第三章 正弦交流电路本章主要内容
1,正弦量,相量
2,有效值
3,正弦电路元件
4,基尔霍夫定律相量形式
5,无源一端口网络,阻抗,导纳
6,交流电路功率
7,复杂正弦交流电路计算本章教学目的,
正弦交流电路是应用最广泛的电路，本章介绍单相正弦交流电路理论中的基本概念和规律。
本章教学要求,
掌握正弦量的概念及其相量表示法,相量运算；
正弦电路元件特性；交流电路 KCL,KVL形式；交流电路功率,有功功率和无功功率及功率因数的概念；简单正弦电路分析方法 。
3.1 正弦交流电量的基本概念交流电路,电压或电流是时间的周期性函数,一周期内平均值为零,
正弦交流电路,电压或电流是时间的正弦函数,
i
t
I mRi
瞬时表达式
1)正弦交流电流描述 (电流参考方向如图所示 )
瞬时值电流波形图瞬时表达式需规定参考方向 !
() s i n ( )imtI ti
i
瞬时表达式
i
t
I mRi
2)正弦交流电的三要素
1> Im 幅值 (最大值 )
2> ω 角频率,ω =2pf,
f 频率,T 周期,T=1/f
3> (ωt ＋?i) 相位，
i 初相位
s i n ( )m iI ti
我国电网 f＝ 50Hz，
ω＝ 314弧度／秒,
T = 20毫秒03 1 1 s i n ( 3 1 4 3 0 )tVu例,
电流表达式必须规定参考方向 !
例如规定参考方向从 1到 2,i＝ 5sin（ 314t+45° ）,则随时间变化曲线如图 。
1 2i
t
1 2i'
t
对于 同一个电流,如果参考方向改为从 2到 1,记为 i′,则
i′ ＝－ i＝－ 5sin（ 314t＋ 45°）＝ 5sin（ 314t－ 135°）,
即把时间起点沿 ωt轴移动 180°。 i与 i′ 表示同一电流，由于正方向不同，初相位相差 180°。
2） 相位差,同频率正弦交流电相位差
i
1 i 2
φ
i1
φ
i2 i
1超前 i2
相位差：
φ ＝ （ ωt＋ φ i1） － （ ωt＋ φ i2） ＝ φ i1－ φ i2
可见,相位差＝初相位之差 。
若 φ ＞ 0,φ i1＞ φ i2,i1超前 i2；
两个同频率正弦量,见图
i1＝ I1 sin（ ωt＋ φ i1）,i2＝ I2 sin（ ωt＋ φ i2）
φ ＝ 0,φ i1＝ φ i2,i1与 i2同相位；
i
1
i
2
φ
i1
φ
i2 i
1滞后 i2
φ <0,φ i1＜ φ i2,i1滞后 i2；
i
2
i
1
t
i1与 i2同相位
i
1 i
2 t
i
1
i
2
t
i1超前 i2
2
p (90° ) i1滞后 i2 (90° )
2
p
i
1
i
2
t
i
1
i
2
t
i1和 i2同相 i1和 i2反相
3.2 周期交流电量的有效值有效值物理意义,周期交流电流 流过电阻 R时,在一个周期内消耗的能量等于某一大小的直流电流 I在同一电阻相同时间内消耗的能量 。 称这一直流电流 I为交流电流 的有效值 。
()it
()it
i R
2
0
,TiW i R d t
交流电功率,
22
0
TIW I R d t I R T直流电功率,
周期交流电流 有效值,
2
0
1 TI i d t
T
（有效值又称为均方根值）
同理，周期交流电压有效值为
2
0
1 TU u d t
T
由
iIWW?
得,
正弦交流电流的有效值
2
mII?
s i nmIti设电流,则正弦交流电流的有效值为,
2 2 2
00
1 1 1 c o s 2s in ( )
2 2
tT m
mm
IωtII ω td t I d t
TT
即同样可定义电压有效值
2
mUU?
注意：电气工程上电压电流的大小,一般都用有效值来表示,
电气工程测量仪表一般也指有 效值 。
电路计算中一般用有效值运算 。
单相电压 220V是 指有效值，其最大值约为 311V.
i
1
i
2
i
01 2 4 0 s i n ( 3 1 4 3 0 )tAi
02 2 3 0 s i n ( 3 1 4 6 0 )tAi
0022 2 4 0 s i n ( 3 1 4 3 0 ) 2 3 0 s i n ( 3 1 4 6 0 )tti i i
三角函数计算
1）正弦交流电瞬时值与相量关系
Re
u( t )
t
t=t 0
t 0 0
I m
t =0
O
P
2 s i n ( )iI ωt
线段 P在虚轴上的投影
3.3 正弦交流电量的相量表示
2 s i n ( )iI ωt瞬时表达式
i
ωt
波形图
φ
1
j
I
.
ω
相量图相量以角频率 逆时针旋转,其在虚轴上的投影即为正弦交流电流的瞬时值 。
正弦交流电的三种表达方式,
瞬时表达式 相量 复数式
ω
II&相量 (复数式 )
[ 2 ]jj ωtmI I e ei代数表示法
I 1
.
I 2
.
I
.
j
1
t=t0
I
.
1
j
I 1
.
I 2
,t=t1
122 s i n ( ) 2 s i n ( )I ω t I ω ti
合成电流 时域计算,正弦函数计算任一时刻合成电流瞬时值 等于 二个电流瞬时值之和 。
合成电流相量计算,
I
.
I 1
.
I 2
.
= +
2）正弦交流电量计算
11
22
2 s i n ( )
2 s i n ( )
iI ωt
iI ωt
设求两个电流之和
12i i i
i
1
i
2
i
合成相量 等于 二个电流相量之和。
正弦交流电瞬时表达式计算 → 相量计算（复数计算）。
求
122 4 s i n ( 3 0 ),2 3 s i n ( 6 0 )i ω t i ω too
12i i i
例 1：已知,
把瞬时值运算变为相量运算,
注意，只有同频率量才可进行相量运算。
I
.
1
j
I 1
.
I 2
.
相量图
3)转换为瞬时式
2 5 s i n ( 6,9 )i ω t A o
1)转换为相量形式,
00124 3 0,3 6 0II&&
解：
00
12
33
4 3 0 3 6 0 2 3 2 3
22
33
( 2 3 ) ( 2 3 ) 5 6,9
22
I I I j j
j
o
& & &
2)相量 (复数 )运算
3.4 正弦交流电路的元件电压电流相量表达式 （相量欧姆定律）
U R
.I R.
R
U R
.
I R
.
RRU R I
电压与电流有效值关系电压与电流同相位相量表达式,
RRU RI?&&
相量形式欧姆定律
1）电阻元件时域瞬时式
RRRu i?
2 s i n ( )RiI ω t φ
i
u
t
P
u
i
2 s i n ( )Ru R I ω t φ
平均功率
2
0
1 T
RRP U i d t U I I RT
瞬时功率,
22 s i n ( )R R R Rp i u U I t
[ 1 c o s 2 ( ) ]RRUI t
U R
.I R.
R
U R
.
I R
.
2）电感元件
I L
,U
L
.
jL?
I L
.
U L
.
时域表达式 2 s i n
LLiI ωt?
2 s i n ( 9 0 ) 2 s i n ( 9 0 )L L LU ω L I ω t U ω too
LLU ω L I
o
电压与电流有效值关系电感电压超前电感电流 9 0
LX ωL?,称为感抗,反映某一频率下电感电压有效值与电流有效值关系,具有阻抗的量纲,
相量表达式,
L L L LUj ω L I jX I& & &
LLII& LLU ω L I&
,
即有,相量形式欧姆定律
i L u
L
L
LL diuL
dt?
iu t
Li LU
时的电感电流 。
33 1,8 1 0LH
2 1 0 s i n 3 1 4 2 1 0 s i n 3 1 4 0 0 0u t u t 和例 1,一线圈电感,试求电压为
3 1 4 1 /ωs?50 zfH?
33 1 4 3 1,8 1 0 1 0 ΩLX ωL
解,当 时,
线圈电抗
1 0 0 1 9 0
10
L
L
L
UI
jX j
o
o&& 1LIA?
线圈电流 电流幅值
3 1 4 0 0 0 1 / ( 5 0 )ω s f K H z
33 1 4 0 0 0 3 1,8 1 0 1 0 0 0 0 ΩLX ωL
当线圈电抗
1 0 0 0,0 0 1 9 0
10000
L
L
L
UI
jX j
o
o&&
0,0 0 1 1LI A m A
线圈电流 电流幅值同一电感在不同频率时，电抗相差很大。
0
1 0T
LLP p d tT
电感元件平均功率 iu tP
电感元件串联在电路中,当交流电流流过时产生电压降,但不会产生功率损耗,一般交流电扇就是用串联电感来调速的,
2 s i n 2 s i n ( 9 0 )L L L L Lp u i I ω t U ω t o
电感元件瞬时功率
s i n 2LLUI ωt?
2 s i nLLiI ωt?
2 s i n ( 9 0 )LLUU ωt o
U C
.
I C
.
I C
,U C
.
1
jC?
cCIj ω cU?&&
1
C C C CU I jX Ijωc& & &
相量表达式 即,
相量形式欧姆定律
1
90
C C C CU X I Iωc
o
电压与电流有效值关系电压滞后电流
3）电容元件时域表达式
c
C
duiC
dt?
2 s i n CUU ωt?
2 sin ( 9 0 )
2 sin ( 9 0 )
c
C
C
du
i C U ω c ω t
dt
I ωt
o
o
Ci
C
u
C
i C u
C t
电容元件瞬时功率
s i n 2c c c c cp u i U I ωt
2 s i n CUU ωt?
2 s i n ( 9 0 )CCiI ωt o
电容元件平均功率
0
1 0T
cCP p d tT
i c
u c
t
P
1
CX ωC?
称为容抗，单位欧姆，
容抗与频率成比。
I C
.
U C
.
1
jC?
U R
.I R.
R
U R
.
I R
.
RRU RI?&&
I L
,U
L
.
jL?
I L
.
U L
.
L L L LUj ω L I jX I& & &
U C
.
I C
.
I C
,U C
.
1
jC?
1
C CCCUI jXjωC I& & &
对于复杂的线性电路，如果所有激励源均为同一频率的正弦函数，则各支路的电流和电压都为和激励源有相同频率的正弦函数，都可以表示为相量形式，在电路计算中可采用相量计算的方法。 基尔霍夫定律对于任何电路均成立。
3.7 基尔霍夫定律相量形式基尔霍夫节点电流定律的时域表达式为
0i
相量形式的基尔霍夫节点电流定律,
0u基尔霍夫回路电压定律的时域表达式为相量形式的基尔霍夫回路电压定律,
0I
0U
,,R R L LU R I U jω L I& & & &元件欧姆定律,
1
CCUIjωc?&&
把节点电流或回路电压的相量作成矢量图，可得到一个闭合的矢量多边形。在计算分析正弦交流电路中，可利用上述两个定律及相量关系。
基尔霍夫定律的相量形式,0
0
I
U
&
&
节点:
回路:
直流电路中叙述的电路分析方法和电路定理是基于 KCL和
KVL导出的，而这两个基本定律对任何电路均成立。因此直流电路中叙述的分析方法和定理对于任何电路均成立，且在交流电路中可用相量形式表示。在今后的分析中将直接引用这些方法或定理。
100 Ω,1R ω L I A,设,求电源电压。
1 0 0 0 1 0 0 9 0
2 1 0 0 4 5
RLU U U
oo
o
& & &
电源电压有效值为 141.4V
1 0 0,1 0 0,1 4 1R L R LU V U V U V U U U注意：
电压电流相量形式满足 KCL,KVL,有效值不满足
KCL,KVL,求交流电路应用相量关系计算 。
R
jL?
I
.
U
.
I
.
U R
.
U L
.1 0 0 0,
1 0 0 9 0
R
L
U I R
Uj ω L I
o
o
&&
&&
解,1 0 0 0,IR o&设例 1
2 2 0 0 VU
1 1 0 0 6 0 VU 2U
图示电路中，已知求,的值。
U 1
.
U 2
.
U
.
图中画出了电压的相量图。
12U U U
21 2 2 0 0 V 1 0 0 6 0 VU U U
解：由基尔霍失电压定律，得
1 9 1 2 7 V
U 1
.
U 2
.
U
.
例 2
为测量一只线圈的电感和电阻，将它与电阻 R1串联后接入频率为 50Hz的正弦电源，如图所示，测得外加电压,
电阻 R1上电压,线圈两端电压 。已知电阻,试求线圈的电阻 R与电感 L的值。
200 VU?
1 1 0 0VU? 2 1 2 4VU?
1 100R
R
jL?U
.
R 1
U 1
.
U 2
.
解：以电流作参考相量，分别作出电压相量如图所示。因为因此电压相量组成一个闭合三角形。 12
U U U
U
.
U 1
.
U 2
.
I
.
例 3:
2 2 2
12
1
c o s 2U U UUU
2 2 22 0 0 1 0 0 1 2 4
0,8 6 62 2 0 0 1 0 0
在相量图上，用余弦定理可求出 角为,
U
.
U 1
.
U 2
.
I
.
30
s inL I U 1
1
100 A 1 A
100
UI
R
得,由相量图又可得到
，
s i n 2 0 0 0,5 H 0,3 1 8 H
314
UL
I
1c o s 2 0 0 0,8 6 6 1 0 0 7 3,2
1
UUR
I
因此上述解题方法是利用相量的几何关系，这是一种常用的解题方法。
1 0 0,5,3,L C CU V I A I A U I &&与
,,CLR X X
,电路如图,同相，求
。
RU
R
.
U c
.
U L
.
U
.
I L
.
I C
.
C
L
0,0 R RRRUU II oo &&
L R CI I I& & &
RU&
解：取 为参考相量,作出相量图
9 0CCII o&
，
I C
.
U
.
I L
.
U R
.
U L
.
I R
.
φ
θ
L L LU jX I?&& 22 4R L CI I I A
1s in 3 6,9,9 0 5 3,1C
L
Iφ θ φ
I
o o o
，
例 4
100 1 2 5,
s i n 0,8L
UUV
θ
c o s 1 2 5 0,6 7 5RLUU θV
75 25 Ω
3
R
C
C
UX
I
75 1 8,7 Ω
4
R
R
UR
I
125 25 Ω
5
L
L
L
UX
I
I C
.
U
.
I L
.
U R
.
U L
.
I R
.
φ
θ
利用相量图关系计算是交流电路的一种计算方法,
1) RLC串联电路电路如图,由 KVL得,
1
1
[ ( ) ]
R L C
U U U U
R I j LI I
jc
R j L I
c
IZ
3.8 无源一端口网络阻抗导纳及等效电路
U R
.
U C
.U
L
.
R
U
.
I
.
jL?
1
jC?
阻抗,
11
()
( )LC
U
Z R j ω L R j ω L
j ω c ω cI
R j X X R jX z
&
&
R jL?
Z jC?
1
()LCZ R j X X R j X z
Z— 复数阻抗,
XL— 感抗,
XC— 容抗
X— 电抗
22
1
z R X
X
tg
R
阻抗模阻抗角
0,
0,
)
(
(
0)
0XZ?
当 时 为当 容性阻 时为抗抗感性阻Z
阻抗符号
I
.
U R
.
U C
.
U L
.
U
.
相量图例 1 FCmHLRVtu?64,210,12,314s i n222
求,I,UR,UL,UC 。
解, 94.65102 1 03 1 4 3LX L?
76.491064314 1c1X 6C
44.5314.2018.16j12)XX(jRjXRZ CL
取 为参考相量22 0U
44.5309.144.5314.20 022ZUI
1,0 9 2 s i n ( 3 1 4 5 3,4 4 )tiA
U R
.
U C
.U L
.
R
U
.
I
.
jL?
jC?
1
44.5311.1344.5309.112IRU R
1 3,1 1 2 ( 3 1 4 5 3,4 4 )s i nR tu V
6 5,9 4 1,0 9 5 3,4 4 7 1,8 3 5,5 6LLU j L I j X I j
7,1 8 2 s i n ( 3 1 4 3 5,5 6 )LutV
4 9,7 6 1,0 9 5 3,4 4 5 4,2 4 1 4 3,4 4CCU j X I j
5 4,2 4 2 s i n ( 3 1 4 1 4 3,4 4 )C tu V U R
.
U C
.U L
.
R
U
.
I
.
jL?
jC?
1
2) RLC并联电路 I
.
R jL? jC?
1
I R
.
I L
.
I C
.U
.
11()
R L CI I I I U j ωcRj ωL& & & & &
11 ()IYj ωc G j B
R ωLU
&
&
导纳,
导纳 Y中的实部 G是该电路的 电导,虚部为电路的 电纳,
阻抗和导纳互为倒数,1
Y Z?
Z R jX
Y G jB 22RG RX 22XB RX
22
GR
GB 22
BX
GB
互换关系,
3) 无源一端口网络计算任意无源网络在正弦激励时可等效成为一入端阻抗（导纳）。
1 ( 4 1 0 )Zj 2 ( 8 6 )Zj
3 0,1 2 SYj
2 2 2 0 s i n Vut
例 2 图示电路，已知,,
,试求该电路的入端阻抗。 若外加电压
，求各支路电流。
23 ( 0,0 8 0,0 6 0,1 2 ) ScbY Y Y j j
则
( 0,0 8 0,0 6 ) S 0,1 3 6,9 Sj
Z 1
Z 2
Y 3
a
b
cI 1
.
I 2
.
I 3
.
2Z
2
2
11 S ( 0,0 8 0,0 6 ) S
86YjZj
解：先求 cb端等效阻抗,阻抗的等效导纳
1 1 0 3 6,9 ( 8 6 )
cb
cb
Zj
Y
cb右端等效阻抗电路入端阻抗
1 ( 4 1 0 8 6 ) 2 0 5 3,1cb jjZ Z Z
Z 1
Z 2
Y 3
a
b
cI 1
.
I 2
.
I 3
.
2 2 0 0 VU设 则
1
2 2 0 0 A 1 1 5 3,1 A
2 0 5 3,1
UI
Z
1 1 1 5 3,1 1 0 3 6,9 V 1 1 0 1 6,2 Vc b c bU I Z
2
2
1 1 2 0,7 AcbUI
Z
33
1 3,2 1 0 6,2 AcbI U Y
解,以电流为参考相量,作相量图
U
.
U 1
.
U 2
.
I
.
由电压值得 030
1 c o s 1 0 0 3RUU
1 s i n 1 0 0LUU
200S VU?例 3 图示电路，已知,
,电流 I=2A,电压
,求 R,L,C的值。
12 200U U V
i u 1
u 2
u s
R L
C
1000
1 0 0 3 5 0 3
2
RUR
I
100 50
2000
LUL m H
I
2 10
200000C
ICF
U
例 4 图示电路,已知 f=50Hz,I＝ 2A,U＝ UC＝ UP＝ 30V,求 C
及 P的串联电路参数 。 U
C
.
U
.
I
.
U P
.
P
I
.
U C
.
U
.
U p
.
解：以 为参考相量，作相量图,设I?
02I 9030U C?,则
15IUX CC F0 6 6 7.0X
1C
C
3030U P?
由相量图得,
3 0 3 0 1 5 3 0
20
PUZ
I
5 3 0 1 5 3 0 1 2,9 9 7,51 c o s s i n jj
R＝ 12.99Ω,XL＝ 7.5Ω,这里 X为正，电路呈感性，等值电抗为感抗,
图中相量形式一般是不可能的，在关联参考方向下,无源阻抗 (无受控源 )的阻抗角 (电压和电流的相位角 ) 。
讨论,
I
.
U C
.
U
.
U p
.
U C
.
U
.
I
.
U P
.
P
090
解,在输入输出之间接入电容和电阻,
电路如图,
u
o
u
i
R
R 0
C 0
例 5 已知
u
o
u
i
P R
1 0 s i n (1 0 0 0 )i tVu?
100R,欲使 05 s i n ( 1 0 0 0 4 5 )
o tVu
试设计一个最简线路来实现,
R
R 0
U 1
.
U 2
.
jC?
1
I
.
U
.
I
.
由相位要求,电流超前电压 45度,
1
O
U Z
J
R
I
R
C?
1
ORR C
I.
与
U2
,同相,得,
R
R 0
U 1
.
U 2
.
jC?
1
I
.1
ORR C
由 两个电阻上电压
0
0
0
1RR
RR
UU
RR
jC?
0
2
2RR iUU?
由电压副值要求,0,5
O iUU?
0
2
2
1
2O R ROO ii
RRU U U U
R R R R
( 2 1 ) 4 1,4ORR
11 7,0 7
() 1 0 0 0 2 1 0 0OCFRR
例 6 如图电路,当 R变化时电流 I保持不变,
问 L,C应如何选取?
I
.
U
.
jC?
1
jL?
R
解,当 R变化时,如果总阻抗 (导纳 )的模不变,
则电流 I不变,1
()
1
()
R j L
jC
Z
R j L
C
当 1 2 L
C
2
()
2
L
R j L
j
ZL
R j L
与 R无关,
I C
.
I L
.
I R L
.
I
.
U
.
相量图
jL?
jC?
1
R 0
R 0
Z
U
.
a
b
例 7 如图电路,L=1mH,
0 1RK
( 3 5 )Zj,欲使 Z上无电流,
问 C应取何值? 并求此时的输入阻抗,
解,要使 Z无电流,a,b点应等电位,
0
1
1
a
jC
UU
R
jC
0
0
b
RUU
R j L
0
0
0
1
1
jC
R
R
R j L
jC
2
0()R
L
C?
2
0()
LC
R?
jL?
jC?
1
R 0
R 0
Z
U
.
a
b
2
0()
LC
R?
00
00
1
( )( )
1i
R j L R
jC
Z
R j L R
jC
0
2
00
0
1
2( ) ( )
1
2
R R j L
jC
R
R
jL
jC
(交流电路电桥平衡 )
3.9 正弦交流电路的功率计算
u
i
iu
t
P
1) 瞬时功率,
c o s ( 2 )c o s ( ),u u ιi UIp u i tUI ω
( ) 2 s i n ( ),uu t U ωt
( ) 2 s i n ( )ii t I ωt
设电压和电流取 关联方向,如图瞬时功率可分为恒定分量与二倍角频率变化的正弦分量 。
瞬时功率在某些时间段为正值，表示此时一端口网络正在吸收功率。在某些时间段为负值，表示网络在输出功率，将原来储存的能量送回电网。
2） 有功功率 (平均功率 ),
为电压电流相位差 ;,UI 为电压电流有效值 ;?
cos?
()ui
—— 功率因数；
—— 功率因数角。
I
.
U
.
U
.
I
.?
决定一个一端口网络负载平均功率的大小，不但与施加的电压，流过的电流的有效值大小有关，而且与电压电流的相位差，即功率因数角有关。
0
1 c os( )T
uiP pd t U IT
c o sUI
在一周期内电路吸收的平均功率，也称为有功功率。它的值为：
即
c o sP U I
正弦交流电功率测量包括电压,电流有效值以及二者之间的相位差,工程应用上用功率 表来测量正弦交流电路的有功率 。
功率表包含一组电压测量线圈和一组电流测量线圈。符号图及实际结构如图。
有功功率测量及功率表应用 c o s ( )
u iP U I
w
u
i
符号图结构原理图
iu t
090
i
u
i
i
定线圈动线圈
1
2
3 4
5
实际测量接线图
A
W
U
,I.
c o sP U I
图示接线时,功率表读 数等于以 *号为参考方向的电压电流表达式,用 计算所得的数值 。
注意：功率表二组线圈之间有同名端标记，用于判别功率传输方向。同名端指出了测量时的参考方向。
功率表测量值有正负符号。此时若：
，则表示网络 A吸收功率；
，则表示网络 A发出功率。
0P?
0P?
3）无功功率 Q：
s i nQ U I无功功率,单位为无功伏安（乏）（ VAR）
无功功率 Q表示无源二端网络与外界的能量交换能力 。
i Lu
L L
iu tP
s i n 2LLL L Lp u i UI t
2 s i nLLi I t 2 s i n ( 9 0 )LLu U t，
瞬时功率,
以电感为例,
s i nL L LL LQ UUI I
(最大瞬时功率 )
0
s i n 0Q U I
当负载为电感性时，功率因数角,此时无功功率
，表示电感性负载吸收无功功率。
s inQ U I无功功率,
U
.
I
.
U
.
I
.
0
s i n 0Q U I
当负载呈电容性时，功率因数角,此时无功功率
，表示电容性负载发出无功功率。
U
.
I
.
U
.
I
.
4）视在功率 S：
S UI?
视在功率,单位为伏安（ VA）
对于发电机、变压器等实际电气设备，规定有额定工作电压与额定工作电流。 额定电压决定于电气设备的绝缘强度,而额定电流受设备容许温升和机械强度等制约 。因此它们的容量大小是由电压和电流的乘积而定。视在功率表示电器装置的容量。
，
有功功率,无功功率和视在功率的关系为,
c o sPS s inQS
22S U I P Q tg Q
P
c o s s i nuiS U I U I U I j U I P j Q
5）复数功率在电力系统的计算中，为了使功率计算表达方便，常在正弦电路中用 复数功率 来表示一个元件或一个单端口网络的功率。
复数功率定义为电压相量与电流共轭相量的乘积,用符号来表示，即复数功率的模即为视在功率，幅角是功率因数角，其实部为有功功率，虚部为无功功率。
22S I Z U Y
对于无源一端口网络，其吸收的复数功率可表示为式中,I,U 为一端口网络电压和电流的有效值； Z 为等效阻抗； Y 为等效导纳的共轭复数。
例 1.
求,负载有功功率 P,无功功率 Q,视在功率 S.
复数功率,功率因数,
10 ΩR ωL 2 0 0 0,UV? o&
S% cos?
,
jL?
RI
.
U
.
4 5 2 0 0 0c o s c o s WP U I o
4 5 2 0 0 0s i n s i n v a rQ U I o
2 0 0 0 2S U I V A
2 0 0 1 0 2 4 5 2 0 0 0 2 0 0 0S U I jo%&
2cos 0,7 0 7
2
2 0 0 0 2 1 0 4 5
1 0 1 0
UI
Rj ω L j
o
o&& g
解,
例 2,功率为 40W,功率因数为 0.5的日光灯和功率为 100W的白炽灯并联在 220V(50Hz)交流电源上,求总的功率因数,
I 1
.
I 2
.
I
.
U
.
解,日光灯支路电流
1
4 0 4
c o s 2 2 0 0,5 1 1
PIA
U
10c o s 0,5 6 0
0
1
4 60
11I
0
2
5 0
11I
00
12
04 5 2 2 3 56 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,7 1 2 5,3I I I j
总的功率因数 0c o s 2 5,3 0,9 0 4?
*日光灯接线图
K
L
u ( t)
日光灯管整流器启辉器
1>,日光灯管 2>,整流器 3>,启辉器
w 1
w 1
w 1
I 1
.
I 2
.
I 3
.
U
.
A 1
A 2
A 3
1 2 3,,A A A
例 3,图示电路中口均为有源一端网络,线路电压电流参考方向及相量图如图,求功率表读数,并判断一端口网络的功率流向 (吸收或发出 ).
U
.
I 1
.
I 2
.
I 3
.
吸收功率关联参考方向
1 0P?
1A
90 o
11 c o s 0P U I
解,对于为关联参考方向,
故
1,UI &&
1,UI &&
相位差
,W1
w 1
w 1
w 1
I 1
.
I 2
.
I 3
.
U
.
A 1
A 2
A 3
U
.
I 1
.
I 2
.
I 3
.
3A
3,UI&&
90 o
33 c o s 0P U I
对于关联参考方向,
发出功率故
1 2 30,0,0,W W W
功率表读数：
1,UI&&
90 o
22 c o s 0P U I
对于非关联参考方向,
故吸收功率,
2A
6）功率因数提高任何一种电气设备的容量决定于它的额定电压和额定电流的大小,但电气设备发出 （ 对发电机 ） 或消耗 （ 对负载 ） 的有功功率不但与电压电流有关,而且与功率因数有关 。 当电气设备的功率因数较低时,设备的利用率就很低 。 举例来说,一台额定容量为 1000kV·A的变压器,如果负载的功率因数为 0.7,则变压器最大输出功率为 700kW。 如果把负载功率因数提高到 1,则变压器最大可输出 1000kW的有功功率 。 这样设备的利用率就提高了 。
Z
I
.
U
.变压器在实际工业应用中，多数用电负载是感性负载（如三相感应电动机），使得负载端电流滞后于电压，功率因数角 。要提高功率因数，最简便的措施是在感性负载两端并联电容器。
0
例 4 电感性负载通过并联电容来提高功率因数,
Us
.
I
.
I L
.
I C
.
R
LC
设电源电压 2 0 0 0U? o&,负载阻抗为 R和 L,
1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 4 5Z R jω L j o
负载电流
2 45,sL UI Z o
&&
1,4 1 4LIA?有效值
,c os 0.7071o
功率因数
(若电力线路最大容许电流 则负载端可并联接入约 70个电器负载 。 ) m a x 1 0 0,IA?
I
.
U
.I C
.
I L
.
同一线路，若在负载端并联电容 C,则电容电流
s
CS
U
Ij ω c U
jωc
&
&&
，总电流
S
L C c S
UI I I j ωU
Z
&& & & &
1 2 0 0jj ωc g
若取 1
200 Ωωc?
，则负载电流 1IA?&
此时，负载总功率因数 c o s
（电压电流同相，
o
）
（同一电力线路最多可接入 100
个电器负载）
Us
.
I
.
I L
.
I C
.
R
LC
例 5 某一负载端电压为 10kV,有功功率为 1000kW,功率因数
（ 感性 ）,现要把功率因数提高到 0.9,问应在负荷两端并联多大的电容？
1c o s 0,8
I
.
I L
.
I C
.
R
LC
U
.
I L
.
U
.
1
解：由题可知，在电容并联前负载电流
3
3
1
1 0 0 0 1 0 A 1 2 5 A
c o s 1 0 1 0 0,8
L
PI
U?
功率因数角 1 3 6,9
若以电压为参考相量 41 0 0 VU
则电流相量
L 1 2 5 3 6,9 AI
I L
.
I C
.
I a
.
I p
.
I
.
U
.
I p1
.
2
1
把负载电流分解成沿 U 方向的有功分量
aI
和与 U 垂直的无功分量
pI
a L 1c o s 1 0 0 AII
p L 1s i n 7 5 AII
现要使功率因数提高到 0.9，接入电容后总电流为负载电流
LI
与电容电流之和。 因为电容电流为容性无功电流，两电流合成后总有功分量不变。 当 时，总电流为：
2c o s 0,9
a
2
100 A 1 1 1,1 A
c o s 0,9
II
无功分量
P 1 2s i n 4 8,4 AII
需要补偿的电容电流
p P 1 7 5 A 4 8,4 A 2 6,6 ACI I I
从而求出电容值,
4
26.6 F 8,47 F
2 50 10
CIC
U p
7）交流电路功率守恒任一封闭正弦交流电网络，所有电源发出的复数功率等于所有负载吸收的复数功率 。
电网络有功功率和无功功率分别守恒 。
U 1
.
U 2
.R
L
C
I 1
.
I 2
.
I 3
.
21 1 2 3 1c o s c o sU I U I I R
22
1 1 2 3 2 3
1s i n s i nU I U I I ω L I
ωC
KK
PP源 负载
KK
QQ源 负载
KK
SS%%源 负载例 6 某一负载端电压为 10kV,有功功率为 1000kW,功率因数
（ 感性 ）,现要把功率因数提高到 0.9,用复功率守恒定理计算,应在负荷两端并联多大的电容？
1c o s 0,8
I
.
I L
.
I C
.
R
LC
U
.解：从 复功率守恒 的观点看,负载端并联电容的作用是产生负载所需的无功功率,使电源供给负载端的无功功率减少,
从而提高电路的功率因数 。 题中原负载的视在功率：
3
31 0 0 0 1 0 V A 1 2 5 0 1 0 V A
c o s 0,8
PS
无功功率,3s i n 1 2 5 0 1 0 s i n 3 6,9QS37 5 0 1 0 v a r
因为负载端并联电容不会影响负载的有功功率,即负载的有功功率保持不变 。 现在欲把负载端并联电容后功率因数提高到 0.9,则负载端输入的总视在功率变为：
I
.
I L
.
I C
.
R
LC
U
.
3
31 0 0 0 1 0 V A 1 1 1 1 1 0 V A
c o s 0,9
PS
此时总无功功率为 3s i n 4 8 4 1 0 v a rQS
32 6 6 1 0 v a rCQ Q Q
37 5 0 1 0 v a r?
34 8 4 1 0 v a r?
由于原来实际负载所需的无功功率为,而功率因数提高后外部输入的无功功率变为,根据功率守恒定理,并联电容应输出的无功功率为：
3
2 4 2
2 6 6 1 0 F 8,4 7
3 1 4 ( 1 0 )
CQCF
U
因此可求得电容值为：
3.10 复杂正弦交流电路的计算任意复杂的电网络中，如果所有的 激励源都是同一频率的正弦函数,电路所有器件均为 线性器件,则电路中所有支路的电压与电流都为 与激励源同频率的正弦量 。电路计算可以用相量来表示和进行运算。所有由基尔霍夫定律和欧姆定律推导出来的有关直流电路计算的方法和定理都可推广应用到交流电路的计算中，但所有的计算都为复数形式。
s1 1 0 0 0 VU s2 1 0 0 9 0 VU
5R5LX2CX
例 1 图示电路中，已知,,
，,,试用回路法求各支路电流。
解,取网孔回路如图，
列出回路方程,m 1 m 2 s 1() CR jX I R I U
m 1 m 2 s 2() LR I R jX I U
代入数据得,
m 1 m 2( 5 2 ) 5 1 0 0j I I
m 1 m 25 ( 5 5 ) 1 0 0I j I j
R
Us 1
.
Us 2
.
I m1
.
I m2
.
jL?jC?
1
m1
1 0 0(5 5 ) 5 0 0 5 0 0A A 2 7,7 5 6,3 A
(5 2) (5 5 ) 2 5 1 0 1 5
jj
j j jI
m 1 s1
m2
(5 2 ) 2 7,7 5 6,3 1 0 0 A
5
() C jR jX I UI
R
3 2,3 1 1 5,4 A
1 m 1 2 7,7 5 6,3 AII 2 m 2 3 2,3 6 4,6 AII
3 m 1 m 2 2 7,7 5 6,3 A 3 2,3 1 1 5,4 A 2 9,8 6 1 1,8 AI I I
L
C
R
Us 1
.
Us 2
.
I m1
.
I m2
.
I 1
,I
2
.
I 3
.
0EE 0 0 0Z R jX Z R jX
例 2 电路如图,已知有源网络 A的戴维南等效电路等效电势,等效阻抗,负载阻抗,
其参数分别可调,问当 Z取何值时,负载可获得最大功率？
Z o
ZE
.
I
.
解：流过负载的电流为,
0
0
EI
ZZ电流的有效值为,
0
22
00( ) ( )
EI
R R X X
负载有功功率的值为,2
2 0
22
00( ) ( )
ERP I R
R R X X
0XX 0RR?
可知当,时,功率有极大值,
2
0
m a x
04
EP
R?
负载和有源网络的匹配条件称为共轭匹配。
解：本题采用节点电压法来解,设 d点为参考点,分别对 a,b、
c节点列出节点电压方程有,
A
A B C A A B C A
1 1 1 bc
a
ll
UU EU
Z Z Z Z Z Z
例 3 电路如图，已知各电压源的值为
A 2 2 0VE? B 2 2 0 1 2 0 VE
2 2 0 1 2 0 VCE
，
,线路阻抗
50lZj,负载阻抗分别为
A B B C ( 1 0 0 3 0 0 )Z Z j
CA ( 1 0 0 3 0 0 )Zj
求各电压源输出的复数功率。
A
E
B
E
C
E
l
Z
l
Z
l
Z
AB
Z
BC
Z
CA
Z
a
c
bd
A
I
B
I
C
I
B
A B B C A B B C
1 1 1 ac
b
ll
UU EU
Z Z Z Z Z Z
B C C A C A B C
1 1 1 a b C
C
ll
U U EU
Z Z Z Z Z Z
代入数据,可联立解得,
2 2 8 2 0,7 VaU
1 5 0 1 2 6 AbU
2 3 8 1 2 1,6 VcU
A
E
B
E?
C
E
l
Z
l
Z
l
Z
AB
Z
BC
Z
CA
Z
a
c
bd
A
I
B
I
C
I
支路电流为,
A
A
2 2 0 2 2 8 2 0,7
A
50
1,6 2 4,8 A
a
l j
EU
I
Z
A
E
B
E?
C
E
l
Z
l
Z
l
Z
AB
Z
BC
Z
CA
Z
a
c
bd
A
I
B
I
C
I
B
B
2 2 0 1 2 0 1 5 0 1 2 6 A 1,4 3 1 6 2 A
50
b
l
EUI
Zj
C 2 2 0 1 2 0 2 3 8 1 2 1,6 A 0,3 9 1 3 0 A
50
c
C
l
EUI
Zj
各电压源输出的复数功率为,AAA
B
BB
C
CC
2 2 0 V 1,6 2 4,8 A 3 5 5 2 9,8 v a r
2 2 0 1 2 0 V 1,4 3 1 6 2 A
6 5,4 W 3 0 8 v a r
2 2 0 1 2 0 V 0,3 9 1 3 0 A
2 9,3 W 8 0,6 v a r
S E I W j
S E I
j
S E I
j
K
W
U
.
I
.
R 1,X 1
R 2,X 2
求,R1,X1（ X1＞ 0）,R2,X2。
例 4 图示电路,阻抗 Z1= R1+jX1,阻抗 Z2= R2+jX2,外加电压幅值 U＝ 220V,ω＝ 314rad／ 秒,
K闭合时,I＝ 10A,P＝ 1000W
K打开时,I＝ 12A,P＝ 1600W
解,1） K合时,R1,X1被短路,只有 R2消耗功率
2211 RIP?
10 Ω101 0 0 0IPR 22
1
1
2
1
220 22
10
U
I
z
2 2 2 2
21 2 2 1 0 1 9,6X z R
由给定的条件,可知 为容抗,
2X
K
W
U
.
I
.
R 1,X 1
R 2,X 2
2） K开时,R1,R2都消耗功率,故
11.11121 6 0 0IPRR 22
2
2
21
R1=1.11Ω
2 2 0 5 5
1 2 3
Uz
I
2 2 2 2
12
55( ) ( ) 1 1,1 1 4,6
3X z R R
12 5X X X
K
W
U
.
I
.
R 1,X 1
R 2,X 2
附：复数计算规则
a jb?
A?
直角坐标：
极座标：
设：
1 1 1 1
2 2 2 2
A A a jb
A A a jb
&
&
2 2 1 b,,
a
co s b = A s i n
A a b t g
aA
①相加、减
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )A A a j b a j b a a j b b&&
②相乘：
1 2 1 2 1 2A A A A A A&&gg
③相除,1
11
222
AAA
AAA
&
&
1,正弦量,相量
2,有效值
3,正弦电路元件
4,基尔霍夫定律相量形式
5,无源一端口网络,阻抗,导纳
6,交流电路功率
7,复杂正弦交流电路计算本章教学目的,
正弦交流电路是应用最广泛的电路，本章介绍单相正弦交流电路理论中的基本概念和规律。
本章教学要求,
掌握正弦量的概念及其相量表示法,相量运算；
正弦电路元件特性；交流电路 KCL,KVL形式；交流电路功率,有功功率和无功功率及功率因数的概念；简单正弦电路分析方法 。
3.1 正弦交流电量的基本概念交流电路,电压或电流是时间的周期性函数,一周期内平均值为零,
正弦交流电路,电压或电流是时间的正弦函数,
i
t
I mRi
瞬时表达式
1)正弦交流电流描述 (电流参考方向如图所示 )
瞬时值电流波形图瞬时表达式需规定参考方向 !
() s i n ( )imtI ti
i
瞬时表达式
i
t
I mRi
2)正弦交流电的三要素
1> Im 幅值 (最大值 )
2> ω 角频率,ω =2pf,
f 频率,T 周期,T=1/f
3> (ωt ＋?i) 相位，
i 初相位
s i n ( )m iI ti
我国电网 f＝ 50Hz，
ω＝ 314弧度／秒,
T = 20毫秒03 1 1 s i n ( 3 1 4 3 0 )tVu例,
电流表达式必须规定参考方向 !
例如规定参考方向从 1到 2,i＝ 5sin（ 314t+45° ）,则随时间变化曲线如图 。
1 2i
t
1 2i'
t
对于 同一个电流,如果参考方向改为从 2到 1,记为 i′,则
i′ ＝－ i＝－ 5sin（ 314t＋ 45°）＝ 5sin（ 314t－ 135°）,
即把时间起点沿 ωt轴移动 180°。 i与 i′ 表示同一电流，由于正方向不同，初相位相差 180°。
2） 相位差,同频率正弦交流电相位差
i
1 i 2
φ
i1
φ
i2 i
1超前 i2
相位差：
φ ＝ （ ωt＋ φ i1） － （ ωt＋ φ i2） ＝ φ i1－ φ i2
可见,相位差＝初相位之差 。
若 φ ＞ 0,φ i1＞ φ i2,i1超前 i2；
两个同频率正弦量,见图
i1＝ I1 sin（ ωt＋ φ i1）,i2＝ I2 sin（ ωt＋ φ i2）
φ ＝ 0,φ i1＝ φ i2,i1与 i2同相位；
i
1
i
2
φ
i1
φ
i2 i
1滞后 i2
φ <0,φ i1＜ φ i2,i1滞后 i2；
i
2
i
1
t
i1与 i2同相位
i
1 i
2 t
i
1
i
2
t
i1超前 i2
2
p (90° ) i1滞后 i2 (90° )
2
p
i
1
i
2
t
i
1
i
2
t
i1和 i2同相 i1和 i2反相
3.2 周期交流电量的有效值有效值物理意义,周期交流电流 流过电阻 R时,在一个周期内消耗的能量等于某一大小的直流电流 I在同一电阻相同时间内消耗的能量 。 称这一直流电流 I为交流电流 的有效值 。
()it
()it
i R
2
0
,TiW i R d t
交流电功率,
22
0
TIW I R d t I R T直流电功率,
周期交流电流 有效值,
2
0
1 TI i d t
T
（有效值又称为均方根值）
同理，周期交流电压有效值为
2
0
1 TU u d t
T
由
iIWW?
得,
正弦交流电流的有效值
2
mII?
s i nmIti设电流,则正弦交流电流的有效值为,
2 2 2
00
1 1 1 c o s 2s in ( )
2 2
tT m
mm
IωtII ω td t I d t
TT
即同样可定义电压有效值
2
mUU?
注意：电气工程上电压电流的大小,一般都用有效值来表示,
电气工程测量仪表一般也指有 效值 。
电路计算中一般用有效值运算 。
单相电压 220V是 指有效值，其最大值约为 311V.
i
1
i
2
i
01 2 4 0 s i n ( 3 1 4 3 0 )tAi
02 2 3 0 s i n ( 3 1 4 6 0 )tAi
0022 2 4 0 s i n ( 3 1 4 3 0 ) 2 3 0 s i n ( 3 1 4 6 0 )tti i i
三角函数计算
1）正弦交流电瞬时值与相量关系
Re
u( t )
t
t=t 0
t 0 0
I m
t =0
O
P
2 s i n ( )iI ωt
线段 P在虚轴上的投影
3.3 正弦交流电量的相量表示
2 s i n ( )iI ωt瞬时表达式
i
ωt
波形图
φ
1
j
I
.
ω
相量图相量以角频率 逆时针旋转,其在虚轴上的投影即为正弦交流电流的瞬时值 。
正弦交流电的三种表达方式,
瞬时表达式 相量 复数式
ω
II&相量 (复数式 )
[ 2 ]jj ωtmI I e ei代数表示法
I 1
.
I 2
.
I
.
j
1
t=t0
I
.
1
j
I 1
.
I 2
,t=t1
122 s i n ( ) 2 s i n ( )I ω t I ω ti
合成电流 时域计算,正弦函数计算任一时刻合成电流瞬时值 等于 二个电流瞬时值之和 。
合成电流相量计算,
I
.
I 1
.
I 2
.
= +
2）正弦交流电量计算
11
22
2 s i n ( )
2 s i n ( )
iI ωt
iI ωt
设求两个电流之和
12i i i
i
1
i
2
i
合成相量 等于 二个电流相量之和。
正弦交流电瞬时表达式计算 → 相量计算（复数计算）。
求
122 4 s i n ( 3 0 ),2 3 s i n ( 6 0 )i ω t i ω too
12i i i
例 1：已知,
把瞬时值运算变为相量运算,
注意，只有同频率量才可进行相量运算。
I
.
1
j
I 1
.
I 2
.
相量图
3)转换为瞬时式
2 5 s i n ( 6,9 )i ω t A o
1)转换为相量形式,
00124 3 0,3 6 0II&&
解：
00
12
33
4 3 0 3 6 0 2 3 2 3
22
33
( 2 3 ) ( 2 3 ) 5 6,9
22
I I I j j
j
o
& & &
2)相量 (复数 )运算
3.4 正弦交流电路的元件电压电流相量表达式 （相量欧姆定律）
U R
.I R.
R
U R
.
I R
.
RRU R I
电压与电流有效值关系电压与电流同相位相量表达式,
RRU RI?&&
相量形式欧姆定律
1）电阻元件时域瞬时式
RRRu i?
2 s i n ( )RiI ω t φ
i
u
t
P
u
i
2 s i n ( )Ru R I ω t φ
平均功率
2
0
1 T
RRP U i d t U I I RT
瞬时功率,
22 s i n ( )R R R Rp i u U I t
[ 1 c o s 2 ( ) ]RRUI t
U R
.I R.
R
U R
.
I R
.
2）电感元件
I L
,U
L
.
jL?
I L
.
U L
.
时域表达式 2 s i n
LLiI ωt?
2 s i n ( 9 0 ) 2 s i n ( 9 0 )L L LU ω L I ω t U ω too
LLU ω L I
o
电压与电流有效值关系电感电压超前电感电流 9 0
LX ωL?,称为感抗,反映某一频率下电感电压有效值与电流有效值关系,具有阻抗的量纲,
相量表达式,
L L L LUj ω L I jX I& & &
LLII& LLU ω L I&
,
即有,相量形式欧姆定律
i L u
L
L
LL diuL
dt?
iu t
Li LU
时的电感电流 。
33 1,8 1 0LH
2 1 0 s i n 3 1 4 2 1 0 s i n 3 1 4 0 0 0u t u t 和例 1,一线圈电感,试求电压为
3 1 4 1 /ωs?50 zfH?
33 1 4 3 1,8 1 0 1 0 ΩLX ωL
解,当 时,
线圈电抗
1 0 0 1 9 0
10
L
L
L
UI
jX j
o
o&& 1LIA?
线圈电流 电流幅值
3 1 4 0 0 0 1 / ( 5 0 )ω s f K H z
33 1 4 0 0 0 3 1,8 1 0 1 0 0 0 0 ΩLX ωL
当线圈电抗
1 0 0 0,0 0 1 9 0
10000
L
L
L
UI
jX j
o
o&&
0,0 0 1 1LI A m A
线圈电流 电流幅值同一电感在不同频率时，电抗相差很大。
0
1 0T
LLP p d tT
电感元件平均功率 iu tP
电感元件串联在电路中,当交流电流流过时产生电压降,但不会产生功率损耗,一般交流电扇就是用串联电感来调速的,
2 s i n 2 s i n ( 9 0 )L L L L Lp u i I ω t U ω t o
电感元件瞬时功率
s i n 2LLUI ωt?
2 s i nLLiI ωt?
2 s i n ( 9 0 )LLUU ωt o
U C
.
I C
.
I C
,U C
.
1
jC?
cCIj ω cU?&&
1
C C C CU I jX Ijωc& & &
相量表达式 即,
相量形式欧姆定律
1
90
C C C CU X I Iωc
o
电压与电流有效值关系电压滞后电流
3）电容元件时域表达式
c
C
duiC
dt?
2 s i n CUU ωt?
2 sin ( 9 0 )
2 sin ( 9 0 )
c
C
C
du
i C U ω c ω t
dt
I ωt
o
o
Ci
C
u
C
i C u
C t
电容元件瞬时功率
s i n 2c c c c cp u i U I ωt
2 s i n CUU ωt?
2 s i n ( 9 0 )CCiI ωt o
电容元件平均功率
0
1 0T
cCP p d tT
i c
u c
t
P
1
CX ωC?
称为容抗，单位欧姆，
容抗与频率成比。
I C
.
U C
.
1
jC?
U R
.I R.
R
U R
.
I R
.
RRU RI?&&
I L
,U
L
.
jL?
I L
.
U L
.
L L L LUj ω L I jX I& & &
U C
.
I C
.
I C
,U C
.
1
jC?
1
C CCCUI jXjωC I& & &
对于复杂的线性电路，如果所有激励源均为同一频率的正弦函数，则各支路的电流和电压都为和激励源有相同频率的正弦函数，都可以表示为相量形式，在电路计算中可采用相量计算的方法。 基尔霍夫定律对于任何电路均成立。
3.7 基尔霍夫定律相量形式基尔霍夫节点电流定律的时域表达式为
0i
相量形式的基尔霍夫节点电流定律,
0u基尔霍夫回路电压定律的时域表达式为相量形式的基尔霍夫回路电压定律,
0I
0U
,,R R L LU R I U jω L I& & & &元件欧姆定律,
1
CCUIjωc?&&
把节点电流或回路电压的相量作成矢量图，可得到一个闭合的矢量多边形。在计算分析正弦交流电路中，可利用上述两个定律及相量关系。
基尔霍夫定律的相量形式,0
0
I
U
&
&
节点:
回路:
直流电路中叙述的电路分析方法和电路定理是基于 KCL和
KVL导出的，而这两个基本定律对任何电路均成立。因此直流电路中叙述的分析方法和定理对于任何电路均成立，且在交流电路中可用相量形式表示。在今后的分析中将直接引用这些方法或定理。
100 Ω,1R ω L I A,设,求电源电压。
1 0 0 0 1 0 0 9 0
2 1 0 0 4 5
RLU U U
oo
o
& & &
电源电压有效值为 141.4V
1 0 0,1 0 0,1 4 1R L R LU V U V U V U U U注意：
电压电流相量形式满足 KCL,KVL,有效值不满足
KCL,KVL,求交流电路应用相量关系计算 。
R
jL?
I
.
U
.
I
.
U R
.
U L
.1 0 0 0,
1 0 0 9 0
R
L
U I R
Uj ω L I
o
o
&&
&&
解,1 0 0 0,IR o&设例 1
2 2 0 0 VU
1 1 0 0 6 0 VU 2U
图示电路中，已知求,的值。
U 1
.
U 2
.
U
.
图中画出了电压的相量图。
12U U U
21 2 2 0 0 V 1 0 0 6 0 VU U U
解：由基尔霍失电压定律，得
1 9 1 2 7 V
U 1
.
U 2
.
U
.
例 2
为测量一只线圈的电感和电阻，将它与电阻 R1串联后接入频率为 50Hz的正弦电源，如图所示，测得外加电压,
电阻 R1上电压,线圈两端电压 。已知电阻,试求线圈的电阻 R与电感 L的值。
200 VU?
1 1 0 0VU? 2 1 2 4VU?
1 100R
R
jL?U
.
R 1
U 1
.
U 2
.
解：以电流作参考相量，分别作出电压相量如图所示。因为因此电压相量组成一个闭合三角形。 12
U U U
U
.
U 1
.
U 2
.
I
.
例 3:
2 2 2
12
1
c o s 2U U UUU
2 2 22 0 0 1 0 0 1 2 4
0,8 6 62 2 0 0 1 0 0
在相量图上，用余弦定理可求出 角为,
U
.
U 1
.
U 2
.
I
.
30
s inL I U 1
1
100 A 1 A
100
UI
R
得,由相量图又可得到
，
s i n 2 0 0 0,5 H 0,3 1 8 H
314
UL
I
1c o s 2 0 0 0,8 6 6 1 0 0 7 3,2
1
UUR
I
因此上述解题方法是利用相量的几何关系，这是一种常用的解题方法。
1 0 0,5,3,L C CU V I A I A U I &&与
,,CLR X X
,电路如图,同相，求
。
RU
R
.
U c
.
U L
.
U
.
I L
.
I C
.
C
L
0,0 R RRRUU II oo &&
L R CI I I& & &
RU&
解：取 为参考相量,作出相量图
9 0CCII o&
，
I C
.
U
.
I L
.
U R
.
U L
.
I R
.
φ
θ
L L LU jX I?&& 22 4R L CI I I A
1s in 3 6,9,9 0 5 3,1C
L
Iφ θ φ
I
o o o
，
例 4
100 1 2 5,
s i n 0,8L
UUV
θ
c o s 1 2 5 0,6 7 5RLUU θV
75 25 Ω
3
R
C
C
UX
I
75 1 8,7 Ω
4
R
R
UR
I
125 25 Ω
5
L
L
L
UX
I
I C
.
U
.
I L
.
U R
.
U L
.
I R
.
φ
θ
利用相量图关系计算是交流电路的一种计算方法,
1) RLC串联电路电路如图,由 KVL得,
1
1
[ ( ) ]
R L C
U U U U
R I j LI I
jc
R j L I
c
IZ
3.8 无源一端口网络阻抗导纳及等效电路
U R
.
U C
.U
L
.
R
U
.
I
.
jL?
1
jC?
阻抗,
11
()
( )LC
U
Z R j ω L R j ω L
j ω c ω cI
R j X X R jX z
&
&
R jL?
Z jC?
1
()LCZ R j X X R j X z
Z— 复数阻抗,
XL— 感抗,
XC— 容抗
X— 电抗
22
1
z R X
X
tg
R
阻抗模阻抗角
0,
0,
)
(
(
0)
0XZ?
当 时 为当 容性阻 时为抗抗感性阻Z
阻抗符号
I
.
U R
.
U C
.
U L
.
U
.
相量图例 1 FCmHLRVtu?64,210,12,314s i n222
求,I,UR,UL,UC 。
解, 94.65102 1 03 1 4 3LX L?
76.491064314 1c1X 6C
44.5314.2018.16j12)XX(jRjXRZ CL
取 为参考相量22 0U
44.5309.144.5314.20 022ZUI
1,0 9 2 s i n ( 3 1 4 5 3,4 4 )tiA
U R
.
U C
.U L
.
R
U
.
I
.
jL?
jC?
1
44.5311.1344.5309.112IRU R
1 3,1 1 2 ( 3 1 4 5 3,4 4 )s i nR tu V
6 5,9 4 1,0 9 5 3,4 4 7 1,8 3 5,5 6LLU j L I j X I j
7,1 8 2 s i n ( 3 1 4 3 5,5 6 )LutV
4 9,7 6 1,0 9 5 3,4 4 5 4,2 4 1 4 3,4 4CCU j X I j
5 4,2 4 2 s i n ( 3 1 4 1 4 3,4 4 )C tu V U R
.
U C
.U L
.
R
U
.
I
.
jL?
jC?
1
2) RLC并联电路 I
.
R jL? jC?
1
I R
.
I L
.
I C
.U
.
11()
R L CI I I I U j ωcRj ωL& & & & &
11 ()IYj ωc G j B
R ωLU
&
&
导纳,
导纳 Y中的实部 G是该电路的 电导,虚部为电路的 电纳,
阻抗和导纳互为倒数,1
Y Z?
Z R jX
Y G jB 22RG RX 22XB RX
22
GR
GB 22
BX
GB
互换关系,
3) 无源一端口网络计算任意无源网络在正弦激励时可等效成为一入端阻抗（导纳）。
1 ( 4 1 0 )Zj 2 ( 8 6 )Zj
3 0,1 2 SYj
2 2 2 0 s i n Vut
例 2 图示电路，已知,,
,试求该电路的入端阻抗。 若外加电压
，求各支路电流。
23 ( 0,0 8 0,0 6 0,1 2 ) ScbY Y Y j j
则
( 0,0 8 0,0 6 ) S 0,1 3 6,9 Sj
Z 1
Z 2
Y 3
a
b
cI 1
.
I 2
.
I 3
.
2Z
2
2
11 S ( 0,0 8 0,0 6 ) S
86YjZj
解：先求 cb端等效阻抗,阻抗的等效导纳
1 1 0 3 6,9 ( 8 6 )
cb
cb
Zj
Y
cb右端等效阻抗电路入端阻抗
1 ( 4 1 0 8 6 ) 2 0 5 3,1cb jjZ Z Z
Z 1
Z 2
Y 3
a
b
cI 1
.
I 2
.
I 3
.
2 2 0 0 VU设 则
1
2 2 0 0 A 1 1 5 3,1 A
2 0 5 3,1
UI
Z
1 1 1 5 3,1 1 0 3 6,9 V 1 1 0 1 6,2 Vc b c bU I Z
2
2
1 1 2 0,7 AcbUI
Z
33
1 3,2 1 0 6,2 AcbI U Y
解,以电流为参考相量,作相量图
U
.
U 1
.
U 2
.
I
.
由电压值得 030
1 c o s 1 0 0 3RUU
1 s i n 1 0 0LUU
200S VU?例 3 图示电路，已知,
,电流 I=2A,电压
,求 R,L,C的值。
12 200U U V
i u 1
u 2
u s
R L
C
1000
1 0 0 3 5 0 3
2
RUR
I
100 50
2000
LUL m H
I
2 10
200000C
ICF
U
例 4 图示电路,已知 f=50Hz,I＝ 2A,U＝ UC＝ UP＝ 30V,求 C
及 P的串联电路参数 。 U
C
.
U
.
I
.
U P
.
P
I
.
U C
.
U
.
U p
.
解：以 为参考相量，作相量图,设I?
02I 9030U C?,则
15IUX CC F0 6 6 7.0X
1C
C
3030U P?
由相量图得,
3 0 3 0 1 5 3 0
20
PUZ
I
5 3 0 1 5 3 0 1 2,9 9 7,51 c o s s i n jj
R＝ 12.99Ω,XL＝ 7.5Ω,这里 X为正，电路呈感性，等值电抗为感抗,
图中相量形式一般是不可能的，在关联参考方向下,无源阻抗 (无受控源 )的阻抗角 (电压和电流的相位角 ) 。
讨论,
I
.
U C
.
U
.
U p
.
U C
.
U
.
I
.
U P
.
P
090
解,在输入输出之间接入电容和电阻,
电路如图,
u
o
u
i
R
R 0
C 0
例 5 已知
u
o
u
i
P R
1 0 s i n (1 0 0 0 )i tVu?
100R,欲使 05 s i n ( 1 0 0 0 4 5 )
o tVu
试设计一个最简线路来实现,
R
R 0
U 1
.
U 2
.
jC?
1
I
.
U
.
I
.
由相位要求,电流超前电压 45度,
1
O
U Z
J
R
I
R
C?
1
ORR C
I.
与
U2
,同相,得,
R
R 0
U 1
.
U 2
.
jC?
1
I
.1
ORR C
由 两个电阻上电压
0
0
0
1RR
RR
UU
RR
jC?
0
2
2RR iUU?
由电压副值要求,0,5
O iUU?
0
2
2
1
2O R ROO ii
RRU U U U
R R R R
( 2 1 ) 4 1,4ORR
11 7,0 7
() 1 0 0 0 2 1 0 0OCFRR
例 6 如图电路,当 R变化时电流 I保持不变,
问 L,C应如何选取?
I
.
U
.
jC?
1
jL?
R
解,当 R变化时,如果总阻抗 (导纳 )的模不变,
则电流 I不变,1
()
1
()
R j L
jC
Z
R j L
C
当 1 2 L
C
2
()
2
L
R j L
j
ZL
R j L
与 R无关,
I C
.
I L
.
I R L
.
I
.
U
.
相量图
jL?
jC?
1
R 0
R 0
Z
U
.
a
b
例 7 如图电路,L=1mH,
0 1RK
( 3 5 )Zj,欲使 Z上无电流,
问 C应取何值? 并求此时的输入阻抗,
解,要使 Z无电流,a,b点应等电位,
0
1
1
a
jC
UU
R
jC
0
0
b
RUU
R j L
0
0
0
1
1
jC
R
R
R j L
jC
2
0()R
L
C?
2
0()
LC
R?
jL?
jC?
1
R 0
R 0
Z
U
.
a
b
2
0()
LC
R?
00
00
1
( )( )
1i
R j L R
jC
Z
R j L R
jC
0
2
00
0
1
2( ) ( )
1
2
R R j L
jC
R
R
jL
jC
(交流电路电桥平衡 )
3.9 正弦交流电路的功率计算
u
i
iu
t
P
1) 瞬时功率,
c o s ( 2 )c o s ( ),u u ιi UIp u i tUI ω
( ) 2 s i n ( ),uu t U ωt
( ) 2 s i n ( )ii t I ωt
设电压和电流取 关联方向,如图瞬时功率可分为恒定分量与二倍角频率变化的正弦分量 。
瞬时功率在某些时间段为正值，表示此时一端口网络正在吸收功率。在某些时间段为负值，表示网络在输出功率，将原来储存的能量送回电网。
2） 有功功率 (平均功率 ),
为电压电流相位差 ;,UI 为电压电流有效值 ;?
cos?
()ui
—— 功率因数；
—— 功率因数角。
I
.
U
.
U
.
I
.?
决定一个一端口网络负载平均功率的大小，不但与施加的电压，流过的电流的有效值大小有关，而且与电压电流的相位差，即功率因数角有关。
0
1 c os( )T
uiP pd t U IT
c o sUI
在一周期内电路吸收的平均功率，也称为有功功率。它的值为：
即
c o sP U I
正弦交流电功率测量包括电压,电流有效值以及二者之间的相位差,工程应用上用功率 表来测量正弦交流电路的有功率 。
功率表包含一组电压测量线圈和一组电流测量线圈。符号图及实际结构如图。
有功功率测量及功率表应用 c o s ( )
u iP U I
w
u
i
符号图结构原理图
iu t
090
i
u
i
i
定线圈动线圈
1
2
3 4
5
实际测量接线图
A
W
U
,I.
c o sP U I
图示接线时,功率表读 数等于以 *号为参考方向的电压电流表达式,用 计算所得的数值 。
注意：功率表二组线圈之间有同名端标记，用于判别功率传输方向。同名端指出了测量时的参考方向。
功率表测量值有正负符号。此时若：
，则表示网络 A吸收功率；
，则表示网络 A发出功率。
0P?
0P?
3）无功功率 Q：
s i nQ U I无功功率,单位为无功伏安（乏）（ VAR）
无功功率 Q表示无源二端网络与外界的能量交换能力 。
i Lu
L L
iu tP
s i n 2LLL L Lp u i UI t
2 s i nLLi I t 2 s i n ( 9 0 )LLu U t，
瞬时功率,
以电感为例,
s i nL L LL LQ UUI I
(最大瞬时功率 )
0
s i n 0Q U I
当负载为电感性时，功率因数角,此时无功功率
，表示电感性负载吸收无功功率。
s inQ U I无功功率,
U
.
I
.
U
.
I
.
0
s i n 0Q U I
当负载呈电容性时，功率因数角,此时无功功率
，表示电容性负载发出无功功率。
U
.
I
.
U
.
I
.
4）视在功率 S：
S UI?
视在功率,单位为伏安（ VA）
对于发电机、变压器等实际电气设备，规定有额定工作电压与额定工作电流。 额定电压决定于电气设备的绝缘强度,而额定电流受设备容许温升和机械强度等制约 。因此它们的容量大小是由电压和电流的乘积而定。视在功率表示电器装置的容量。
，
有功功率,无功功率和视在功率的关系为,
c o sPS s inQS
22S U I P Q tg Q
P
c o s s i nuiS U I U I U I j U I P j Q
5）复数功率在电力系统的计算中，为了使功率计算表达方便，常在正弦电路中用 复数功率 来表示一个元件或一个单端口网络的功率。
复数功率定义为电压相量与电流共轭相量的乘积,用符号来表示，即复数功率的模即为视在功率，幅角是功率因数角，其实部为有功功率，虚部为无功功率。
22S I Z U Y
对于无源一端口网络，其吸收的复数功率可表示为式中,I,U 为一端口网络电压和电流的有效值； Z 为等效阻抗； Y 为等效导纳的共轭复数。
例 1.
求,负载有功功率 P,无功功率 Q,视在功率 S.
复数功率,功率因数,
10 ΩR ωL 2 0 0 0,UV? o&
S% cos?
,
jL?
RI
.
U
.
4 5 2 0 0 0c o s c o s WP U I o
4 5 2 0 0 0s i n s i n v a rQ U I o
2 0 0 0 2S U I V A
2 0 0 1 0 2 4 5 2 0 0 0 2 0 0 0S U I jo%&
2cos 0,7 0 7
2
2 0 0 0 2 1 0 4 5
1 0 1 0
UI
Rj ω L j
o
o&& g
解,
例 2,功率为 40W,功率因数为 0.5的日光灯和功率为 100W的白炽灯并联在 220V(50Hz)交流电源上,求总的功率因数,
I 1
.
I 2
.
I
.
U
.
解,日光灯支路电流
1
4 0 4
c o s 2 2 0 0,5 1 1
PIA
U
10c o s 0,5 6 0
0
1
4 60
11I
0
2
5 0
11I
00
12
04 5 2 2 3 56 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,7 1 2 5,3I I I j
总的功率因数 0c o s 2 5,3 0,9 0 4?
*日光灯接线图
K
L
u ( t)
日光灯管整流器启辉器
1>,日光灯管 2>,整流器 3>,启辉器
w 1
w 1
w 1
I 1
.
I 2
.
I 3
.
U
.
A 1
A 2
A 3
1 2 3,,A A A
例 3,图示电路中口均为有源一端网络,线路电压电流参考方向及相量图如图,求功率表读数,并判断一端口网络的功率流向 (吸收或发出 ).
U
.
I 1
.
I 2
.
I 3
.
吸收功率关联参考方向
1 0P?
1A
90 o
11 c o s 0P U I
解,对于为关联参考方向,
故
1,UI &&
1,UI &&
相位差
,W1
w 1
w 1
w 1
I 1
.
I 2
.
I 3
.
U
.
A 1
A 2
A 3
U
.
I 1
.
I 2
.
I 3
.
3A
3,UI&&
90 o
33 c o s 0P U I
对于关联参考方向,
发出功率故
1 2 30,0,0,W W W
功率表读数：
1,UI&&
90 o
22 c o s 0P U I
对于非关联参考方向,
故吸收功率,
2A
6）功率因数提高任何一种电气设备的容量决定于它的额定电压和额定电流的大小,但电气设备发出 （ 对发电机 ） 或消耗 （ 对负载 ） 的有功功率不但与电压电流有关,而且与功率因数有关 。 当电气设备的功率因数较低时,设备的利用率就很低 。 举例来说,一台额定容量为 1000kV·A的变压器,如果负载的功率因数为 0.7,则变压器最大输出功率为 700kW。 如果把负载功率因数提高到 1,则变压器最大可输出 1000kW的有功功率 。 这样设备的利用率就提高了 。
Z
I
.
U
.变压器在实际工业应用中，多数用电负载是感性负载（如三相感应电动机），使得负载端电流滞后于电压，功率因数角 。要提高功率因数，最简便的措施是在感性负载两端并联电容器。
0
例 4 电感性负载通过并联电容来提高功率因数,
Us
.
I
.
I L
.
I C
.
R
LC
设电源电压 2 0 0 0U? o&,负载阻抗为 R和 L,
1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 4 5Z R jω L j o
负载电流
2 45,sL UI Z o
&&
1,4 1 4LIA?有效值
,c os 0.7071o
功率因数
(若电力线路最大容许电流 则负载端可并联接入约 70个电器负载 。 ) m a x 1 0 0,IA?
I
.
U
.I C
.
I L
.
同一线路，若在负载端并联电容 C,则电容电流
s
CS
U
Ij ω c U
jωc
&
&&
，总电流
S
L C c S
UI I I j ωU
Z
&& & & &
1 2 0 0jj ωc g
若取 1
200 Ωωc?
，则负载电流 1IA?&
此时，负载总功率因数 c o s
（电压电流同相，
o
）
（同一电力线路最多可接入 100
个电器负载）
Us
.
I
.
I L
.
I C
.
R
LC
例 5 某一负载端电压为 10kV,有功功率为 1000kW,功率因数
（ 感性 ）,现要把功率因数提高到 0.9,问应在负荷两端并联多大的电容？
1c o s 0,8
I
.
I L
.
I C
.
R
LC
U
.
I L
.
U
.
1
解：由题可知，在电容并联前负载电流
3
3
1
1 0 0 0 1 0 A 1 2 5 A
c o s 1 0 1 0 0,8
L
PI
U?
功率因数角 1 3 6,9
若以电压为参考相量 41 0 0 VU
则电流相量
L 1 2 5 3 6,9 AI
I L
.
I C
.
I a
.
I p
.
I
.
U
.
I p1
.
2
1
把负载电流分解成沿 U 方向的有功分量
aI
和与 U 垂直的无功分量
pI
a L 1c o s 1 0 0 AII
p L 1s i n 7 5 AII
现要使功率因数提高到 0.9，接入电容后总电流为负载电流
LI
与电容电流之和。 因为电容电流为容性无功电流，两电流合成后总有功分量不变。 当 时，总电流为：
2c o s 0,9
a
2
100 A 1 1 1,1 A
c o s 0,9
II
无功分量
P 1 2s i n 4 8,4 AII
需要补偿的电容电流
p P 1 7 5 A 4 8,4 A 2 6,6 ACI I I
从而求出电容值,
4
26.6 F 8,47 F
2 50 10
CIC
U p
7）交流电路功率守恒任一封闭正弦交流电网络，所有电源发出的复数功率等于所有负载吸收的复数功率 。
电网络有功功率和无功功率分别守恒 。
U 1
.
U 2
.R
L
C
I 1
.
I 2
.
I 3
.
21 1 2 3 1c o s c o sU I U I I R
22
1 1 2 3 2 3
1s i n s i nU I U I I ω L I
ωC
KK
PP源 负载
KK
QQ源 负载
KK
SS%%源 负载例 6 某一负载端电压为 10kV,有功功率为 1000kW,功率因数
（ 感性 ）,现要把功率因数提高到 0.9,用复功率守恒定理计算,应在负荷两端并联多大的电容？
1c o s 0,8
I
.
I L
.
I C
.
R
LC
U
.解：从 复功率守恒 的观点看,负载端并联电容的作用是产生负载所需的无功功率,使电源供给负载端的无功功率减少,
从而提高电路的功率因数 。 题中原负载的视在功率：
3
31 0 0 0 1 0 V A 1 2 5 0 1 0 V A
c o s 0,8
PS
无功功率,3s i n 1 2 5 0 1 0 s i n 3 6,9QS37 5 0 1 0 v a r
因为负载端并联电容不会影响负载的有功功率,即负载的有功功率保持不变 。 现在欲把负载端并联电容后功率因数提高到 0.9,则负载端输入的总视在功率变为：
I
.
I L
.
I C
.
R
LC
U
.
3
31 0 0 0 1 0 V A 1 1 1 1 1 0 V A
c o s 0,9
PS
此时总无功功率为 3s i n 4 8 4 1 0 v a rQS
32 6 6 1 0 v a rCQ Q Q
37 5 0 1 0 v a r?
34 8 4 1 0 v a r?
由于原来实际负载所需的无功功率为,而功率因数提高后外部输入的无功功率变为,根据功率守恒定理,并联电容应输出的无功功率为：
3
2 4 2
2 6 6 1 0 F 8,4 7
3 1 4 ( 1 0 )
CQCF
U
因此可求得电容值为：
3.10 复杂正弦交流电路的计算任意复杂的电网络中，如果所有的 激励源都是同一频率的正弦函数,电路所有器件均为 线性器件,则电路中所有支路的电压与电流都为 与激励源同频率的正弦量 。电路计算可以用相量来表示和进行运算。所有由基尔霍夫定律和欧姆定律推导出来的有关直流电路计算的方法和定理都可推广应用到交流电路的计算中，但所有的计算都为复数形式。
s1 1 0 0 0 VU s2 1 0 0 9 0 VU
5R5LX2CX
例 1 图示电路中，已知,,
，,,试用回路法求各支路电流。
解,取网孔回路如图，
列出回路方程,m 1 m 2 s 1() CR jX I R I U
m 1 m 2 s 2() LR I R jX I U
代入数据得,
m 1 m 2( 5 2 ) 5 1 0 0j I I
m 1 m 25 ( 5 5 ) 1 0 0I j I j
R
Us 1
.
Us 2
.
I m1
.
I m2
.
jL?jC?
1
m1
1 0 0(5 5 ) 5 0 0 5 0 0A A 2 7,7 5 6,3 A
(5 2) (5 5 ) 2 5 1 0 1 5
jj
j j jI
m 1 s1
m2
(5 2 ) 2 7,7 5 6,3 1 0 0 A
5
() C jR jX I UI
R
3 2,3 1 1 5,4 A
1 m 1 2 7,7 5 6,3 AII 2 m 2 3 2,3 6 4,6 AII
3 m 1 m 2 2 7,7 5 6,3 A 3 2,3 1 1 5,4 A 2 9,8 6 1 1,8 AI I I
L
C
R
Us 1
.
Us 2
.
I m1
.
I m2
.
I 1
,I
2
.
I 3
.
0EE 0 0 0Z R jX Z R jX
例 2 电路如图,已知有源网络 A的戴维南等效电路等效电势,等效阻抗,负载阻抗,
其参数分别可调,问当 Z取何值时,负载可获得最大功率？
Z o
ZE
.
I
.
解：流过负载的电流为,
0
0
EI
ZZ电流的有效值为,
0
22
00( ) ( )
EI
R R X X
负载有功功率的值为,2
2 0
22
00( ) ( )
ERP I R
R R X X
0XX 0RR?
可知当,时,功率有极大值,
2
0
m a x
04
EP
R?
负载和有源网络的匹配条件称为共轭匹配。
解：本题采用节点电压法来解,设 d点为参考点,分别对 a,b、
c节点列出节点电压方程有,
A
A B C A A B C A
1 1 1 bc
a
ll
UU EU
Z Z Z Z Z Z
例 3 电路如图，已知各电压源的值为
A 2 2 0VE? B 2 2 0 1 2 0 VE
2 2 0 1 2 0 VCE
，
,线路阻抗
50lZj,负载阻抗分别为
A B B C ( 1 0 0 3 0 0 )Z Z j
CA ( 1 0 0 3 0 0 )Zj
求各电压源输出的复数功率。
A
E
B
E
C
E
l
Z
l
Z
l
Z
AB
Z
BC
Z
CA
Z
a
c
bd
A
I
B
I
C
I
B
A B B C A B B C
1 1 1 ac
b
ll
UU EU
Z Z Z Z Z Z
B C C A C A B C
1 1 1 a b C
C
ll
U U EU
Z Z Z Z Z Z
代入数据,可联立解得,
2 2 8 2 0,7 VaU
1 5 0 1 2 6 AbU
2 3 8 1 2 1,6 VcU
A
E
B
E?
C
E
l
Z
l
Z
l
Z
AB
Z
BC
Z
CA
Z
a
c
bd
A
I
B
I
C
I
支路电流为,
A
A
2 2 0 2 2 8 2 0,7
A
50
1,6 2 4,8 A
a
l j
EU
I
Z
A
E
B
E?
C
E
l
Z
l
Z
l
Z
AB
Z
BC
Z
CA
Z
a
c
bd
A
I
B
I
C
I
B
B
2 2 0 1 2 0 1 5 0 1 2 6 A 1,4 3 1 6 2 A
50
b
l
EUI
Zj
C 2 2 0 1 2 0 2 3 8 1 2 1,6 A 0,3 9 1 3 0 A
50
c
C
l
EUI
Zj
各电压源输出的复数功率为,AAA
B
BB
C
CC
2 2 0 V 1,6 2 4,8 A 3 5 5 2 9,8 v a r
2 2 0 1 2 0 V 1,4 3 1 6 2 A
6 5,4 W 3 0 8 v a r
2 2 0 1 2 0 V 0,3 9 1 3 0 A
2 9,3 W 8 0,6 v a r
S E I W j
S E I
j
S E I
j
K
W
U
.
I
.
R 1,X 1
R 2,X 2
求,R1,X1（ X1＞ 0）,R2,X2。
例 4 图示电路,阻抗 Z1= R1+jX1,阻抗 Z2= R2+jX2,外加电压幅值 U＝ 220V,ω＝ 314rad／ 秒,
K闭合时,I＝ 10A,P＝ 1000W
K打开时,I＝ 12A,P＝ 1600W
解,1） K合时,R1,X1被短路,只有 R2消耗功率
2211 RIP?
10 Ω101 0 0 0IPR 22
1
1
2
1
220 22
10
U
I
z
2 2 2 2
21 2 2 1 0 1 9,6X z R
由给定的条件,可知 为容抗,
2X
K
W
U
.
I
.
R 1,X 1
R 2,X 2
2） K开时,R1,R2都消耗功率,故
11.11121 6 0 0IPRR 22
2
2
21
R1=1.11Ω
2 2 0 5 5
1 2 3
Uz
I
2 2 2 2
12
55( ) ( ) 1 1,1 1 4,6
3X z R R
12 5X X X
K
W
U
.
I
.
R 1,X 1
R 2,X 2
附：复数计算规则
a jb?
A?
直角坐标：
极座标：
设：
1 1 1 1
2 2 2 2
A A a jb
A A a jb
&
&
2 2 1 b,,
a
co s b = A s i n
A a b t g
aA
①相加、减
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )A A a j b a j b a a j b b&&
②相乘：
1 2 1 2 1 2A A A A A A&&gg
③相除,1
11
222
AAA
AAA
&
&
