电路原理浙江大学电工电子教学中心教学软件
2004年 6月电路原理课程介绍
1）电路原理是研究电路中发生的电磁现象，利用电路基本理论和基本定律进行分析计算，是理工类本科生的一门重要基础课程；
2）电路研究内容一般分类及应用方向：
a>.强电部分,电能输送分配、电网、电功率计算、效率、电气安全等；
b>.弱电部分,电信号传输、处理、调制解调、滤波、畸变分析、模拟和数字信号、电路特性等；
应用研究领域包括电气驱动、自动化工程、电力电子、
电气信息工程、通信工程、电子仪器及测量、计算机、光电工程等,
3）课程特点：
本课程定位为理工类本科生的基础课，课程知识是对实际问题的抽象研究。课程不涉及具体电器元件，主要讲述电路的一般分析计算方法，具有较强的理论性。
本课程研究内容是电子线路、信号处理、高频电子线路、
自动控制理论、微机控制、计算机、电气驱动、电力电子、
电力系统等后续课程的基础。
本课程学习所需的准备知识包括物理学、微积分、微分方程、复变函数、线性代数、矩阵等。
电路原理课程介绍主要教材：,电路原理,机械工业出版社 范承志等电路原理课程介绍主要参考书：,Fundamentals of Electric Circuits》
Charles K,Alexander 清华大学出版社
,电路原理,浙江大学出版社 周庭阳等
,电路,高教出版社 邱关源第一章 电路的基本概念和基本定律主要内容,
1> 电路元件 ;
2> 电压电流的参考方向 ;
3> 基尔霍夫定律 ;
4> 无源电阻网络的简化 ;
5> Y－?变换,
第一节 电路和电路元件
1） 由电气设备以各种方式连接组成的总体称为电路 。
简单电路如手电筒，包括电池、灯泡、开关及连线复杂的电路如超大规模集成电路、通信网络、自动控制系统、高压电网等。
电池开关灯炮
R
U s
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
654321
D
C
B
A
T i t l e
N u m b e r R e v i s i o nS i z e
B
D a t e,3 0 - D e c - 2 0 0 2 S h e e t o f
F i l e,E,\ w y f \ l i n e a r m o t o r \ 论文电路图 \ 论文电路,d d b D r a w n B y,
Q1
+ C1
R5
3
2
1
4
11
U 1 A
V C C
5
6
7
U 1 B
10
9
8
U 1 C
12
13
14
U 1 D
R2
R3
V C C
C2
R4
D1
V C C
R1V C C
P R E C
V C O N
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
654321
D
C
B
A
T i t l e
N u m b e r R e v i s i o nS i z e
B
D a t e,3 0 - D e c - 2 0 0 2 S h e e t o f
F i l e,E,\ w y f \ l i n e a r m o t o r \ 论文电路图 \ 论文电路,d d b D r a w n B y,
C L K
R S T
CS
CK
DA
OE
I N T
W V S
GND GND
WB
VB
UB
WT
VT
UT
VDD
VDD
U1
S M 2 0 0 1
R A 0 / A N 0
2
R A 1 / A N 1
3
R A 2 / A N 2 / V R E F -
4
R A 3 / A N 3 / V R E F +
5
R A 4 / T 0 C K I
6
R A 5 / A N 4 / S S
7
R B 0 / I N T
21
RB1
22
RB2
23
R B 3 / P G M
24
RB4
25
RB5
26
R B 6 / P G C
27
R B 7 / P G D
28
R C 0 / T 1 O S O / T 1 C K I
11
R C 1 / T 1 O S I / C C P 2
12
R C 2 / C C P 1
13
R C 3 / S C K / S C L
14
R C 4 / S D I / S D A
15
R C 5 / S D O
16
R C 6 / T X / C K
17
R C 7 / R X / D T
18
M C L R / V P P / T H V
1
O S C 1 / C L K I N
9
O S C 2 / C L K O U T
10
U2
P I C 1 6 F 8 7 3
Y1C 1 0 C 1 1
1
2
3
m a x 8 0 9 V C C
V C O N
V C C
V C C
2）为了对实际电路进行分析研究，把各种各样的实际电路元件根据其主要物理性质，抽象成理想化的电路模型元件，
这些元件包括 电阻元件、电感元件、电容元件、独立电源元件、受控源元件、二端口和多端元件 等。
3）电路计算基本物理量及单位：
电流（安培） 1安培 =1库仑 /秒 1A=103mA= 106?A
电压（伏特） 1伏特 =1焦尔 / 1库仑 1V=103mV= 106?V
电功率（瓦特） 1瓦特 =1安培 *1伏特 1KW=103W
电能 （焦尔） 1焦尔 =1瓦特 *秒电能 （度） 1度 = 1千瓦小时（ KW?h） =3.6× 106J
1.1 电阻元件电阻,端电压与电流有确定函数关系，体现电能转化为其它形式能量的二端器件，用字母 R 来表示，单位为欧姆?。实际器件如灯泡，电热丝，电阻器等均可表示为电阻元件。
伏安特性是用图形曲线来表示电阻端部电压和电流的关系，当电压电流成比例时（特性为直线），称为 线性电阻,否则称为 非线性电阻 。
R
U
I
U
I
表示符号 伏安特性
U = f ( I )
R
U
I
线性电阻的电压电流特性符合欧姆定律
U=R× I
U
IR =电阻,电导,
I
UG =
电阻元件消耗的功率,U2RP=U× I=I2× R=
电阻元件消耗的能量,W= =P× t= I2R t
0
t pdt?
1.2 电容元件
1）电容元件是体现电场能量的二端元件，用字母 C 来表示，
其单位为法拉 （ F）。
U c
C
ci
E
Q
ci
2）电容上储存的电荷 与端电压 U
之间关系
Cq cu?
q
3）当电压和电流如图方向时，有
c
c
d q d uic
d t d t
电容电压与电流具有动态关系,
U c
C
ci
4) 电容电压具有“记忆”功能
0
( ) ( 0 )
1
cct
t
dt
c
u u i
V cc
Vo
记忆单元物理模型
5) 分布电容和杂散电容概念导体间电位差电场电荷积累电容效应
1.3 电感元件
1）电感元件是体现磁场能量的二端元件，用字母 L 来表示，
其单位为亨利 （ F）。
2）电感交链的磁通链? 与电流 i
之间有
= L i
3）当电压和电流如图方向时，有
L
LddL
d t d tu
i
U L
Li L
i ( A )
( W b )
Li LU
W
磁链
1.4 独立电源元件
1）独立电压源独立电压源两端提供一个恒定或随时间按一定规律变化的电压，与流过电压源的电流无关。
右图是电压源的常用符号,Us 表示电压源从正到负有 Us 伏压降。 U s U s
非零电压源不能直接短路，两个不等值的电压源不能并联。
当电压源数值 Us = 0 时，相当于一根短路线。
2）独立电流源独立电流源端部流出一个恒定或随时间按一定规律变化的电流，与电流源端部电压无关。
右图是电流源的常用符号,Is 表示电流源端部流出的电流值。 I S I S
非零电流源不能开路,两个不等值的电流源不能串联。
当电流源数值 Is = 0 时，相当于电路开路。
U s 1
U s 2
R 1
R 2
R 3
I 11
I 22
I 1
I 2
I 3
I1 = Us1 / R1
I2 = Us2 / R2
I3 = (Us1＋ Us2) / R3
I11 = I1＋ I3
I22 = I2＋ I3
电流计算举例当电压源数值 Us = 0 时，相当于一根短路线。
当 Us2 = 0 V 时，
I2 = 0
I22 = I3
理想电源与实际电源
U s
u
i
U s理想电压源实际电压源
U s
u
i
U s
R 0
u
i
*电源信号的分类及意义 *
1) 直流电信号
2) 正弦交流信号
3) 方波信号
4) 三角波信号
5) 一般信号
U s
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
不同类型信号源传输特点,
电压型
u s ( t) u O ( t)
R z
R Li
发送端 接收端线路阻抗电流型
u O ( t)
R z
R L
i
s
接收端发送端线路阻抗电流环受控电源是一些实际电路器件的理想化模型,
它们的输出电压和电流受到电路中其它部分电压或电流的控制,故又称非独立电源 。 受控电源分受控电压源和受控电流源,它们为四端元件 。
1.5 受控源元件电流控制电流源 Current Control Current Source
简写为 CCCS
三极管 集电极电流 IC 受基极电流 Ib 控制。实际三极管元件等效于一个电流控制的电流源。
受控源物理模型三极管元件
I b I c
三极管
U s 1 U s
2
U OR 1
R 2
Ic =? Ib?为电流放大系数 受控源模型
I b? I b
受控源类型
U?U
电压控制电压源
Voltage Control Voltage
Source (VCVS)
UgU
电压控制电流源
Voltage Control Current
Source (VCCS)
I?I
电流控制电压源
Current Control Voltage
Source (CCVS)
I?I
电流控制电流源
Current Control Current
Source (CCCS)
含受控源电路计算
I?I
R 1 R 2
R 3
U s U
例 1 图示电路，已知 Us=10V,
R1=R2=R3=10?,
=10,求 R3上电压为多少？
解：控制变量 I=
1
10 1
10
Us
R
3
23
5IU R VRRR3上电压受控电压源电压?I=10× 1=10V
RU s
I
1
I
1
I
2
例 2 图示电路，已知 Us=10V,R=10?,当
=2,0，－ 2时，求 I1为多少？
特别当? =-1时,I1为无穷大，电路无解。
11010RUs解,I2= 1 1 2I I I
3121 11 2?I
101 11 2?I
121 11 2?I
当?=2时,I1=
当? =0时,I1=
当? =-2时,I1=
第二节 电压电流的参考方向
1）支路电流的参考方向是任意规定的正电荷运动方向，图示电路表示电流参考方向为从 a流向 b。 U
I Ra b
U
Ra b
1V 1?
I
1V 1?
I
I=1A I=－ 1A
电流代数值是在指定参考方向下的数值。
如图电路，若 I=1A，则表示实际电流方向与参考方向一致，若 I=－ 1A，
则表示实际电流方向与参考方向相反。
2）电压参考方向是指 电压降落 的方向，可用 +、－
符号表示，也可以用带箭头线表示，如图所示。
U
I Ra b
U
Ra b
电路描述和计算时，首先要设定电压电流的参考方向，然后才能写出表达式，并进行计算。
支路电压表达式书写
RI
UU=I× R
RI
UU=－ I× R
电阻上电压电流参考方向不同时，欧姆定律有不同的表达式
RI
U
U s
U=－ I× R＋ Us
RI
U
U s
U=I× R＋ Us
支路电压表达式（ 各串联元件电压降之和 ）
U=I× R－ Us
U=－ I× R－ Us
RI
U
U s
RI
U
U s
支路电压表达式（ 各串联元件电压降之和 ）
注意：熟练书写一段支路的电压表达式是书写各种电路方程的基础，必须熟练掌握！
参考方向是电路课程的重要概念，电路中电流的描述和计算都是在一定参考方向下进行，电流的表达式、数值和电路中电流的参考方向是密切相关的。
电路作业解题计算必须画出电路图,
并标注电压电流参考方向！
注意：
电路及参考方向如图，已知
R1=R2=R3=10?，
Us1=Us2=Us3=12 V,Is1=1A,
Is2=2A,Is3=3A,求 Uad。
参考方向应用举例
a
b
c
d
I s 1
U s 1
R 1
U 1
R 2
I s 2
R 3
I s 3
I
1
I
2
I
3
U s 2
U s 3
U 2
U 3
解,Uad=U1－ U2＋ U3
U1=Us1+I1× R1
=Us1＋ Is1× R1
=12＋ 1× 10=22 V
例 1：
U2=I2× R2＋ Us2
=－ Is2× R2 +Us2
=－ 2× 10＋ 12=－ 8 V
a
b
c
d
I s 1
U s 1
R 1
U 1
R 2
I s 2
R 3
I s 3
I
1
I
2
I
3
U s 2
U s 3
U 2
U 3
U3=Us3－ I3× R3
=Us3－ Is3× R3
=12－ 3× 10=－ 18 V
Uad =U1－ U2＋ U3
= 22－ (－ 8) ＋ (－ 18)
=12 V
例 2,电路如图,已知
1 2IA?
4,0,5,URKK求
3I
和电压,
ab acUU 。 6V
2
U 1 K
U U 1
1
I 2
K R I 2
10
a cbI
1
I 3
解：
116 2 4U I V 1
2 4 2 81
UKUIA
32 0,5 5 4RI K I A
11 2 2 4 6a b UU U K U V
13 1 0 2 1 0 ( 4 ) 4 2acU U I V
功率直流电路中某器件的功率是电压 (伏）和电流（安）的乘积 U
I
注意,上式中 U,I均需设定参考方向
P=U× I 功率的单位是瓦 (W)
若器件电压电流参考方向一致
（称作 关联参考方向 ），如图所示
U
I
R
U
I
关联参考方向
P=U× I >0 表示该器件 吸收功率 ；
P=U× I <0 表示该器件 发出功率 ；
则功率计算时：
P=U× I
若器件电压电流参考方向不一致（ 称作非关联参考方向 ），如图所示注意：式中 U,I均为对应参考方向下的电压电流代数值。
U
I
U
I
非关联参考方向P=U× I >0 表示该器件发出功率；
P=U× I <0 表示该器件吸收功率；
则功率计算时：
P=U× I
功率计算例 1,电路及方向如图，已知
Us=10V,Is=2A,R=10R,求电压源、
电流源和电阻的功率。
电阻功率,PR= UR× I=－ 20× (－ 2)=40 W （消耗功率）
电压源功率,PU= US× I=10× (－ 2)=－ 20 W （消耗功率）
电流源功率,PI= UI× IS=30× 2=60 W （发出功率）
I
S
U I
U R
U s
R
I
解,I=－ Is=－ 2A
UR =I× R=－ 2× 10=－ 20V
UI =－ UR＋ Us=20＋ 10=30V
最大功率传输
R 0
U 0
R
I如图电路,R
0 和 U0 已知，负载 R 可变，
问当 R为多大时它吸收的功率最大？
当 R变化时，为求 P的最大值，对 P求导，并令
0dPdR?
2
0
m a x
04
UP
R
maxP
最大功率为：
解得 R=R0，此时电阻 R获得最大功率,
20
2
20()
UP I R R
RR
解：电阻 R 吸收的功率为讨论,
最大功率传输时,负载能获得最大功率,但系统效率为 50%.
对于能量传输系统 (电力系统 ),考虑的是系统效率,最大功率传输方式要根据具体情况而定,
U s 1
R 0
U
第三节 基尔霍夫定律支路,单个或若干个二 端元件所串联成的电路。
节点,两条以上支路的交汇点。
回路,若干条支路组成的闭合路径。
6条支路 4个节点 3条回路注意：该电路除上述 3条回路外，还可选择多条不同的回路。
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6I
5I 1
R 3
I 3
1
2 3
支路、节点、回路的概念
KIRCHHOFF’S LAW
1）基尔霍夫电流定律电路中任一节点电流的代数和为零
0i
其中流出节点的电流取正号，
流入节点的电流取负号。
节点 1,－ I1＋ I2＋ I3=0
节点 2,－ I3＋ I4＋ I5=0
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6
I 5I 1
R 3
I 3
节点 3,－ I2－ I4＋ I6=0
节点 4,I1－ I5－ I6 =0
Kirchhoff’s Current Law (KCL)
2）基尔霍夫电压定律电路任一闭合回路中各支路电压（元件电压）的代数和为零
0u
支路（元件）电压方向与回路绕行方向一致时取正号，相反时取负号。
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6
I 5I 1
R 3
I 3
1
2 3
回路 1,－ U2＋ U3＋ U4=0
回路 2,－ U1－ U5－ U3 =0
回路 3 U4＋ U6＋ U5=0
注意：支路电压方向取为与支路电流方向一致。
Kirchhoff’s Voltage Law (KVL)
回路 1,I3 × R3 ＋ I4 × R4＋ Us2=0
回路 2,Us1－ I5 × R5－ I3 × R3 =0
回路 3,I4× R4＋ I6 × R6－ I5 × R5=0
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6I
5I 1
R 3
I 3
1
2 3
把支路电压用支路元件电压来表示，得：
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6I
5I 1
R 3
I 3
1
2 3
回路 1,I3 × R3 ＋ I4 × R4= － Us2
回路 2,－ I5 × R5－ I3 × R3 = － Us1
回路 3,I4× R4＋ I6× R6－ I5× R5 = 0
上式可写为任一支路电阻压降代数和等于电压源代数和，电阻电流方向与回路方向一致时,RI前取正号，反之为负；电压源压降方向与回路方向一致时,Us为负，反之为正。
得 KVL 的另一个形式为：
SR I U
电压降 电压升讨论,
电路中电压电流的变化遵循两类约束条件,
第二类是元件连接关系 (拓扑约束 ) 基尔霍夫定律
0i 0u
Rui? c
c
duic
dt?
L
L
duL
dt
i?
第一类是元件特性关系 (电压电流关系 VCR)
利用两类约束条件解复杂电路
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6I
5I 1
R 3
I 3
1
2 3
右图电路，若电阻和电压源的数值均已知，则由 KCL和 KVL得方程：
节点 1,－ I1＋ I2＋ I3=0
节点 2,－ I3＋ I4＋ I5=0
节点 3,－ I2－ I4＋ I6=0
回路 1,I3 × R3 ＋ I4 × R4= － Us2
回路 2,－ I5 × R5－ I3 × R3 =－ Us1
回路 3,I4 × R4＋ I6 × R6－ I5 × R5=0
由上面 6个方程可解出 6个支路电流变量。
第四节 电压源和电流源的等效替换
U s
R s
R
I
U
1
2
==
R s
R
I
U
I S
1
2
等效替换是指：左图的 RS 和 US 替换为右图的 RS 和 IS,其端口电压 U和电流 I 的关系不变。
对于任意变化的负载电阻 R，若 RS 和 US 电路 时的电压电流与 RS 和 IS 电路 时完全一样，则在电路计算时,RS
和 US 电路 （电压源电路）与 RS 和 IS电路 （电流源电路）
可等效替换。
等效替换条件左图,U= US－ I× RS,右图,U= IS × RS － I× RS
等效的条件,US= IS × RS 或 IS= US/ RS
U s
R s
R
I
U
1
2
==
R s
R
I
U
I S
1
2
S
S
UI
RR
S
S
S
RII
RR
在电路计算时，与电阻 RS串联的电压源 US可等效为与电阻并联的电流源 IS 。
等效替换同时适用于独立源和受控源。
U s 1
U s 2
U s 3I S1 I
S2
R 1 R 2 R 3
R 4
R 5
I
例,求 I的值,
U s 1
U s 2
U s 3
I S1
I S2R 1
R 2 R 3
R 4
R 5
I
R 1
U s 2
U s 3I
S2
R 1 R 2 R 3
R 4
R 5
I
U s ’1
11
1
()SS URI R?
依此类推,
可简化左侧电路。
R 2
I 2
r I 3
I 3
R 3
I S1
例,如图电路，已知 IS1=1.5A,
R2=R3=8?,? =4?,求 I2和 I3？
R 2
r I 3
I 3
R 3
I S1
R 2
I 2
解：由电压源和电流源等效替换，把支路 2的受控电压源转换为受控电流源。
由 US=RS× IS?I3=R2× IS
得等效电流源为?I3/R2,电路如下图
32
31
2 3 2
()S IRR R RII
由分流公式可得：
R 2
r I 3
I 3
R 3
I S1
R 2
I 2
代入数据有 I3 = 0.5（ 1.5＋ 0.5I3）
I3 = 1 A
I2 = IS1－ I3 = 0.5 A
电压源和电流源的等效互换可简化电路计算。
第五节 无源电阻网络的简化
1）一端口网络的简化一端口网络：任一复杂电路通过两个连接端子与外电路相连。
P
a
b
R 1 R
2
R 3
R 4 R 5
a
b
无源一端口网络：一端口网络内无独立电源，称为无源一端口网络，
常用方框加 P来表示 一个无源网络。
无源一端口网络可简化为一等值电阻。
R 1
R 2 R 3
R o
a
b
a
b
Ro=R1＋
32
32
RR
RR
1,利用串并联方法简化
A
B
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R 1 0
R 1 1
a
b
A ( a)
B( b )
R1
R2 R4 ’ =R3 ∥ R4
R5 ’ =R5 ∥ R6 ∥ R7
R8
R9
R1 0 ’ =R1 0 +R1 1
b
A
B
R2 ’ = R 2 ∥ ( R 1+ R 4 ’ )
R5 ’ = R 5 ∥ R6 ∥ R7
R8 ’ = R 8 ∥ R9 ∥ R 10 ’
2,利用电路的对称性简化例 1 图示电路,R1=1?,R2=2?,R3=2?,R4=4?,
R5=1?,求 Rab？
R 1 R 2
R 3 R 4
R 5
a
b
1 3 2 4
1 2 3 4
36
9
( ) ( ) 2
ab
R R R RR
R R R R
解：由于 R1/R3=R2/R4，一端口网络为平衡电桥，电阻 R5上的电压和电流为零，
在电路计算时可移去 R5电阻，可得简化规则：
电路中某一条支路电流为零，则该支路可开路电路中某一条支路电压为零，则该支路可短路例 2 图示电路，所有电阻阻值均为 R，求 Rab?
13
1 1 1 4
2 2 3
ab R
R R R
R?
解：由电路的对称性可知,cdef为 等位点,计算时
dc和 ef支路的电阻可移去,ab间为 3条并联支路，
Rab为
R
R
a
b
c
e
d
f
例 3：图中各电阻都是 R，求
ab间的等效电阻。
a
b
3
2 4 4 2 2ab
R R R R RR
R
R
R
R
R
RR 0
例 4：图示电路为向右无限长电阻网络，各电阻值是 R，求入端等效电阻 R0。
解：右侧为无限长，则去掉第一节两个电阻后，入端电阻值不变。
R
R
R
R
R
RR 0
R 0
R
RR 0 R 0
0
0
0
RRRR
RR
2200R R R R
0 1,6 2RR?
2） Y－?变换
1） Y－?变换概念：
R 1
R 2
R 3
1
2
3
Y 型电路
R 12
1
2
3
R 23
R 31
型电路
Y－?等效转换如果左图中?连接的三个电阻 R12,R23,R31用右图 Y连接的三个电阻 R1,R2,R3来替换,并使流入三个端部的电流和端部电压保持不变,对于外电路来说,Y或?电路 等效,这种变换为
Y－?等效转换。
为使得变换后外电路状况不变,Y和?连接的电阻数值要满足一定转换关系。
R 12
1
23
R 23
R 31
R 4
R 5
U s 1
i
1
i
3 i
2
i
1
i
3
i
2
R 1
R 2
R 3
1
23
R 4
R 5
U s 1
Y－?变换电阻等效公式
R 1
R 2
R 3
1
2
3
R 12
1
23 R 23
R 31
断开 3端,1－ 2端电阻应相等
1 2 2 3 3 1
12
1 2 2 3 3 1
()R R RRR
R R R
同理，分别断开 2和 1端，有等式
2 3 1 2 3 1
23
1 2 2 3 3 1
()R R RRR
R R R
3 1 2 3 1 2
31
1 2 2 3 3 1
()R R RRR
R R R
R 12
1
23 R 23
R 31
R 1
R 2
R 3
1
2
3
由上面三式，解得
32
1 2 2 3 3
11
1
1
RRR
R R R
13
1 2 2 3 3
22
2
1
RRR
R R R
21
1 2 2 3 3
33
3
1
RRR
R R R
上式为Y变换式,已知? 电阻，
可由上式求 Y电阻。
由上面三式可求出逆变换
1 2 2 3 1
2
3
3
1
R R R R R RR
R
1 2 2 3 1
3
1
3
2
R R R R R RR
R
1 2 2 3 1
1
2
3
3
R R R R R RR
R
R 12
1
23 R 23
R 31
R 1
R 2
R 3
1
2
3
上式为 Y 变换式,已知 Y电阻，
可由上式求?电阻。
等效变换记忆法
R 12
1
2
R 23
R 31
R 1
R 2
R 3
3
R?相邻电阻乘积R
Y=
R?
RY两两相乘之和R
= R
Y 相对电阻特别当 Y和?三个电阻相等时，有
R? = 3 RY
32
1 2 2 3 3
11
1
1
RRR
R R R
1 2 2 3 1
2
3
3
1
R R R R R RR
R
例 1 已知 R1=20?,R2=10?,R3=50?，
R4=30?,R5=5?,R6=4?,US=10V，
求支路电流 I6=？
解：把?连接 R1,R3,R4转换为 Y连接，
如下图所示，由 Y?转换式，转换后电阻为：
13
1 3 4
2 0 5 0 10
100a
RRR
R R R
14
1 3 4
2 0 3 0 6
100b
RRR
R R R
43
1 3 4
3 0 5 0 15
100C
RRR
R R R
R 1
R 2
R 3
R 4
R 5
R 6
U s
I 6
20 10
50
30 5
R 2
R 5
R 6
U s
I 6
R a
R b
R c6
10
15
10
5
4
由 Ra=10,Rb=6,Rc=15,得
25
6
25
6 0,5( ) ( )
S
C
C
a
b
a
U
IA
R R R R
RR
R R R R
R 2
R 5
R 6
U s
I 6
R a
R b
R c6
10
15
10
5
4
例,电阻网络的简化,求图示电路的等效电阻,
72
72
3
4
180
12
6
6
60
60
80(1)
72
72
3
4
180
12
6
6
24
24
18
(2)
72
72
3
4
1 8 0
30
30
30
（ 3）
72
72
3
4
180
90
90
90
（ 4）
3
4
180 90
40
40
（ 5）
4 1,2 9
72
72
3
4
180
12
6
6
60
60
80
72
72
3
4
90
6
6
60
60
40
40
90
3
4
40
6
6
24
2440
3
4
120
7
120
7
4 1,2 9
利用对称性求解,
本章小结
1）电路基本器件：电阻，电容，电感；
独立电压源，独立电流源；
受控电源,VCVS,VCCS,CCVS,CCCS
2）参考方向：电路分析与计算必须先标出参考方向，功率判别。
3）基尔霍夫定律,KCL KVL
4）电路的等效和简化：电压源 /电流源,Y/?、对称性等。
2004年 6月电路原理课程介绍
1）电路原理是研究电路中发生的电磁现象，利用电路基本理论和基本定律进行分析计算，是理工类本科生的一门重要基础课程；
2）电路研究内容一般分类及应用方向：
a>.强电部分,电能输送分配、电网、电功率计算、效率、电气安全等；
b>.弱电部分,电信号传输、处理、调制解调、滤波、畸变分析、模拟和数字信号、电路特性等；
应用研究领域包括电气驱动、自动化工程、电力电子、
电气信息工程、通信工程、电子仪器及测量、计算机、光电工程等,
3）课程特点：
本课程定位为理工类本科生的基础课，课程知识是对实际问题的抽象研究。课程不涉及具体电器元件，主要讲述电路的一般分析计算方法，具有较强的理论性。
本课程研究内容是电子线路、信号处理、高频电子线路、
自动控制理论、微机控制、计算机、电气驱动、电力电子、
电力系统等后续课程的基础。
本课程学习所需的准备知识包括物理学、微积分、微分方程、复变函数、线性代数、矩阵等。
电路原理课程介绍主要教材：,电路原理,机械工业出版社 范承志等电路原理课程介绍主要参考书：,Fundamentals of Electric Circuits》
Charles K,Alexander 清华大学出版社
,电路原理,浙江大学出版社 周庭阳等
,电路,高教出版社 邱关源第一章 电路的基本概念和基本定律主要内容,
1> 电路元件 ;
2> 电压电流的参考方向 ;
3> 基尔霍夫定律 ;
4> 无源电阻网络的简化 ;
5> Y－?变换,
第一节 电路和电路元件
1） 由电气设备以各种方式连接组成的总体称为电路 。
简单电路如手电筒，包括电池、灯泡、开关及连线复杂的电路如超大规模集成电路、通信网络、自动控制系统、高压电网等。
电池开关灯炮
R
U s
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
654321
D
C
B
A
T i t l e
N u m b e r R e v i s i o nS i z e
B
D a t e,3 0 - D e c - 2 0 0 2 S h e e t o f
F i l e,E,\ w y f \ l i n e a r m o t o r \ 论文电路图 \ 论文电路,d d b D r a w n B y,
Q1
+ C1
R5
3
2
1
4
11
U 1 A
V C C
5
6
7
U 1 B
10
9
8
U 1 C
12
13
14
U 1 D
R2
R3
V C C
C2
R4
D1
V C C
R1V C C
P R E C
V C O N
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
654321
D
C
B
A
T i t l e
N u m b e r R e v i s i o nS i z e
B
D a t e,3 0 - D e c - 2 0 0 2 S h e e t o f
F i l e,E,\ w y f \ l i n e a r m o t o r \ 论文电路图 \ 论文电路,d d b D r a w n B y,
C L K
R S T
CS
CK
DA
OE
I N T
W V S
GND GND
WB
VB
UB
WT
VT
UT
VDD
VDD
U1
S M 2 0 0 1
R A 0 / A N 0
2
R A 1 / A N 1
3
R A 2 / A N 2 / V R E F -
4
R A 3 / A N 3 / V R E F +
5
R A 4 / T 0 C K I
6
R A 5 / A N 4 / S S
7
R B 0 / I N T
21
RB1
22
RB2
23
R B 3 / P G M
24
RB4
25
RB5
26
R B 6 / P G C
27
R B 7 / P G D
28
R C 0 / T 1 O S O / T 1 C K I
11
R C 1 / T 1 O S I / C C P 2
12
R C 2 / C C P 1
13
R C 3 / S C K / S C L
14
R C 4 / S D I / S D A
15
R C 5 / S D O
16
R C 6 / T X / C K
17
R C 7 / R X / D T
18
M C L R / V P P / T H V
1
O S C 1 / C L K I N
9
O S C 2 / C L K O U T
10
U2
P I C 1 6 F 8 7 3
Y1C 1 0 C 1 1
1
2
3
m a x 8 0 9 V C C
V C O N
V C C
V C C
2）为了对实际电路进行分析研究，把各种各样的实际电路元件根据其主要物理性质，抽象成理想化的电路模型元件，
这些元件包括 电阻元件、电感元件、电容元件、独立电源元件、受控源元件、二端口和多端元件 等。
3）电路计算基本物理量及单位：
电流（安培） 1安培 =1库仑 /秒 1A=103mA= 106?A
电压（伏特） 1伏特 =1焦尔 / 1库仑 1V=103mV= 106?V
电功率（瓦特） 1瓦特 =1安培 *1伏特 1KW=103W
电能 （焦尔） 1焦尔 =1瓦特 *秒电能 （度） 1度 = 1千瓦小时（ KW?h） =3.6× 106J
1.1 电阻元件电阻,端电压与电流有确定函数关系，体现电能转化为其它形式能量的二端器件，用字母 R 来表示，单位为欧姆?。实际器件如灯泡，电热丝，电阻器等均可表示为电阻元件。
伏安特性是用图形曲线来表示电阻端部电压和电流的关系，当电压电流成比例时（特性为直线），称为 线性电阻,否则称为 非线性电阻 。
R
U
I
U
I
表示符号 伏安特性
U = f ( I )
R
U
I
线性电阻的电压电流特性符合欧姆定律
U=R× I
U
IR =电阻,电导,
I
UG =
电阻元件消耗的功率,U2RP=U× I=I2× R=
电阻元件消耗的能量,W= =P× t= I2R t
0
t pdt?
1.2 电容元件
1）电容元件是体现电场能量的二端元件，用字母 C 来表示，
其单位为法拉 （ F）。
U c
C
ci
E
Q
ci
2）电容上储存的电荷 与端电压 U
之间关系
Cq cu?
q
3）当电压和电流如图方向时，有
c
c
d q d uic
d t d t
电容电压与电流具有动态关系,
U c
C
ci
4) 电容电压具有“记忆”功能
0
( ) ( 0 )
1
cct
t
dt
c
u u i
V cc
Vo
记忆单元物理模型
5) 分布电容和杂散电容概念导体间电位差电场电荷积累电容效应
1.3 电感元件
1）电感元件是体现磁场能量的二端元件，用字母 L 来表示，
其单位为亨利 （ F）。
2）电感交链的磁通链? 与电流 i
之间有
= L i
3）当电压和电流如图方向时，有
L
LddL
d t d tu
i
U L
Li L
i ( A )
( W b )
Li LU
W
磁链
1.4 独立电源元件
1）独立电压源独立电压源两端提供一个恒定或随时间按一定规律变化的电压，与流过电压源的电流无关。
右图是电压源的常用符号,Us 表示电压源从正到负有 Us 伏压降。 U s U s
非零电压源不能直接短路，两个不等值的电压源不能并联。
当电压源数值 Us = 0 时，相当于一根短路线。
2）独立电流源独立电流源端部流出一个恒定或随时间按一定规律变化的电流，与电流源端部电压无关。
右图是电流源的常用符号,Is 表示电流源端部流出的电流值。 I S I S
非零电流源不能开路,两个不等值的电流源不能串联。
当电流源数值 Is = 0 时，相当于电路开路。
U s 1
U s 2
R 1
R 2
R 3
I 11
I 22
I 1
I 2
I 3
I1 = Us1 / R1
I2 = Us2 / R2
I3 = (Us1＋ Us2) / R3
I11 = I1＋ I3
I22 = I2＋ I3
电流计算举例当电压源数值 Us = 0 时，相当于一根短路线。
当 Us2 = 0 V 时，
I2 = 0
I22 = I3
理想电源与实际电源
U s
u
i
U s理想电压源实际电压源
U s
u
i
U s
R 0
u
i
*电源信号的分类及意义 *
1) 直流电信号
2) 正弦交流信号
3) 方波信号
4) 三角波信号
5) 一般信号
U s
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
不同类型信号源传输特点,
电压型
u s ( t) u O ( t)
R z
R Li
发送端 接收端线路阻抗电流型
u O ( t)
R z
R L
i
s
接收端发送端线路阻抗电流环受控电源是一些实际电路器件的理想化模型,
它们的输出电压和电流受到电路中其它部分电压或电流的控制,故又称非独立电源 。 受控电源分受控电压源和受控电流源,它们为四端元件 。
1.5 受控源元件电流控制电流源 Current Control Current Source
简写为 CCCS
三极管 集电极电流 IC 受基极电流 Ib 控制。实际三极管元件等效于一个电流控制的电流源。
受控源物理模型三极管元件
I b I c
三极管
U s 1 U s
2
U OR 1
R 2
Ic =? Ib?为电流放大系数 受控源模型
I b? I b
受控源类型
U?U
电压控制电压源
Voltage Control Voltage
Source (VCVS)
UgU
电压控制电流源
Voltage Control Current
Source (VCCS)
I?I
电流控制电压源
Current Control Voltage
Source (CCVS)
I?I
电流控制电流源
Current Control Current
Source (CCCS)
含受控源电路计算
I?I
R 1 R 2
R 3
U s U
例 1 图示电路，已知 Us=10V,
R1=R2=R3=10?,
=10,求 R3上电压为多少？
解：控制变量 I=
1
10 1
10
Us
R
3
23
5IU R VRRR3上电压受控电压源电压?I=10× 1=10V
RU s
I
1
I
1
I
2
例 2 图示电路，已知 Us=10V,R=10?,当
=2,0，－ 2时，求 I1为多少？
特别当? =-1时,I1为无穷大，电路无解。
11010RUs解,I2= 1 1 2I I I
3121 11 2?I
101 11 2?I
121 11 2?I
当?=2时,I1=
当? =0时,I1=
当? =-2时,I1=
第二节 电压电流的参考方向
1）支路电流的参考方向是任意规定的正电荷运动方向，图示电路表示电流参考方向为从 a流向 b。 U
I Ra b
U
Ra b
1V 1?
I
1V 1?
I
I=1A I=－ 1A
电流代数值是在指定参考方向下的数值。
如图电路，若 I=1A，则表示实际电流方向与参考方向一致，若 I=－ 1A，
则表示实际电流方向与参考方向相反。
2）电压参考方向是指 电压降落 的方向，可用 +、－
符号表示，也可以用带箭头线表示，如图所示。
U
I Ra b
U
Ra b
电路描述和计算时，首先要设定电压电流的参考方向，然后才能写出表达式，并进行计算。
支路电压表达式书写
RI
UU=I× R
RI
UU=－ I× R
电阻上电压电流参考方向不同时，欧姆定律有不同的表达式
RI
U
U s
U=－ I× R＋ Us
RI
U
U s
U=I× R＋ Us
支路电压表达式（ 各串联元件电压降之和 ）
U=I× R－ Us
U=－ I× R－ Us
RI
U
U s
RI
U
U s
支路电压表达式（ 各串联元件电压降之和 ）
注意：熟练书写一段支路的电压表达式是书写各种电路方程的基础，必须熟练掌握！
参考方向是电路课程的重要概念，电路中电流的描述和计算都是在一定参考方向下进行，电流的表达式、数值和电路中电流的参考方向是密切相关的。
电路作业解题计算必须画出电路图,
并标注电压电流参考方向！
注意：
电路及参考方向如图，已知
R1=R2=R3=10?，
Us1=Us2=Us3=12 V,Is1=1A,
Is2=2A,Is3=3A,求 Uad。
参考方向应用举例
a
b
c
d
I s 1
U s 1
R 1
U 1
R 2
I s 2
R 3
I s 3
I
1
I
2
I
3
U s 2
U s 3
U 2
U 3
解,Uad=U1－ U2＋ U3
U1=Us1+I1× R1
=Us1＋ Is1× R1
=12＋ 1× 10=22 V
例 1：
U2=I2× R2＋ Us2
=－ Is2× R2 +Us2
=－ 2× 10＋ 12=－ 8 V
a
b
c
d
I s 1
U s 1
R 1
U 1
R 2
I s 2
R 3
I s 3
I
1
I
2
I
3
U s 2
U s 3
U 2
U 3
U3=Us3－ I3× R3
=Us3－ Is3× R3
=12－ 3× 10=－ 18 V
Uad =U1－ U2＋ U3
= 22－ (－ 8) ＋ (－ 18)
=12 V
例 2,电路如图,已知
1 2IA?
4,0,5,URKK求
3I
和电压,
ab acUU 。 6V
2
U 1 K
U U 1
1
I 2
K R I 2
10
a cbI
1
I 3
解：
116 2 4U I V 1
2 4 2 81
UKUIA
32 0,5 5 4RI K I A
11 2 2 4 6a b UU U K U V
13 1 0 2 1 0 ( 4 ) 4 2acU U I V
功率直流电路中某器件的功率是电压 (伏）和电流（安）的乘积 U
I
注意,上式中 U,I均需设定参考方向
P=U× I 功率的单位是瓦 (W)
若器件电压电流参考方向一致
（称作 关联参考方向 ），如图所示
U
I
R
U
I
关联参考方向
P=U× I >0 表示该器件 吸收功率 ；
P=U× I <0 表示该器件 发出功率 ；
则功率计算时：
P=U× I
若器件电压电流参考方向不一致（ 称作非关联参考方向 ），如图所示注意：式中 U,I均为对应参考方向下的电压电流代数值。
U
I
U
I
非关联参考方向P=U× I >0 表示该器件发出功率；
P=U× I <0 表示该器件吸收功率；
则功率计算时：
P=U× I
功率计算例 1,电路及方向如图，已知
Us=10V,Is=2A,R=10R,求电压源、
电流源和电阻的功率。
电阻功率,PR= UR× I=－ 20× (－ 2)=40 W （消耗功率）
电压源功率,PU= US× I=10× (－ 2)=－ 20 W （消耗功率）
电流源功率,PI= UI× IS=30× 2=60 W （发出功率）
I
S
U I
U R
U s
R
I
解,I=－ Is=－ 2A
UR =I× R=－ 2× 10=－ 20V
UI =－ UR＋ Us=20＋ 10=30V
最大功率传输
R 0
U 0
R
I如图电路,R
0 和 U0 已知，负载 R 可变，
问当 R为多大时它吸收的功率最大？
当 R变化时，为求 P的最大值，对 P求导，并令
0dPdR?
2
0
m a x
04
UP
R
maxP
最大功率为：
解得 R=R0，此时电阻 R获得最大功率,
20
2
20()
UP I R R
RR
解：电阻 R 吸收的功率为讨论,
最大功率传输时,负载能获得最大功率,但系统效率为 50%.
对于能量传输系统 (电力系统 ),考虑的是系统效率,最大功率传输方式要根据具体情况而定,
U s 1
R 0
U
第三节 基尔霍夫定律支路,单个或若干个二 端元件所串联成的电路。
节点,两条以上支路的交汇点。
回路,若干条支路组成的闭合路径。
6条支路 4个节点 3条回路注意：该电路除上述 3条回路外，还可选择多条不同的回路。
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6I
5I 1
R 3
I 3
1
2 3
支路、节点、回路的概念
KIRCHHOFF’S LAW
1）基尔霍夫电流定律电路中任一节点电流的代数和为零
0i
其中流出节点的电流取正号，
流入节点的电流取负号。
节点 1,－ I1＋ I2＋ I3=0
节点 2,－ I3＋ I4＋ I5=0
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6
I 5I 1
R 3
I 3
节点 3,－ I2－ I4＋ I6=0
节点 4,I1－ I5－ I6 =0
Kirchhoff’s Current Law (KCL)
2）基尔霍夫电压定律电路任一闭合回路中各支路电压（元件电压）的代数和为零
0u
支路（元件）电压方向与回路绕行方向一致时取正号，相反时取负号。
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6
I 5I 1
R 3
I 3
1
2 3
回路 1,－ U2＋ U3＋ U4=0
回路 2,－ U1－ U5－ U3 =0
回路 3 U4＋ U6＋ U5=0
注意：支路电压方向取为与支路电流方向一致。
Kirchhoff’s Voltage Law (KVL)
回路 1,I3 × R3 ＋ I4 × R4＋ Us2=0
回路 2,Us1－ I5 × R5－ I3 × R3 =0
回路 3,I4× R4＋ I6 × R6－ I5 × R5=0
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6I
5I 1
R 3
I 3
1
2 3
把支路电压用支路元件电压来表示，得：
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6I
5I 1
R 3
I 3
1
2 3
回路 1,I3 × R3 ＋ I4 × R4= － Us2
回路 2,－ I5 × R5－ I3 × R3 = － Us1
回路 3,I4× R4＋ I6× R6－ I5× R5 = 0
上式可写为任一支路电阻压降代数和等于电压源代数和，电阻电流方向与回路方向一致时,RI前取正号，反之为负；电压源压降方向与回路方向一致时,Us为负，反之为正。
得 KVL 的另一个形式为：
SR I U
电压降 电压升讨论,
电路中电压电流的变化遵循两类约束条件,
第二类是元件连接关系 (拓扑约束 ) 基尔霍夫定律
0i 0u
Rui? c
c
duic
dt?
L
L
duL
dt
i?
第一类是元件特性关系 (电压电流关系 VCR)
利用两类约束条件解复杂电路
①
②
③
④
U s 1
U s 2
R 5
R 4
R 6
I 2
I 4
I 6I
5I 1
R 3
I 3
1
2 3
右图电路，若电阻和电压源的数值均已知，则由 KCL和 KVL得方程：
节点 1,－ I1＋ I2＋ I3=0
节点 2,－ I3＋ I4＋ I5=0
节点 3,－ I2－ I4＋ I6=0
回路 1,I3 × R3 ＋ I4 × R4= － Us2
回路 2,－ I5 × R5－ I3 × R3 =－ Us1
回路 3,I4 × R4＋ I6 × R6－ I5 × R5=0
由上面 6个方程可解出 6个支路电流变量。
第四节 电压源和电流源的等效替换
U s
R s
R
I
U
1
2
==
R s
R
I
U
I S
1
2
等效替换是指：左图的 RS 和 US 替换为右图的 RS 和 IS,其端口电压 U和电流 I 的关系不变。
对于任意变化的负载电阻 R，若 RS 和 US 电路 时的电压电流与 RS 和 IS 电路 时完全一样，则在电路计算时,RS
和 US 电路 （电压源电路）与 RS 和 IS电路 （电流源电路）
可等效替换。
等效替换条件左图,U= US－ I× RS,右图,U= IS × RS － I× RS
等效的条件,US= IS × RS 或 IS= US/ RS
U s
R s
R
I
U
1
2
==
R s
R
I
U
I S
1
2
S
S
UI
RR
S
S
S
RII
RR
在电路计算时，与电阻 RS串联的电压源 US可等效为与电阻并联的电流源 IS 。
等效替换同时适用于独立源和受控源。
U s 1
U s 2
U s 3I S1 I
S2
R 1 R 2 R 3
R 4
R 5
I
例,求 I的值,
U s 1
U s 2
U s 3
I S1
I S2R 1
R 2 R 3
R 4
R 5
I
R 1
U s 2
U s 3I
S2
R 1 R 2 R 3
R 4
R 5
I
U s ’1
11
1
()SS URI R?
依此类推,
可简化左侧电路。
R 2
I 2
r I 3
I 3
R 3
I S1
例,如图电路，已知 IS1=1.5A,
R2=R3=8?,? =4?,求 I2和 I3？
R 2
r I 3
I 3
R 3
I S1
R 2
I 2
解：由电压源和电流源等效替换，把支路 2的受控电压源转换为受控电流源。
由 US=RS× IS?I3=R2× IS
得等效电流源为?I3/R2,电路如下图
32
31
2 3 2
()S IRR R RII
由分流公式可得：
R 2
r I 3
I 3
R 3
I S1
R 2
I 2
代入数据有 I3 = 0.5（ 1.5＋ 0.5I3）
I3 = 1 A
I2 = IS1－ I3 = 0.5 A
电压源和电流源的等效互换可简化电路计算。
第五节 无源电阻网络的简化
1）一端口网络的简化一端口网络：任一复杂电路通过两个连接端子与外电路相连。
P
a
b
R 1 R
2
R 3
R 4 R 5
a
b
无源一端口网络：一端口网络内无独立电源，称为无源一端口网络，
常用方框加 P来表示 一个无源网络。
无源一端口网络可简化为一等值电阻。
R 1
R 2 R 3
R o
a
b
a
b
Ro=R1＋
32
32
RR
RR
1,利用串并联方法简化
A
B
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R 1 0
R 1 1
a
b
A ( a)
B( b )
R1
R2 R4 ’ =R3 ∥ R4
R5 ’ =R5 ∥ R6 ∥ R7
R8
R9
R1 0 ’ =R1 0 +R1 1
b
A
B
R2 ’ = R 2 ∥ ( R 1+ R 4 ’ )
R5 ’ = R 5 ∥ R6 ∥ R7
R8 ’ = R 8 ∥ R9 ∥ R 10 ’
2,利用电路的对称性简化例 1 图示电路,R1=1?,R2=2?,R3=2?,R4=4?,
R5=1?,求 Rab？
R 1 R 2
R 3 R 4
R 5
a
b
1 3 2 4
1 2 3 4
36
9
( ) ( ) 2
ab
R R R RR
R R R R
解：由于 R1/R3=R2/R4，一端口网络为平衡电桥，电阻 R5上的电压和电流为零，
在电路计算时可移去 R5电阻，可得简化规则：
电路中某一条支路电流为零，则该支路可开路电路中某一条支路电压为零，则该支路可短路例 2 图示电路，所有电阻阻值均为 R，求 Rab?
13
1 1 1 4
2 2 3
ab R
R R R
R?
解：由电路的对称性可知,cdef为 等位点,计算时
dc和 ef支路的电阻可移去,ab间为 3条并联支路，
Rab为
R
R
a
b
c
e
d
f
例 3：图中各电阻都是 R，求
ab间的等效电阻。
a
b
3
2 4 4 2 2ab
R R R R RR
R
R
R
R
R
RR 0
例 4：图示电路为向右无限长电阻网络，各电阻值是 R，求入端等效电阻 R0。
解：右侧为无限长，则去掉第一节两个电阻后，入端电阻值不变。
R
R
R
R
R
RR 0
R 0
R
RR 0 R 0
0
0
0
RRRR
RR
2200R R R R
0 1,6 2RR?
2） Y－?变换
1） Y－?变换概念：
R 1
R 2
R 3
1
2
3
Y 型电路
R 12
1
2
3
R 23
R 31
型电路
Y－?等效转换如果左图中?连接的三个电阻 R12,R23,R31用右图 Y连接的三个电阻 R1,R2,R3来替换,并使流入三个端部的电流和端部电压保持不变,对于外电路来说,Y或?电路 等效,这种变换为
Y－?等效转换。
为使得变换后外电路状况不变,Y和?连接的电阻数值要满足一定转换关系。
R 12
1
23
R 23
R 31
R 4
R 5
U s 1
i
1
i
3 i
2
i
1
i
3
i
2
R 1
R 2
R 3
1
23
R 4
R 5
U s 1
Y－?变换电阻等效公式
R 1
R 2
R 3
1
2
3
R 12
1
23 R 23
R 31
断开 3端,1－ 2端电阻应相等
1 2 2 3 3 1
12
1 2 2 3 3 1
()R R RRR
R R R
同理，分别断开 2和 1端，有等式
2 3 1 2 3 1
23
1 2 2 3 3 1
()R R RRR
R R R
3 1 2 3 1 2
31
1 2 2 3 3 1
()R R RRR
R R R
R 12
1
23 R 23
R 31
R 1
R 2
R 3
1
2
3
由上面三式，解得
32
1 2 2 3 3
11
1
1
RRR
R R R
13
1 2 2 3 3
22
2
1
RRR
R R R
21
1 2 2 3 3
33
3
1
RRR
R R R
上式为Y变换式,已知? 电阻，
可由上式求 Y电阻。
由上面三式可求出逆变换
1 2 2 3 1
2
3
3
1
R R R R R RR
R
1 2 2 3 1
3
1
3
2
R R R R R RR
R
1 2 2 3 1
1
2
3
3
R R R R R RR
R
R 12
1
23 R 23
R 31
R 1
R 2
R 3
1
2
3
上式为 Y 变换式,已知 Y电阻，
可由上式求?电阻。
等效变换记忆法
R 12
1
2
R 23
R 31
R 1
R 2
R 3
3
R?相邻电阻乘积R
Y=
R?
RY两两相乘之和R
= R
Y 相对电阻特别当 Y和?三个电阻相等时，有
R? = 3 RY
32
1 2 2 3 3
11
1
1
RRR
R R R
1 2 2 3 1
2
3
3
1
R R R R R RR
R
例 1 已知 R1=20?,R2=10?,R3=50?，
R4=30?,R5=5?,R6=4?,US=10V，
求支路电流 I6=？
解：把?连接 R1,R3,R4转换为 Y连接，
如下图所示，由 Y?转换式，转换后电阻为：
13
1 3 4
2 0 5 0 10
100a
RRR
R R R
14
1 3 4
2 0 3 0 6
100b
RRR
R R R
43
1 3 4
3 0 5 0 15
100C
RRR
R R R
R 1
R 2
R 3
R 4
R 5
R 6
U s
I 6
20 10
50
30 5
R 2
R 5
R 6
U s
I 6
R a
R b
R c6
10
15
10
5
4
由 Ra=10,Rb=6,Rc=15,得
25
6
25
6 0,5( ) ( )
S
C
C
a
b
a
U
IA
R R R R
RR
R R R R
R 2
R 5
R 6
U s
I 6
R a
R b
R c6
10
15
10
5
4
例,电阻网络的简化,求图示电路的等效电阻,
72
72
3
4
180
12
6
6
60
60
80(1)
72
72
3
4
180
12
6
6
24
24
18
(2)
72
72
3
4
1 8 0
30
30
30
（ 3）
72
72
3
4
180
90
90
90
（ 4）
3
4
180 90
40
40
（ 5）
4 1,2 9
72
72
3
4
180
12
6
6
60
60
80
72
72
3
4
90
6
6
60
60
40
40
90
3
4
40
6
6
24
2440
3
4
120
7
120
7
4 1,2 9
利用对称性求解,
本章小结
1）电路基本器件：电阻，电容，电感；
独立电压源，独立电流源；
受控电源,VCVS,VCCS,CCVS,CCCS
2）参考方向：电路分析与计算必须先标出参考方向，功率判别。
3）基尔霍夫定律,KCL KVL
4）电路的等效和简化：电压源 /电流源,Y/?、对称性等。
