1
1 0 1 2
01
1 0 1 2
( ) ( ) ( )()()
( ) ( ) ( ) ( )
mm
m m m
nn
n n n
b s b s b s z s z s zRSH S H
E S a s a s a s p s p s p
iz i
p
0
m
n
bH
a?
网络函数的零点和极点分析线性系统网络函数的一般描述,
为 零点,为 极点,为 增益系数 。
1,网络函数的极点是系统固有的特征值，
称为网络的自然频率 (固有频率 )。
()iUt
i
c
R
C ()
oUt
0
1
() 11
()
11()
i
US SC
Hs
U s R CRS
S C R C
1S RC
极点取 为输出,为激励,
0()Ut ()iUt
网络函数为,
例,如图电路，
1)
取 为输出,为激励,()
C ti ()iUt
() 11()
11()
C
i
IS SHs
U s RRS
S C R C
网络函数为,
1S
RC
极点
2)
()iUt
i
c
R
C ()
oUt
电路的冲击响应,
1
11
()
11
SCUS
RC
RS
S C R C
1S
RC
极点
3)
4) 电路的零输入响应,
( 0 ) ( 0 )
()
11
CCuu RUS
S RS
SC RC
1S
RC
极点网络函数决定着系统暂态分量的形式和 系统的稳定性 。
每一个极点代表着一个响应分量的形式,极点在复平面上的分布决定其响应形态 。 （ 如图 ）
( ) 1,[ ( ) ( ) ]E S e t t 时,
12
112
1( ) ( ) nn
ini
KKKR S H S
S S S S S S S S
1
1
1( ) ( )
n
ni
i
nist ststr t h t K e K e K e
2,网络函数极点与冲激响应的关系当
（设无重极点）
则
()()
()
RSHs
ES?
1
j
讨论：
左半平面极点为衰减过渡过程右半平面极点为增长过渡过程虚轴极点为正弦或直流响应
s i ntet
s intet
sin t?
由网络函数可判别电网络系统的稳定性 。 有右半平面极点的系统是非稳定系统 （ 自激振荡 ）,通常用网络的冲击响应来判别稳定性 。
9.6 网络函数与输出响应
1( )t
( ) 1( ),( ) ( )
()
RSH S R S H S
E S S
0( ) l i m ( ) ( 0)p sr r S R S H
0( ) ( 0 )sH S H
一、网络函数与稳态响应关系
1）单位阶跃 稳态响应由由终值定理单位阶跃激励的稳态响应值为
E( S )
H ( S ) R ( S )
( ) 2 s i n ( )u t t
(( 1)) HjRj
( ) 2 s i ()n ( ) E j Uu t U t
( ) ( ) ( )R j H j E j
2）单位正弦激励 的稳态响应稳态响应相量（复数）形式为一般正弦激励时有,
E( S )
H ( S ) R ( S )
u
1
(t) u
2
(t)
R
C
2
1
1
() 11
()
11()
Us sc
HS
U s R CRS
s c R C
例：求图示电路的网络函数和频率响应。
解：
极点,1
S RC
( ) ( ) ( )H j H j H j
二、网络函数零极点与频率特性关系 （稳态频率响应分析）
()HS sj ()Hj设网络函数,令,则 随变化关系称为频率特性。
()Hj?
11()
1
Hj
RC j
RC
1 j
RC
1
RC?
注意,可由相平面图估计获得,
为图中 至 点的相量模（长度）。
j?
R C
1
2
()Hj?
11()
1Hj RC j
RC
22
11()
1()
Hj
RC
RC
1()H j tg R C
频率响应幅频特性,
相频特性,
极点位置对频率特性的影响
(frequency2)
P 1
P 2
1
12,1 1P P i
2
1
22SS
极点离虚轴较远时,幅频特性变化平缓,
12,0,5 1P P i
2
1
1.25SS
P 1
P 2
1
极点离虚轴较近时,幅频特性变化快,
例,图示的 RLC串联电路中，分别以 R,L,C上的电压作为输出，
讨论三种输出的不同特性。 R L
C
u ( t)
u R ( t) u L ( t)
u C ( t)
解,电容电压 作为输出
1
2
11
()
()
11()
CUS S C L CHS
RUS
R S L S S
S C L L C
0
1,
2
Rb
LLC
2
0
1 22
0
()
2
Hs
s b s
令网络零点对系统特性的影响分析电阻电压作为输出
02
2 22
0
() 2()
( ) 2i
Us bsHs
H s s b s?
2
03
3 22
0
()()
( ) 2i
Us sHs
U s s b s?
电感电压作为输出
1,1,1R C F L H
设
0
1 1,0,5
2
Rb
LLC
1 2
1()
1Hs ss
电容电压作为输出,
1 2
1()
1Hj j
低通滤波器
Frequency3.m
电阻电压作为输出
2 2() 1
sHs
ss
2 2() 1
jHj
j
带通滤波器电感电压作为输出
2
3 2() 1
sHs
ss
2
3 2() 1Hj j
高通滤波器
1 2
()
()
1()
1
CUs
UHs sssR L
C
u ( t)
u R ( t) u L ( t)
u C ( t)
例,插入微分环节改善系统频率特性,
2
()()
()
O
i
USH S R C
US S
2 2 1( ) ( )( ) ( ) ( ())O iH S H SU S U S HS US
2() 1
sHs
ss
R
C
u i ( t)
u o ( t)
R
R
1,1R C F
9.7 冲激函数,阶跃函数和斜坡函数的响应关系
()ht ()st
( ) ( )dh t s tdt?
1）系统的冲击响应 是阶跃响应 的导数 (零状态 )
( ) ( ) ( ) ( )R S H S E S H S冲
( ) 1ES? ( ) ( )r t h t?
冲证明,冲击响应
（冲击激励时 ）
1( ) ( ) ( ) ( )S S H S E S H S
S阶阶跃激励时
0( 0 ) ( ) 0ts s t
由于 （零状态情况）
()st阶跃响应,
[ ( ) ] ( ) (0 )dL f t S F S fdt
( ) ( ) ( 0 )H S S S S S 阶即有由拉氏变换定理可知
( ) ( )dh t s tdt?
应用：求电路冲击响应时,可先求阶跃响应,再求导得冲击响应 。
()t? N ()ht 1 ( )t N ()St
( ) ( )dh t s tdt?
( ) ( )U t t ()Lit
( ) 1( )U t t?
1()Lit
1
1( ) ( 1 )RL
L
ti t e
R
1
1( ) ( ) 1 ( )RL
LL
tdi t i t e t
d t L
例：求 时的 。
i
L
R
Lu ( t)
解：由三要素法，直接导出时的冲击响应为
( ) ( )ds t r tdt?
2）阶跃响应是单位斜坡响应的导数 （证略）
1 ( )t N ()St 1 ( )tt N ()rt
9.8 卷积积分
1）网络过渡过程激励与响应关系
a．由多个线性组合激励产生的 零状态响应 等于各个激励产生的零状态响应之和。
11 ()SCU U t?
22 ()SCU U t?
1 2 1 2( ) ( ) ( )S S C C CA U B U U t A U t B U t
如图，设则
R
u c ( t)
R 2R 1
U s 1
U s 2
C
0t0t
( ) ( )t h t
0 0 0( ) ( ) 1 ( )t t h t t t t
b．激励延迟 的零状态响应等于原激励零状态响应延迟 。
设 则如图
0
()h t t?
0
()tt
0
t
()ht
()t?
0 0 0( ) ( ) 1 ( )t t h t t tk tk
()ht
()et
( ) ( ) 1 ( )e d h t t
2)卷积积分的时域物理意义设单位冲击响应为,激励函数为,则任一微小脉冲的 响应可写为
()et
()rt
d?
t
t
()et
()rtN
( ) ( )e d t
()et
()rtN
的含义,t时刻前所有激励的 累积响应 组成了该时刻的电路状态 （ 响应值 ）
()rt
作用：若已知冲击响应（网络函数）情况，
任意激励源 作用下的 零状态响应 可由卷积积分计算。
()et
()rt
d?
t
t
( ) ( ) ( ) 1 ( )r t e d h t t
0d
0( ) ( ) ( )
tr t e h t d
对从 0到 t的激励源作用进行积分，响应为当 时有上式即为卷积积分公式,
1 1 2 2[ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( )L f t F s L f t F s
1
1 2 1 2 2 100[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )
ttL F s F s f f t d f f t d
3）卷积积分及频域变换（卷积定理）
设,则频域函数相乘等于时域函数的卷积。卷积定理,
()et
()rtN
卷积积分与网络函数若系统网络函数为
()()
()
RSHs
ES?
输出响应为
( ) ( ) ( )R S H s E S?
拉氏反变换为
00( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ttr t e h t d e h t d
特别注意,当激励为分段连续函数
0
0
100
1 2 00
( ) ( ) ( ) ( 0 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
tt
t
r t e h t d t t
r t e h t d e h t d t t
时（见图）,有
1
()et
t
t 0
2
()et
2
0
0
3 0 2()
0
te t t
et
tt
()Cut
例：图示电路,R
1
R 2
C
U c
e ( t)
t
t 0
()et
123,6,0,5,R R C F
求 的零状态响应。
2 ( )
0 0 0
2( ) ( ) ( ) 3 2
3
t t ttt
cU t e h t d e e d e e d
202 [ ] 2 ( 1 ) 2 ( ) 1 ( )t t t t t te e e e e e t(0 2 )t
2 ( ) 2
00
2( ) ( ) ( ) 3 2 [ 1 ]
3
tt tt
cU t e h t d e e d e e
1,7 3 1 ( )tet ( 2)t?
R 1
R 2
C
U c
e ( t)
()ht
12
1 2 1 2
12
1
21
()
11 31
RR
Hs
R R CS R R SSC
RR
2( ) 1 ( )
3
th t e t
解：求,由运算电路求 ()HS
9.9 状态方程一、基本概念状态,电路（系统）状态是指确定该电路（系统）必须具备的最少信息,这些信息 和 从该时刻起输入的量能完全确定该系统 以后任何时刻的状态 。
状态变量,状态变量是分析动态电路（系统）的独立变量。
Li L?
Cu cq
电路中 状态变量 一般为电感电流 （磁链 ）
和电容电压 （ 电荷 ） 。
状态方程,由状态变量组成的描述系统变化关系的一阶微分方程组。
C
Uc
R 2
R 1 L
i Lu ( t)
0t
00( ),( )LCi t u t
()et 0()tt?
（ 2） 以后的电路状态，可由此时
[初始条件 ]及 求出。
（ 1） 任一瞬间 状态变量 已知,则结合外加激励 可求出其余电路 时的状态 。
0()et
0t 00( ),( )LCi t u t
0t
1
0
11
C
CL
L
C L S
dU
Ui
dt C
di R
U i U
dt L L L
整理后
（标准方程）
()
()
C
L
L
L C S
K
dU
iC
dt
di
R i L
C
UU
t
L
K V L
d
二、状态方程的建立用 KVL和 KCL手工建立状态方程例：
u s ( t)
R L
C
i L
u C
u s ( t)
R L
C
i L
u C
1
00
1
1 LL
C
S
CC U
R
L
idi
d LL
dU
Udt
t
矩阵形式有
21 21,,,C
LC
L
dUX U X diX i X
dtdt
11
22
[ ] [ ] S
XX
A B U
XX
1
0
1
CA
R
LL
0
1B
L
记则有
（状态方程标准形式）
X A X B U
X U
记
—— 状态向量,—— 输入向量（激励）
11
22
[ ] [ ] S
XX
A B u
XX
u s ( t)
R L
C
i L
u C
输出方程的建立,
LU Ci
L L C Su i R U u
CLii?
设电感电压 和电容电流 为 系统输出量,
把输出描述成状态变量与外部激励的关系有,
11010 0L C L S L S
C LC
C
L
u u R i u
ii
u uR
u
i i
Y C X DU
写成标准形式有上式即为 输出方程,记为线性系统中 A,B，
C,D矩阵均为常量。
状态方程 X A X B U
输出方程 Y C X DU
状态变量的初始值,
( 0 )
(0
)
)
(0 C
L
X ui?
,CLUi例 2 列写图示电路的状态方程,并建立以 为输出量的输出方程。
u s
C
i
L
u C
R 1
L
i si
R2
R 2
u L
,LCiu
2
( ) 0CCLs u d ui i t CR d t
1
1 ()L C S
dii R L u u t
dt
解：取 为状态变量，
对节点列 KCL:
对 LC列 KVL:
1
2
()
()
11
11
1C
C L s
L
C L S
du
u i i t
dt
di
u i u t
dt
C
L
CC
L
R
R
L
整理后得
u s
C
i
L
u C
R 1
L
i si
R2
R 2
u L
写成矩阵形式
2
1
11 1
0
11
()
()
0
C
SC
SLL
du
utudt
i
R C C C
R
LLL
tidi
dt
X A X B U
输出方程
2
1
1
1 01
10
()
()
1
SCC
SLL
utiu
iu
R
R
ti
2
1
()
()
C
C L s
L C L S
u
i i i t
R
u u R i u t
写成矩阵形式
Y C X DU
R 5
u
c
i
L1 L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
12 1,1L L H C F
例 3 设
345 1,R R R
试建立状态方程,
1),选择状态变量电感电流和电容电压为状态变量,
取电容支路为树支,电感支路为连支,选 3,4,6为树。
2),标参考方向,选有向图及树状态方程的系统列写法
1
2
3
4
5
6
①
②
③
④
1
1
2
2
4 4 3 3 3
44 0
L
L
C
S
di
L
dt
di
R i R i u
iR uL
dt
单连支回路 方程
R 5
u
c
i
L1 L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
1 4 0
C
L
du
dt
ici
割集 (节点 )方程
3),列出 电容支路 的割集 (节点 )电流方程和 电感支路 的单连支回路电压方程,
1
2
3
4
5
6
①
②
③
④
4),列出其他支路的割集 (节点 )电流方程和单连支回路电压方程,
R 5
u
c
i
L1 L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
35
3 24
1 0
0
L
L
ii
i
i
ii
5 5 3 3 3 4 4 0CSi R u i R i R u
节点方程回路方程 1
2
3
4
5
6
①
②
③
④
R 5
u
c
i
L1 L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
4
34
1
1
3 4 3
2
2 44
C
L
L
S
L
C
du
Ci
dt
di
L R R U
i
ii
i
dt
di
L R u
dt
含有 状态变量导数 的方程：
35
34
3 4 5
1
2
3 4 5 3
0
0
0
L
L
sC
i
i
R R R u
i
i u
i
ii
ii
补充方程：
R 5
u
c
i
L1 L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
3 1 2 3
4 1 2 3
1
()
3
1 2 1 1
3 3 3 3
L L S C
L L S C
i i i u u
i i i u u
5),由补充方程解出非状态变量
12
1
2
2
32
1
1
3
3
1 2 2
3 3 3
2 2 1
3 3 3
2 1 2 1
3 3 3 3
1
3
1
3
C L L
C L L
CL
L
L
S
L
S
S
C
du
dt
di
dt
di
u i i
u i i
u
d
u
u
t
i i u
6),消去非状态变量,整理得状态方程：
1 2 2
3 3 3
2 2 1
3 3 3
2 1 2
3 3 3
nn?
A
1
3
1
3
1
3
nm?
B
R 5
u
c
i
L1 L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
写成矩阵形式
X A X B U
1
2
C
L
L
u
Xi
i
3SUu?
n
m
状态变量数激励源数解法 2
Li
LdiL
dt
CduC
dt
CU
电容等效为电压源,电感等效为电流源,用迭加定理直接 写出电感电压 和电容电流,
R 5
u
c
i
L1 L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
模拟迭加法
1L
1
1
LdiL
dt
1Li
5 3 4
1 1 1 1
345
() 2
3L L L
R R Ru i i
R R R
为电感两端的电压,
对 电感电压由 迭加定理 求,
作用,
1)
R 5
u
c
i
L1
L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
u L1
R 5
u
c
i
L1
L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
u L1
CU 34
12
345
2
3L C C
RRu u u
R R R
作用,
2Li 451 3 2 2
345
1
3L L L
RRu i i
R R R
3SU 51 4 3 3
345
1
3L S S
Ru u u
R R R
作用,
作用,
1
1 2 3
2 2 1 1
3 3 3 3
L
C L L S
di u i i u
dt
合成后,
R 5
u
c
i
L1
L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④i
C
34
1 2 1 1
345
2
3L C L L
RRi i i i
R R R
35
2 3 2 2
345
2
3L C L L
RRi i i i
R R R
CduC
dt
1
345
11
3C C C Cu i u uR R R
同理，对电容 C由迭加定理求
()Ci
R 5
u
c
i
L1
L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④i
C
3 4 3 3
345
11
3S C S Su i u uR R R
1 2 3
1 2 2 1
3 3 3 3
C
C L L S
du u i i u
dt
合成后,
R 5
u
c
i
L1
L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4
C
①
②
③
④ u
L2
2L 22 LdiL dt
35
21
345
2
3C L C C
RRu u u u
R R R
54
1 2 2 1 1
345
2
3L L L L
RRi u i i
R R R
4
3 2 4 3 3
345
1
3S L S S
Ru u u u
R R R
3 5 4
2 2 3 1
345
() 2
3L L L L R
R R Ri u i i
R R R
对电感 由迭加定理求
2
1 2 3
2 2 2 1
3 3 3 3
L
C L L S
di u i i u
dt
合成后,
包含有 纯电容和独立电压源的回路,以及 纯电感和独立电流源的割集（节点）,独立状态变量数
n=电容数 +电感数 — 病态回路和割集（节点）数
u ( t) C 1
C 2
L
R
i
S
i
L
1C
u
2C
u
注意,不为独立变量,不能选为状态变量 !
12 ()CC uu u t
含有病态电路的处理
1C 2C SU
12C C SU U U
1CU 2CU
u s C 1
C 2
L
R
i
S
i
L
1C
u
2C
u
例：列出图示电路的状态方程解：,,为一病态回路,
即 和 只能选一个为状态变量，
1,CLui
设 为状态变量，则有
12
12
1
0
()C
C L S S
CC
L
du du
C C i
dt d
di
u L R i i u
dt
t
12C C Su u u
补充方程代入
1
1 2 1( ) 0
C
S C L
du dC C u u i
d t d t
1
2
2
1
21 1
00
11
0
1
0
S
C
C
S
LL
s
du
C
CC
R
CC
R
LL
du
dt
udt
u
d
L
ii
dt
i
矩阵形式
1 2
1 2 1 2
1
1
11
Cs
L
L
C L S S
d u d uC
i
d t C C C C d t
di R
u i u R i
d t L L L
经整理得
u s C 1
C 2
L
R
i
S
i
L
1C
u
2C
u
X A X B u (0 )X?
三、
1）拉氏变换法 (解析解 )
例：设状态方程和初始值分别为求 ()Xt 。
1 ( )
0 1 0
2 3 6
C
L
C
L
du
u
t
i
dt t
di
d
4( 0 )
0( 0 )
C
L
u
i
()Cut ()Lit求 和 。
()
C
ut 1
1
2
3
2
3
()
L
it
状态方程的求解解：对原式求拉氏变换
( ) ( 0 ) ( ) ( )s X s X A X s B U s
( ) ( ) ( 0 ) ( )s A X s X B U s1
() 40 1( 0 0 1 )
() 00 2 3 6
C
L
US
IS
S
SS
()0 1 0( ) (0 ) 1
()2 3 6( ) (0 )
CCC
LLL
USS U S u
IS SS I S i
4( 0 )
0( 0 )
C
L
u
i
41
623
C
L
US
IS
S
11( 1 ) (( ) ( 0 ) ( )1)X s X UAs BssA
1
2
1 3 11
2 3 232
SS
SSSS
2
46
31 4 1 211
6
23 2 ( 2 ) ( 1 )
2
C
L
U S S
S
I SS S S S
S
3 2 1
12
22
12
S S S
SS
2
2
() 32
( 0 )
() 22
tt
C
tt
L
ut ee
t
it ee
a>,符号解 -----
( 1 ) ( ) ( 0 ) ( )s A X s X B U s
() 40 1( 0 0 1 )
() 00 2 3 6
C
L
US
IS
S
SS
11( 1 ) (( ) ( 0 ) ( )1)X s X UAs BssA
41
623
()
()
C
L
US
IS
S
S
S
tt xx u
Statehuhao1.m
clc;
syms t s;
tt=[s -1;2 s+3]
ty=inv(tt)
u=[4;6/s]
xx=ty*u
xt=ilaplace(xx,s,t)
xt =
[ -exp(-2*t)+2*exp(-t)+3]
[ -2*exp(-t)+2*exp(-2*t)]
计算结果,
2
2
() 32
() 22
( 0 )
tt
C
tt
L
ut ee
it e
t
e
t=0:0.01:5; %定义自变量取值数组
uc=3+2.*exp(-t)-exp(-2*t); %计算与自变量相应的 y0数组
il=2.*exp(-t)-2.*exp(-2*t); %计算与自变量相应的 y数组
plot(t,uc,'-r',t,il,'-b') %用不同颜色、线型绘制曲线
grid %画坐标分格线计算结果作图,
Statetu.m
电压电流波形
clc;
syms t s;
a=[0 1;-2 -3];
b=[0;6];
a0=[4;0];
ut=[1]
uts=laplace(ut,t,s);
p=eye(2);
xs=(inv(s*p-a))*(a0+b*uts);
xt=ilaplace(xs,s,t)
Statehuhao2.m
1 ( )
0 1 0
2 3 6
C
L
C
L
du
u
t
i
dt t
di
d
4( 0 )
0( 0 )
C
L
u
i
1 [( ) ( 0 ) (1 )() ]X s X B UA ss
1( ) ]()[Xt XL S
10
01
b>,仿真数值解 -----state12101
4( 0 )
0( 0 )
C
L
U
i
1 ( )
0 1 0
2 3 6
C
L
C
L
du
u
t
i
dt t
di
d
1 0 00 1 0 1 ( )C
L L
C u
i
u t
i
状态方程 X A X B U
输出方程 Y C X DU
01
23A
0
6B
10
01C
0
0D
1( )Sut? 4(0 ) 0x
计算仿真结果,
9.10 过渡过程问题的解
( 0 ) 0,( 0 ) 0,CLUi
()CUt
例,
U s( t )
R L
C U c求,
() 1( )SUt t?
1,CF? 1,2,3,设,1,LH? 分别为R
2
2
dd
dd
CC
CS
UUL C R C U U
tt
解,电路方程
2
2
dd 1
dd
CC
C
UU RU
tt
(0 )(0 ) 0,0,C
C
duu
dt
1>,时域方程建模 (数值解 )
2
2
dd 1
dd
CC
C
UURU
tt
(0 )(0 ) 0,0,C
C
duu
dt
2
2
d 1(
d d )
d C
C
C U
t t
U U tR
计算仿真结果,1,CF?1,LH?
3R
2R
1R
U s( t )
R L
C U c
2>,频域建模计算
( 0 ) 0,( 0 ) 0,CLUi
()CUt
例,
求,
() 1( )SUt t?
1,CF? 1,2,3,设,1,LH? 分别为R
2
1
1
()
1 1C
SUS
S R SSR
S
1
S
R S
1
S
()CUS
2
1()
1CUS S R S
1R
uc =1/3*i*3^(1/2)*(-exp(1/2*(-1+i*3^(1/2))*t)
+exp(-1/2*(1+i*3^(1/2))*t))
1 3 1 3( ) (
2
)
22
123
s i n ( 3 )
3
3 ()
3
ii tt
C
t
u te eie
a) 反变换求解析解,
(,,)ft ila p la c e fs s t?
2R uc =t*exp(-t)
C
tu te
3R
uc =1/5*5^(1/2)*(exp(1/2*(-3+5^(1/2))*t)
-exp(-1/2*(3+5^(1/2))*t))
3 5 3 5
225 ()
5Cu e e
b) 传递函数建模数值解
2
1()
1CUS S R S
1R 3R
3>,状态方程建模计算
U s( t )
R L
C U cd 1
d
d 11
d
C
L
L
C L S
u
i
tc
i R
u i u
t L L L
C
L
u
X
i
0( 0 )
0X
01
1A R
0
1B
1( )SU t?
10C0D?
状态方程 X A X B U
输出方程 Y C X DU
CY u?
计算结果,
1 0 1 2
01
1 0 1 2
( ) ( ) ( )()()
( ) ( ) ( ) ( )
mm
m m m
nn
n n n
b s b s b s z s z s zRSH S H
E S a s a s a s p s p s p
iz i
p
0
m
n
bH
a?
网络函数的零点和极点分析线性系统网络函数的一般描述,
为 零点,为 极点,为 增益系数 。
1,网络函数的极点是系统固有的特征值，
称为网络的自然频率 (固有频率 )。
()iUt
i
c
R
C ()
oUt
0
1
() 11
()
11()
i
US SC
Hs
U s R CRS
S C R C
1S RC
极点取 为输出,为激励,
0()Ut ()iUt
网络函数为,
例,如图电路，
1)
取 为输出,为激励,()
C ti ()iUt
() 11()
11()
C
i
IS SHs
U s RRS
S C R C
网络函数为,
1S
RC
极点
2)
()iUt
i
c
R
C ()
oUt
电路的冲击响应,
1
11
()
11
SCUS
RC
RS
S C R C
1S
RC
极点
3)
4) 电路的零输入响应,
( 0 ) ( 0 )
()
11
CCuu RUS
S RS
SC RC
1S
RC
极点网络函数决定着系统暂态分量的形式和 系统的稳定性 。
每一个极点代表着一个响应分量的形式,极点在复平面上的分布决定其响应形态 。 （ 如图 ）
( ) 1,[ ( ) ( ) ]E S e t t 时,
12
112
1( ) ( ) nn
ini
KKKR S H S
S S S S S S S S
1
1
1( ) ( )
n
ni
i
nist ststr t h t K e K e K e
2,网络函数极点与冲激响应的关系当
（设无重极点）
则
()()
()
RSHs
ES?
1
j
讨论：
左半平面极点为衰减过渡过程右半平面极点为增长过渡过程虚轴极点为正弦或直流响应
s i ntet
s intet
sin t?
由网络函数可判别电网络系统的稳定性 。 有右半平面极点的系统是非稳定系统 （ 自激振荡 ）,通常用网络的冲击响应来判别稳定性 。
9.6 网络函数与输出响应
1( )t
( ) 1( ),( ) ( )
()
RSH S R S H S
E S S
0( ) l i m ( ) ( 0)p sr r S R S H
0( ) ( 0 )sH S H
一、网络函数与稳态响应关系
1）单位阶跃 稳态响应由由终值定理单位阶跃激励的稳态响应值为
E( S )
H ( S ) R ( S )
( ) 2 s i n ( )u t t
(( 1)) HjRj
( ) 2 s i ()n ( ) E j Uu t U t
( ) ( ) ( )R j H j E j
2）单位正弦激励 的稳态响应稳态响应相量（复数）形式为一般正弦激励时有,
E( S )
H ( S ) R ( S )
u
1
(t) u
2
(t)
R
C
2
1
1
() 11
()
11()
Us sc
HS
U s R CRS
s c R C
例：求图示电路的网络函数和频率响应。
解：
极点,1
S RC
( ) ( ) ( )H j H j H j
二、网络函数零极点与频率特性关系 （稳态频率响应分析）
()HS sj ()Hj设网络函数,令,则 随变化关系称为频率特性。
()Hj?
11()
1
Hj
RC j
RC
1 j
RC
1
RC?
注意,可由相平面图估计获得,
为图中 至 点的相量模（长度）。
j?
R C
1
2
()Hj?
11()
1Hj RC j
RC
22
11()
1()
Hj
RC
RC
1()H j tg R C
频率响应幅频特性,
相频特性,
极点位置对频率特性的影响
(frequency2)
P 1
P 2
1
12,1 1P P i
2
1
22SS
极点离虚轴较远时,幅频特性变化平缓,
12,0,5 1P P i
2
1
1.25SS
P 1
P 2
1
极点离虚轴较近时,幅频特性变化快,
例,图示的 RLC串联电路中，分别以 R,L,C上的电压作为输出，
讨论三种输出的不同特性。 R L
C
u ( t)
u R ( t) u L ( t)
u C ( t)
解,电容电压 作为输出
1
2
11
()
()
11()
CUS S C L CHS
RUS
R S L S S
S C L L C
0
1,
2
Rb
LLC
2
0
1 22
0
()
2
Hs
s b s
令网络零点对系统特性的影响分析电阻电压作为输出
02
2 22
0
() 2()
( ) 2i
Us bsHs
H s s b s?
2
03
3 22
0
()()
( ) 2i
Us sHs
U s s b s?
电感电压作为输出
1,1,1R C F L H
设
0
1 1,0,5
2
Rb
LLC
1 2
1()
1Hs ss
电容电压作为输出,
1 2
1()
1Hj j
低通滤波器
Frequency3.m
电阻电压作为输出
2 2() 1
sHs
ss
2 2() 1
jHj
j
带通滤波器电感电压作为输出
2
3 2() 1
sHs
ss
2
3 2() 1Hj j
高通滤波器
1 2
()
()
1()
1
CUs
UHs sssR L
C
u ( t)
u R ( t) u L ( t)
u C ( t)
例,插入微分环节改善系统频率特性,
2
()()
()
O
i
USH S R C
US S
2 2 1( ) ( )( ) ( ) ( ())O iH S H SU S U S HS US
2() 1
sHs
ss
R
C
u i ( t)
u o ( t)
R
R
1,1R C F
9.7 冲激函数,阶跃函数和斜坡函数的响应关系
()ht ()st
( ) ( )dh t s tdt?
1）系统的冲击响应 是阶跃响应 的导数 (零状态 )
( ) ( ) ( ) ( )R S H S E S H S冲
( ) 1ES? ( ) ( )r t h t?
冲证明,冲击响应
（冲击激励时 ）
1( ) ( ) ( ) ( )S S H S E S H S
S阶阶跃激励时
0( 0 ) ( ) 0ts s t
由于 （零状态情况）
()st阶跃响应,
[ ( ) ] ( ) (0 )dL f t S F S fdt
( ) ( ) ( 0 )H S S S S S 阶即有由拉氏变换定理可知
( ) ( )dh t s tdt?
应用：求电路冲击响应时,可先求阶跃响应,再求导得冲击响应 。
()t? N ()ht 1 ( )t N ()St
( ) ( )dh t s tdt?
( ) ( )U t t ()Lit
( ) 1( )U t t?
1()Lit
1
1( ) ( 1 )RL
L
ti t e
R
1
1( ) ( ) 1 ( )RL
LL
tdi t i t e t
d t L
例：求 时的 。
i
L
R
Lu ( t)
解：由三要素法，直接导出时的冲击响应为
( ) ( )ds t r tdt?
2）阶跃响应是单位斜坡响应的导数 （证略）
1 ( )t N ()St 1 ( )tt N ()rt
9.8 卷积积分
1）网络过渡过程激励与响应关系
a．由多个线性组合激励产生的 零状态响应 等于各个激励产生的零状态响应之和。
11 ()SCU U t?
22 ()SCU U t?
1 2 1 2( ) ( ) ( )S S C C CA U B U U t A U t B U t
如图，设则
R
u c ( t)
R 2R 1
U s 1
U s 2
C
0t0t
( ) ( )t h t
0 0 0( ) ( ) 1 ( )t t h t t t t
b．激励延迟 的零状态响应等于原激励零状态响应延迟 。
设 则如图
0
()h t t?
0
()tt
0
t
()ht
()t?
0 0 0( ) ( ) 1 ( )t t h t t tk tk
()ht
()et
( ) ( ) 1 ( )e d h t t
2)卷积积分的时域物理意义设单位冲击响应为,激励函数为,则任一微小脉冲的 响应可写为
()et
()rt
d?
t
t
()et
()rtN
( ) ( )e d t
()et
()rtN
的含义,t时刻前所有激励的 累积响应 组成了该时刻的电路状态 （ 响应值 ）
()rt
作用：若已知冲击响应（网络函数）情况，
任意激励源 作用下的 零状态响应 可由卷积积分计算。
()et
()rt
d?
t
t
( ) ( ) ( ) 1 ( )r t e d h t t
0d
0( ) ( ) ( )
tr t e h t d
对从 0到 t的激励源作用进行积分，响应为当 时有上式即为卷积积分公式,
1 1 2 2[ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( )L f t F s L f t F s
1
1 2 1 2 2 100[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )
ttL F s F s f f t d f f t d
3）卷积积分及频域变换（卷积定理）
设,则频域函数相乘等于时域函数的卷积。卷积定理,
()et
()rtN
卷积积分与网络函数若系统网络函数为
()()
()
RSHs
ES?
输出响应为
( ) ( ) ( )R S H s E S?
拉氏反变换为
00( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ttr t e h t d e h t d
特别注意,当激励为分段连续函数
0
0
100
1 2 00
( ) ( ) ( ) ( 0 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
tt
t
r t e h t d t t
r t e h t d e h t d t t
时（见图）,有
1
()et
t
t 0
2
()et
2
0
0
3 0 2()
0
te t t
et
tt
()Cut
例：图示电路,R
1
R 2
C
U c
e ( t)
t
t 0
()et
123,6,0,5,R R C F
求 的零状态响应。
2 ( )
0 0 0
2( ) ( ) ( ) 3 2
3
t t ttt
cU t e h t d e e d e e d
202 [ ] 2 ( 1 ) 2 ( ) 1 ( )t t t t t te e e e e e t(0 2 )t
2 ( ) 2
00
2( ) ( ) ( ) 3 2 [ 1 ]
3
tt tt
cU t e h t d e e d e e
1,7 3 1 ( )tet ( 2)t?
R 1
R 2
C
U c
e ( t)
()ht
12
1 2 1 2
12
1
21
()
11 31
RR
Hs
R R CS R R SSC
RR
2( ) 1 ( )
3
th t e t
解：求,由运算电路求 ()HS
9.9 状态方程一、基本概念状态,电路（系统）状态是指确定该电路（系统）必须具备的最少信息,这些信息 和 从该时刻起输入的量能完全确定该系统 以后任何时刻的状态 。
状态变量,状态变量是分析动态电路（系统）的独立变量。
Li L?
Cu cq
电路中 状态变量 一般为电感电流 （磁链 ）
和电容电压 （ 电荷 ） 。
状态方程,由状态变量组成的描述系统变化关系的一阶微分方程组。
C
Uc
R 2
R 1 L
i Lu ( t)
0t
00( ),( )LCi t u t
()et 0()tt?
（ 2） 以后的电路状态，可由此时
[初始条件 ]及 求出。
（ 1） 任一瞬间 状态变量 已知,则结合外加激励 可求出其余电路 时的状态 。
0()et
0t 00( ),( )LCi t u t
0t
1
0
11
C
CL
L
C L S
dU
Ui
dt C
di R
U i U
dt L L L
整理后
（标准方程）
()
()
C
L
L
L C S
K
dU
iC
dt
di
R i L
C
UU
t
L
K V L
d
二、状态方程的建立用 KVL和 KCL手工建立状态方程例：
u s ( t)
R L
C
i L
u C
u s ( t)
R L
C
i L
u C
1
00
1
1 LL
C
S
CC U
R
L
idi
d LL
dU
Udt
t
矩阵形式有
21 21,,,C
LC
L
dUX U X diX i X
dtdt
11
22
[ ] [ ] S
XX
A B U
XX
1
0
1
CA
R
LL
0
1B
L
记则有
（状态方程标准形式）
X A X B U
X U
记
—— 状态向量,—— 输入向量（激励）
11
22
[ ] [ ] S
XX
A B u
XX
u s ( t)
R L
C
i L
u C
输出方程的建立,
LU Ci
L L C Su i R U u
CLii?
设电感电压 和电容电流 为 系统输出量,
把输出描述成状态变量与外部激励的关系有,
11010 0L C L S L S
C LC
C
L
u u R i u
ii
u uR
u
i i
Y C X DU
写成标准形式有上式即为 输出方程,记为线性系统中 A,B，
C,D矩阵均为常量。
状态方程 X A X B U
输出方程 Y C X DU
状态变量的初始值,
( 0 )
(0
)
)
(0 C
L
X ui?
,CLUi例 2 列写图示电路的状态方程,并建立以 为输出量的输出方程。
u s
C
i
L
u C
R 1
L
i si
R2
R 2
u L
,LCiu
2
( ) 0CCLs u d ui i t CR d t
1
1 ()L C S
dii R L u u t
dt
解：取 为状态变量，
对节点列 KCL:
对 LC列 KVL:
1
2
()
()
11
11
1C
C L s
L
C L S
du
u i i t
dt
di
u i u t
dt
C
L
CC
L
R
R
L
整理后得
u s
C
i
L
u C
R 1
L
i si
R2
R 2
u L
写成矩阵形式
2
1
11 1
0
11
()
()
0
C
SC
SLL
du
utudt
i
R C C C
R
LLL
tidi
dt
X A X B U
输出方程
2
1
1
1 01
10
()
()
1
SCC
SLL
utiu
iu
R
R
ti
2
1
()
()
C
C L s
L C L S
u
i i i t
R
u u R i u t
写成矩阵形式
Y C X DU
R 5
u
c
i
L1 L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
12 1,1L L H C F
例 3 设
345 1,R R R
试建立状态方程,
1),选择状态变量电感电流和电容电压为状态变量,
取电容支路为树支,电感支路为连支,选 3,4,6为树。
2),标参考方向,选有向图及树状态方程的系统列写法
1
2
3
4
5
6
①
②
③
④
1
1
2
2
4 4 3 3 3
44 0
L
L
C
S
di
L
dt
di
R i R i u
iR uL
dt
单连支回路 方程
R 5
u
c
i
L1 L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
1 4 0
C
L
du
dt
ici
割集 (节点 )方程
3),列出 电容支路 的割集 (节点 )电流方程和 电感支路 的单连支回路电压方程,
1
2
3
4
5
6
①
②
③
④
4),列出其他支路的割集 (节点 )电流方程和单连支回路电压方程,
R 5
u
c
i
L1 L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
35
3 24
1 0
0
L
L
ii
i
i
ii
5 5 3 3 3 4 4 0CSi R u i R i R u
节点方程回路方程 1
2
3
4
5
6
①
②
③
④
R 5
u
c
i
L1 L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
4
34
1
1
3 4 3
2
2 44
C
L
L
S
L
C
du
Ci
dt
di
L R R U
i
ii
i
dt
di
L R u
dt
含有 状态变量导数 的方程：
35
34
3 4 5
1
2
3 4 5 3
0
0
0
L
L
sC
i
i
R R R u
i
i u
i
ii
ii
补充方程：
R 5
u
c
i
L1 L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
3 1 2 3
4 1 2 3
1
()
3
1 2 1 1
3 3 3 3
L L S C
L L S C
i i i u u
i i i u u
5),由补充方程解出非状态变量
12
1
2
2
32
1
1
3
3
1 2 2
3 3 3
2 2 1
3 3 3
2 1 2 1
3 3 3 3
1
3
1
3
C L L
C L L
CL
L
L
S
L
S
S
C
du
dt
di
dt
di
u i i
u i i
u
d
u
u
t
i i u
6),消去非状态变量,整理得状态方程：
1 2 2
3 3 3
2 2 1
3 3 3
2 1 2
3 3 3
nn?
A
1
3
1
3
1
3
nm?
B
R 5
u
c
i
L1 L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
写成矩阵形式
X A X B U
1
2
C
L
L
u
Xi
i
3SUu?
n
m
状态变量数激励源数解法 2
Li
LdiL
dt
CduC
dt
CU
电容等效为电压源,电感等效为电流源,用迭加定理直接 写出电感电压 和电容电流,
R 5
u
c
i
L1 L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
模拟迭加法
1L
1
1
LdiL
dt
1Li
5 3 4
1 1 1 1
345
() 2
3L L L
R R Ru i i
R R R
为电感两端的电压,
对 电感电压由 迭加定理 求,
作用,
1)
R 5
u
c
i
L1
L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
u L1
R 5
u
c
i
L1
L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④
u L1
CU 34
12
345
2
3L C C
RRu u u
R R R
作用,
2Li 451 3 2 2
345
1
3L L L
RRu i i
R R R
3SU 51 4 3 3
345
1
3L S S
Ru u u
R R R
作用,
作用,
1
1 2 3
2 2 1 1
3 3 3 3
L
C L L S
di u i i u
dt
合成后,
R 5
u
c
i
L1
L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④i
C
34
1 2 1 1
345
2
3L C L L
RRi i i i
R R R
35
2 3 2 2
345
2
3L C L L
RRi i i i
R R R
CduC
dt
1
345
11
3C C C Cu i u uR R R
同理，对电容 C由迭加定理求
()Ci
R 5
u
c
i
L1
L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4C
①
②
③
④i
C
3 4 3 3
345
11
3S C S Su i u uR R R
1 2 3
1 2 2 1
3 3 3 3
C
C L L S
du u i i u
dt
合成后,
R 5
u
c
i
L1
L 1
i
L2
L 2
R 3
i
3
Us 3
i
5
R 4
i
4
C
①
②
③
④ u
L2
2L 22 LdiL dt
35
21
345
2
3C L C C
RRu u u u
R R R
54
1 2 2 1 1
345
2
3L L L L
RRi u i i
R R R
4
3 2 4 3 3
345
1
3S L S S
Ru u u u
R R R
3 5 4
2 2 3 1
345
() 2
3L L L L R
R R Ri u i i
R R R
对电感 由迭加定理求
2
1 2 3
2 2 2 1
3 3 3 3
L
C L L S
di u i i u
dt
合成后,
包含有 纯电容和独立电压源的回路,以及 纯电感和独立电流源的割集（节点）,独立状态变量数
n=电容数 +电感数 — 病态回路和割集（节点）数
u ( t) C 1
C 2
L
R
i
S
i
L
1C
u
2C
u
注意,不为独立变量,不能选为状态变量 !
12 ()CC uu u t
含有病态电路的处理
1C 2C SU
12C C SU U U
1CU 2CU
u s C 1
C 2
L
R
i
S
i
L
1C
u
2C
u
例：列出图示电路的状态方程解：,,为一病态回路,
即 和 只能选一个为状态变量，
1,CLui
设 为状态变量，则有
12
12
1
0
()C
C L S S
CC
L
du du
C C i
dt d
di
u L R i i u
dt
t
12C C Su u u
补充方程代入
1
1 2 1( ) 0
C
S C L
du dC C u u i
d t d t
1
2
2
1
21 1
00
11
0
1
0
S
C
C
S
LL
s
du
C
CC
R
CC
R
LL
du
dt
udt
u
d
L
ii
dt
i
矩阵形式
1 2
1 2 1 2
1
1
11
Cs
L
L
C L S S
d u d uC
i
d t C C C C d t
di R
u i u R i
d t L L L
经整理得
u s C 1
C 2
L
R
i
S
i
L
1C
u
2C
u
X A X B u (0 )X?
三、
1）拉氏变换法 (解析解 )
例：设状态方程和初始值分别为求 ()Xt 。
1 ( )
0 1 0
2 3 6
C
L
C
L
du
u
t
i
dt t
di
d
4( 0 )
0( 0 )
C
L
u
i
()Cut ()Lit求 和 。
()
C
ut 1
1
2
3
2
3
()
L
it
状态方程的求解解：对原式求拉氏变换
( ) ( 0 ) ( ) ( )s X s X A X s B U s
( ) ( ) ( 0 ) ( )s A X s X B U s1
() 40 1( 0 0 1 )
() 00 2 3 6
C
L
US
IS
S
SS
()0 1 0( ) (0 ) 1
()2 3 6( ) (0 )
CCC
LLL
USS U S u
IS SS I S i
4( 0 )
0( 0 )
C
L
u
i
41
623
C
L
US
IS
S
11( 1 ) (( ) ( 0 ) ( )1)X s X UAs BssA
1
2
1 3 11
2 3 232
SS
SSSS
2
46
31 4 1 211
6
23 2 ( 2 ) ( 1 )
2
C
L
U S S
S
I SS S S S
S
3 2 1
12
22
12
S S S
SS
2
2
() 32
( 0 )
() 22
tt
C
tt
L
ut ee
t
it ee
a>,符号解 -----
( 1 ) ( ) ( 0 ) ( )s A X s X B U s
() 40 1( 0 0 1 )
() 00 2 3 6
C
L
US
IS
S
SS
11( 1 ) (( ) ( 0 ) ( )1)X s X UAs BssA
41
623
()
()
C
L
US
IS
S
S
S
tt xx u
Statehuhao1.m
clc;
syms t s;
tt=[s -1;2 s+3]
ty=inv(tt)
u=[4;6/s]
xx=ty*u
xt=ilaplace(xx,s,t)
xt =
[ -exp(-2*t)+2*exp(-t)+3]
[ -2*exp(-t)+2*exp(-2*t)]
计算结果,
2
2
() 32
() 22
( 0 )
tt
C
tt
L
ut ee
it e
t
e
t=0:0.01:5; %定义自变量取值数组
uc=3+2.*exp(-t)-exp(-2*t); %计算与自变量相应的 y0数组
il=2.*exp(-t)-2.*exp(-2*t); %计算与自变量相应的 y数组
plot(t,uc,'-r',t,il,'-b') %用不同颜色、线型绘制曲线
grid %画坐标分格线计算结果作图,
Statetu.m
电压电流波形
clc;
syms t s;
a=[0 1;-2 -3];
b=[0;6];
a0=[4;0];
ut=[1]
uts=laplace(ut,t,s);
p=eye(2);
xs=(inv(s*p-a))*(a0+b*uts);
xt=ilaplace(xs,s,t)
Statehuhao2.m
1 ( )
0 1 0
2 3 6
C
L
C
L
du
u
t
i
dt t
di
d
4( 0 )
0( 0 )
C
L
u
i
1 [( ) ( 0 ) (1 )() ]X s X B UA ss
1( ) ]()[Xt XL S
10
01
b>,仿真数值解 -----state12101
4( 0 )
0( 0 )
C
L
U
i
1 ( )
0 1 0
2 3 6
C
L
C
L
du
u
t
i
dt t
di
d
1 0 00 1 0 1 ( )C
L L
C u
i
u t
i
状态方程 X A X B U
输出方程 Y C X DU
01
23A
0
6B
10
01C
0
0D
1( )Sut? 4(0 ) 0x
计算仿真结果,
9.10 过渡过程问题的解
( 0 ) 0,( 0 ) 0,CLUi
()CUt
例,
U s( t )
R L
C U c求,
() 1( )SUt t?
1,CF? 1,2,3,设,1,LH? 分别为R
2
2
dd
dd
CC
CS
UUL C R C U U
tt
解,电路方程
2
2
dd 1
dd
CC
C
UU RU
tt
(0 )(0 ) 0,0,C
C
duu
dt
1>,时域方程建模 (数值解 )
2
2
dd 1
dd
CC
C
UURU
tt
(0 )(0 ) 0,0,C
C
duu
dt
2
2
d 1(
d d )
d C
C
C U
t t
U U tR
计算仿真结果,1,CF?1,LH?
3R
2R
1R
U s( t )
R L
C U c
2>,频域建模计算
( 0 ) 0,( 0 ) 0,CLUi
()CUt
例,
求,
() 1( )SUt t?
1,CF? 1,2,3,设,1,LH? 分别为R
2
1
1
()
1 1C
SUS
S R SSR
S
1
S
R S
1
S
()CUS
2
1()
1CUS S R S
1R
uc =1/3*i*3^(1/2)*(-exp(1/2*(-1+i*3^(1/2))*t)
+exp(-1/2*(1+i*3^(1/2))*t))
1 3 1 3( ) (
2
)
22
123
s i n ( 3 )
3
3 ()
3
ii tt
C
t
u te eie
a) 反变换求解析解,
(,,)ft ila p la c e fs s t?
2R uc =t*exp(-t)
C
tu te
3R
uc =1/5*5^(1/2)*(exp(1/2*(-3+5^(1/2))*t)
-exp(-1/2*(3+5^(1/2))*t))
3 5 3 5
225 ()
5Cu e e
b) 传递函数建模数值解
2
1()
1CUS S R S
1R 3R
3>,状态方程建模计算
U s( t )
R L
C U cd 1
d
d 11
d
C
L
L
C L S
u
i
tc
i R
u i u
t L L L
C
L
u
X
i
0( 0 )
0X
01
1A R
0
1B
1( )SU t?
10C0D?
状态方程 X A X B U
输出方程 Y C X DU
CY u?
计算结果,
