 1
② 补充受控源控制变量关系式 (控制变量表示为支路电流 )
U1=－ R1× I1
代入数据
I1＋ I2＋ I3=0
I1－ 2× I2－ 1=0
2× I2＋ 3× U1－ 3× I3=0
U1=－ I1
U s 1
R 1
R 2 R 31
2
I 1
I 2 I 3
U 1 U 1
解得
I1=1A,I2=0A,I3=－ 1A
小结
1） 支路电流法是以支路电流为变量，应用 KCL和 KVL列出节点和回路方程求解电路的方法。
2）对 n-1个节点列 KCL方程，可得 n-1个独立方程,对 b-n+1
条回路列 KVL方程，可得 b-n+1个 独立方程，共得 b个线性方程组。解此方程组得 b个支路电流变量。
3）在选择回路时，如果电路无电流源，则可选择网孔回路；
如果存在电流源，则选择单连支回路，电流源支路选为连支。
4）如果存在受控源，在列方程时把受控源当作独立电源，
然后列补充方程，把受控源的控制变量用支路电流来表示。
2.3 网孔电流法支路电流法直接应用 KCL,KVL解电路,很直观,其电路方程个数为支路数 b。 但是当支路数很多时,必须建立 b个方程,求解工作量颇大 。
网孔电流法分析解决问题的出发点是：对于电路中实际流动的支路电流，用一组假设的网孔电流来替代。 以网孔电流作为独立变量求解，然后求取支路电流，这种方法称为网孔电流法。
U s 1
R 1
R 2
R 3
U s 3
R 4
R 6
I m1
I m2 I m3
U s 5
1> 网孔电流与支路电流支路电流与网孔电流的关系：
I1=IM2,I2=IM1－ IM2,I3=IM1
I4=IM3-IM1,I5=IM2－ IM3,I6=IM3
U s 1
R 1
R 2
R 3
U s 3
R 4
R 6U s 5
I 3
I 2 I 4
I 6
I 5I 1
如图所示，实际流动的支路电流 I1~I6，用一组假设的网孔电流 Im1,Im2,Im3来替代。 以网孔电流作为独立变量求解，
然后求取支路电流。
2> 网孔回路电压方程的建立如图所示电路,用网孔电流法求各支路电流。
网孔 1,(R2＋ R3＋ R4) Im1－ R2× Im2－ R3× Im3=－ Us3
自回路电流压降 互回路电流压降 回路电压源电压升
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I m1
I m2
I m3
U s 5
I
5
R 5
1）选定各网孔电流的参考方向，
一般参考方向可选为一致（全为顺时针或逆时针）。
2）根据 KVL，列写各网孔回路的电压方程。
网孔 1,(R2＋ R3＋ R4) Im1－ R2× Im2－ R3× Im3=－ Us3
自回路电流压降 互回路电流压降 回路电压源电压升网孔回路电压方程可分为三部分。
第一部分为本身网孔电流产生的压降。
第二部分为相邻网孔电流在该回路上产生的压降，互回路电流方向与网孔回路电流参考方向一致时为正，反之为负。列写互回路时注意不要漏写。
第三部分为回路电压源代数和，以电压升为正，反之为负。
网孔 2,－ R2× Im1＋ ( R1＋ R3＋ R5) Im2－ R5× Im3=Us1－ Us5
网孔 3,－ R4× Im1－ R5× Im2＋ (R4＋ R5＋ R6) Im3 =Us5
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I m1
I m2
I m3
U s 5
I
5
R 5以此规律可列写出另两个网孔的方程：
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I m1
I m2
I m3
U s 5
I
5
R 5
3> 由网孔电流解出支路电流由上面三个方程可解出三个网孔回路电流变量 Im1,Im2,Im3。
支路电流为：
I1= Im2
I2= Im1 － Im2,I3= Im1
I4= Im3 － Im1,I5= Im2 － Im3
I6= Im3
234
1 2 5
4 5 6
2 4 m 1
2 5 m 2
4 5 m 3
3
15
5
I
I
I
S
SS
S
U
UU
U
R R R
RR
RR
RR R
RR RRR
网孔法例 1 U s 1 U s 3
R 1
R 2
R 3
I
2
I
1
I
3
Im1
Im2
例 1,图示电路,US1=10V，
US3=13V,R1=1?,R2=3?,
R3=2?，试用网孔电流法求各支路电流。
解：取网孔回路及参考方向如图，列写回路电压方程
(R1＋ R2)Im1－ R2× Im2=Us1
(R2＋ R3)Im2－ R2× Im1=－ Us3
代入数据得
4 × Im1－ 3 × Im2=10 得 Im1=1A
5 × Im2－ 3 × Im1=－ 13 Im2=－ 2A
支路电流 I1= Im1=1A,I2= Im1－ Im2=3A,I3= － Im2=2A
网孔法例 2
例 2,图示电路,US=27V，
Is=2A,R1=1?,R2=2?,
R3=3?,R4=4?,R5=5?,
R6=6?,求各支路电流。
解,电路中最外围支路存在一个电流源,取网孔回路如图，对网孔 1和
2列回路电压方程
（ R2＋ R3＋ R6)Im1－ R3× Im2－ R2× Is=－ Us
(R1＋ R3＋ R4)Im2－ R3× Im1－ R4× Is=Us
R 6 R 1
R 2 R 4
R 5
I S
I 6
I 1I 3
R 3
I 2
I 3
I m1 I m2
I m3
U s
网孔回路 3的回路电流可直接写出
Im3=Is =2
R 6 R 1
R 2 R 4
R 5
I S
I 6
I 1I 3
R 3
I 2
I 3
I m1 I m2
I m3
U s
代入数据得
11Im1－ 3Im2－ 4=－ 27
8Im2－ 3Im1－ 8=27
解得
Im1=－ 1A,Im2=4A,
Im3=2A
支路电流为
I1=－ Im2=－ 4A,I2=Im3－ Im1=3A,I3=Im2－ Im1=5A
I4=Im3－ Im2=－ 2A,I5=Im3=2A,I6=Im1=－ 1A
注意：电路的最外围支路存在电流源时，仍旧可用网孔电流法求解支路电流。
网孔法例 3
（包含受控源电路）
例 3,图示电路,US3=7V，
R1=R2=1?,R4=2?，
R5=4?,?=2,求各支路电流。
R 1
R 2
R 4
R 5
U 2
U s 3
I 3 I 5
I 4
I 2
I 6
I 1
U 2
①
②
③
解：取网孔回路参考方向为顺时针方向,对于受控电源，在列网孔回路电压方程时，先作为独立电源处理，然后再把受控变量表示为网孔电流。
1）列各回路电压方程
(R1＋ R2)Im1－ R2× Im2 =?U2
－ R2× Im1＋ (R2＋ R4)Im2－ R4× Im3 = Us3
－ R4× Im2＋ (R4＋ R5)Im3 =－ aU2
R 1
R 2
R 4
R 5
U 2
U s 3
I 3 I 5
I 4
I 2
I 6
I 1
U 2
①
②
③
2）方程中受控源控制变量 U2
表示为网孔电流
U2=R2(Im2－ Im1)
解得 Im1=3A,Im2=4A,Im3=1A
支路电流 I1=Im1=3A,I2=Im2— Im1=1A,I3=－ Im2=－ 4A
I4=Im2－ Im3=3A,I5=Im3=1A,I6=Im3－ Im1=— 2A
代入数据得
2Im1－ Im2=2U2
－ Im1＋ 3 Im2 － 2Im3=7
－ 2Im2＋ 6Im3=－ 2U2
U2= Im2－ Im1
小结网孔电流法以电路的网孔电流作为变量求解电路，比支路法方程个数减少；
网孔电压方程的一般内容为：
自回路电流压降? 相邻回路电流压降之和 = 回路电压源电压升之和受控源在网孔电流法列方程时先当作独立电源处理，然后把控制变量表示成网孔电流变量（补充方程）；
当电路中存在电流源时（不全为最外围支路），网孔法分析不方便（用回路电流法）。
2.4 回路电流法
回路电流法是以选定的回路电流作为变量来分析计算电路的一种方法；
当电路存在电流源时（不全在外部周界上），用回路电流法解题比网孔法方便；
回路电流法在选择独立回路时，一般选择单连支回路，通过选择特定的树可简化存在电流源电路的计算；
选择单连支回路电流作为求解变量，建立的回路电压方程必定是独立方程；
网孔电流法是回路电流法的一种特殊情况。
2.4.1 回路电流选择
1
2
3
4
5 6
如图电路，用回路电流法求各支路电流。
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I s 5
I L 1
I L 2
I L 3
1） 选择回路电流并标出方向 。
回路的选择要保证能建立足够数量的独立方程来解出电路变量。
网孔回路和单连支回路都为独立回路。
选择单连支回路时，具有电流源的支路选为连支 。
如图电路，选择 2,4,6支路为树支，则单连支回路的路径和方向如图所示。
2.4.2 建立回路电压方程
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I s 5
I L 1
I L 2
I L 3
确定回路电流和参考方向以后，根据 KVL，可建立各回路的回路电压方程。
回路 1 的电压方程为
（ R2＋ R3＋ R4） IL1－ （ R2＋ R4） IL2－ R4× IL3 = － US3
自回路压降? 互回路压降代数和 = 回路电压源代数和
上式 1>,第一部分是自回路电流产生的压降。
2>,第二部分是其余回路电流在该回路上产生的电压降。方向与主回路电流一致时为正，反之为负。
3>.等式右边是回路中所有电压源的 电压升 代数和。
同理可写出回路 2 的回路电压方程
（ R1＋ R2＋ R4＋ R6） IL2－ （ R2＋ R4） IL1＋（ R4＋ R6） IL3 =
US1
列写回路电压方程时应注意：
1>,选 b－ (n－ 1) 个独立回路电流；
2>,列写互回路压降时注意不要漏写；
回路 3中有电流源存在，由于选择支路 5为单连支回路，因此回路电流即为该连支电流
IL3 = IS5
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I s 5
I L 1
I L 2
I L 3
3>,方程右边电压源是以电压升为正。
4>,电流源支路的回路电压方程无需列写，可直接写出回路电流值。
由上面三个方程即可解出三个回路电流 IL1,IL2,IL3。
2.4.3 求解回路和支路电流
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I s 5
I L 1
I L 2
I L 3
由回路电流可写出各支路电流为,
I1 = IL2
I2 = － IL1＋ IL2
I3 = IL1
I4 = － IL1 ＋ IL2 ＋ IL3
I5 = IL3 = IS5
I6 = IL2 ＋ IL3
回路电流法例 1
4
1
6
例 1 已知 R1=1?,R2=2?，
R3=3?,R4=4?,R5=5?，
R6=6?,US=27V,IS=2A，
用回路电流法求电压源和电流源发出的功率。
解：支路 5为电流源支路，因此选 1,4,6支路为树支，得三条单连支回路如图所示。
R 2 R 6
R 4
R 1
R 5
I S
R 3
U s
I 3
U I
I L1
I L 2
I L3
I 2
根据选定的单连支回路，可列出回路电压方程,
代入数据得,
IL1 = 2
8IL2 ＋ 2＋ 5 IL3 =27
13 IL3 ＋ 2× 7＋ 5IL2=0
R 2 R 6
R 4
R 1
R 5
I S
R 3
U s
I 3
U I
I L1
I L 2
I L3
I 2IL1=IS
（ R1＋ R3＋ R4） IL2＋ R1× IL1＋（ R1＋ R4） IL3=US
(R1＋ R2＋ R4＋ R6)IL3＋ (R1＋ R6)IL1＋ (R1＋ R4)IL2=0
解得,
IL1 = 2A
IL2 = 5A
IL3 = － 3A
电流源两端的电压降为,
UI = R6 (IL1＋ IL3) ＋ R1 (IL1＋ IL2＋ IL3) ＋ R5× IL1
= 6× (－ 1) ＋ 1× 4＋ 5× 2=8V
R 2 R 6
R 4
R 1
R 5
I S
R 3
U s
I 3
U I
I L1
I L 2
I L3
I 2
电压源发出的功率为,
PUS = I3× US=IL2× US
=5× 27=135W (发出功率 )
电流源发出的功率为,
PIS = UI× IS = 16W
回路电流法例 2
R 1
R 4
R 3
R 2
I S5
I 3
I 1
I 4
I 2
I L1
I L2
I L3
I S6
例 2 已知 R1=1?,R2=2?，
R3=3?,R4=4?,IS5=6A，
IS6=6A，用回路电流法求各支路电流。
解：电路包含两个电流源,选支路 1,3,4为树支,回路电流及方向如图，此时只需列一个回路方程
IL1=IS2,IL2 = IS6
(R1＋ R2＋ R3) IL3－ R1× IL1 ＋ R3× IL2 = 0
代入数据解得 IL3 = － 2A
R 1
R 4
R 3
R 2
I S5
I 3
I 1
I 4
I 2
I L1
I L2
I L3
I S6
各支路电流为
I1 = IL1－ IL3 =8A
I2 =IL2 = － 2A
I3 = IL2 ＋ IL3 = 4A
I4 = IL1＋ IL2 =12A
从该例题可看出，当电路包含较多的电流源支路时，用回路电流法解题较方便。
回路电流法例 3
(含受控源电路分析 )
例 3 已知 R1=R2=R3=R4=R5=2?，
US4=US6=2V,IS2=1A,g=0.5,用回路电流法求各支路电流。
解,1) 对于包含受控源的电路，在用回路电流法解题时，先把受控源当作独立电源来列写回路电压方程。
该电路包含 两个电流源支路 （一个独立源和一个受控源），
因此 选择支路 3,4,6为树支,三个回路电流及参考方向见图所示。
U s 4
U s 6
I S2
g
U 6
R 6
R 1
R 3
R 4
1
2
3
U 6
I 1
I 4
I 5
2) 把受控源的控制变量用回路电流来表示（ 列补充方程 ）
U6 = － R6（ IL1＋ IL3）
U s 4
U s 6
I S2
g
U 6
R 6
R 1
R 3
R 4
1
2
3
U 6
I 1
I 4
I 5
列回路电压方程如下
IL1 = IS2
IL2 = gU6
(R1＋ R4＋ R6)IL3＋ R6× IL1－ R4× IL2 = US6－ US4
R1=R2=R3=R4=R5=2?，
US4=US6=2V,IS2=1A，
g=0.5
代入数据得,6× IL3 ＋ 2× 1＋ 2× 0.5× 2× （ 1＋ IL3） = 0
IL3 =－ 0.5A,IL2 = gU6 = － 0.5A
回路电流法例 4
例 4 已知 R2=2?,R3=3?，
R4=4?,R5=5?,?=?=2,
US4=4V,IS=2A，用回路电流法求 I1 和 I4。
解：该电路包含受控源，取回路电流及参考方向如图，列写各回路电压方程
IL1 =?I5
(R2＋ R3)IL2＋ R2× IL1－ R3× IL3 = －?U3
(R3＋ R4＋ R5)IL3＋ R5× IL1－ R3× IL2 = US4
U 3
R 3
U s 4
R 4
U 3
I 5
R 5
R 2
I 5
R 5
I 1
I 4
1
2
3
(含受控源电路分析 )
列补充方程，把控制变量 U3 和 I5
用回路电流来表示,
U3 = R3(IL3－ IL2)
I5 = IL1＋ IL3
U 3
R 3
U s 4
R 4
U 3
I 5
R 5
R 2
I 5
R 5
I 1
I 4
1
2
3
12× IL3＋ 5× IL1－ 3× IL2 = 4
U3 = 3× (IL3－ IL2),I5 = IL1＋ IL3
代入数据得
IL1 = 2I5,即 IL1 = － 2 IL3
5× IL2＋ 2× IL1－ 3× IL3 = － 2U3
解得,IL2 = － 0.8 A,IL3 = 0.8A,IL1 = － 1.6A
I1 = IL2 = － 0.8 A,I4 = IL3 = 0.8A
2.5 节点电压法以节点电压作为独立变量,建立节点电压方程,求解节点电压再确定支路电流,称为节点电压法 。
①
②
③
①U
U
②
U
③
U 1
U 2
电压,两点之间电位差,
电位,相对于参考点间的电势能,
①U U ②U 2
1） 设电路有 n个节点,以其中任一节点作为参考节点,令 参考节点的电位为零,则其余各节点相对于该参考点的电位就是节点电压 。
节点电压法概述
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
U 1 U 5
如图，节点 1的电压 U① = U1，
节点 2的电压 U② = U5。
2） 如果各节点电压已经求出，则各支路电流便可确定。
如对于电流 I5,有 I5 =U②R5
3） 以节点电压作为独立变量，建立节点电压方程，求解节点电压后再确定支路电流，这种方法称为节点电压法。
4）在用节点电压法解题时，对于 n个节点，因为已选定一个节点为参考点，则有 n -1个独立节点电压变量，必须建立 n -1个独立方程才可求解。
节点电压与支路电流关系如图电路，取节点 4为参考节点。
则节点电压与支路电流关系为：
U① =Us1+I1× R1
U② =I5× R5
U③ =I6× R6
U① － U③ =I3× R3＋ Us3
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
U 1 U 5
U s1
R5
如节点电压已知，则可计算支路电流，对于 I1
该支路电压为,U① － U④ = US1＋ R1× I1
得 I1= (U① － Us1)/R1= G1(U① － Us1)
同理，可写出其余各支路电流
I2= G2（ U② － U① ）
I3= G3 (U① － U③ － Us3)
I4= G4（ U② － U③ ）
I5= U② /R5=G5 U②
I6= U③ /R6=G6 U③
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
U 1 U 5
支路电流 = 支路电导 × （电流流出节点电压－电流流入节点电压
支路电压源）
支路电流方向与电压源压降方向一致时取负号,反之取正号,
节点电压方程的建立 U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
R 5
I s 2
节点电压方程的形式可由 KCL方程导出，对于节点①列写 KCL方程
I1－ I2＋ I3=0
(节点电压方程的实质是 KCL表示式 )!!
G1(U① － Us1) － Is2＋ G3 (U① － U③ － Us3)=0
代入用节点电压表示的各支路电流表达式：
整理后得：
U① (G1＋ G3) － U③ G3=G1 Us1＋ G3 Us3＋ Is2
此式即为节点①的节点电压方程,
主节点电压项
1） 方程第一项为 主节点电压 U① 与主节点相连的各支路电导之和的乘积 。 由于支路 2中电流源 Is2为理想电流源,内阻为 ∞,，
故 支路 2电导为零,所以 U① 的系数中只有支路 1,3电导 G1,G3之和 。
与主节点相连的各支路电导之和称为自电导，对于主节点①
记为 G11。 自电导永远为正。
上式是从节点电流方程出发推导出 的 节点电压方程，由此方程式可总结如下 节点电压方程列写规律,
U① (G1＋ G3) － U③ G3=G1 Us1＋ G3 Us3＋ Is2
U① (G1＋ G3) － U③ G3 = G1 Us1＋ G3 Us3＋ Is2
2）节点电压方程中第二项为相邻节点电压 U③ 与互电导乘积的负值。节点 ③通过支路 3与主节点相邻,主节点与相邻节点之间相联接的各支路电导之和称为互电导 。节点 ①和③之间只有支路 3相连，因此 相邻节点 ③ 的互电导为 G3。
互节点电压项注意：节点 ②也与主节点①相邻，但由于其互电导为零（电流源支路），因此式中未出现该项。
节点电压方程中应包含所有与主节点相邻的节点电压与互电导的乘积项（其值恒为负）。
U① (G1＋ G3) － U③ G3 = G1 Us1＋ G3 Us3＋ Is2
3）节点电压方程中右边第一项为与主节点①相连的各支路上的 独立电压源与该支路电导的乘积之代数和,电源正极性指向主节点时为正，反之为负。
U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
R 5
I s 2
支路电压源支路电流源
U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
R 5
I s 2U① (G1＋ G3) － U③ G3 = G1 Us1＋ G3 Us3＋ Is2
4）节点电压方程中右边第二项为与主节点①相连的各支路上的 独立电流源代数和,电流源的电流流入主节点时为正，反之为负。
U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
R 5
I s 2
可见每个 节点电压方程包含四个部分,据此可分别写出节点 2和 3的电压方程为：
节点 2,
（ G4＋ G5)U② － G4× U③ = － Is2
节点 3：
（ G3＋ G4＋ G6) U③ － G3× U① － G4× U② = － G3× US3
U① (G1＋ G3) － U③ G3=G1 Us1＋ G3 Us3＋ Is2
（ G3＋ G4＋ G6) U③ － G3× U① － G4× U② =－ G3× US3
（ G4＋ G5)U② － G4× U③ = 0
U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
R 5
I s 2
由三个节点电压方程，即可解出三个节点电压，然后根据节点电压和支路电流的关系求出支路电流。
节点 1:
节点 2:
节点 3:
节点法例 1
例 1,已知 R11=R12=0.5?，
R2=R3=R4=R5=1?,US1=1V，
US3=3V,IS2=2A,IS6=6A，用节点电压法求各支路的电流。
解：取节点 3为参考节点，列出节点 1和 2
的电压方程
1 2 1 3 2
1 1 1 2 3 4 3 4 1 1 1 2 3
1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )
S S SU U U U IR R R R R R R R R
R 11
U s 1
I S2
R 12 R 3
U s 3
R 4
R 5
I S6
I 5I
1
I S4
I 3
① ②
③
R 2
注意：节点 1 的自电导中没有包含 项，尽管该支路有电阻 R2，但电流源内阻为无穷大，该支路的总电导为零。 电流源支路串联电阻在列节点方程时不起作用。
2
1
R
R 11
U s 1
I S2
R 12
R 3
U s 3
R 4
R 5
I S6
I 5I
1
I S4
I 3
①
②
③
代入数据整理得
3U1－ 2U2 = － 4
3U2－ 2U1 = 9
解得节点电压为
U1 = 1.2V,U2 = 3.8V
各支路电流分别为
I1=（ US1－ U1） / (R11＋ R12) = (1-1.2)/(0.5+0.5)=－ 0.2A
I3=（ U1－ U2 ＋ US3 ） / R3 = 0.4A
I4=（ U1－ U2 ） / R4 = － 2.6A
I5=U2/ R5 = 3.8A
2 1 3 6
3 3 5 3 4 3
1 1 1 1 1 1( ) ( )
SSU U U IR R R R R R
齐尔曼定理
U s 1
U s 4
I S2
R 1
R 3
R 4
①
②
I 3
当电路只包含两个节点时，
若设节点 2为参考节点，则节点
1的电压表达式可由节点法直接列写为：
14
14
4
1
2
1
3
1 1 1
S
S
SUU
RR
R
I
U
RR
一般表达式,()S j j S
K
N
iIU
G
UG
节点法例 2
（包含纯电压源支路）
U s 1
R 1
U s 2
R 4
U s 4
I S3
R 5
①
②
③
I 4
例 2 如图电路，已知 US1=4V，
US2=4V,US4=10V,IS3=1A，
R1=R4=R5=2?，试求支路电流 I4。
解：该电路包含一条 纯电压源支路,该支路的电导为无穷大，
因此无法列写节点 1 和 3的节点电压方程。
取纯电压源支路的任一节点为参考节点。 设节点 3为参考节点，则节点 1的电压可直接得到
U① = US2 = 4V
列出节点 2的电压方程为
(1/R4＋ 1/R5)U② － U① /R4 = － US4/R4－ IS3
U s 1
R 1
U s 2
R 4
U s 4
I S3
R 5
①
②
③
I 4
注意,包含一条纯电压源支路的电路，在用节点电压法解题时，
参考节点应选为纯电压源支路的任一节点上。
代入数据解得
U② = (－ US4/R4－ IS3＋ US2 /R4 ) / (1/R4＋ 1/R5) = － 4V
I4 = ( U② － U① ＋ US4 ) /R4 = 1A
节点法例 3
例 3 已知 R3=R4=4?,?=3，
g=1S,IS2=0.5A，用节点电压法求 I4的电流。
（包含受控源支路）
1）对于受控源，在用节点法计算时，先把受控源当作独立电源来处理，按一般方法列节点电压方程。
U 3g
I S2
I 4
R 3
r I 4
U 3
①
②
4
32
3
1
11
34
S
I
g U I
RU
RR
应用齐尔曼定理，令节点 2为参考节点，则节点 1的电压为
R4
U 3g
I S2
I 4
R 3
r I 4
U 3
①
②
4
32 43
3
1
34
31
42
1 1 1 1
44
SU
RR
gI
R
I
IU
U
2)把受控源的控制变量转化为节点电压表达式。
I4=U1/R4
U3=U1－?I4 = (1－?/R4)U1
把上面三式代入数据，得,
I4=U1/R4 = U1/4
U3= U1/4
解得 U1=－ 8V,I4 = U1/R4 = － 2A
R4
节点法例 4 ① ② ③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6
I 5
I 1
R 3
例 4 已知 R3=2?,R4=4?,R5=1?,
R6=6?,US1=8V,US2=4V，用节点电压法求支路电流 I1和 I2。
解：取节点 4为参考节点，则有
U① = US1，
U③ = US1＋ US2
345
1 1 1()
R R R
U② －
3
1
R
U① －
4
1
R
U③ = 0节点 2：
U① = 8V，
U③ = 12V
U② = 4V
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6
I 5
I 1
R 3
I5 = U② / R5 = 4A
I6 = U③ / R6 = 2A
I4 = （ U② － U③ ） / R4 = － 2A
I1 = I5＋ I6 = 6A
I2 = I6 － I4 = 4A
代入数据解得,
节点法例 5
a
bc
U s 1
R 1
R 2
R 3
g
U 3
U 3
R 5
U s 5
例 5 已知 R1=1?,R2=2?，
R3=3?,R5=5?,US1=1V，
US5=5V，要使 Uab = 0，试求 g
的值。
解：用节点法求解,设 b 点为参考节点,列节点 a和 c方程
51
3
1 2 5 1 2 5 1
1 1 1 1 1( ) ( )
ac
U s U sU U g U
R R R R R R R
1
1 2 3 1 2 1
1 1 1 1 1( ) ( )
c a
UsUU
R R R R R R
补充方程 U3 = Uc
a
bc
U s 1
R 1
R 2
R 3
g
U 3
U 3
R 5
U s 5
代入数据得
16 3
10 2U a U c gU c
1 1 3 1
62U c U a
由题意知,Ua = 0，得
g = － 1.5 S
节点法例 6
例 6 已知 R2=2?,R3=3?，
R4=4?,R5=5?,?=?=2,
US4=4V,IS=2A，用节点电压法求 I1 和 I4。
U 3
R 3
U s 4
R 4
U 3
I 5
R 5
R 2
I 5
R 6
I 1
I 4
①
②
③
④
I 3
解：该电路包含一个纯电压源支路（受控电压源）,选节点 1为参考节点,列节点电压方程
② U② = －?U3
③ (1/R2＋ 1/R3＋ 1/R5)U③ － U② /R2－ U④ /R5=0
④ (1/R4＋ 1/R5) U④ － U③ /R5=－ US4/R4－?I5
U 3
R 3
U s 4
R 4
U 3
I 5
R 5
R 2
I 5
R 6
I 1
I 4
①
②
③
④
I 3
补充方程 U3 = － U③
I5 = (U③ － U④ )/R5
解得,U② = 16V,U③ =8V,U④ =4/3V
I4=(U④ +US4)/R4=4/3 A
I3=U ③ /R3=8/3 A I1= I3 + I4 =4 A
31
30
U③ － U② /2－ U④ /5=0
9
20
U④ － U③ /5=－ 1
代入数据得
U② = － 2U3 = 2U③
2.5 改进节点法
U s 3
U s 4R 1
R 2 R 5
R 6
①
②
③
④
I 1
I 4 I 6
I 3
对于 只有一条纯电压源支路 的电路,用节点法解题时,可以通过选择合适的参考节点来实现。
但对于有 多条且不相连纯电压源支路 的电路，无论选那个参考节点，
都无法列写节点电压方程（支路电导无穷大）。
在列写节点电压方程时，把电压源支路用一电流源支路来替代，电流源数值为该支路电流，同时对电压源支路的两个节点列电压补充方程，从而解出节点电压的方法，称为 改进节点法。
改进节点法列方程如图电路，设定节点 4为参考节点，则节点 2的电压可直接写出。
支路 3中电压源 US3用一个 IS=I3
的待求变量来替代。
列节点电压方程得
U② =US4
U s 3
U s 4R 1
R 2 R 5
R 6
①
②
③
④
I 1
I 4 I 6
I 3
I 3
（ 1/R1+1/R2)U① - U② /R2=-I3
(1/R5+1/R6)U③ - U② /R5=I3
由于引入了支路电流变量 I3,故还需一个方程。由于电压源两端的节点电压差值已知，列 节点电压补充方程
U③ - U ① = US3
从上面三个方程即可解出 U①,U③ 和 I3三个变量。
2.6 割集电压法电路中如果 树支支路电压已知,将 KVL应用于每个单连支回路,可算出各 连支支路电压 。
电路分析时以树支电压为变量，先求解树支电压，然后求支路电压电流的方法称为割集电压法。
R 4
U s 4
I S2
R 1
U s 1
R 6
R 5 R 3
I 3I 5
I 6
I 1
I 4
R 4
U s 4
I S2
R 1
U s 1
R 6
R 5 R 3
I 3I 5
I 6
I 1
I 4
树支电压与连支电压
I 2 I
3I 5
I 6
I 1
I 4
CS4
CS5
CS6
电路如图所示，选支路 4,5、
6为树支，则单树支割集及方向见图。
设支路电压方向与支路电流方向一致,连支电压 用 树支电压 来表示为
U1=U4－ U5＋ U6
U2=U4－ U5
U3=－ U5＋ U6
R 4
U s 4
I S2
R 1
U s 1
R 6
R 5 R 3
I 3I 5
I 6
I 1
I 4
CS4
CS5
CS6
(2)对每个割集闭合面应用 KCL，
割集电流方程为
CS4,I1＋ I2＋ I4=0
CS5,－ I1－ I2＋ I5－ I3=0
CS6,I1＋ I6＋ I3=0
割集电压方程的建立
(1) 支路电流表示为割集电压
I1=G1 (U1＋ Us1)=G1(U4－ U5＋ U6 ＋ Us1)
I2=Is2
I3=G3× U3=G3(－ U5－ U6)
I4=G4(U4－ Us4)
I5=G5× U5
I6=G6× U6
R 4
U s 4
I S2
R 1
U s 1
R 6
R 5 R 3
I 3I 5
I 6
I 1
I 4
CS4
CS5
CS6
(3) 把支路电流代入 CS4割集方程，得
G1(U4－ U5＋ U6 ＋ Us1) ＋ Is2＋ G4(U4－ Us4) =0
整理得
(G1＋ G4)U4－ G1× U5＋ G1× U6=－ G1× Us1＋ G4× Us4－ Is2
类似于 节点电压方程,上式也分为四部分。
1）第一部分是 自电导 与 树支电压
U4的乘积，自电导是指本身割集支路的电导和；
2）第二部分是 互电导 与 相应树支电压 的乘积，互电导是指本身割集与相邻割集公共支路的电导之和，当两个割集方向一致时为正，反之为负；
R 4
U s 4
I S2
R 1
U s 1
R 6
R 5 R 3
I 3I 5
I 6
I 1
I 4
CS4
CS5
CS6
(G1＋ G4)U4－ G1× U5＋ G1× U6=－ G1× Us1＋ G4× Us4－ Is2
3）第三部分是割集中支路电压源与对应电导的乘积，电压源电压降方向与割集方向一致时为正，
反之为负；
R 4
U s 4
I S2
R 1
U s 1
R 6
R 5 R 3
I 3I 5
I 6
I 1
I 4
CS4
CS5
CS6
4）第四部分为割集支路中电流源，
当流入割集时为正，反之为负。
(G1＋ G4)U4－ G1× U5＋ G1× U6=－ G1× Us1＋ G4× Us4－ Is2
CS5,(G1＋ G3＋ G5) U5－ G1× U4－ (R1＋ R3)U6=Us1× G1＋ Is2
CS6,(R1＋ R3＋ R6)U6＋ G1× U4－ (R1＋ R3)U5=－ Us1× G1
根据上述规则，可写出另外两个割集的电压方程为由上面三个方程可解出树支电压 U4,U5,U6，根据单连支回路电压方程，可依此求出各支路电压值。
U s 4
U s 6
U s 1
U s 3
I S3
R 1
R 2
R 3
I 1
I 4
I 2
I 5
I 6
R 5
①
②
③
④
CS1
CS2
CS3
割集法例 1
例 1 已知 R1=1?,R2=1/2?,R3=1/3?,R5=1/5?,US1=1V，
US3=3V,US4=4V,US6=6V,IS3=3A，用 割集法 求各支路的电流。
解,由于 4和 6为电压源 支路,因此选 4,5,6为树支,单树支割集的方向如图所示。
树支电压 U4和 U6已知（纯电压源支路）,U4=US4,U6= － US6，
因此只需列 CS2的电压方程。
(G1+G2)U4+(G1+G2+G5)U5+G1× U6=US1 × G1－ IS3
U s 4
U s 6
U s 1
U s 3
I S3
R 1
R 2
R 3
I 1
I 4
I 2
I 5
I 6
R 5
①
②
③
④
CS1
CS2
CS3
代入数据得
3× 4+8 × U5－ 6=1－ 3
U5=－ 1V,U4=4V,U6=6V
这里要特别注意 R3和 US3，对于电流源支路，尽管存在 R3，但支路总电阻为无穷大，电导为零；因此电压源也不起作用（ US/R总 ）。
连支支路电压
U1= － (U4+U5+U6)=3V
U2=U4+U5=3V,
U3=U5+U6= － 7V
支路电流 I1=(U1+Us1)/R1=4A,I2=U2/R2=6A
I3= IS3 = 3A,I4=I1－ I2=－ 2A
I5=U5/R5= － 5A,I6=I2+I5=1A
U s 4
U s 6
U s 1
U s 3
I S3
R 1
R 2
R 3
I 1
I 4
I 2
I 5
I 6
R 5
①
②
③
④
CS1
CS2
CS3
从本题可以看出，当电路存在多个不相连的纯电压源支路时，用割集电压法计算比修正节点法要方便。
讨论,
1>回路电流法与节点电压法的应用根据电路结构而定 ;
2>节点电压法在计算机编程时教方便 ;
3>包含多个不相连纯电压源支路时,用割集电压法教方便,
U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
R 5
I s 2
主节点电压项,互节点电压项
1.网络图论初步
2.支路电流法
3.网孔电流法
4.回路电流法
5.节点电压法
6.改进节点法
7.割集电压法第二章 (1) 电路基本分析方法概述本章讨论线性电阻电路的一般分析方法，包括：
支路电流法 回路电流法网孔电流法 节点电压法割集电压法分析方法的理论基础是基尔霍夫电压定律（ KVL）和电流定律（ KCL），以及元件电压电流关系。通过建立电路方程来分析计算电路中的电压电流功率，并讨论如何 借助网络图论的知识来选取独立方程 。
本章内容是电路分析的基础，掌握各种计算方法对电路分析是十分重要的。
讨论,电路方程的建立
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6I
5I 1
R 3
I 3
1
2 3
右图电路，若电阻和电压源的数值均已知，则由 KCL和 KVL得方程：
回路 1,I3 × R3 ＋ I4 × R4= － Us2
回路 2,－ I5 × R5－ I3 × R3 =－ Us1
回路 3,I4 × R4＋ I6 × R6－ I5 × R5 = 0
回路 4,I6 × R6= Us1 +Us2 (外围回路,顺时针 )
回路 5,.,,,,,,,
通过网络图论知识来选取一组合适的方程,
节点 1,－ I1＋ I2＋ I3 = 0
节点 2,－ I3＋ I4＋ I5 = 0
节点 3,－ I2－ I4＋ I6 = 0
节点 4,I1－ I5－ I6 = 0
2.1 网络图论的概念图的概念：对于一个由 集中参数元件 组成的电网络，
若用线段表示支路，用黑圆点表示节点，由此得到一个由线条和点所组成的图形，称此图为原电网络的拓扑图，简称为图。
U s 1 U s 3
R 1
R 2
R 3
I
2
I
1
I
3①
②
①
②
1
2
3
2.1.1 电路图与拓扑图实际电路图线图是由点（节点）和线段（支路）组成,反映实际电路的结构 （支路与节点之间的连接关系）。
R 2
R 5
R 4
R 1
R 3
R 6
U s 1
①
②
③
④
对应的线图
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
有向图如果线图各支路规定了一个方向（用箭头表示，一般取与电路图中支路电流方向一致），则称为有向图。
有向图
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
b 表示支路数
n 表示节点数表示网孔数l
回路,由若干支路组成的通路。
网孔回路,回路内无任何支路，则此回路称为网孔回路。
①
②
④
③
2
3
45
1
⑤
当图的任二节点间至少存在一条通路时，称为 连通图,否则为非连通图 。
非连通图连通图任二个节点之间至少存在一个回路，则称为 不可分图,
否则为 可分图 。
1
2
3
4 5
6
7
8
①
② ③
④ ⑤
⑥
⑦
可分图有向图结构形式,
如果图能无任何交叉地画在平面上，则称为 平面图,否则为 非平面图 。
1 2
3
4
5
6
8
109
7
非平面图
= b － n ＋ 1
连通平面不可分图的网孔数为
l
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
2.1.2 树的概念树 T是图 G的一个子图，它包含所有节点与一些支路的集合。
树 T满足下面三个条件：
T是连通的；
包含 G的全部节点；
不包含回路。
①
②
④
③
1
2
3
树 T1
有向图 G
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
①
②
③
④
2 4
5
树 T2
有向图树的选择是不唯一的，一般可选出多个树。
树支、连支、单连支回路
①
②
④
③
1
2
3
①
②
④
③
1
2
3
4
5
6树 T所包含的支路称为 树支 ；
（图中支路 1,2,3）
图 G中其余的支路称为 连支 ；
（图中支路 4,5,6）
树支数 = n － 1 (节点数减 1）
连支数 =支路数－ 树支数
= b － n＋ 1 =（网孔数）
单连支回路
①
②
④
③
1
2
3
4
5
6
①
②
④
③
1
2
3
4
①
回路 1
①
②
④
③
1
2
3
② 5
回路 2
①
②
④
③
1
2
3 6
③
回路 3
单连支回路：每一连支可与其两端之间的唯一树支路径构成一条唯一的回路。此回路称为单连支回路。回路方向与连支一致。
如选 1,2,3为树支，则有连支 4,5,6组成的单连支回路如下选定了有向图的树，则单连支回路的路径与方向也唯一确定了。
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
选 1,4,6为树的单连支回路。
①
②
④
③
1
2
3 6
③
4
5 ①
②
选 1,2,3为树的单连支回路。
已知连支电流可解出电路各支路电流 !
2.1.3 割集
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
C S 1
C S 2
C S 3
割集是图的一个子集（某些支路的集合），满足
移去该子集，连通图分为两部分；
少移去其中任一条，图保持连通。
割集用符号 CS来表示，规定了割集的方向，则割集又可看成一个闭合面。割集为一个广义的节点，流出割集表面的电流代数和为零。
如图，割集 CS1包含 1,2,3支路,割集 CS2包含 1,2,5,6
支路,割集 CS3包含 1,4,6支路 。
单树支割集
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
C S 1
C S 2
C S 3
选定一个树，每一割集只包含一条树支，则称为单树支割集。单树支割集的方向取与树支方向一致。
如图，选 1,2,3支路为树支，
则单树支割集如图所示。
已知树支电压可解出电路各支路电流 !
割集 1包含的支路,1,4,6
割集 2包含的支路,2,4,5,6
割集 3包含的支路,3,5,6
小结本节主要介绍网络图论的基本知识，需掌握的主要知识点有：
节点、支路、回路、网孔
有向图
树、树支、连支、单连支回路
割集、单树支割集网孔回路数 = 单连支回路数 = 支路数－节点数＋ 1
以 支路电流作为未知量,直接应用 KCL和 KVL建立电路方程,然后求解所列的方程组解出各支路电流,这种方法称为 支路电流法 。
2.2 支路电流法电路节点数为 n,支路数为 b.
为求 b个支路电流,必须有 b个独立方程 。
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
5
I
4
R 5
R 6
I
6
①
②
③
④
如图所示电路，共有 4个节点,6条支路，设电源和电阻的参数已知，用支路电流法求各支路电流。
下面介绍支路电流法求支路电流的步骤及方程的选取：
1>,对各支路、节点编号，并标出支路电流的参考方向。
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
5
I
4
R 5
R 6
I
6
①
②
③
④
2>,根据基尔霍夫节点电流定律，列出节点电流方程：
节点 1,-I1-I2+I3=0
节点 2,+I2+I4+I5=0
节点 3,-I3-I4+I6=0
节点 4,+I1-I5-I6=0
注意,节点 4的电流方程为其余 3个方程的线性组合，此方程为非独立方程，在计算时应删除。
在用支路法计算时，只需列出 n-1 个独立的节点电流方程。
建立节点电流方程
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
5
I
4
R 5
R 6
I
6
1
2
3
3>,根据基尔霍夫回路电压定律，列出回路电压方程：
建立回路电压方程时，可选取 网孔回路 或 单连支回路 。 电路中无电流源支路时，可选择网孔回路 。
网孔回路电压方程必为独立方程。
网孔回路电压方程数 =b（支路数）－ n（节点数）＋ 1
建立回路电压方程回路 1,I1× R1－ US1－ I2× R2＋ I5× R5=0
回路 2,I3× R3＋ US3－ I4× R4＋ I2× R2=0
回路 3,I4× R4＋ I6× R6－ I5× R5=0
图中设定三个网孔回路的绕行方向，
列出回路电压方程：
解出支路电流
4>,由 n-1个节点电流方程和 b-n+1个网孔电压方程（共 b
个方程）可解出 b个支路电流变量。
回路 1,I1× R1－ US1－ I2× R2＋ I5× R5=0
回路 2,I3× R3＋ US3－ I4× R4＋ I2× R2=0
回路 3,I4× R4＋ I6× R6－ I5× R5=0
节点 1,-I1-I2+I3=0
节点 2,+I2+I4+I5=0
节点 3,-I3-I4+I6=0
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
5
I
4
R 6
I
6
①
②
③
④
R 5
1
2
3
由上面的六个方程可解出六个支路电流变量。
支路电流法例题 1
例 1,图示电路,US1=10V，
US3=13V,R1=1?,R2=3?,
R3=2?，求各支路电流及电压源的功率。
用支路电流法解题，参考方向见图
－ I1＋ I2－ I3=0
I1 × R1－ US1＋ I2 × R2=0
I2 × R2＋ I3× R3－ US3=0
U s 1 U s 3
R 1
R 2
R 3
I
2
I
1
I
3
1
2
①
②
－ I1 ＋ I2 － I3 =0
I1 － 10＋ 3× I2 =0
3× I2 ＋ 2× I3 － 13=0
解得,I1 =1A,I2 =3A,I3 =2A
电压源 US1的功率,PUS1=US1× I1 =10× 1=10W (发出）
电压源 US3的功率,PUS3=US3× I3 =13× 2=26W (发出）
支路电流法例题 2
例 2,图示电路,US=7V,R1=1?,
R2=3?,IS=1A。求各支路电流及电流源的功率。
（外围有电流源支路）
节点电流方程 I1－ I2＋ IS=0
网孔 1电压方程 － I1× R1－ I2× R2－ US=0
R 1
R 2
U s
I S
I
1
I
2
1
2
解,取网孔回路方向如图，列节点电流方程和网孔 1的电压方程如下代入数据得 I1－ I2＋ 1=0 解得 I1= － 2.5A
－ I1－ 3× I2－ 7=0 I2= － 1.5A
电流源功率为 PIS=(I2× R2) × IS= － 4.5W (吸收功率 )
R 1
R 2
U s
I S
I
1
I
2
1
2
网孔 2因为存在电流源，无法列写电压方程。实际上 由于电流源支路的电流已知，支路电流变量数减少一个，该网孔电压方程无需列写。
建立单连支回路电压方程
1
2
3
4
5 6
5) 电路中存在电流源支路时，用支路电流法解题时电压方程的建立可选单连支回路 。
U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
5
I
4
R 5
R 6
I
6
I S2
1
2
3
回路 1,I3× R3＋ US3＋ I6 × R6＋ I1× R1－ US1=0
回路 2,I4 × R4＋ I6 × R6－ I5 × R5=0
在选取 单连支回路时，电流源支路选为连支 。
如选 1,5,6支路为树支，则可列出连支
3,4 的单连支回路 1和 2的电压方程,
单连支回路 3为电流源连支，因此该回路不列电压方程。 U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
5
I
4
R 5
R 6
I
6
I S2
1
2
3
由上面 2个单连支回路电压方程和 3个节点电流方程即可解出 5个支路电流变量。
节点电流方程为
-I1-IS2+I3=0
IS2+I4+I5=0
-I3-I4+I6=0
支路电流法例题 3
R 1
U s 1
I S2
U s 2 R 4
I S4 R 5
I 1 I
5
R 3
I 3① ②
例 3,图示电路,US1=1V，
US2=5V,IS2=2A,IS4=4A，
R1=1?,R3=3?,R4=4?，
R5=5?，求各支路电流及电流源的功率。
解：支路及节点见图，对节点 1,2列电流方程
－ I1－ IS2＋ I3=0
－ I3－ IS4＋ I5=0
R 1
U s 1
I S2
U s 2 R
4
I S4 R 5
I 1 I
5
R 3
I 3① ②
电路中存在两条电流源支路,选取支路 1,3为树支,则连支 5
的单连支回路电压方程为,
I5× R5＋ I1× R1－ US1＋ I3× R3=0
代入数据得：
－ I1－ 2＋ I3 =0
－ I3－ 4＋ I5 =0
5× I5 ＋ I1 － 1＋ 3× I3 =0
解得 I1 =－ 3.89A
I3 =－ 1.89A
I5 =2.11A
1
2
3
4
5
①
① ②
③
电流源 IS2,IS4两端的电压 UIS2,UIS4为
UIS2=US1－ R1× I1－ US2=1－ 1× (－ 3.89)－ 5=－ 0.11V
UIS4=R5× I5＋ R4× IS4=5× 2.11＋ 4× 4= 26.55V
R 1
U s 1
I S2
U s 2 R 4
I S4
R 5
I 1 I 5
R 3
I 3① ②
U I s 2
U I s 4
电流源 IS2,IS4的功率为
PIS2= UIS2× IS2=－ 0.22W (吸收功率）
PIS4= UIS4× IS4=106.2 W (发出功率）
支路电流法例题 4
（包含受控源支路分析）
例 4,图示电路,US1=1V，，
R1=1?,R2=2?,R3=3?，
=3，求各支路电流。
解：电路中存在一个电压控制电压源（ VCVS），对于存在受控源电路，用支路电流法解题时，① 受控源先当作独立电源,
列节点和网孔方程
I1＋ I2＋ I3=0
I1× R1－ I2× R2－ US1=0
I2× R2＋?U1－ I3× R3=0
U s 1
R 1
R 2 R 31
2
I 1
I 2 I 3
U 1 U 1
② 补充受控源控制变量关系式 (控制变量表示为支路电流 )
U1=－ R1× I1
代入数据
I1＋ I2＋ I3=0
I1－ 2× I2－ 1=0
2× I2＋ 3× U1－ 3× I3=0
U1=－ I1
U s 1
R 1
R 2 R 31
2
I 1
I 2 I 3
U 1 U 1
解得
I1=1A,I2=0A,I3=－ 1A
小结
1） 支路电流法是以支路电流为变量，应用 KCL和 KVL列出节点和回路方程求解电路的方法。
2）对 n-1个节点列 KCL方程，可得 n-1个独立方程,对 b-n+1
条回路列 KVL方程，可得 b-n+1个 独立方程，共得 b个线性方程组。解此方程组得 b个支路电流变量。
3）在选择回路时，如果电路无电流源，则可选择网孔回路；
如果存在电流源，则选择单连支回路，电流源支路选为连支。
4）如果存在受控源，在列方程时把受控源当作独立电源，
然后列补充方程，把受控源的控制变量用支路电流来表示。
2.3 网孔电流法支路电流法直接应用 KCL,KVL解电路,很直观,其电路方程个数为支路数 b。 但是当支路数很多时,必须建立 b个方程,求解工作量颇大 。
网孔电流法分析解决问题的出发点是：对于电路中实际流动的支路电流，用一组假设的网孔电流来替代。 以网孔电流作为独立变量求解，然后求取支路电流，这种方法称为网孔电流法。
U s 1
R 1
R 2
R 3
U s 3
R 4
R 6
I m1
I m2 I m3
U s 5
1> 网孔电流与支路电流支路电流与网孔电流的关系：
I1=IM2,I2=IM1－ IM2,I3=IM1
I4=IM3-IM1,I5=IM2－ IM3,I6=IM3
U s 1
R 1
R 2
R 3
U s 3
R 4
R 6U s 5
I 3
I 2 I 4
I 6
I 5I 1
如图所示，实际流动的支路电流 I1~I6，用一组假设的网孔电流 Im1,Im2,Im3来替代。 以网孔电流作为独立变量求解，
然后求取支路电流。
2> 网孔回路电压方程的建立如图所示电路,用网孔电流法求各支路电流。
网孔 1,(R2＋ R3＋ R4) Im1－ R2× Im2－ R3× Im3=－ Us3
自回路电流压降 互回路电流压降 回路电压源电压升
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I m1
I m2
I m3
U s 5
I
5
R 5
1）选定各网孔电流的参考方向，
一般参考方向可选为一致（全为顺时针或逆时针）。
2）根据 KVL，列写各网孔回路的电压方程。
网孔 1,(R2＋ R3＋ R4) Im1－ R2× Im2－ R3× Im3=－ Us3
自回路电流压降 互回路电流压降 回路电压源电压升网孔回路电压方程可分为三部分。
第一部分为本身网孔电流产生的压降。
第二部分为相邻网孔电流在该回路上产生的压降，互回路电流方向与网孔回路电流参考方向一致时为正，反之为负。列写互回路时注意不要漏写。
第三部分为回路电压源代数和，以电压升为正，反之为负。
网孔 2,－ R2× Im1＋ ( R1＋ R3＋ R5) Im2－ R5× Im3=Us1－ Us5
网孔 3,－ R4× Im1－ R5× Im2＋ (R4＋ R5＋ R6) Im3 =Us5
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I m1
I m2
I m3
U s 5
I
5
R 5以此规律可列写出另两个网孔的方程：
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I m1
I m2
I m3
U s 5
I
5
R 5
3> 由网孔电流解出支路电流由上面三个方程可解出三个网孔回路电流变量 Im1,Im2,Im3。
支路电流为：
I1= Im2
I2= Im1 － Im2,I3= Im1
I4= Im3 － Im1,I5= Im2 － Im3
I6= Im3
234
1 2 5
4 5 6
2 4 m 1
2 5 m 2
4 5 m 3
3
15
5
I
I
I
S
SS
S
U
UU
U
R R R
RR
RR
RR R
RR RRR
网孔法例 1 U s 1 U s 3
R 1
R 2
R 3
I
2
I
1
I
3
Im1
Im2
例 1,图示电路,US1=10V，
US3=13V,R1=1?,R2=3?,
R3=2?，试用网孔电流法求各支路电流。
解：取网孔回路及参考方向如图，列写回路电压方程
(R1＋ R2)Im1－ R2× Im2=Us1
(R2＋ R3)Im2－ R2× Im1=－ Us3
代入数据得
4 × Im1－ 3 × Im2=10 得 Im1=1A
5 × Im2－ 3 × Im1=－ 13 Im2=－ 2A
支路电流 I1= Im1=1A,I2= Im1－ Im2=3A,I3= － Im2=2A
网孔法例 2
例 2,图示电路,US=27V，
Is=2A,R1=1?,R2=2?,
R3=3?,R4=4?,R5=5?,
R6=6?,求各支路电流。
解,电路中最外围支路存在一个电流源,取网孔回路如图，对网孔 1和
2列回路电压方程
（ R2＋ R3＋ R6)Im1－ R3× Im2－ R2× Is=－ Us
(R1＋ R3＋ R4)Im2－ R3× Im1－ R4× Is=Us
R 6 R 1
R 2 R 4
R 5
I S
I 6
I 1I 3
R 3
I 2
I 3
I m1 I m2
I m3
U s
网孔回路 3的回路电流可直接写出
Im3=Is =2
R 6 R 1
R 2 R 4
R 5
I S
I 6
I 1I 3
R 3
I 2
I 3
I m1 I m2
I m3
U s
代入数据得
11Im1－ 3Im2－ 4=－ 27
8Im2－ 3Im1－ 8=27
解得
Im1=－ 1A,Im2=4A,
Im3=2A
支路电流为
I1=－ Im2=－ 4A,I2=Im3－ Im1=3A,I3=Im2－ Im1=5A
I4=Im3－ Im2=－ 2A,I5=Im3=2A,I6=Im1=－ 1A
注意：电路的最外围支路存在电流源时，仍旧可用网孔电流法求解支路电流。
网孔法例 3
（包含受控源电路）
例 3,图示电路,US3=7V，
R1=R2=1?,R4=2?，
R5=4?,?=2,求各支路电流。
R 1
R 2
R 4
R 5
U 2
U s 3
I 3 I 5
I 4
I 2
I 6
I 1
U 2
①
②
③
解：取网孔回路参考方向为顺时针方向,对于受控电源，在列网孔回路电压方程时，先作为独立电源处理，然后再把受控变量表示为网孔电流。
1）列各回路电压方程
(R1＋ R2)Im1－ R2× Im2 =?U2
－ R2× Im1＋ (R2＋ R4)Im2－ R4× Im3 = Us3
－ R4× Im2＋ (R4＋ R5)Im3 =－ aU2
R 1
R 2
R 4
R 5
U 2
U s 3
I 3 I 5
I 4
I 2
I 6
I 1
U 2
①
②
③
2）方程中受控源控制变量 U2
表示为网孔电流
U2=R2(Im2－ Im1)
解得 Im1=3A,Im2=4A,Im3=1A
支路电流 I1=Im1=3A,I2=Im2— Im1=1A,I3=－ Im2=－ 4A
I4=Im2－ Im3=3A,I5=Im3=1A,I6=Im3－ Im1=— 2A
代入数据得
2Im1－ Im2=2U2
－ Im1＋ 3 Im2 － 2Im3=7
－ 2Im2＋ 6Im3=－ 2U2
U2= Im2－ Im1
小结网孔电流法以电路的网孔电流作为变量求解电路，比支路法方程个数减少；
网孔电压方程的一般内容为：
自回路电流压降? 相邻回路电流压降之和 = 回路电压源电压升之和受控源在网孔电流法列方程时先当作独立电源处理，然后把控制变量表示成网孔电流变量（补充方程）；
当电路中存在电流源时（不全为最外围支路），网孔法分析不方便（用回路电流法）。
2.4 回路电流法
回路电流法是以选定的回路电流作为变量来分析计算电路的一种方法；
当电路存在电流源时（不全在外部周界上），用回路电流法解题比网孔法方便；
回路电流法在选择独立回路时，一般选择单连支回路，通过选择特定的树可简化存在电流源电路的计算；
选择单连支回路电流作为求解变量，建立的回路电压方程必定是独立方程；
网孔电流法是回路电流法的一种特殊情况。
2.4.1 回路电流选择
1
2
3
4
5 6
如图电路，用回路电流法求各支路电流。
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I s 5
I L 1
I L 2
I L 3
1） 选择回路电流并标出方向 。
回路的选择要保证能建立足够数量的独立方程来解出电路变量。
网孔回路和单连支回路都为独立回路。
选择单连支回路时，具有电流源的支路选为连支 。
如图电路，选择 2,4,6支路为树支，则单连支回路的路径和方向如图所示。
2.4.2 建立回路电压方程
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I s 5
I L 1
I L 2
I L 3
确定回路电流和参考方向以后，根据 KVL，可建立各回路的回路电压方程。
回路 1 的电压方程为
（ R2＋ R3＋ R4） IL1－ （ R2＋ R4） IL2－ R4× IL3 = － US3
自回路压降? 互回路压降代数和 = 回路电压源代数和
上式 1>,第一部分是自回路电流产生的压降。
2>,第二部分是其余回路电流在该回路上产生的电压降。方向与主回路电流一致时为正，反之为负。
3>.等式右边是回路中所有电压源的 电压升 代数和。
同理可写出回路 2 的回路电压方程
（ R1＋ R2＋ R4＋ R6） IL2－ （ R2＋ R4） IL1＋（ R4＋ R6） IL3 =
US1
列写回路电压方程时应注意：
1>,选 b－ (n－ 1) 个独立回路电流；
2>,列写互回路压降时注意不要漏写；
回路 3中有电流源存在，由于选择支路 5为单连支回路，因此回路电流即为该连支电流
IL3 = IS5
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I s 5
I L 1
I L 2
I L 3
3>,方程右边电压源是以电压升为正。
4>,电流源支路的回路电压方程无需列写，可直接写出回路电流值。
由上面三个方程即可解出三个回路电流 IL1,IL2,IL3。
2.4.3 求解回路和支路电流
U s 1
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I s 5
I L 1
I L 2
I L 3
由回路电流可写出各支路电流为,
I1 = IL2
I2 = － IL1＋ IL2
I3 = IL1
I4 = － IL1 ＋ IL2 ＋ IL3
I5 = IL3 = IS5
I6 = IL2 ＋ IL3
回路电流法例 1
4
1
6
例 1 已知 R1=1?,R2=2?，
R3=3?,R4=4?,R5=5?，
R6=6?,US=27V,IS=2A，
用回路电流法求电压源和电流源发出的功率。
解：支路 5为电流源支路，因此选 1,4,6支路为树支，得三条单连支回路如图所示。
R 2 R 6
R 4
R 1
R 5
I S
R 3
U s
I 3
U I
I L1
I L 2
I L3
I 2
根据选定的单连支回路，可列出回路电压方程,
代入数据得,
IL1 = 2
8IL2 ＋ 2＋ 5 IL3 =27
13 IL3 ＋ 2× 7＋ 5IL2=0
R 2 R 6
R 4
R 1
R 5
I S
R 3
U s
I 3
U I
I L1
I L 2
I L3
I 2IL1=IS
（ R1＋ R3＋ R4） IL2＋ R1× IL1＋（ R1＋ R4） IL3=US
(R1＋ R2＋ R4＋ R6)IL3＋ (R1＋ R6)IL1＋ (R1＋ R4)IL2=0
解得,
IL1 = 2A
IL2 = 5A
IL3 = － 3A
电流源两端的电压降为,
UI = R6 (IL1＋ IL3) ＋ R1 (IL1＋ IL2＋ IL3) ＋ R5× IL1
= 6× (－ 1) ＋ 1× 4＋ 5× 2=8V
R 2 R 6
R 4
R 1
R 5
I S
R 3
U s
I 3
U I
I L1
I L 2
I L3
I 2
电压源发出的功率为,
PUS = I3× US=IL2× US
=5× 27=135W (发出功率 )
电流源发出的功率为,
PIS = UI× IS = 16W
回路电流法例 2
R 1
R 4
R 3
R 2
I S5
I 3
I 1
I 4
I 2
I L1
I L2
I L3
I S6
例 2 已知 R1=1?,R2=2?，
R3=3?,R4=4?,IS5=6A，
IS6=6A，用回路电流法求各支路电流。
解：电路包含两个电流源,选支路 1,3,4为树支,回路电流及方向如图，此时只需列一个回路方程
IL1=IS2,IL2 = IS6
(R1＋ R2＋ R3) IL3－ R1× IL1 ＋ R3× IL2 = 0
代入数据解得 IL3 = － 2A
R 1
R 4
R 3
R 2
I S5
I 3
I 1
I 4
I 2
I L1
I L2
I L3
I S6
各支路电流为
I1 = IL1－ IL3 =8A
I2 =IL2 = － 2A
I3 = IL2 ＋ IL3 = 4A
I4 = IL1＋ IL2 =12A
从该例题可看出，当电路包含较多的电流源支路时，用回路电流法解题较方便。
回路电流法例 3
(含受控源电路分析 )
例 3 已知 R1=R2=R3=R4=R5=2?，
US4=US6=2V,IS2=1A,g=0.5,用回路电流法求各支路电流。
解,1) 对于包含受控源的电路，在用回路电流法解题时，先把受控源当作独立电源来列写回路电压方程。
该电路包含 两个电流源支路 （一个独立源和一个受控源），
因此 选择支路 3,4,6为树支,三个回路电流及参考方向见图所示。
U s 4
U s 6
I S2
g
U 6
R 6
R 1
R 3
R 4
1
2
3
U 6
I 1
I 4
I 5
2) 把受控源的控制变量用回路电流来表示（ 列补充方程 ）
U6 = － R6（ IL1＋ IL3）
U s 4
U s 6
I S2
g
U 6
R 6
R 1
R 3
R 4
1
2
3
U 6
I 1
I 4
I 5
列回路电压方程如下
IL1 = IS2
IL2 = gU6
(R1＋ R4＋ R6)IL3＋ R6× IL1－ R4× IL2 = US6－ US4
R1=R2=R3=R4=R5=2?，
US4=US6=2V,IS2=1A，
g=0.5
代入数据得,6× IL3 ＋ 2× 1＋ 2× 0.5× 2× （ 1＋ IL3） = 0
IL3 =－ 0.5A,IL2 = gU6 = － 0.5A
回路电流法例 4
例 4 已知 R2=2?,R3=3?，
R4=4?,R5=5?,?=?=2,
US4=4V,IS=2A，用回路电流法求 I1 和 I4。
解：该电路包含受控源，取回路电流及参考方向如图，列写各回路电压方程
IL1 =?I5
(R2＋ R3)IL2＋ R2× IL1－ R3× IL3 = －?U3
(R3＋ R4＋ R5)IL3＋ R5× IL1－ R3× IL2 = US4
U 3
R 3
U s 4
R 4
U 3
I 5
R 5
R 2
I 5
R 5
I 1
I 4
1
2
3
(含受控源电路分析 )
列补充方程，把控制变量 U3 和 I5
用回路电流来表示,
U3 = R3(IL3－ IL2)
I5 = IL1＋ IL3
U 3
R 3
U s 4
R 4
U 3
I 5
R 5
R 2
I 5
R 5
I 1
I 4
1
2
3
12× IL3＋ 5× IL1－ 3× IL2 = 4
U3 = 3× (IL3－ IL2),I5 = IL1＋ IL3
代入数据得
IL1 = 2I5,即 IL1 = － 2 IL3
5× IL2＋ 2× IL1－ 3× IL3 = － 2U3
解得,IL2 = － 0.8 A,IL3 = 0.8A,IL1 = － 1.6A
I1 = IL2 = － 0.8 A,I4 = IL3 = 0.8A
2.5 节点电压法以节点电压作为独立变量,建立节点电压方程,求解节点电压再确定支路电流,称为节点电压法 。
①
②
③
①U
U
②
U
③
U 1
U 2
电压,两点之间电位差,
电位,相对于参考点间的电势能,
①U U ②U 2
1） 设电路有 n个节点,以其中任一节点作为参考节点,令 参考节点的电位为零,则其余各节点相对于该参考点的电位就是节点电压 。
节点电压法概述
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
U 1 U 5
如图，节点 1的电压 U① = U1，
节点 2的电压 U② = U5。
2） 如果各节点电压已经求出，则各支路电流便可确定。
如对于电流 I5,有 I5 =U②R5
3） 以节点电压作为独立变量，建立节点电压方程，求解节点电压后再确定支路电流，这种方法称为节点电压法。
4）在用节点电压法解题时，对于 n个节点，因为已选定一个节点为参考点，则有 n -1个独立节点电压变量，必须建立 n -1个独立方程才可求解。
节点电压与支路电流关系如图电路，取节点 4为参考节点。
则节点电压与支路电流关系为：
U① =Us1+I1× R1
U② =I5× R5
U③ =I6× R6
U① － U③ =I3× R3＋ Us3
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
U 1 U 5
U s1
R5
如节点电压已知，则可计算支路电流，对于 I1
该支路电压为,U① － U④ = US1＋ R1× I1
得 I1= (U① － Us1)/R1= G1(U① － Us1)
同理，可写出其余各支路电流
I2= G2（ U② － U① ）
I3= G3 (U① － U③ － Us3)
I4= G4（ U② － U③ ）
I5= U② /R5=G5 U②
I6= U③ /R6=G6 U③
R 1
I
1
R 2
I
2
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
U 1 U 5
支路电流 = 支路电导 × （电流流出节点电压－电流流入节点电压
支路电压源）
支路电流方向与电压源压降方向一致时取负号,反之取正号,
节点电压方程的建立 U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
R 5
I s 2
节点电压方程的形式可由 KCL方程导出，对于节点①列写 KCL方程
I1－ I2＋ I3=0
(节点电压方程的实质是 KCL表示式 )!!
G1(U① － Us1) － Is2＋ G3 (U① － U③ － Us3)=0
代入用节点电压表示的各支路电流表达式：
整理后得：
U① (G1＋ G3) － U③ G3=G1 Us1＋ G3 Us3＋ Is2
此式即为节点①的节点电压方程,
主节点电压项
1） 方程第一项为 主节点电压 U① 与主节点相连的各支路电导之和的乘积 。 由于支路 2中电流源 Is2为理想电流源,内阻为 ∞,，
故 支路 2电导为零,所以 U① 的系数中只有支路 1,3电导 G1,G3之和 。
与主节点相连的各支路电导之和称为自电导，对于主节点①
记为 G11。 自电导永远为正。
上式是从节点电流方程出发推导出 的 节点电压方程，由此方程式可总结如下 节点电压方程列写规律,
U① (G1＋ G3) － U③ G3=G1 Us1＋ G3 Us3＋ Is2
U① (G1＋ G3) － U③ G3 = G1 Us1＋ G3 Us3＋ Is2
2）节点电压方程中第二项为相邻节点电压 U③ 与互电导乘积的负值。节点 ③通过支路 3与主节点相邻,主节点与相邻节点之间相联接的各支路电导之和称为互电导 。节点 ①和③之间只有支路 3相连，因此 相邻节点 ③ 的互电导为 G3。
互节点电压项注意：节点 ②也与主节点①相邻，但由于其互电导为零（电流源支路），因此式中未出现该项。
节点电压方程中应包含所有与主节点相邻的节点电压与互电导的乘积项（其值恒为负）。
U① (G1＋ G3) － U③ G3 = G1 Us1＋ G3 Us3＋ Is2
3）节点电压方程中右边第一项为与主节点①相连的各支路上的 独立电压源与该支路电导的乘积之代数和,电源正极性指向主节点时为正，反之为负。
U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
R 5
I s 2
支路电压源支路电流源
U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
R 5
I s 2U① (G1＋ G3) － U③ G3 = G1 Us1＋ G3 Us3＋ Is2
4）节点电压方程中右边第二项为与主节点①相连的各支路上的 独立电流源代数和,电流源的电流流入主节点时为正，反之为负。
U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
R 5
I s 2
可见每个 节点电压方程包含四个部分,据此可分别写出节点 2和 3的电压方程为：
节点 2,
（ G4＋ G5)U② － G4× U③ = － Is2
节点 3：
（ G3＋ G4＋ G6) U③ － G3× U① － G4× U② = － G3× US3
U① (G1＋ G3) － U③ G3=G1 Us1＋ G3 Us3＋ Is2
（ G3＋ G4＋ G6) U③ － G3× U① － G4× U② =－ G3× US3
（ G4＋ G5)U② － G4× U③ = 0
U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
R 5
I s 2
由三个节点电压方程，即可解出三个节点电压，然后根据节点电压和支路电流的关系求出支路电流。
节点 1:
节点 2:
节点 3:
节点法例 1
例 1,已知 R11=R12=0.5?，
R2=R3=R4=R5=1?,US1=1V，
US3=3V,IS2=2A,IS6=6A，用节点电压法求各支路的电流。
解：取节点 3为参考节点，列出节点 1和 2
的电压方程
1 2 1 3 2
1 1 1 2 3 4 3 4 1 1 1 2 3
1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )
S S SU U U U IR R R R R R R R R
R 11
U s 1
I S2
R 12 R 3
U s 3
R 4
R 5
I S6
I 5I
1
I S4
I 3
① ②
③
R 2
注意：节点 1 的自电导中没有包含 项，尽管该支路有电阻 R2，但电流源内阻为无穷大，该支路的总电导为零。 电流源支路串联电阻在列节点方程时不起作用。
2
1
R
R 11
U s 1
I S2
R 12
R 3
U s 3
R 4
R 5
I S6
I 5I
1
I S4
I 3
①
②
③
代入数据整理得
3U1－ 2U2 = － 4
3U2－ 2U1 = 9
解得节点电压为
U1 = 1.2V,U2 = 3.8V
各支路电流分别为
I1=（ US1－ U1） / (R11＋ R12) = (1-1.2)/(0.5+0.5)=－ 0.2A
I3=（ U1－ U2 ＋ US3 ） / R3 = 0.4A
I4=（ U1－ U2 ） / R4 = － 2.6A
I5=U2/ R5 = 3.8A
2 1 3 6
3 3 5 3 4 3
1 1 1 1 1 1( ) ( )
SSU U U IR R R R R R
齐尔曼定理
U s 1
U s 4
I S2
R 1
R 3
R 4
①
②
I 3
当电路只包含两个节点时，
若设节点 2为参考节点，则节点
1的电压表达式可由节点法直接列写为：
14
14
4
1
2
1
3
1 1 1
S
S
SUU
RR
R
I
U
RR
一般表达式,()S j j S
K
N
iIU
G
UG
节点法例 2
（包含纯电压源支路）
U s 1
R 1
U s 2
R 4
U s 4
I S3
R 5
①
②
③
I 4
例 2 如图电路，已知 US1=4V，
US2=4V,US4=10V,IS3=1A，
R1=R4=R5=2?，试求支路电流 I4。
解：该电路包含一条 纯电压源支路,该支路的电导为无穷大，
因此无法列写节点 1 和 3的节点电压方程。
取纯电压源支路的任一节点为参考节点。 设节点 3为参考节点，则节点 1的电压可直接得到
U① = US2 = 4V
列出节点 2的电压方程为
(1/R4＋ 1/R5)U② － U① /R4 = － US4/R4－ IS3
U s 1
R 1
U s 2
R 4
U s 4
I S3
R 5
①
②
③
I 4
注意,包含一条纯电压源支路的电路，在用节点电压法解题时，
参考节点应选为纯电压源支路的任一节点上。
代入数据解得
U② = (－ US4/R4－ IS3＋ US2 /R4 ) / (1/R4＋ 1/R5) = － 4V
I4 = ( U② － U① ＋ US4 ) /R4 = 1A
节点法例 3
例 3 已知 R3=R4=4?,?=3，
g=1S,IS2=0.5A，用节点电压法求 I4的电流。
（包含受控源支路）
1）对于受控源，在用节点法计算时，先把受控源当作独立电源来处理，按一般方法列节点电压方程。
U 3g
I S2
I 4
R 3
r I 4
U 3
①
②
4
32
3
1
11
34
S
I
g U I
RU
RR
应用齐尔曼定理，令节点 2为参考节点，则节点 1的电压为
R4
U 3g
I S2
I 4
R 3
r I 4
U 3
①
②
4
32 43
3
1
34
31
42
1 1 1 1
44
SU
RR
gI
R
I
IU
U
2)把受控源的控制变量转化为节点电压表达式。
I4=U1/R4
U3=U1－?I4 = (1－?/R4)U1
把上面三式代入数据，得,
I4=U1/R4 = U1/4
U3= U1/4
解得 U1=－ 8V,I4 = U1/R4 = － 2A
R4
节点法例 4 ① ② ③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6
I 5
I 1
R 3
例 4 已知 R3=2?,R4=4?,R5=1?,
R6=6?,US1=8V,US2=4V，用节点电压法求支路电流 I1和 I2。
解：取节点 4为参考节点，则有
U① = US1，
U③ = US1＋ US2
345
1 1 1()
R R R
U② －
3
1
R
U① －
4
1
R
U③ = 0节点 2：
U① = 8V，
U③ = 12V
U② = 4V
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6
I 5
I 1
R 3
I5 = U② / R5 = 4A
I6 = U③ / R6 = 2A
I4 = （ U② － U③ ） / R4 = － 2A
I1 = I5＋ I6 = 6A
I2 = I6 － I4 = 4A
代入数据解得,
节点法例 5
a
bc
U s 1
R 1
R 2
R 3
g
U 3
U 3
R 5
U s 5
例 5 已知 R1=1?,R2=2?，
R3=3?,R5=5?,US1=1V，
US5=5V，要使 Uab = 0，试求 g
的值。
解：用节点法求解,设 b 点为参考节点,列节点 a和 c方程
51
3
1 2 5 1 2 5 1
1 1 1 1 1( ) ( )
ac
U s U sU U g U
R R R R R R R
1
1 2 3 1 2 1
1 1 1 1 1( ) ( )
c a
UsUU
R R R R R R
补充方程 U3 = Uc
a
bc
U s 1
R 1
R 2
R 3
g
U 3
U 3
R 5
U s 5
代入数据得
16 3
10 2U a U c gU c
1 1 3 1
62U c U a
由题意知,Ua = 0，得
g = － 1.5 S
节点法例 6
例 6 已知 R2=2?,R3=3?，
R4=4?,R5=5?,?=?=2,
US4=4V,IS=2A，用节点电压法求 I1 和 I4。
U 3
R 3
U s 4
R 4
U 3
I 5
R 5
R 2
I 5
R 6
I 1
I 4
①
②
③
④
I 3
解：该电路包含一个纯电压源支路（受控电压源）,选节点 1为参考节点,列节点电压方程
② U② = －?U3
③ (1/R2＋ 1/R3＋ 1/R5)U③ － U② /R2－ U④ /R5=0
④ (1/R4＋ 1/R5) U④ － U③ /R5=－ US4/R4－?I5
U 3
R 3
U s 4
R 4
U 3
I 5
R 5
R 2
I 5
R 6
I 1
I 4
①
②
③
④
I 3
补充方程 U3 = － U③
I5 = (U③ － U④ )/R5
解得,U② = 16V,U③ =8V,U④ =4/3V
I4=(U④ +US4)/R4=4/3 A
I3=U ③ /R3=8/3 A I1= I3 + I4 =4 A
31
30
U③ － U② /2－ U④ /5=0
9
20
U④ － U③ /5=－ 1
代入数据得
U② = － 2U3 = 2U③
2.5 改进节点法
U s 3
U s 4R 1
R 2 R 5
R 6
①
②
③
④
I 1
I 4 I 6
I 3
对于 只有一条纯电压源支路 的电路,用节点法解题时,可以通过选择合适的参考节点来实现。
但对于有 多条且不相连纯电压源支路 的电路，无论选那个参考节点，
都无法列写节点电压方程（支路电导无穷大）。
在列写节点电压方程时，把电压源支路用一电流源支路来替代，电流源数值为该支路电流，同时对电压源支路的两个节点列电压补充方程，从而解出节点电压的方法，称为 改进节点法。
改进节点法列方程如图电路，设定节点 4为参考节点，则节点 2的电压可直接写出。
支路 3中电压源 US3用一个 IS=I3
的待求变量来替代。
列节点电压方程得
U② =US4
U s 3
U s 4R 1
R 2 R 5
R 6
①
②
③
④
I 1
I 4 I 6
I 3
I 3
（ 1/R1+1/R2)U① - U② /R2=-I3
(1/R5+1/R6)U③ - U② /R5=I3
由于引入了支路电流变量 I3,故还需一个方程。由于电压源两端的节点电压差值已知，列 节点电压补充方程
U③ - U ① = US3
从上面三个方程即可解出 U①,U③ 和 I3三个变量。
2.6 割集电压法电路中如果 树支支路电压已知,将 KVL应用于每个单连支回路,可算出各 连支支路电压 。
电路分析时以树支电压为变量，先求解树支电压，然后求支路电压电流的方法称为割集电压法。
R 4
U s 4
I S2
R 1
U s 1
R 6
R 5 R 3
I 3I 5
I 6
I 1
I 4
R 4
U s 4
I S2
R 1
U s 1
R 6
R 5 R 3
I 3I 5
I 6
I 1
I 4
树支电压与连支电压
I 2 I
3I 5
I 6
I 1
I 4
CS4
CS5
CS6
电路如图所示，选支路 4,5、
6为树支，则单树支割集及方向见图。
设支路电压方向与支路电流方向一致,连支电压 用 树支电压 来表示为
U1=U4－ U5＋ U6
U2=U4－ U5
U3=－ U5＋ U6
R 4
U s 4
I S2
R 1
U s 1
R 6
R 5 R 3
I 3I 5
I 6
I 1
I 4
CS4
CS5
CS6
(2)对每个割集闭合面应用 KCL，
割集电流方程为
CS4,I1＋ I2＋ I4=0
CS5,－ I1－ I2＋ I5－ I3=0
CS6,I1＋ I6＋ I3=0
割集电压方程的建立
(1) 支路电流表示为割集电压
I1=G1 (U1＋ Us1)=G1(U4－ U5＋ U6 ＋ Us1)
I2=Is2
I3=G3× U3=G3(－ U5－ U6)
I4=G4(U4－ Us4)
I5=G5× U5
I6=G6× U6
R 4
U s 4
I S2
R 1
U s 1
R 6
R 5 R 3
I 3I 5
I 6
I 1
I 4
CS4
CS5
CS6
(3) 把支路电流代入 CS4割集方程，得
G1(U4－ U5＋ U6 ＋ Us1) ＋ Is2＋ G4(U4－ Us4) =0
整理得
(G1＋ G4)U4－ G1× U5＋ G1× U6=－ G1× Us1＋ G4× Us4－ Is2
类似于 节点电压方程,上式也分为四部分。
1）第一部分是 自电导 与 树支电压
U4的乘积，自电导是指本身割集支路的电导和；
2）第二部分是 互电导 与 相应树支电压 的乘积，互电导是指本身割集与相邻割集公共支路的电导之和，当两个割集方向一致时为正，反之为负；
R 4
U s 4
I S2
R 1
U s 1
R 6
R 5 R 3
I 3I 5
I 6
I 1
I 4
CS4
CS5
CS6
(G1＋ G4)U4－ G1× U5＋ G1× U6=－ G1× Us1＋ G4× Us4－ Is2
3）第三部分是割集中支路电压源与对应电导的乘积，电压源电压降方向与割集方向一致时为正，
反之为负；
R 4
U s 4
I S2
R 1
U s 1
R 6
R 5 R 3
I 3I 5
I 6
I 1
I 4
CS4
CS5
CS6
4）第四部分为割集支路中电流源，
当流入割集时为正，反之为负。
(G1＋ G4)U4－ G1× U5＋ G1× U6=－ G1× Us1＋ G4× Us4－ Is2
CS5,(G1＋ G3＋ G5) U5－ G1× U4－ (R1＋ R3)U6=Us1× G1＋ Is2
CS6,(R1＋ R3＋ R6)U6＋ G1× U4－ (R1＋ R3)U5=－ Us1× G1
根据上述规则，可写出另外两个割集的电压方程为由上面三个方程可解出树支电压 U4,U5,U6，根据单连支回路电压方程，可依此求出各支路电压值。
U s 4
U s 6
U s 1
U s 3
I S3
R 1
R 2
R 3
I 1
I 4
I 2
I 5
I 6
R 5
①
②
③
④
CS1
CS2
CS3
割集法例 1
例 1 已知 R1=1?,R2=1/2?,R3=1/3?,R5=1/5?,US1=1V，
US3=3V,US4=4V,US6=6V,IS3=3A，用 割集法 求各支路的电流。
解,由于 4和 6为电压源 支路,因此选 4,5,6为树支,单树支割集的方向如图所示。
树支电压 U4和 U6已知（纯电压源支路）,U4=US4,U6= － US6，
因此只需列 CS2的电压方程。
(G1+G2)U4+(G1+G2+G5)U5+G1× U6=US1 × G1－ IS3
U s 4
U s 6
U s 1
U s 3
I S3
R 1
R 2
R 3
I 1
I 4
I 2
I 5
I 6
R 5
①
②
③
④
CS1
CS2
CS3
代入数据得
3× 4+8 × U5－ 6=1－ 3
U5=－ 1V,U4=4V,U6=6V
这里要特别注意 R3和 US3，对于电流源支路，尽管存在 R3，但支路总电阻为无穷大，电导为零；因此电压源也不起作用（ US/R总 ）。
连支支路电压
U1= － (U4+U5+U6)=3V
U2=U4+U5=3V,
U3=U5+U6= － 7V
支路电流 I1=(U1+Us1)/R1=4A,I2=U2/R2=6A
I3= IS3 = 3A,I4=I1－ I2=－ 2A
I5=U5/R5= － 5A,I6=I2+I5=1A
U s 4
U s 6
U s 1
U s 3
I S3
R 1
R 2
R 3
I 1
I 4
I 2
I 5
I 6
R 5
①
②
③
④
CS1
CS2
CS3
从本题可以看出，当电路存在多个不相连的纯电压源支路时，用割集电压法计算比修正节点法要方便。
讨论,
1>回路电流法与节点电压法的应用根据电路结构而定 ;
2>节点电压法在计算机编程时教方便 ;
3>包含多个不相连纯电压源支路时,用割集电压法教方便,
U s 1
R 1
I
1
R 3
I
3
U s 3
R 4
I
4
R 6
I
6
I
5
①
②
③
④
R 5
I s 2
主节点电压项,互节点电压项
