主要内容：
迭加定理和线性定理替代定理戴维南定理和诺顿定理特勒根定理互易定理第二章 (2) 电路定理
2-8、迭加定理线性 电路中任一支路电流（电压）等于各个 独立 源分别单独作用情况下所产生电流（电压）之代数和。
概念这里 分别单独作用 是指：
电路中 其余电压源 短路,其余电流源 开路 。
I 1
R 1
U s 1
U s 3
R 3
I 3
I 2
R 2U 2
＋
I 12
R 1
U s 3
R 3
I 32
I 22
R 2U 22
I2=I21＋ I22
U2=U21＋ U22
I 11
R 1
U s 1
R 3
I 31
I 21
R 2U 21
支路电压和支路电流的迭加
I 1
R 1
U s 1
U s 3
R 3
I 3
I 2
R 2
U 2
①
②
证：由齐尔曼定律，支路 2
的电压为
1
1
1
3
3
13
12
13
3 322 31
2
1 1111 11 1 1
Us
R
UsU s U s
RR
RR
R
RRR
U
RR R R
讨论：
1,迭加定理中，不起作用的电压源元件短路，不起作用的电流源元件开路,
2,迭加定理计算时，独立电源可分成一个一个源分别作用，
也可把电源分为一组一组源分别作用。
3、迭加定理只适合于线性电路，非线性电路的电压电流不可迭加 。
1
2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 1
1
1
( ) 2
2
P I R I I R I R I R I
I I RPP
IR
5、迭加定理一般并不直接用来解题，而多用来分析电路，
推导定理。
4、无论线性、非线性电路，功率 P 均不可迭加。
111I I I
设,
显然,
12PPP
6、电路包含受控源时,每次迭加受控源元件均存在 （受控源与电阻器件一样处理 )。
R 1
R 2
R 3
U S
U?
U
＋=
'
'
R 1
R 2
R 3
I S
U?
U
"
"
R 1
R 2
R 3
U S
I S
U?
U
求电压 U.
例 1
R 1
R 2
R 3
R 4
I S6
U s 5
U 1
电路如图所示，已知 R1=2?
R2=R3=4?,R4=8?,Is6=1A，
为使 U1=0V,Us5应为多少？
解：应用迭加定理，当 Is6起作用时，
R1上电压为
216
1
12
' 4 ()
3S
RU I V
RRR
当 Us5起作用时,R1上电压为
11
12
'' 55 1
3
RU
RRU s U s
由题意，
1 1 1' '' 0U U U 得,Us5 = 4 V
例 2 电路如图所示，已知 R5=2?
R1= R2= R3=1?，
R4= R6= 1?,Is1=1A，
US1= US2= 2V,求电流
I.
R 1
U s 1
I S1
R 2
R 6
R 3
R 5
R 4
U s 2
I
解,R2= R3=R4= R6,电桥平衡,
当 US1,Is1 作用时,电流为零,
2
5 2 3 4 6
22
( ) / / ( ) 2 1 3
SUIA
R R R R R
例 3
2 1 1
11
() SaS
aS
U
U U I
R R R
U U U
解 1,设 b点为参考节电，
则 Uab可用节点法计算如下
a
b
R 3
R 1
R 2
U
U
U ab
I S
U s
电路如图，试求电阻
R2上的电压 Uab.
1
21
1
11
S
a S S
U
U I U
R
RR
IS单独作用：
R 1
R 2
R 3
I S
'U?
U’
''
21
''
'
21
11
()
11
S
S
a
a
a
U U I
RR
UU
I
U
RR
解：用迭加定理计算
'a
''
2 1 1
''
1
21
"
"
"
11
()
1
11
S
S
S
S
a
a
a
U
UU
R R R
U U U
U
UU
R
RR
US单独作用,R
1
R 2
R 3
U S
"U?
U”
"a
解得
1
21
"' 1
11
S
SSaaa
U
U I U
R
RR
U U?
例 4
I 1 I 2
P P
U s
图示电路,P为任意有源电路，已知 I1=3A，
I2=1A,问切断中间所有支路后
I 1 '
P P
U s
I 2 '
U s
解：在支路 2加入一电压源，由电路的 对称性和迭加定理,中间所有支路的电流都为零，支路 1电流
'1 1 2 2I I I A
'1?I?
由于电流为零的支路断开不影响其余支路电流，可知断开中间支路后,的数值为 2A。'
1I
例 5
R 1 R 3
R 2
I 2
U s? I 2
I S
I 3
电路如图,R1=20?,R2=5?，
R3=2?,?=10,Us=10V,Is=1A,
试用迭加定理求 I3=？
解：当电压源单独作用时，电路如下图，
R 1 R 3
R 2
I 2 '
U s? I 2 '
I 3 '
12
'
2 0,4
S AUI
RR
''32 4 AII
R 1 R 3
R 2
I 2 ''
I 2 ''
I 3 ''
I S
当电流源单独作用时，电路如图，
1
12
"
2 0,8S A
RII
RR
""32( ) 9SI I I A
得,
'"3 3 3 13 AI I I
§ 2-9、线性定理
内容
1）线性电路中，当只有一个独立电压源或一个独立电流源作用时，输出响应（支路电压或电流）与电源成正比。
I 1
R 1
U s 1
R 3
I 3
I 2
R 2
U 2
1
1
1 2 3
2
1 1 1
Us
RU
R R R
1Us
当 电压源 激励时，支路、电压电流可描述为,
SSI gU U U或
SSI I U rI或当 电流源 激励时，支路、电压电流可描述为,
2）根据迭加定理和线性定理，支路电压、电流可表示为,
11
m
S
n
Sjk k j
j
iki
i
I U Ig?
上式为线性定理的一般表达式。
11
m
S
n
Sjk k j
j
iki
i
U U I
例 1
A I 3U s
如图电路,A 为有源电路，
当 Us=4V时,I3=4A；
当 Us=6V时,I3=5A；
求当 Us=2V时,I3为多少？
解：由线性定理,I3可表示为
13
11
nm
I G Us Gi Usi k j I sj
ij
由于 A内电源不变，上式又可写为
I3 = G× Us+I0 式中 I0 为 A内所有电源产生的分量，
由给出的条件 得
A I 3U s
4=4G+I0
5=6G+ I0
解得,G=0.5,I0 =2
即 I3=0.5Us+2
当 Us=2V时,I3=3A。
E S1
I S2
I S3 I 4
已知：
1 2 4
1 2 4
1 2 4
1 2 4
0,3 2
10,0 3
8,1 4
8,2
SS
SS
SS
SS
E I A I A
E V I I A
E V I A I A
E V I A I
当 时，
当 时，
当 时，
求：当 时,？
解,4 1 2 3
3
3
3
2 0 3
3 10 0
4 8 1
S S S
S
S
S
I gE I I
gI
gI
gI
代入数据：
3
4 1 2 3
13
7
21
S
S S S
g
I
I gE I I
A
得：,,
（）
例 2
例 3 求各支路电流,(倒递推法 )
2 2 2
20 20 20
i
1
i
3
i
5
i
2
i
4
120解,设,则
5 1a Ai?
4 1.1a Ai?
534 2,1aaa Ai i i
2
4.2 22 26.2 1.31
20 20a Ai
1 2 3 3,4 1a a a Ai i i
122 2 0 3 3,0 2S a a Vu i i
实际电源电压为 120V,由线性定律可知
11
120 12.38
33.02 a Aii
同理可求得其余各支路电流,
§ 2-10 替代定理一、内容若一条支路电流（或电压）确定，则可以用一个等于该确定电流（或电压）的电流源（或电压源）替代，替代之后,其余部分的 电流、电压仍保持不变，这就是替代定理。
A
R U
I
A
I
U
1、用电压源替代
U RI?
证明：
A
R
I
U=RI
U=RI
a
b
c
A
R U
I
A
R
I
U=RI
U=RI
a
b
c
A
I
U
a,b为自然等位点，短路后不影响其余电路的数值。
2、用电流源替代
A
I S
A
R U
I
SII?
A
R U
I
I
I
证明：
A
R
I
I
I
支路电流为零电流为零的支路断开后不影响其余支路的电压和电流。
E,R,RX 均未知，求 RX 等于多少时有 IX =I/8？
E
R
R X
1 0.5
0.5 0.5
I X
I
R X
1 0.5
0.5 0.5
I X
I
I
l
例 1:
将电流条件已知的支路用电流源替代，如右图
1
1
11
( 1 0,5 0,5 0,5 ) ( 1 0,5 ) ( 1 0,5 ) 0
2,5 1,5 1,5 0
21
2,5 1,5 1,5 0
8 4 0
X
X
I I I
I I I
I
I I I I
110,5 0,5 ( )
1
40
abU I I I
I
R X
1 0.5
0.5 0.5
I X
I
I
l
ab
1
40 0,2 ( )
1
8
ab
X
X
I
U
R
I
I
选蓝色支路为树支，建立回路电流方程
§ 2-11戴维南定理戴维南定理,任一线性有源一端口网络,对其余部分而言,可以等效为一个 电压源 Uo和 电阻 Ro相串联的电路,其中：
Uo,等于该一端口网络的开路电压，且电源的正极和开路端口高电位点对应；
Ro,等于令该有源一端口网络内所有 独立源 均为零时所构成的无源一端口网络的等效电阻。 R o
U o
A
a
b
a
b
证明一 （迭加定理证明）
U 0A
U 0
A
I
R A
I
RU 0
U 0
A
I'
R
P
I ' '
RU 0
I = I‘ + I”
U 0
A
I'
R
P
I ' '
RU 0
U 0 U 0A
I ' = 0
R=
I ' '
U 0
R 0
+
I = I’ + I” = I” 证毕。
证明二：
A
a
b
U R
I
A
a
b
U
I
R O
U O
a
b
R
I
U
A
a
b
U 0
P
a
b
U’
I
0
0
00
'
'
U R I
U U U
U R I
OOU U R I
等效电路的开路电压 Uo和入端电阻 Ro的求解：
1,开路电压 Uo：
输出端开路，求开路电压； A U 0
1） 加压法：电路中独立电源拿掉，即电压源短路，
电流源开路，外加电压 U求输入电流 I，
P U
I
2、入端电阻的求法,
也可对电路加一个电流源 I,求输入端电压 U,来求入端电阻！
入端电阻为
0
UR
I?
2）开路短路法
A U 0
A I d
0
d
URo
I?
先求开路电压和短路电流，得
R o
U 0
I d
0
0
0
0
d
d
U
I
R
U
R
I
例 1：已知 R1=R2=10?,R3=5?，
US1=20V,US2=5V,IS=1A,R可调，
问 R为多大时可获最大功率，此功率为多少？
R 1
R 2
R 3
RI
S
U s 1
U s 2
解：求 R左面电路的戴维南等效电路，
用网孔电流法求 I1
（ R1+R2+R3） I1－ R1× IS
= US1－ US2
25× I1－ 10=15
得 I1=1 A
R 1
R 2
R 3
I S
U s 1
U s 2
U o
1
2
开路电压为
Uo=US2+R3× I1=10 V
求入端电阻，电路如图
Ro=(R1+R2)//R3
=20//5=4?
R 1
R 2
R 3
R o
R O
R
U o I
2
2
m a x ( ) 6,2 5
4
UoUoP R W
R o R R o
由最大功率传输原理，当
R=Ro=4? 时电阻 R上可得最大功率例 2:电路及参数如图，求电流 I
I
12V
6
1A
18V
6
6V
6
1
3
解：对电路左侧依此用戴维南等效简化，如图所示
I
18V
6
6V
6
1
3
6V
6
I
1 2 V
3
6V
6
1
3
I
1 2 V
3
6V
6
1
3
I
1 2 V
2
1
3
I=2A
解 1：求开路电压：
2 1 2 2 2
2
22
( ) 2 0
2 ( )
6 ( )
S
abo
I I R I R I
IA
U R I V
例 3
a
b
R 1
I S
2I 2
R 2
I 2
求入端电阻，加压法,设外加电压 US为 3V：
a
b
R 1 2I 2
R 2
I 2
U s
I
2
2
1
1
12
0
2
1
2
1
2
1.5
S
S
S
U
IA
R
UI
IA
R
I I I A
U
R
I
,求戴维南等效电路。
124,1,3SI A R R
:已知解 2：开路短路法
I S
R 1 R
2
I 2
2I 2
a
b
2 1 2 2 2
2
22
( ) 2 0
2 ( )
6 ( )
S
abo
I I R I R I
IA
U R I V
开路电压
I S
R 1 R
2
I 2
2I 2
a
b
I d
0
4
1,5 ( )
dS
ab
d
d
I I A
U
R
I
短路电流例 4
已知 US=10V,IS=1A,?=0.5,
g=0.0375,R1=R2=R3=20?,
求戴维南等效电路。
R 1
R 2
R 3g
U
I S
U s
U?
U
1
2
解,电路局部简化，
Uo‘=Us+Is× R1=30V
R 1
R 2
R 3g
U
U o'
U
U
1
2
I 2
R 1
R 2
R 3g
U
U o'
U
U
1
2
I 2
列回路方程
Uo‘=(R1+R2)I2+(gR2× I2+I2)R3
开路电压为
Uo=－?I2× R2－ (R1+R2)I2+Uo‘=10 V
解得 I2=0.4 A
求开路电压,
R 1
R 2
R 3
g
U
U?
U
I S
U
12
3
方法 1:移去独立电源，在端部加电流源 IS=1 A,求端部电压 U。
求入端电阻,
端电压为,
U=－?R2× I3+(IS+I3+gR2× I3） R3=40/3 V
入端电阻,
Ro=U/Is=40/3?
(R1+R2+R3)I3+R3× IS+R3× gR2× I3=0
代入数据，解得 I3=－ 4/15 A，
取回路如图所示，列回路 3的电压方程,
方法 2 求短路电流以 I2为变量，对外围列回路电压方程,
R 1
R 2
R 3
g
U
U o'
U?
U
1
2
I 2
I d
I 3
Uo‘=(R1+R2)I2+?R2× I2
代入数据解得
I2 = 0.6 A
短路电流
Id=I2+gI2× R2－?I2× R2/R3=3/4 A
入端电阻为 Ro=Uo/Id=40/3?
§ 2-12 诺顿定理诺顿定理,任一线性有源一端口网络 A,对其余部分而言，
可以等效为一个 电流源 Id和一个 电阻 Ro(电导 GO)相并联的电路,其中：
Ro 等于将所有 独立源 移去后所构成的无源一端口网络的等效电阻。
Id等于该一端口网络的短路电流 ;
A
a
b
a
b
I d
R d
证明,（迭加定理证明）
U = U1 + U2
A A
R
A
R
I d
I d
U
U
I d
A
R
I d
U 1
P
RI d U 2
A
R
I d
U 1
P
RI d U 2
=
=
A
R
I d
U 1
+
R U 2I d R O
证毕。U=U1+U2= U2
证明 2：
A
a
b
U o
R o
a
b
I d
R o
a
b
戴维南定理电压源和电流源互换戴维南等效和诺顿等效互换
Uo=Ro× Id
Id=Uo/Ro
例 1:利用诺顿定理求电流 I？
a
b
I
4 6
10
6V UU
8
a
b
I d
4 6
6V U=
Id=0.6 A
1)求短路电流，
a
b
I d
4 6
6V UU
8
求 a-b左侧的诺顿等效电路
2）开路短路法求入端电阻：
46
8
12 ( )
U
U
UV
0 12 2 0 ( )
0,6d d
UR
I
开路电压
a
b
4 6
6V UU
8
3）加压法求入端电阻：
a
b
4 6
U
8
U
I
a
b
4 6
U
2
U
I=
I=（ U－ U/2） /10=U/20 A
Rd=U/I=20?
b
a
I d R d
10
U
I
10
20
0,6 0,4( )
20 10
d
d
d
R
II
R
A
最后解得电流为例 2,求 a-b端的诺顿等效电路,
解,开路电压
S
O
UU
0
OS
SS
UU RR
UI
R
入端电阻
I S
R O
I
U
a
b
R
U s
U? I?
0,0UU
,SUI R
短路电流：
S
S
UII
R
a
b
R
U s
'U?
'I?
'I
'U
UI
R
0
U U R
R
UI
R
若采用外加电压方法,
令 U’’=1V,a
R
''U?
''I?
''I
'' 1UV?
等效电路,I
S
R O
例 3,US=8V,R=10?,?=5,求 戴维南 (诺顿 )等效电路,
R
R R
I 1
I 1
R
① ②
U oU s
③
12
12
2 6 3 2
3 1 6
UU
UU
方程无解解,求开路电压,用节点法
32
11
11() UUUI
R R R R
31
2
111( ) 0UU U
R R R R R
3 8,SUU
2
1
SUUI
R
求短路电流,
1 0.8I? R
R R
I 1
I 1
R
① ②
U s
③
I d
I 2 I 3
2 3 1R I R I R I
2 3 1I I I
得
2 2.4IA? 3 1,6IA
节点,
回路,
短路电流为,
13 0,8dI I I A
求入端电阻,设 R
R R
I 1
I 1 R U s
II 2 I 3
I 4
41
10 1
10
SUII
R
10SUV?
1 5I
3 3 1() SI R I I R U
33( 5 ) 1II 3 2I 0I?
电路可等效为一个电流源,
入端电阻
SUR
I
IS
例 4,R1=25?,R2=100?,US=10V,?=10,调节 R3,使 R变化时 U保持不变,问此时 R3,U为多少? (稳压电源 )
U s
R 1
R 2
R 3
I
I?
R
U
解,电阻 R以外部分可等效为电压源和一个内阻,由题意内阻应为零,
U O
R 1
R 2
R 3
I
I?
I S
此时电阻两端的电压 U为,
23
12
( ) 8SUU R R VRR
外加电流 IS=1A,求端电压
1
12
1
5S
RI I A
RR
3 2 3( ) 2 0OSU I I R I R R
3 20R
端电压为零,得,
R
I 1
U 2A
已知 A为有源网络,I1=0.2A,U2=5V,当 R增加
10?时,I1=0.16A,U2=6V,问当 R增加 20?时,U2
为多少?
I 1 R o
U 0R
解,求 R右侧的戴维南等效电路,
1
O
O
UI
RR
0,2 O
O
U
RR
0,1 6 10 O
O
U
RR
得,
0 40RR
0 8UV? 当 R增加 20?时,I1为 4
30A
综合题 1:
R
I 1
U 2A
I 1
U 2A
由替代定理,电阻支路用电流源替代：
21 OU K I U
5 0,2 OKU
6 0,1 6 OKU
得,25K 10
OU?
当 R增加 20?时 I1为 4
30A
2
4 2025 10
30 3UV
图示电路,US=5V,
R1=R2=10?,R3=6,A为线性有源网络,?=5,K闭合时 IK=0.6A,
IR=0.8A; K打开时,I3=0A,
IR=0.5A,现将 K打开,令?=0,调节 R3,使 R3上获最大功率,问此时 IR
为多少?
R 1
R 2
R 3
A
R
I R
U s
I 1?
I 1 I 3
I K
解,开关以左作戴维南等效,开路电压
R 1
R 2
R 3
U s
I 1?
I 1 I 3
U o
1 1 2 1() SI R R I U
1
12
0,2SUIARR
11( ) 3OU I R V
综合题 2:
入端电阻,
R 1
R 2
U s
I 1?
I 1
I d
1 1 2
13
4
SS
d
UUIA
R R R
' 4O
d d
UR
I
3
' 10
O dR R R
R o
A
R
I R
I K
U o
电路简化为,
R o
I K
U o
R A
U A
设开关右侧等效电路为 RA,UA,
由已知条件得,
O A
K
OA
U UI
RR
OAUU?
3AUV? 10AR
得,
当?=0时,开关左边等效电路为
1 2,5
2OSU U V
12// 5OR R R
R o
U o
R A
U A
R 3
I 3
等效电路为,
当 R3=RO+RA=15?时
R3上获得最大功率,此时 3
03
1
60
OA
A
UUIA
R R R
I
I R
A
K闭合时,I=Id-IK=0.3-0.6=-0.3A
K打开时,I=I3=0A.
开关左侧用替代定理后,IR可表示为
ROI K I I
代如已知条件,得,
0,5 0 OKI
0,8 ( 0,3 ) OKI
01,0,5KI
当?=0,R3=15?时,I=I3= 1
60 A?
此时
1 1 311
60 2 60ROI I I A
2-13 特勒根定理特勒根定理：
设有电路 A,B,满足：
(1)两者的拓扑图完全相同，均有 n个节点 b条支路 ；
(2)对应支路节点均采用相同的编号,(其中 B电路的 电流、
电压加,^”号 )；
(3)各支路电流、电压参考方向均取为一致 ;
则有：
R 2
R 5
R 4
R 1
R 3
R 6
U s 1
①
②
③
④
I 2
I 4
I 3
I 6
I 1
I 5
R 4
R 1
R 3
R 6
①
②
③
④
I 2
I 4
I 3
I 6
I 1
I 5
U s 2
I S5
A B
11
11
00
00
bb
KK
KK
kk
bb
K K
KK
kk
U I U I
U I U I
功率守恒定理似功率守恒定理
1）
2）
证明：
①
②
③
④1
2
3
4
5
6
为简化问题，用上面的具体电路来证明似功率定理，其有向图如右,B电路电压电流加 ‘ 来区分。
U1× I1’+ U2× I2’+ U3× I3’+ U4× I4’+ U5× I5’+
U6× I6’=
I1‘(U③ － U① )+I2’(U② － U① )+ I3‘(U① － U ④ )+I4’(U② －
U③ ) + I5‘(U ④ － U ② )+I6’(U③ － U ④ ) =
U① (I3’ － I1’ － I2’)+ U② (I4’+I5’ － I6’)+ U③ (I1’ －
I4’+I6’)+ U ④ (I5’ － I3’ － I6’) =0
证毕讨论：特勒根定理
（ 1） 适应各种电路，直流、交流；线性、非线性；
被称为基尔霍夫第三定律。
（ 2）各支路电压电流参考方向应取为一致 (关联参考方向 )。
例 1,（ 1）若在 2-2’端接 2?电阻，则
（ 2） 若 2-2’端开路，则 。试求 2-2’以左电路的诺顿等效电路。其中 N为纯电阻电路。
123,1 ;U V I A
1 5UV?
N
1
1'
2
2'
2A
2U 1
I 2 N
1
1'
2
2'
2A
U 1?
解：
N
1
1'
2
2'
2A
2U 1
I 2
1
12
3
0
( 2 ) ( 2 ) 0 0
b
KK
K
b
KK
K
UI
U I U I
A
B
1
1 0 2
3
0
( 2 ) 0
b
KK
K
b
KK
K
UI
U U I U I
1U
N
1
1'
2
2'
2A
U 033
33
33
bb
K K K K K
KK
bb
K K K K K
KK
KK
bb
K K K K
KK
U I R I I
U I R I I
RR
U I U I
N
1
1'
2
2'
2A
2U 1
I 2
N
1
1'
2
2'
2A
U 0
1U
1 2 1 0 2 0( 2 ) ( 2 ) 0 ( 2 ) 4 ( )U I U U I U V
E d
R d
2
I 2
0
2
( 2 ) 2 ( )
/ 2 ( )
d
d d d
d d d
EU
I R E R
I E R A
2-14 互易定理一、互易定理的一般形式,
N
U 1 U 2
I 1 I 2 N
1U
2I
1I
2U
N为线性纯电阻电路（既无独立源，也无受控源）,两个端口连接不同的外部条件，则有：
1 1 2 2 1 2 2 2U I U I U I U I
1 1 2 2
13
00
bb
K K K K
KK
U I U I U I U I
1 1 2 2
13
00
bb
K K K K
KK
U I U I U I U I
证明,
1 1 2 2 1 1 2 2U I U I U I U I
由特勒根定理得
（ 1）
（ 2）
N内为纯电阻支路，易知
3 3 3 3
b b b b
K K K K K K K K K K
K K K K
U I R I I R I I U I
（ 1）式减（ 2）式得：
二、互易定理的特殊形式,
1、
NI 1 I 2
E S
N
E S2I
1I?
1 2 1 200SSE I I I E I
21II
当电压源 ES接在支路 1时，在支路 2产生的短路电流等于将电压源 ES移至支路 2时，在支路 1产生的短路电流，这就是互易定理的 第一种形式 。
1 1 2 2 1 1 2 2U I U I U I U I
证：
2、
NI 1 I 2 =0
I S
U 1 U 21 0I
N
I S
2I
1U
2U
1 1 2 2 1 1 2 2U I U I U I U I
1 2 1 20 ( ) ( ) 0SSU U I U I U
21UU
当电流源 IS接在支路 1时，在支路 2产生的开路电压等于将电流源 IS移至支路 2时，在支路 1产生开路电压，这就是互易定理的第二种形式 。
证：
3、
N
I S
2U
1 0U
1I
1 1 2 2 1 1 2 2U I U I U I U I
1 2 1 2( ) 0 0SSE I U I I U
21
SS
UI
EI
当电压源 ES接在支路 1时，在支路 2产生的开路电压与电压源 ES
的比值等于将电流源 IS接在支路 2时，在支路 1产生短路电流与电流源 IS的比值，这就是互易定理的 第三种形式 。
N
I 1 I 2 =0
E S U 2
证：
三、讨论
1、互易定理只适用于线性无源电阻网络。
2、在用互易定理计算时，应特别注意相应的参考方向。
一般可取关联参考方向 。
利用叠加定理和互易定理求电流 I。 图中电阻单位为,Ω
12V 24V
2
2
3 4
4
I
12V
2
2
3 4
4
I’
24V
2
2
3 4
4
I”
例 1：
12V
2
2
3 4
4
I’ 1 2 V
2
2
3 4
4Ia
由互易定理，可得右图,通过串并连简化，得
1 2 2 1 ( )
4 // 4 2 // 2 3 2 2I a A
I‘=Ia=1A
12V 24V
2
2
3 4
4
I”
24V
2
2
3 4
4 Ib
同理，由互易定理可得 Ib=－ 2 A
支路总电流 I=Ia+Ib=－ 1 A
例 2 图示电路,已知 I2=0.5A,求电压 U1.
P
5V
4
3
I 2 P
4
3U 1 5A
解,图 2可转化为图 3,对 1和 3
应用互易定理 1,有
P
4 3
U 1 15V
I 1
①
②
③
1
15 0.5 1.5
5
IA
例 3 根据图中给出的条件,求
I1,I2的值,P20V
4
5
3A 1A
P
20V
4
20V
I 1
I 2
5
①
②
③
解,由图 1和 2求 I.
P
20V
4
2AI
( 2 0 1 2 ) 5 2 ( 2 0 4 ) ( 3 )II
7
2IA?
由迭加定理,
1 3 1 2IA
由图 2和 3求 I2.
2
77( 2 0 4 ) ( 2 ) ( ) ( 2 0 4 2 ) 2 ( 2 0 5 )
22 I
2 1IA
得,
例 4
R 2
R 2
R 2
R 2
R 2
R 2
R 2
R 1
R 1R 1 R 1 R 1 R 1
R 1 R
1 R 1
U s
U s 1
U s 3 I
S5 U s
7I
电路如图,US=US1=US3=US7=4 V,IS5=2 A,R1=1?，
R2 =2?,求电流 I=？
解：当 US单独作用时,I=US/2,各支路电流为
R 2
R 2 R
2
R 2
R 2 R 2 R 2 R 1
R 1R 1 R 1 R 1 R 1
R 1 R
1 R 1
I 2
I
4
I
8
I
16
I
32
I
64
I
128
I
U s
R 2
R 2
R 2
R 2
R 2
R 2
R 2
R 1
R 1R 1 R 1 R 1 R 1
R 1 R
1 R 1
U s
U s 1
U s 3 I
S5 U s
7I
根据上图和互易定理，可直接写出电流
I=US/2－ (US1/2)/2＋ (US3/2)/16－ (R2× IS5/2)/32
－ (US7/2)/128=2－ 2/2＋ 2/16－ 2/32－ 2/128
=67/64 (A)
2-15 电源的移动E
R 1
R 2
a
b
c
e
E E
E
E
R 1
R 2
e
f
g
d
a
b
c
R 2
R 1
E
E
a
b
c
f
g
一、电压源的移动二、电流源的移动
a
b
c
I S
R 1
R 2
a
b
c
I S
I S
I S
I S
R 1
R 2
d
e
f
a
b
c
I S
I S
R 1
R 2
例：以 d为参考节点，求 Uad?
a
b c d
E 1
E 2
R 3 R 4
R 5 R 6
a
b c d
E 2
R 3 R 4
R 5 R 6
a
E 1 E 1
2bUE?
12
3 4 5 6 3 5 3 5
1 1 1 1 1 1( ) ( )
Cb
EEUU
R R R R R R R R
1aCU E U
本章小结,
电路计算方法,
支路电流法 ; 网孔电流法 ; 回路电流法 ;
节点电压法 ; 割集电压法 ; 修整节点法,
电路定理,
迭加定理 ; 线性定理 ; 替代定理 ;
戴维南定理 ; 诺顿定理 ; 特勒根定理 ;
互易定理,
迭加定理和线性定理替代定理戴维南定理和诺顿定理特勒根定理互易定理第二章 (2) 电路定理
2-8、迭加定理线性 电路中任一支路电流（电压）等于各个 独立 源分别单独作用情况下所产生电流（电压）之代数和。
概念这里 分别单独作用 是指：
电路中 其余电压源 短路,其余电流源 开路 。
I 1
R 1
U s 1
U s 3
R 3
I 3
I 2
R 2U 2
＋
I 12
R 1
U s 3
R 3
I 32
I 22
R 2U 22
I2=I21＋ I22
U2=U21＋ U22
I 11
R 1
U s 1
R 3
I 31
I 21
R 2U 21
支路电压和支路电流的迭加
I 1
R 1
U s 1
U s 3
R 3
I 3
I 2
R 2
U 2
①
②
证：由齐尔曼定律，支路 2
的电压为
1
1
1
3
3
13
12
13
3 322 31
2
1 1111 11 1 1
Us
R
UsU s U s
RR
RR
R
RRR
U
RR R R
讨论：
1,迭加定理中，不起作用的电压源元件短路，不起作用的电流源元件开路,
2,迭加定理计算时，独立电源可分成一个一个源分别作用，
也可把电源分为一组一组源分别作用。
3、迭加定理只适合于线性电路，非线性电路的电压电流不可迭加 。
1
2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 1
1
1
( ) 2
2
P I R I I R I R I R I
I I RPP
IR
5、迭加定理一般并不直接用来解题，而多用来分析电路，
推导定理。
4、无论线性、非线性电路，功率 P 均不可迭加。
111I I I
设,
显然,
12PPP
6、电路包含受控源时,每次迭加受控源元件均存在 （受控源与电阻器件一样处理 )。
R 1
R 2
R 3
U S
U?
U
＋=
'
'
R 1
R 2
R 3
I S
U?
U
"
"
R 1
R 2
R 3
U S
I S
U?
U
求电压 U.
例 1
R 1
R 2
R 3
R 4
I S6
U s 5
U 1
电路如图所示，已知 R1=2?
R2=R3=4?,R4=8?,Is6=1A，
为使 U1=0V,Us5应为多少？
解：应用迭加定理，当 Is6起作用时，
R1上电压为
216
1
12
' 4 ()
3S
RU I V
RRR
当 Us5起作用时,R1上电压为
11
12
'' 55 1
3
RU
RRU s U s
由题意，
1 1 1' '' 0U U U 得,Us5 = 4 V
例 2 电路如图所示，已知 R5=2?
R1= R2= R3=1?，
R4= R6= 1?,Is1=1A，
US1= US2= 2V,求电流
I.
R 1
U s 1
I S1
R 2
R 6
R 3
R 5
R 4
U s 2
I
解,R2= R3=R4= R6,电桥平衡,
当 US1,Is1 作用时,电流为零,
2
5 2 3 4 6
22
( ) / / ( ) 2 1 3
SUIA
R R R R R
例 3
2 1 1
11
() SaS
aS
U
U U I
R R R
U U U
解 1,设 b点为参考节电，
则 Uab可用节点法计算如下
a
b
R 3
R 1
R 2
U
U
U ab
I S
U s
电路如图，试求电阻
R2上的电压 Uab.
1
21
1
11
S
a S S
U
U I U
R
RR
IS单独作用：
R 1
R 2
R 3
I S
'U?
U’
''
21
''
'
21
11
()
11
S
S
a
a
a
U U I
RR
UU
I
U
RR
解：用迭加定理计算
'a
''
2 1 1
''
1
21
"
"
"
11
()
1
11
S
S
S
S
a
a
a
U
UU
R R R
U U U
U
UU
R
RR
US单独作用,R
1
R 2
R 3
U S
"U?
U”
"a
解得
1
21
"' 1
11
S
SSaaa
U
U I U
R
RR
U U?
例 4
I 1 I 2
P P
U s
图示电路,P为任意有源电路，已知 I1=3A，
I2=1A,问切断中间所有支路后
I 1 '
P P
U s
I 2 '
U s
解：在支路 2加入一电压源，由电路的 对称性和迭加定理,中间所有支路的电流都为零，支路 1电流
'1 1 2 2I I I A
'1?I?
由于电流为零的支路断开不影响其余支路电流，可知断开中间支路后,的数值为 2A。'
1I
例 5
R 1 R 3
R 2
I 2
U s? I 2
I S
I 3
电路如图,R1=20?,R2=5?，
R3=2?,?=10,Us=10V,Is=1A,
试用迭加定理求 I3=？
解：当电压源单独作用时，电路如下图，
R 1 R 3
R 2
I 2 '
U s? I 2 '
I 3 '
12
'
2 0,4
S AUI
RR
''32 4 AII
R 1 R 3
R 2
I 2 ''
I 2 ''
I 3 ''
I S
当电流源单独作用时，电路如图，
1
12
"
2 0,8S A
RII
RR
""32( ) 9SI I I A
得,
'"3 3 3 13 AI I I
§ 2-9、线性定理
内容
1）线性电路中，当只有一个独立电压源或一个独立电流源作用时，输出响应（支路电压或电流）与电源成正比。
I 1
R 1
U s 1
R 3
I 3
I 2
R 2
U 2
1
1
1 2 3
2
1 1 1
Us
RU
R R R
1Us
当 电压源 激励时，支路、电压电流可描述为,
SSI gU U U或
SSI I U rI或当 电流源 激励时，支路、电压电流可描述为,
2）根据迭加定理和线性定理，支路电压、电流可表示为,
11
m
S
n
Sjk k j
j
iki
i
I U Ig?
上式为线性定理的一般表达式。
11
m
S
n
Sjk k j
j
iki
i
U U I
例 1
A I 3U s
如图电路,A 为有源电路，
当 Us=4V时,I3=4A；
当 Us=6V时,I3=5A；
求当 Us=2V时,I3为多少？
解：由线性定理,I3可表示为
13
11
nm
I G Us Gi Usi k j I sj
ij
由于 A内电源不变，上式又可写为
I3 = G× Us+I0 式中 I0 为 A内所有电源产生的分量，
由给出的条件 得
A I 3U s
4=4G+I0
5=6G+ I0
解得,G=0.5,I0 =2
即 I3=0.5Us+2
当 Us=2V时,I3=3A。
E S1
I S2
I S3 I 4
已知：
1 2 4
1 2 4
1 2 4
1 2 4
0,3 2
10,0 3
8,1 4
8,2
SS
SS
SS
SS
E I A I A
E V I I A
E V I A I A
E V I A I
当 时，
当 时，
当 时，
求：当 时,？
解,4 1 2 3
3
3
3
2 0 3
3 10 0
4 8 1
S S S
S
S
S
I gE I I
gI
gI
gI
代入数据：
3
4 1 2 3
13
7
21
S
S S S
g
I
I gE I I
A
得：,,
（）
例 2
例 3 求各支路电流,(倒递推法 )
2 2 2
20 20 20
i
1
i
3
i
5
i
2
i
4
120解,设,则
5 1a Ai?
4 1.1a Ai?
534 2,1aaa Ai i i
2
4.2 22 26.2 1.31
20 20a Ai
1 2 3 3,4 1a a a Ai i i
122 2 0 3 3,0 2S a a Vu i i
实际电源电压为 120V,由线性定律可知
11
120 12.38
33.02 a Aii
同理可求得其余各支路电流,
§ 2-10 替代定理一、内容若一条支路电流（或电压）确定，则可以用一个等于该确定电流（或电压）的电流源（或电压源）替代，替代之后,其余部分的 电流、电压仍保持不变，这就是替代定理。
A
R U
I
A
I
U
1、用电压源替代
U RI?
证明：
A
R
I
U=RI
U=RI
a
b
c
A
R U
I
A
R
I
U=RI
U=RI
a
b
c
A
I
U
a,b为自然等位点，短路后不影响其余电路的数值。
2、用电流源替代
A
I S
A
R U
I
SII?
A
R U
I
I
I
证明：
A
R
I
I
I
支路电流为零电流为零的支路断开后不影响其余支路的电压和电流。
E,R,RX 均未知，求 RX 等于多少时有 IX =I/8？
E
R
R X
1 0.5
0.5 0.5
I X
I
R X
1 0.5
0.5 0.5
I X
I
I
l
例 1:
将电流条件已知的支路用电流源替代，如右图
1
1
11
( 1 0,5 0,5 0,5 ) ( 1 0,5 ) ( 1 0,5 ) 0
2,5 1,5 1,5 0
21
2,5 1,5 1,5 0
8 4 0
X
X
I I I
I I I
I
I I I I
110,5 0,5 ( )
1
40
abU I I I
I
R X
1 0.5
0.5 0.5
I X
I
I
l
ab
1
40 0,2 ( )
1
8
ab
X
X
I
U
R
I
I
选蓝色支路为树支，建立回路电流方程
§ 2-11戴维南定理戴维南定理,任一线性有源一端口网络,对其余部分而言,可以等效为一个 电压源 Uo和 电阻 Ro相串联的电路,其中：
Uo,等于该一端口网络的开路电压，且电源的正极和开路端口高电位点对应；
Ro,等于令该有源一端口网络内所有 独立源 均为零时所构成的无源一端口网络的等效电阻。 R o
U o
A
a
b
a
b
证明一 （迭加定理证明）
U 0A
U 0
A
I
R A
I
RU 0
U 0
A
I'
R
P
I ' '
RU 0
I = I‘ + I”
U 0
A
I'
R
P
I ' '
RU 0
U 0 U 0A
I ' = 0
R=
I ' '
U 0
R 0
+
I = I’ + I” = I” 证毕。
证明二：
A
a
b
U R
I
A
a
b
U
I
R O
U O
a
b
R
I
U
A
a
b
U 0
P
a
b
U’
I
0
0
00
'
'
U R I
U U U
U R I
OOU U R I
等效电路的开路电压 Uo和入端电阻 Ro的求解：
1,开路电压 Uo：
输出端开路，求开路电压； A U 0
1） 加压法：电路中独立电源拿掉，即电压源短路，
电流源开路，外加电压 U求输入电流 I，
P U
I
2、入端电阻的求法,
也可对电路加一个电流源 I,求输入端电压 U,来求入端电阻！
入端电阻为
0
UR
I?
2）开路短路法
A U 0
A I d
0
d
URo
I?
先求开路电压和短路电流，得
R o
U 0
I d
0
0
0
0
d
d
U
I
R
U
R
I
例 1：已知 R1=R2=10?,R3=5?，
US1=20V,US2=5V,IS=1A,R可调，
问 R为多大时可获最大功率，此功率为多少？
R 1
R 2
R 3
RI
S
U s 1
U s 2
解：求 R左面电路的戴维南等效电路，
用网孔电流法求 I1
（ R1+R2+R3） I1－ R1× IS
= US1－ US2
25× I1－ 10=15
得 I1=1 A
R 1
R 2
R 3
I S
U s 1
U s 2
U o
1
2
开路电压为
Uo=US2+R3× I1=10 V
求入端电阻，电路如图
Ro=(R1+R2)//R3
=20//5=4?
R 1
R 2
R 3
R o
R O
R
U o I
2
2
m a x ( ) 6,2 5
4
UoUoP R W
R o R R o
由最大功率传输原理，当
R=Ro=4? 时电阻 R上可得最大功率例 2:电路及参数如图，求电流 I
I
12V
6
1A
18V
6
6V
6
1
3
解：对电路左侧依此用戴维南等效简化，如图所示
I
18V
6
6V
6
1
3
6V
6
I
1 2 V
3
6V
6
1
3
I
1 2 V
3
6V
6
1
3
I
1 2 V
2
1
3
I=2A
解 1：求开路电压：
2 1 2 2 2
2
22
( ) 2 0
2 ( )
6 ( )
S
abo
I I R I R I
IA
U R I V
例 3
a
b
R 1
I S
2I 2
R 2
I 2
求入端电阻，加压法,设外加电压 US为 3V：
a
b
R 1 2I 2
R 2
I 2
U s
I
2
2
1
1
12
0
2
1
2
1
2
1.5
S
S
S
U
IA
R
UI
IA
R
I I I A
U
R
I
,求戴维南等效电路。
124,1,3SI A R R
:已知解 2：开路短路法
I S
R 1 R
2
I 2
2I 2
a
b
2 1 2 2 2
2
22
( ) 2 0
2 ( )
6 ( )
S
abo
I I R I R I
IA
U R I V
开路电压
I S
R 1 R
2
I 2
2I 2
a
b
I d
0
4
1,5 ( )
dS
ab
d
d
I I A
U
R
I
短路电流例 4
已知 US=10V,IS=1A,?=0.5,
g=0.0375,R1=R2=R3=20?,
求戴维南等效电路。
R 1
R 2
R 3g
U
I S
U s
U?
U
1
2
解,电路局部简化，
Uo‘=Us+Is× R1=30V
R 1
R 2
R 3g
U
U o'
U
U
1
2
I 2
R 1
R 2
R 3g
U
U o'
U
U
1
2
I 2
列回路方程
Uo‘=(R1+R2)I2+(gR2× I2+I2)R3
开路电压为
Uo=－?I2× R2－ (R1+R2)I2+Uo‘=10 V
解得 I2=0.4 A
求开路电压,
R 1
R 2
R 3
g
U
U?
U
I S
U
12
3
方法 1:移去独立电源，在端部加电流源 IS=1 A,求端部电压 U。
求入端电阻,
端电压为,
U=－?R2× I3+(IS+I3+gR2× I3） R3=40/3 V
入端电阻,
Ro=U/Is=40/3?
(R1+R2+R3)I3+R3× IS+R3× gR2× I3=0
代入数据，解得 I3=－ 4/15 A，
取回路如图所示，列回路 3的电压方程,
方法 2 求短路电流以 I2为变量，对外围列回路电压方程,
R 1
R 2
R 3
g
U
U o'
U?
U
1
2
I 2
I d
I 3
Uo‘=(R1+R2)I2+?R2× I2
代入数据解得
I2 = 0.6 A
短路电流
Id=I2+gI2× R2－?I2× R2/R3=3/4 A
入端电阻为 Ro=Uo/Id=40/3?
§ 2-12 诺顿定理诺顿定理,任一线性有源一端口网络 A,对其余部分而言，
可以等效为一个 电流源 Id和一个 电阻 Ro(电导 GO)相并联的电路,其中：
Ro 等于将所有 独立源 移去后所构成的无源一端口网络的等效电阻。
Id等于该一端口网络的短路电流 ;
A
a
b
a
b
I d
R d
证明,（迭加定理证明）
U = U1 + U2
A A
R
A
R
I d
I d
U
U
I d
A
R
I d
U 1
P
RI d U 2
A
R
I d
U 1
P
RI d U 2
=
=
A
R
I d
U 1
+
R U 2I d R O
证毕。U=U1+U2= U2
证明 2：
A
a
b
U o
R o
a
b
I d
R o
a
b
戴维南定理电压源和电流源互换戴维南等效和诺顿等效互换
Uo=Ro× Id
Id=Uo/Ro
例 1:利用诺顿定理求电流 I？
a
b
I
4 6
10
6V UU
8
a
b
I d
4 6
6V U=
Id=0.6 A
1)求短路电流，
a
b
I d
4 6
6V UU
8
求 a-b左侧的诺顿等效电路
2）开路短路法求入端电阻：
46
8
12 ( )
U
U
UV
0 12 2 0 ( )
0,6d d
UR
I
开路电压
a
b
4 6
6V UU
8
3）加压法求入端电阻：
a
b
4 6
U
8
U
I
a
b
4 6
U
2
U
I=
I=（ U－ U/2） /10=U/20 A
Rd=U/I=20?
b
a
I d R d
10
U
I
10
20
0,6 0,4( )
20 10
d
d
d
R
II
R
A
最后解得电流为例 2,求 a-b端的诺顿等效电路,
解,开路电压
S
O
UU
0
OS
SS
UU RR
UI
R
入端电阻
I S
R O
I
U
a
b
R
U s
U? I?
0,0UU
,SUI R
短路电流：
S
S
UII
R
a
b
R
U s
'U?
'I?
'I
'U
UI
R
0
U U R
R
UI
R
若采用外加电压方法,
令 U’’=1V,a
R
''U?
''I?
''I
'' 1UV?
等效电路,I
S
R O
例 3,US=8V,R=10?,?=5,求 戴维南 (诺顿 )等效电路,
R
R R
I 1
I 1
R
① ②
U oU s
③
12
12
2 6 3 2
3 1 6
UU
UU
方程无解解,求开路电压,用节点法
32
11
11() UUUI
R R R R
31
2
111( ) 0UU U
R R R R R
3 8,SUU
2
1
SUUI
R
求短路电流,
1 0.8I? R
R R
I 1
I 1
R
① ②
U s
③
I d
I 2 I 3
2 3 1R I R I R I
2 3 1I I I
得
2 2.4IA? 3 1,6IA
节点,
回路,
短路电流为,
13 0,8dI I I A
求入端电阻,设 R
R R
I 1
I 1 R U s
II 2 I 3
I 4
41
10 1
10
SUII
R
10SUV?
1 5I
3 3 1() SI R I I R U
33( 5 ) 1II 3 2I 0I?
电路可等效为一个电流源,
入端电阻
SUR
I
IS
例 4,R1=25?,R2=100?,US=10V,?=10,调节 R3,使 R变化时 U保持不变,问此时 R3,U为多少? (稳压电源 )
U s
R 1
R 2
R 3
I
I?
R
U
解,电阻 R以外部分可等效为电压源和一个内阻,由题意内阻应为零,
U O
R 1
R 2
R 3
I
I?
I S
此时电阻两端的电压 U为,
23
12
( ) 8SUU R R VRR
外加电流 IS=1A,求端电压
1
12
1
5S
RI I A
RR
3 2 3( ) 2 0OSU I I R I R R
3 20R
端电压为零,得,
R
I 1
U 2A
已知 A为有源网络,I1=0.2A,U2=5V,当 R增加
10?时,I1=0.16A,U2=6V,问当 R增加 20?时,U2
为多少?
I 1 R o
U 0R
解,求 R右侧的戴维南等效电路,
1
O
O
UI
RR
0,2 O
O
U
RR
0,1 6 10 O
O
U
RR
得,
0 40RR
0 8UV? 当 R增加 20?时,I1为 4
30A
综合题 1:
R
I 1
U 2A
I 1
U 2A
由替代定理,电阻支路用电流源替代：
21 OU K I U
5 0,2 OKU
6 0,1 6 OKU
得,25K 10
OU?
当 R增加 20?时 I1为 4
30A
2
4 2025 10
30 3UV
图示电路,US=5V,
R1=R2=10?,R3=6,A为线性有源网络,?=5,K闭合时 IK=0.6A,
IR=0.8A; K打开时,I3=0A,
IR=0.5A,现将 K打开,令?=0,调节 R3,使 R3上获最大功率,问此时 IR
为多少?
R 1
R 2
R 3
A
R
I R
U s
I 1?
I 1 I 3
I K
解,开关以左作戴维南等效,开路电压
R 1
R 2
R 3
U s
I 1?
I 1 I 3
U o
1 1 2 1() SI R R I U
1
12
0,2SUIARR
11( ) 3OU I R V
综合题 2:
入端电阻,
R 1
R 2
U s
I 1?
I 1
I d
1 1 2
13
4
SS
d
UUIA
R R R
' 4O
d d
UR
I
3
' 10
O dR R R
R o
A
R
I R
I K
U o
电路简化为,
R o
I K
U o
R A
U A
设开关右侧等效电路为 RA,UA,
由已知条件得,
O A
K
OA
U UI
RR
OAUU?
3AUV? 10AR
得,
当?=0时,开关左边等效电路为
1 2,5
2OSU U V
12// 5OR R R
R o
U o
R A
U A
R 3
I 3
等效电路为,
当 R3=RO+RA=15?时
R3上获得最大功率,此时 3
03
1
60
OA
A
UUIA
R R R
I
I R
A
K闭合时,I=Id-IK=0.3-0.6=-0.3A
K打开时,I=I3=0A.
开关左侧用替代定理后,IR可表示为
ROI K I I
代如已知条件,得,
0,5 0 OKI
0,8 ( 0,3 ) OKI
01,0,5KI
当?=0,R3=15?时,I=I3= 1
60 A?
此时
1 1 311
60 2 60ROI I I A
2-13 特勒根定理特勒根定理：
设有电路 A,B,满足：
(1)两者的拓扑图完全相同，均有 n个节点 b条支路 ；
(2)对应支路节点均采用相同的编号,(其中 B电路的 电流、
电压加,^”号 )；
(3)各支路电流、电压参考方向均取为一致 ;
则有：
R 2
R 5
R 4
R 1
R 3
R 6
U s 1
①
②
③
④
I 2
I 4
I 3
I 6
I 1
I 5
R 4
R 1
R 3
R 6
①
②
③
④
I 2
I 4
I 3
I 6
I 1
I 5
U s 2
I S5
A B
11
11
00
00
bb
KK
KK
kk
bb
K K
KK
kk
U I U I
U I U I
功率守恒定理似功率守恒定理
1）
2）
证明：
①
②
③
④1
2
3
4
5
6
为简化问题，用上面的具体电路来证明似功率定理，其有向图如右,B电路电压电流加 ‘ 来区分。
U1× I1’+ U2× I2’+ U3× I3’+ U4× I4’+ U5× I5’+
U6× I6’=
I1‘(U③ － U① )+I2’(U② － U① )+ I3‘(U① － U ④ )+I4’(U② －
U③ ) + I5‘(U ④ － U ② )+I6’(U③ － U ④ ) =
U① (I3’ － I1’ － I2’)+ U② (I4’+I5’ － I6’)+ U③ (I1’ －
I4’+I6’)+ U ④ (I5’ － I3’ － I6’) =0
证毕讨论：特勒根定理
（ 1） 适应各种电路，直流、交流；线性、非线性；
被称为基尔霍夫第三定律。
（ 2）各支路电压电流参考方向应取为一致 (关联参考方向 )。
例 1,（ 1）若在 2-2’端接 2?电阻，则
（ 2） 若 2-2’端开路，则 。试求 2-2’以左电路的诺顿等效电路。其中 N为纯电阻电路。
123,1 ;U V I A
1 5UV?
N
1
1'
2
2'
2A
2U 1
I 2 N
1
1'
2
2'
2A
U 1?
解：
N
1
1'
2
2'
2A
2U 1
I 2
1
12
3
0
( 2 ) ( 2 ) 0 0
b
KK
K
b
KK
K
UI
U I U I
A
B
1
1 0 2
3
0
( 2 ) 0
b
KK
K
b
KK
K
UI
U U I U I
1U
N
1
1'
2
2'
2A
U 033
33
33
bb
K K K K K
KK
bb
K K K K K
KK
KK
bb
K K K K
KK
U I R I I
U I R I I
RR
U I U I
N
1
1'
2
2'
2A
2U 1
I 2
N
1
1'
2
2'
2A
U 0
1U
1 2 1 0 2 0( 2 ) ( 2 ) 0 ( 2 ) 4 ( )U I U U I U V
E d
R d
2
I 2
0
2
( 2 ) 2 ( )
/ 2 ( )
d
d d d
d d d
EU
I R E R
I E R A
2-14 互易定理一、互易定理的一般形式,
N
U 1 U 2
I 1 I 2 N
1U
2I
1I
2U
N为线性纯电阻电路（既无独立源，也无受控源）,两个端口连接不同的外部条件，则有：
1 1 2 2 1 2 2 2U I U I U I U I
1 1 2 2
13
00
bb
K K K K
KK
U I U I U I U I
1 1 2 2
13
00
bb
K K K K
KK
U I U I U I U I
证明,
1 1 2 2 1 1 2 2U I U I U I U I
由特勒根定理得
（ 1）
（ 2）
N内为纯电阻支路，易知
3 3 3 3
b b b b
K K K K K K K K K K
K K K K
U I R I I R I I U I
（ 1）式减（ 2）式得：
二、互易定理的特殊形式,
1、
NI 1 I 2
E S
N
E S2I
1I?
1 2 1 200SSE I I I E I
21II
当电压源 ES接在支路 1时，在支路 2产生的短路电流等于将电压源 ES移至支路 2时，在支路 1产生的短路电流，这就是互易定理的 第一种形式 。
1 1 2 2 1 1 2 2U I U I U I U I
证：
2、
NI 1 I 2 =0
I S
U 1 U 21 0I
N
I S
2I
1U
2U
1 1 2 2 1 1 2 2U I U I U I U I
1 2 1 20 ( ) ( ) 0SSU U I U I U
21UU
当电流源 IS接在支路 1时，在支路 2产生的开路电压等于将电流源 IS移至支路 2时，在支路 1产生开路电压，这就是互易定理的第二种形式 。
证：
3、
N
I S
2U
1 0U
1I
1 1 2 2 1 1 2 2U I U I U I U I
1 2 1 2( ) 0 0SSE I U I I U
21
SS
UI
EI
当电压源 ES接在支路 1时，在支路 2产生的开路电压与电压源 ES
的比值等于将电流源 IS接在支路 2时，在支路 1产生短路电流与电流源 IS的比值，这就是互易定理的 第三种形式 。
N
I 1 I 2 =0
E S U 2
证：
三、讨论
1、互易定理只适用于线性无源电阻网络。
2、在用互易定理计算时，应特别注意相应的参考方向。
一般可取关联参考方向 。
利用叠加定理和互易定理求电流 I。 图中电阻单位为,Ω
12V 24V
2
2
3 4
4
I
12V
2
2
3 4
4
I’
24V
2
2
3 4
4
I”
例 1：
12V
2
2
3 4
4
I’ 1 2 V
2
2
3 4
4Ia
由互易定理，可得右图,通过串并连简化，得
1 2 2 1 ( )
4 // 4 2 // 2 3 2 2I a A
I‘=Ia=1A
12V 24V
2
2
3 4
4
I”
24V
2
2
3 4
4 Ib
同理，由互易定理可得 Ib=－ 2 A
支路总电流 I=Ia+Ib=－ 1 A
例 2 图示电路,已知 I2=0.5A,求电压 U1.
P
5V
4
3
I 2 P
4
3U 1 5A
解,图 2可转化为图 3,对 1和 3
应用互易定理 1,有
P
4 3
U 1 15V
I 1
①
②
③
1
15 0.5 1.5
5
IA
例 3 根据图中给出的条件,求
I1,I2的值,P20V
4
5
3A 1A
P
20V
4
20V
I 1
I 2
5
①
②
③
解,由图 1和 2求 I.
P
20V
4
2AI
( 2 0 1 2 ) 5 2 ( 2 0 4 ) ( 3 )II
7
2IA?
由迭加定理,
1 3 1 2IA
由图 2和 3求 I2.
2
77( 2 0 4 ) ( 2 ) ( ) ( 2 0 4 2 ) 2 ( 2 0 5 )
22 I
2 1IA
得,
例 4
R 2
R 2
R 2
R 2
R 2
R 2
R 2
R 1
R 1R 1 R 1 R 1 R 1
R 1 R
1 R 1
U s
U s 1
U s 3 I
S5 U s
7I
电路如图,US=US1=US3=US7=4 V,IS5=2 A,R1=1?，
R2 =2?,求电流 I=？
解：当 US单独作用时,I=US/2,各支路电流为
R 2
R 2 R
2
R 2
R 2 R 2 R 2 R 1
R 1R 1 R 1 R 1 R 1
R 1 R
1 R 1
I 2
I
4
I
8
I
16
I
32
I
64
I
128
I
U s
R 2
R 2
R 2
R 2
R 2
R 2
R 2
R 1
R 1R 1 R 1 R 1 R 1
R 1 R
1 R 1
U s
U s 1
U s 3 I
S5 U s
7I
根据上图和互易定理，可直接写出电流
I=US/2－ (US1/2)/2＋ (US3/2)/16－ (R2× IS5/2)/32
－ (US7/2)/128=2－ 2/2＋ 2/16－ 2/32－ 2/128
=67/64 (A)
2-15 电源的移动E
R 1
R 2
a
b
c
e
E E
E
E
R 1
R 2
e
f
g
d
a
b
c
R 2
R 1
E
E
a
b
c
f
g
一、电压源的移动二、电流源的移动
a
b
c
I S
R 1
R 2
a
b
c
I S
I S
I S
I S
R 1
R 2
d
e
f
a
b
c
I S
I S
R 1
R 2
例：以 d为参考节点，求 Uad?
a
b c d
E 1
E 2
R 3 R 4
R 5 R 6
a
b c d
E 2
R 3 R 4
R 5 R 6
a
E 1 E 1
2bUE?
12
3 4 5 6 3 5 3 5
1 1 1 1 1 1( ) ( )
Cb
EEUU
R R R R R R R R
1aCU E U
本章小结,
电路计算方法,
支路电流法 ; 网孔电流法 ; 回路电流法 ;
节点电压法 ; 割集电压法 ; 修整节点法,
电路定理,
迭加定理 ; 线性定理 ; 替代定理 ;
戴维南定理 ; 诺顿定理 ; 特勒根定理 ;
互易定理,
