第七章 网络矩阵方程本 章 主 要 内 容
1,图的基本概念 ;
2,关联矩阵 A，回路矩阵 B,割集矩阵 Q;
3,KCL矩阵形式,KVL矩阵形式 ;
4,节点电压方程矩阵形式 ;
5,回路电流方程矩阵形式 ;
6,割集电压方程矩阵形式 ;
7,列表法 (2B法 )介绍,
1) 当电路的结构比较简单时，可以直接利用基尔霍夫定律及前面章节所介绍的 支路法、回路法 和 节点法,直接手工建立所需的解题方程组来解题。
3)求解矩阵形式表示的电路方程，可以归结为解矩阵相量的问题，可采用矩阵计算工具软件如 Matlab软件等方便快捷地进行矩阵运算。
2)解决复杂网络问题可以应用网络图论的方法对电路进行系统化分析，应用矩阵方法系统地分析网络的图和建立电路方程，即建立矩阵形式的节点电压方程、割集电压方程和回路电流方程等。
7.1 网络图论概念电路图与拓扑图实际电路图 对应的线图 (有向图 )
线图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际电路的结构（支路与节点之间的连接关系）。
R 2
R 5
R 4
R 1
R 3
R 6
U s 1
①
②
③
④
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
树支、连支、单连支回路 ①
②
④
③
1
2
3
4
5
6树 T所包含的支路称为 树支 ；
（图中支路 1,2,3）
图中其余的支路称为 连支 ；
（图中支路 4,5,6）
树支数 = nt－ 1 (节点数减 1）
连支数 =支路数－ 树支数
= b － nt ＋ 1 =（网孔数）
①
②
④
③
1
2
3 6
③
4
5 ①
②
单连支回路：每一连支可与其两端之间的唯一树支路径构成一条唯一的回路。此回路称为单连支回路。
回路方向与连支一致。
7.2 关联矩阵与节点电流定律实际电路 结构 可用一个 有向图 来具体描述 。 把有向图各节点和支路编号,然后依次把各支路与相应连接点的连接信息用数字形式记忆下来 。 根据这些信息可完整描述电路的 联接关系,计算机可根据这些信息自动识别电路关系,并应用 基尔霍夫定律 建立相应的 电路方程,进行相应的运算 。
反映电路结构中支路与节点连接关系可用一个关联矩阵 A来描述,
R 2
R 5
R 4
R 1
R 3
R 6
U s 1
①
②
③
④
关联矩阵
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
有向图有向图结构用一个 阶矩阵来表示,记为 。 矩阵的行对应于有向图的节点,矩阵的列对应于网络的支路 。
中的元素作如下定义：
tnb? aA
aA
0
1,
1,
jk
kj
a k j
kj
当支路 不连接到节点 时;
当支路 连接到节点 且方向为离开节点时;
当支路 连接到节点 且方向为指向节点时;
1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
aA
支 路节点
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
aA
支 路节点
1) 每一列中只包含二个非零元素＋ 1和－ 1
2) 把所有行的元素按列相加，则得到全零的行，因此矩阵的行不是彼此独立的。
3) 矩阵的秩为 。1
tn?
节点数：
支路数：
tn
b
降阶关联矩阵把 的任一行划去，剩下的矩阵称为 降阶关联矩阵,记作 A。
aA
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1
A
1） 矩阵 A的行是彼此独立的；
2） 矩阵 A同样能充分描述有向图的连接关系，划去的行对应的节点即为参考节点 。
由关联矩阵可建立电路的连接图 (有向图 )
1
2
34
5
6
①
② ③
④
1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
A
1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1
0 1 1 1 0
1
0
aA
①
②
③
④
矩阵形式的基尔霍夫电流定律 ①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
12,,,bi i i
12[,,,] Tbi i i?i
设网络各支路电流为支路电流方向与有向图支路方向一致，
用矩阵形式表示的支路电流列向量为用关联矩阵 A左乘支路电流列向量 i，可得
0?Ai
0?AI
或上式为 矩阵形式的基尔霍夫电流定律
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1
A
如图
1 2 3 4 5 6[,,,,,]
Ti i i i i i?i
1
1 2 3
2 4 5
14
2
3
4
5
6
6
1 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1 0
i i i
i i i
i
i
i
i
i i i
i
i
Ai
乘积的每一行对应一个节点电流方程 (KCL).
节点电压与支路电压之间的关系 ①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
网络各 节点电压列向量 为
12[,,,]
T
n nu u u?u
12[,,] Tbu u u?u
则有
T n?u A u
设支路电压参考方向与支路电流方向一致,令 支路电压列向量 为
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1
A
如图
1 2 3 4 5 6[,,,,,] Tu u u u u u?u
1 2 3[,,]
T
n u u u?u
T n?u A u
13
1
12
2
1
13
2
4 23
3
5
2
6
3
1 0 1
1 1 0
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
uu
u
uu
u
u
uu
u
u uu
u
u
u
u
u
7.3 回路矩阵与回路电压定律用回路电流法分析电路时，支路与回路之间的关系可以用一个回路矩阵 来描述。
aB
回路矩阵,
,;
0
1
1
jk
k
k
k
b
支路 不包含在回路j 中;
支路 包含在回路j 中,且方向和回路走向一致;
支路 包含在回路j 中 且方向和回路走向相反
aB
当选择 单连支回路 时,所建立的回路矩阵称为基本回路矩阵,记为 。
fB
设支路 2,5,6为树支，基本回路矩阵为
1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1
fB
支 路回路
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
设支路 1,2,3为树支，基本回路矩阵为
1 1 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1
ftBB
1
单位矩阵树支矩阵回路矩阵的每一行元素反映了该回路中所包含的支路及其方向。
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
1 2
3
选择网孔回路时，网孔回路矩阵为：
0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1
1 0 1 0 0 1
mB
矩阵形式的基尔霍夫电压定律设网络支路电压的参考方向与支路电流方向一致，写成列向量为
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
12[,] Tbu u u?u
用回路矩阵 左乘支路电压列向量,可得
fB u
f?B u 0
上式为 矩阵形式的基尔霍夫电压定律或
0fBU
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5如图
1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1
fB
支路电压列向量为
1 2 3 4 5 6[,,,,,] Tu u u u u u?u
1
2
3
4
1 2 5 6
2 3 5
45
5
6
6
1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 0
f
u u u u
u u u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
Bu
乘积的每一行对应一个回路电压方程 (KVL).
支路电流与回路电流之间的关系设 支路电流 列向量为
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
回路电流 列向量为
1 2 ( 1 )[,,]t
T
l l l l b ni i ii
12[,,] Tbi i i?i
支路数,b
节点数：
tn
T
fl?B i i
Tfl?B I I
有或
T
fl?B i i
如图
1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1
fB
设支路电流列向量为
1 2 3 4 5 6[,,,,,] Ti i i i i i?i
回路电流列向量为
1 2 3 1 3 4,,],[,[ ]TTl l l l iii i i ii
支路 2,5,6
为树支
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
1
13
3
4
1 3 4
14
1
2
3
4
5
1
3
4
6
1 0 0
1 1 0
0 1 0
0 0 1
1 1 1
1 0 1
l
T
f
i
ii
i
i
i i i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
iBi
则有
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
T
fl?B i i
7.4 割集矩阵与节点电流定律
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
C S 1
C S 2
C S 3
割集是图的一个子集（某些支路的集合），满足
移去该子集，连通图分为两部分；
少移去其中任一条，图保持连通。
割集用符号 CS来表示，规定了割集的方向，则割集又可看成一个闭合面。割集为一个广义的节点，流出割集表面的电流代数和为零。
如图，割集 CS1包含 1,2,3支路,割集 CS2包含 1,2,5、
6支路,割集 CS3包含 1,4,6支路 。
单树支割集选定一个树，每一割集只包含一条树支，则称为单树支割集。单树支割集的方向取与树支方向一致。
如图,选 1,2,3支路为树支,
则单树支割集如图所示。
割集 1包含的支路,1,4,6
割集 2包含的支路,2,4,5,6
割集 3包含的支路,3,5,6
已知树支电压可解出电路各支路电流 !
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
CS1
CS2
CS3
割集矩阵 aQ
0
1
1
jk
kj
q k j j
k j j
当支路 不在割集内当支路 在割集内,且方向与割集 方向一致当支路 在割集内,且方向与割集 方向相反
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
CS1
CS2
CS3
基本割集矩阵 (单树支割集 )
1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
f
Q
支 路割集支路 1,2,3为树支
[]f l?Q 1 Q
矩阵形式的基尔霍夫电流定律
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
CS1
CS2
CS3
用 割集矩阵 左乘支路电流列向量 i，可得aQ
12[,,,] Tbi i i?i
用矩阵形式表示的支路电流列向量为或
0f?Qi
0f?QI
上式是 广义节点 的基尔霍夫电流定律的矩阵形式。
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
CS1
CS2
CS3
如图支路 1,2,3为树支基本割集矩阵
1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
f
Q
1 2 3 4 5 6[,,,,,] Ti i i i i i?i
支路电流列向量
0f?Qi
1
2
1 4 6
3
2 4 5 6
4
3 5 6
5
6
1 0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1 0
f
i
i
i i i
i
i i i i
i
i i i
i
i
Qi
割集电压 (树支电压 )与支路电压之间的关系
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
CS1
CS2
CS3
支路 1,2,3为树支单树支割集中，割集电压即为树支电压
1 2 3c s t u u u Tuu
支路电压
1 2 3 4 5 6[,,,,,] Tu u u u u u?u
则有
T
f cs?Q u u
11
22
1
33
2
1 2 4
3
2 3 5
1 2 3 6
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
0 1 1
111
T
f c s
uu
uu
u
uu
u
u u u
u
u u u
u u u u
Q u u
7.5 关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵的关系对于同一个电路，若各支路，节点的编号及方向均相同时，其列写出的关联矩阵，回路矩阵和割集矩阵之间存在着一定的联系。
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)(2)
(3)
目的,从一种矩阵导出另一种矩阵,
简化建立矩阵的过程,
例如,从 A矩阵导出 B和 Q矩阵,
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)(2)
(3)
(1) 回路矩阵与割集矩阵基本回路矩阵
f B
110100
011010
101001
f B
基本割集矩阵
f Q
100101
010110
001011
f Q
编号规则,
先给树支编号,然后再给连支编号。
选支路 1,2,3为树支
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)(2)
(3)
110100
011010
101001
f B
100101
010110
001011
f Q
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
0 1 1
1 0 1
000
000
000
1 1 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1
T
ff
BQ
0Tff?BQ
0Tff?QB
即有由矩阵性质可得另一形式为若网络支路编号按 先树支后连支 编排，
110100
011010[1]
101001
ftBB
100101
010110[1]
001011
fl
QQ
[ 1 ] [ 1 ] 0T T Tf f t l t lB Q B Q B Q
T
tlBQ
则,
T
ltBQ
(2) 关联矩阵和回路矩阵 ①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)(2)
(3)
基本回路矩阵
f B
110100
011010
101001
f B
关联矩阵
A
111000
010110
100101
A
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)(2)
(3)
110100
011010
101001
f B
111000
010110
100101
A
1 0 1
1 1 0
0 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
01 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0
00
00
0001
0
T
f
AB
即有由矩阵性质可得另一形式为
0TfAB?
0TfBA?
111000
010110[]
100101
l t AAA
若网络支路编号按 先树支后连支 编排，
110100
011010[1]
101001
ftBB
则,
[ ] [ 1 ] 0T T Tf t l t t t lA B A A B A B A
1T
t t lB A A
11[] T
t l tB A A
即有
T
ltBQ
1[ 1 ] [ [ ] 1 ]TT
f t l tB B A A
从 A矩阵导出
B和 Q矩阵,
1[ 1 ] [ 1 ]
lf l tQ Q A A
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)
(2)
(3)
例 1,写出如图网络的关联矩阵 A,
从 A推出 和,取 1,2,3
支路为树,
fB f
Q
解,
1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1
1 1 1 0 0 0
A
1 0 0
0 1 0
1 1 1
tA
1 0 1
0 1 1
000
lA
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)
(2)
(3)
1 0 0
0 1 0
1 1 1
tA
1 0 1
0 1 1
000
lA
1[ 1 ] [ [ ] 1 ]TT
f t l tB B A A
1
1 0 0
0 1 0
111
tA
1
1 0 1
[ ] 0 1 1
0 0 1
T
tA
1 0 0
0 1 0
1 1 0
T
lA
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)
(2)
(3)
1[ 1 ] [ [ ] 1 ]TT
f t l tB B A A
1
1 0 1
[ ] 0 1 1
0 0 1
T
tA
1 0 0
0 1 0
1 1 0
T
lA
1
1 0 0 1 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1 1 0
[]TTltAA?
1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1
fB
与直接列写相同,
a-bq.m
基尔霍夫电流定律
0?Ai
关联矩阵 A
节点电压与支路电压
T n?u A u
网络有向图变量,矩阵及关系
①
②
④
③
1
2
3
4
5
6支路电流列向量
12[,,,] Tbi i i?i
支路电压列向量
12[,,] Tbu u u?u
节点电压列向量
12[,,,]
T
n nu u u?u
回路电流列向量
1 2 ( 1 )[,,]t
T
l l l l b ni i ii
割集电压列向量
12[,,,] TC S C S C S C S nu u u?u
①
②
④
③
1
2
3
4
5
6
回路矩阵
fB
基尔霍夫电压定律
f?B u 0
支路电流与回路电流
T
fl?B i i
基本割集矩阵
fQ
0f?Qi
基尔霍夫电流定律 (广义节点 )
割集电压与支路电压 T
f cs?Q u u
1[ 1 ] [ [ ] 1 ]TT
f t l tB B A A
从 A矩阵导出
B和 Q矩阵,
1[ 1 ] [ 1 ]
lf l tQ Q A A
7.6 节点电压方程
R 2
R 4
R 1
R 3
R 6
U s 1
①
②
③
④
I S5
在讨论实际电路问题的时候，
首先必须定义一个能 代表一般支路结构 的 典型支路,
1> 典型支路
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
()k k k s k s kU Z I I U
1
K K K
K
Z R j L jC
2>节点电压方程 的导出 (无受控源 )
Z 2
Z 4
Z 3
Z 6
①
②
③
④
I S5
Z 1
U s 1
Z 5
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
()k k k s k s kU Z I I U
(1) 写支路电压方程
1 1 1 1 1() ssU Z I I U
()k k k s k s kU Z I I U
()b b b s b s bU Z I I U
............
............
1 1 1 1( 0 ) ( )sU Z I U
5 5 5 5( ) 0sU Z I I
6 6 6( 0 ) 0U Z I
............
实际电路,
(2) 支路电压方程矩阵形式 11 1 1 100
0 0 ( )
00
Ss
kk k Sk sk
bb b Sb sB
ZU I I U
ZU I I U
ZU I I U
写为矩阵形式,有
() ssU Z I I U
U
Z
I
sI
sU
支路电压列向量支路阻抗矩阵 (对角阵 )
支路电流列向量支路电流源列向量支路电压源列向量
(3) 支路导纳矩阵
1
1
1
00
1
00
1
00
k
b
Z
Z
Z
YZ
() ssU Z I I U
(4) 矩阵方程变换两边乘 A
ssA Y U A I A I A Y U
两边乘 Y
() ssY U I I Y U
YZ 1
0?AI根据 和 T nU A U
得,
ss
T nA Y A U A Y U A I
上式即为矩阵形式的节点电压方程
ssA Y U A I A I A Y U
T?nY A Y A
节点导纳矩阵节点电压列向量
1
k
n
n
U
U
U
U
(5) 利用矩阵方程解题
ssT n
A Y A U A Y U A I
支路节点编号,列参考方向 ;
列关联矩阵 A;
根据 典型支路与实际电路 列支路阻抗 (导纳 )矩阵 Z,
,支路电压源向量 和支路电流源向量 ;
求节点阻抗矩阵 ;
由 求出 ;
由节点电压求支路电压 ;
求支路电流
sU sI
T?nY A Y A
1YZ
n
U
T nU A U
() ssI Y U U I
:电路如图所示，试建立矩阵形式的节点电压方程式。
Z 2
Z 4
Z 3
Z 6
①
②
③
④
I S5
Z 1
U s 1
Z 5
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
解,关联矩阵 A
0 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1
A
支路阻抗矩阵,
1
2
3
4
5
6
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
例 1
支路导纳矩阵,
1
2
3
4
5
6
1/
1/
1/
1/
1/
1/
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Y
Z 2
Z 4
Z 3
Z 6
①
②
③
④
I S5
Z 1
U s 1
Z 5
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
支路电压源向量
1
0
0
0
0
0
S
s
U
U
支路电流源向量
5
0
0
0
0
0
S
S
I
I
2 3 5 2 5
2 1 2 4 4
54
1
2
3
4
5
6
6
45
1
1
0 1 0
1
11
101
0 1 1 0
1 1 1
1 1 1 1 1
11
10
1 0 0
1 1 0 1 0 0
1 0 1 1
0 0 0 1 1 1
1 0 1
1 1 1
1 0 0 1
1
T
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z
Z
Z Z Z Z Z
n
Y A Y A
节点导纳矩阵,
1
2
3
4
5
6
1
5
1
5
0
0
0
0
0
1
1
1
01
0
1 0 1 0
1 1 0 1 0 0
1
0 0 0 1 1 1
1
1
0 1 1 0 1
0
0
0
1 1 0 1 0 0
0 0 0 1
0
11
0
S
ss
S
S
S
Z
Z
Z
Z
Z
Z
U
A Y U A I
I
U
I
1
5S
Z
I
Z 2
Z 4
Z 3
Z 6
①
②
③
④
I S5
Z 1
U s 1
Z 5
矩阵形式的节点电压方程式
ss
T nA Y A U A Y U A I
2 3 5 2 5
2 1 2 4 4
5 4 4
5
1
1
56
1
2
5
3
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
S
S
S
Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z
Z
IU
U
U
U
I
例 2:电路如图所示，已知
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
R 2
R 4
R 3
R 6
I S5
C 1
U s 1
L 5
2 3 4 6 2,R R R R
5
1
1 3,L
C
01 100 53.1SUV
0
5 1 0 3 6,9SIA
,试求支路电流,
解,列出所需数据 (节点法 )
0 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1
A 1 ( 60 80 )
00
00
00
00
00
S
S
j
U
U
5
00
00
00
00
86
00
S
S
j
I
I
R 2
R 4
R 3
R 6
I S5
C 1
U s 1
L 5
3 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 2 0 0 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 2
j
j
Z
1[ ] ( )
SS
TnU A Y A A Y U A I
根据由 MATLAB程序计算得：
支路电压
T nU A U
支路电流
1 () SSI Z U U I
MATLAB程序,%节点法例
a=[0,-1,1,0,-1,0;-1,1,0,1,0,0;0,0,0,-1,1,1];
us=[-60-80i;0;0;0;0;0];
is=[0;0;0;0;8-6i;0];
z=[-3i,0,0,0,0,0;0,2,0,0,0,0;0,0,2,0,0,0;
0,0,0,2,0,0;0,0,0,0,3i,0;0,0,0,0,0,2];
y=inv(z);
un=(a*y*(a'))\(a*y*us-a*is);
u=a'*un;
i=y*(u-us)+is;
disp('节点电压 ');disp(un);
disp('支路电压 ');disp(u);
disp('支路电流 ');disp(i);
Fa1.m
una=abs(un);ia=abs(i);ua=abs(u);
unb=180./pi.*angle(un);ib=180./pi.*angle(i);ub=180./pi.*angle(u);
fprintf('\n节点 电压值 (模 相位 )')
for j=1:3
fprintf('\n%2.0f%15.4f%10.3f',j,una(j),unb(j))
end
fprintf('\n\n支路 电压值 (模 相位 )')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f%10.3f',j,ua(j),ub(j))
end
fprintf('\n\n支路 电流值 (模 相位 )')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f%10.3f',j,ia(j),ib(j))
end
>> 节点电压（伏）
-0.9231 +25.6923i
-18.4615 +52.3077i
-17.5385 +26.6154i
支路电流（安）
-9.2308 +26.1538i
-8.7692 +13.3077i
-0.4615 +12.8462i
-0.4615 +12.8462i
8.3077 - 0.4615i
-8.7692 +13.3077i
支路电压（伏）
18.4615 -52.3077i
-17.5385 +26.6154i
-0.9231 +25.6923i
-0.9231 +25.6923i
-16.6154 + 0.9231i
-17.5385 +26.6154i
计算结果：
支路 电流值 (模 相位 )
1 27.7350 109.440
2 15.9372 123.383
3 12.8544 92.058
4 12.8544 92.058
5 8.3205 -3.180
6 15.9372 123.383
节点 电压值 (模 相位 )
1 25.7089 92.058
2 55.4700 109.440
3 31.8744 123.383
支路 电压值 (模 相位 )
1 55.4700 -70.560
2 31.8744 123.383
3 25.7089 92.058
4 25.7089 92.058
5 16.6410 176.820
6 31.8744 123.383
1）包含 元件电流控制的电压源
R 3C 3
L 1
U s 2
I S5
R 5
R 2
R 6
i
3
r i
3
R 4
①
②
③
④
①
②
③
④
1
2
3
4
56
( ) ( )k k k s k k j j s j s kU Z I I r I I U
包含有元件电流控制的电压源，
则一般支路形式如图所示 。
I S k
.
U S k
.I k
,U k
Z k
r
kj I ej
.
I ek
.
包含受控源电路分析
I S k
.
U S k
.I k
,U k
Z k
r
kj I ej
.
I ek
.
R 3C 3
L 1
U s 2
I S5
R 5
R 2
R 6
i
3
r i
3
R 4
①
②
③
④
各支路电压方程式组：
1 1 1 1 1()ssU Z I I U
( ) ( )k k k s k k j j s j s kU Z I I r I I U
( ) ( )j j j s j jk k s k s jU Z I I r I I U
………
…
…………
()b b b s b s bU Z I I U
………
…
1 1 1 1 1()ssU Z I I U
4 4 4 4 4 3 3 3 4( ) ( )s s sU Z I I r I I U
………
…
…………
6 6 6 6 6() ssU Z I I U
用矩阵形式表示
11 1 1 1
..
.,,.,,,
.,,,,
.,,( ).,,,
.,,,,
.,,.,,,
..
k
SS
jj j S j S j
kk k S
jk
k S k
b S b
j
b b
ZU I I U
ZU I I U
ZU I I U
ZUI
r
I
r
Sb
U
j k
k
j
() ssU Z I I U记为：
ss
T nA Y A U A Y U A I
矩阵形式的节点电压方程 节点电压方程 形式与不包含受控源时的形式完全相同,
其差别在于支路阻抗矩阵 Z。
1YZ
1
..
.,,
.,,,,
.,,
.,,,,
.,,
..
jk
kj
j
k
b
r
Z
Z
Z
Z
r
Z
j
j
k
k
C 3
L 1
U s 2
I S5
R 5
R 2
R 6
i
3
r i
3
R 4
①
②
③
④
I S k
.
U S k
.I k
,U k
Z k
r
kj I ej
.
I ek
.
支路阻抗矩阵 Z中第 k行（受控电压源支路号）第 j列（控制电流支路号）位置出现一个受控源控制系数 。
对于如图电路，支路阻抗矩阵为：
1
2
3
4
5
6
.
.
1
.,,,
.
.
jL
R
jC
R
R
R
Z
C 3
L 1
U s 2
I S5
R 5
R 2
R 6
i
3
r i
3
R 4
①
②
③
④
例 3:电路如图所示，已知
2 4 65 2,R R R R
1
3
1 2,L
C
02 1 0 0 0SUV
0
5 1 0 9 0SIA
,试求支路电流,
解,列出所需数据 (节点法 )
1 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 1
0 0 1 1 1 0
A
2
00
100
00
00
00
00
S
S
U
U
5
00
00
00
00
10
00
S
S
j
I
I
2,
① ② ③
④
1
2
3
4
56
I S k
.
U S k
.I k
,U k
Z k
r
kj I ej
.
I ek
.
C 3
L 1
U s 2
I S5
R 5
R 2
R 6
i
3
r i
3
R 4
①
②
③
④
I S k
.
U S k
.I k
,U k
Z k
r
kj I ej
.
I ek
.
1
2
3
4
5
6
.
.
1
.,,,
.
.
jL
R
jC
R
R
R
Z
2.
2.
2
.,2,,
.2
.
2
2
j
j
,* ( )U c o n j I?S支路复功率：
,* ( )SSu U c o n j I IS电压源复功率：
,* ( )Si U c o n j I?S电流源复功率：
( ),* ( )zS SU U c o n j I IS负载复功率：
讨论：功率表达式及计算。
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
ss
T nA Y A U A Y U A I
Fa3.m
T n?U A U
() ssI Y U U I
由 MATLAB程序计算得：
节点 电压值 (模 相位 )
1 57.8054 -179.758
2 37.6116 123.896
3 23.8900 -152.650
支路 电压值 (模 相位 )
1 48.4390 -139.493
2 57.8054 0.242
3 38.1269 -16.348
4 42.1958 -90.331
5 23.8900 27.350
6 37.6116 123.896
支路 电流值 (模 相位 )
1 24.2195 130.507
2 21.0979 179.669
3 19.0634 73.652
4 5.9469 -28.142
5 18.7734 55.587
6 18.8058 123.896
Fa3.m
负载复功率
0 +1.1732e+003i
8.9024e+002
0 -7.2683e+002i
1.1707e+002 -2.2195e+002i
2.8537e+002
7.0732e+002
电压源复功率
0
-2.1098e+003 -1.2195e+001i
0
0
0
0
电流源复功率
0
0
0
0
1.0976e+002 -2.1220e+002i
0
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
2）包含 元件电压控制的电流源
R 6
C 1
L 5
R 3
R 2
I S2
U s 1
R 4
U 4
.
U 4
.
g
包含有元件电压控制的电流源，则一般支路形式如图所示 。
( ) ( )k k k s k k j j s j s kI Y U U g U U I
I S k
.
U S k
.
I k
.
U k
Y k
U ek
.
g
kj U ej
I S k
.
U S k
.
I k
.
U k
Y k
U ek
.
g
kj U ej
1 1 1 1 1() ssI Y U U I
各支路电压方程式组：
( ) ( )k k k s k k j j s j s kI Y U U g U U I
()b b b s b s bI Y U U I
………
…
………
… 用矩阵形式表示：
( ) ( )j j j s j j k k s k s jI Y U U g U U I………
…
11 1 1 1
..
.,,.,,,
.,,,,
.,,( ).,,,
.,,,,
.,,.,,,
..
k
SS
jj j S j S j
kk k S
jk
k S k
b S b
j
b b
YI U U I
YI U U I
YI U U I
YIU
g
U
g
Sb
I
()ssI Y U U I
矩阵方程：
ss
T nA Y A U A Y U A I
节点电压方程 形式与不包含受控源时的形式完全相同,其差别在于支路阻抗矩阵 Y。
对于元件电压控制的电流源情况，可直接列写 支路导纳矩阵,
把相应的受控源控制系数写入到 Y的对应位置。
其余的计算方法与不包含受控源情况完全相同。
I S k
.
U S k
.
I k
.
U k
Y k
U ek
.
g
kj U ej
例 4：建立图示电路节点法求解所需的各矩阵。
R 6
C 1
L 5
R 3
R 2
I S2
U s 1
R 4
U 4
.
U 4
.
g
解：
0 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1
A
1
0
0
0
0
0
S
S
U
U
2
0
0
0
0
0
S
S
I
I
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
I S k
.
U S k
.
I k
.
U k
Y k
U ek
.
g
kj U ej
I S k
.
U S k
.
I k
.
U k
Y k
U ek
.
g
kj U ej
R 6
C 1
L 5
R 3
R 2
I S2
U s 1
R 4
U 4
.
U 4
.
g
1
2
3
2
5
6
.
1
.
1
1
.,,,
1
.
1
.
jC
R
R
R
jL
R
g
Y
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
7.7 回路电流方程
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1典型支路
1,回路电流方程的建立
()k k k s k s kU Z I I U 典型支路
0fBU
lfTf f f s f sB U = B Z B I - B Z I + B U = 0
Tfl?B I I
lI
为回路电流列向量
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
典型支路
lTf f f s f sB Z B I = B Z I - B U
即有
ll f s f sZ I = B Z I - B U
l TffZ = B Z B
(回路阻抗矩阵 )
令回路电流方程
1 ()ll? f s f sI = Z B Z I - B U
fB
Z
sU sI
Tfl?I B I
2,由回路电流求解支路电流电压
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
典型支路ssU = Z I - Z I + U
R 6
C 1
L 5
R 3
R 2
I S2
U s 1
R 4例 1,电路及有向图如图所示,取支路 1、
3,6为树支,试建立矩阵形式的回路电流方程。
1 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
fB
基本回路矩阵为
2 3 4 5 6
1,,,,,Z d i a g j R R R j L R
C
支路阻抗矩阵为
1
2
3
4
5
6
解,选择 单连支回路 作为基本回路，
2 4 5[]l III I=
1[ 0 0 0 0 0 ] TSUsU
2[ 0 0 0 0 0 ] TSIsI
电压源及电流源列向量为
R 6
C 1
L 5
R 3
R 2
I S2
U s 1
R 4
1
2
3
4
5
6
23
66
3 5 6
1
0 0 0
1
0 0 0
0 0 0
f
j R R
C
B Z j R R
C
R j L R
2 3 3
4 6 6
3 6 3 6
11
11
l
j R R j R
CC
j j R R R
CC
R R R R j L
T
ff
Z B Z B
回路阻抗矩阵为
2 2 1
1
0
ss
f s f s s
R I U
B ZI B U U
矩阵形式的回路方程为
2 3 3
2 2 1
4 6 6 1
3 6 3 6
2
4
5
11
11
0
ss
s
j R R j R
CC
R I U
j j R R R U
CC
R
I
R R R j
I
L
I
ll f s f sZ I = B Z I - B U
R 6
C 1
L 5
R 3
R 2
I S2
U s 1
R 4
C 3
L 1
U s 2
I S5
R 5
R 2
R 6
i
3
r i
3
R 4
①
②
③
④
例 2:电路如图所示，已知
2 4 65 2,R R R R
1
3
1 2,L
C
02 1 0 0 0SUV
0
5 1 0 9 0SIA
,试用回路电流解,选 1,2,3为树,基本回路矩阵为
1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1
fB
2,
①
②
③
④
1
2
3
4
56
法求各支路电流,
2
00
100
00
00
00
00
S
S
U
U
5
00
00
00
00
10
00
S
S
j
I
I
C 3
L 1
U s 2
I S5
R 5
R 2
R 6
i
3
r i
3
R 4
①
②
③
④
①
②
③
④
1
2
3
4
56
I S k
.
U S k
.I k
,U k
Z k
r
kj I ej
.
I ek
.
1
2
3
4
5
6
.
.
1
.,,,
.
.
jL
R
jC
R
R
R
Z
元件电流控制的电压源
2.
2.
2
.,2 2,,
.2
.2
j
j
Z
2
00
100
00
00
00
00
S
S
U
U
5
00
00
00
00
10
00
S
S
j
I
I
1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1
fB
MATLAB程序所需的数据,
MATLAB程序,Fa4.m
%回路法例
bf=[-1,0,-1,1,0,0;
0,-1,1,0,1,0;
-1,-1,0,0,0,1];
us=[0;100;0;0;0;0];
is=[0;0;0;0;10i;0];
z=[2i,0,0,0,0,0;
0,2,0,0,0,0;
0,0,-2i,0,0,0;
0,0,-2,2,0,0;
0,0,0,0,2,0;
0,0,0,0,0,2];
zl=bf*z*(bf');
zlf=inv(zl);
il=zlf*(bf*z*is-bf*us);
i=(bf')*il;
u=z*i-z*is+us;
ia=abs(i);ua=abs(u);
ib=180./pi.*angle(i);ub=180./pi.*angle(u);
fprintf('\n\n支路 电压值 (模 相位 )')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f%10.3f',j,ua(j),ub(j))
end
fprintf('\n\n支路 电流值 (模 相位 )')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f%10.3f',j,ia(j),ib(j))
end
支路 电压值 (模 相位 )
1 48.4390 -139.493
2 57.8054 0.242
3 38.1269 -16.348
4 42.1958 -90.331
5 23.8900 27.350
6 37.6116 -56.104
支路 电流值 (模 相位 )
1 24.2195 130.507
2 21.0979 179.669
3 19.0634 73.652
4 5.9469 -28.142
5 18.7734 55.587
6 18.8058 -56.104
计算结果与节点法一致 !
7.8 割集电压方程典型支路
1.割集电压 方程的建立写为矩阵形式,有
() ssU Z I I U
U
Z
I
sI
sU
支路电压列向量支路阻抗矩阵支路电流列向量支路电流源列向量支路电压源列向量
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
()k k k s k s kU Z I I U
() ssU Z I I U
1YZ
ssI = Y ( U - U ) + I
f f f sT c ss ffQ I = Q Y - Q Y U + Q I =QU 0
0f?QI
T
f cs?Q u u
Tf f c s f s f sQ Y Q U = Q Y U - Q I
q c s f s f sY U = Q Y U - Q I
割集电压方程
fQ
Z
sU sI
基本割集矩阵 (单树支割集 )
fQ
csu
割集电压 (树支电压 )
qY
割集导纳矩阵
2,由 割集电压 求解支路电流电压 I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
典型支路
T
f? CSU Q U
ssI = Y ( U - U ) + I
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
0 0 1 1 1
fQ
4
1 2 3 4
1 1 1 1,,,,d ia g S C
R R S L S L
Y ( s )
例 1,图示电路，试建立运算形式的割集电压方程和支路电压表达式。
解 作有向图，选支路 1,2,3为树
R 1 R 2
L 4
L 3
C 5 i S2
i
S1
1 2
3
单树支割集矩阵为由于电路中不包含受控源，因此支路导纳矩阵为一对角阵
R 1 R 2
L 4
L 3
C 5 i S2
i
S1
1 2
3
支路电压源电流源列向量为,
12[ ( ),( ),0,0,0 ] TSSI S I S?SI ( S )
[ 0,0,0,0,0 ] T?SU ( S )
Tf f c s f s f sQ Y Q U = Q Y U - Q I
根据可写出割集电压的矩阵形式
1
2
3
()
( ) ( )
()
C
C
C
S
SS
S
cs
U
UU
U
割集电压
1CS
2CS
3CS
55
1 4 4 4
11
22
4 2 4 4
3
55
4 4 3 4
1 1 1 1
( ) ( )
1 1 1 1
( ) ( )
()
1 1 1 1
CS
CS
C
SC SC
R SL SL SL
U S I S
U S I S
SL R SL SL
US
SC SC
SL SL SL SL
T
f? CSU Q U
1
5
1
2
3
2
3
4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
()
()
1
()
()
()
( 1)
()
()
1 0 1
C
C
C
US
US
US
US
US
US
US
US
例 2:电路如图所示，已知
R 2
R 4
R 3
R 6
I S5
C 1
U s 1
L 5
2 3 4 6 2,R R R R
5
1
1 3,L
C
01 100 53.1SUV
0
5 1 0 3 6,9SIA
试用割集法求支路电流,
解,选支路 1,3,4为树,列出基本割集矩阵
,
1
2
3
4
5
6
CS 1
CS 2 CS 3
1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1
fQ
1
( 60 80 )
00
00
00
00
00
S
S
j
U
U
5
00
00
00
00
86
00
S
S
j
I
I
R 2
R 4
R 3
R 6
I S5
C 1
U s 1
L 5
3 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 2 0 0 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 2
j
j
Z
1
2
3
4
5
6
CS 1
CS 2 CS 3
Tf f c s f s f sQ Y Q U = Q Y U - Q I
计算式,
1
2
3
4
5
6
CS 1
CS 2 CS 3
1
2
3
1
3
4
C
C
C
cs
U
U
U
U
UU
U
1?Y = Z
1( ) ( )?Tc s f f f s f sU = Q Q QYY U - Q I
T
f? CSU Q U
1 ()
ss
I Z U U I
Fa5.m ucs=inv(qf*y*(qf)')*(qf*y*us-qf*is);
u=(qf)'*ucs;
i=y*(u-us)+is;
ia=abs(i);ua=abs(u);
ib=180./pi.*angle(i);ub=180./pi.*angle(u);
fprintf('\n\n支路 电压值 (模 相位 )')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f%10.3f',j,ua(j),ub(j))
end
fprintf('\n\n支路 电流值 (模 相位 )')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f%10.3f',j,ia(j),ib(j))
end
%节点法例
qf=[1,-1,0,0,-1,-1;
0,-1,1,0,-1,0;
0,0,0,1,-1,-1];
us=[-60-80i;0;0;0;0;0];
is=[0;0;0;0;8-6i;0];
z=[-3i,0,0,0,0,0; 0,2,0,0,0,0;
0,0,2,0,0,0; 0,0,0,2,0,0;
0,0,0,0,3i,0; 0,0,0,0,0,2];
y=inv(z);
7.9 列表法（ 2b法）
节点法,割集法 和 回路法 建立矩阵方程时,电路中受控源的处理比较麻烦,而且对于含多端元件的电路不适用 。
如果只考虑使得方程简单易于建立,则可以用 支路电压 和 支路电流 同时作为变量 （ 共为 2b个变量 ）,
对电路建立 节点电流方程,回路电压方程 和 支路电压电流关系式 （ 共为 2b个方程 ）,直接解出各支路电压和电流 。 这种方法称为 2b法 。
建立 2b个独立方程,
C 3
L 1
U s 6
I S5
R 7
i
3
r i
3
① ②
③
④
⑤
L 2
M
①
②
③
④
⑤
1
2
3
4
5
6
7
网络有 nt个节点,b条支路,一般一个元件 (一个端口 )选为一条支路。
支路电流参考方向选择：
U si
i I S
U ki?
L 1 L 2
M
i
1
i
2
支路电压支路电流选关联参考方向 选支路 1,2,3,7为树
1） 矩阵形式的基尔霍夫电流定律
1 0 1 0 0 1 0
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0 1
A
1 2 3 4 5 6 7
T
I I I I I I I
I
（ nt –1）个方程
0?AI
①
②
③
④
⑤
1
2
3
4
5
6
7
C 3
L 1
U s 6
I S5
R 7
i
3
r i
3
① ②
③
④
⑤
L 2
M
①
②
③
④
⑤
1
2
3
4
5
6
7
2） 矩阵形式的基尔霍夫电压定律
（ b – nt +1）个方程0
f
BU
C 3
L 1
U s 6
I S5
R 7
i
3
r i
3
① ②
③
④
⑤
L 2
M
选支路 1,2,3,7为树
1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 1
fB
1 2 3 4 5 6 7
T
U U U U U U U
U
单连支回路
3) 支路电压电流方程可通过对 b条支路列写 电压电流关系 而得到另外 b个方程
k SkUU?
电压源电流源支路：
k SkII?
电阻电容电感（无互感）支路：
kk kU j L I
1
kk
k
UIjCkkU R I?
33
3
1UI
jC
77U R I?
66SUU?
55SII?
C 3
L 1
U s 6
I S5
R 7
i
3
r i
3
① ②
③
④
⑤
L 2
M
受控源支路：
VCVS 支路：
VCCS 支路：
CCVS 支路：
CCCS 支路：
k k j jUU
k kj jI g U?
k kj jU r I?
k kj jII
4 4 3 3UIr?
C 3
L 1
U s 6
I S5
R 7
i
3
r i
3
① ②
③
④
⑤
L 2
M
电感耦合支路：
和 ji i i ijU j L I j M I
j j j ji iU j L I j M I
C 3
L 1
U s 6
I S5
R 7
i
3
r i
3
① ②
③
④
⑤
L 2
M
21 1 1U j L I j M I
2 2 2 1U j L I j M I
1 1 1111
1
11 1
1
b
bbbb b
b
b b b b
FF
F
IU
F
V
V
K
KK U
K
I
iVijK ijF
b条支路电压电流关系式写成矩阵形式：
式中 和 为支路电压和电流关系方程系数，
中电压或电流源，所有系数由支路情况决定。
为支路在列表法计算时,根据不同支路在 [K],[F]和 矩阵中填入相应元素,因此被称为列表法 。
[]V
C 3
L 1
U s 6
I S5
R 7
i
3
r i
3
① ②
③
④
⑤
L 2
M
1
2
3
7
1
2
3
4
5
6
7
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
I
I
I
I
I
I
jL
jL
jC
R
jM
j
I
M
r
5
6
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
S
S
U
U
U
U
U
U
I
U
U
0k kUR I
0kkj jIr U
0
ji
i
i ijj L j MII
U
k SkUU?
0?AI 0fBU
由此可得矩阵方程：
KFI U V
（ nt –1） （ b – nt +1） （ b）
A
关联矩阵 ( 1)t bn
fB
基本回路矩阵
( 1)tbbn K
电流系数矩阵
bb F
电压系数矩阵
bb?
V 电源矩阵
1b?
合并为一个统一的矩阵方程,得：
f
A 0 0
I
U
KF
0
V
B0
22bb? 21b? 21b?
f
A 0 0
I
U
KF
0
V
B0
22bb? 21b? 21b?
1?
f
K F V
0 B 0
A 0 0
I
U
直接解矩阵,可得出支路电压和支路电流,
I S1
U s 2
R 4
U 4
R 5 R 6
g U 4
① ② ③
④
例,图示电路,
121 5,1 0SSI A U V
450,2 5,2,1g S R R
6 3R
，求支路电压与电流。
1
2 3
4
5 6① ② ③
④
选支路 4,5,6为树解：有向图及参考方向如图，
1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 1 1
1 0 1 0 0 1
A
1 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1
B
I S1
U s 2
R 4
U 4
R 5 R 6
g U 4
① ② ③
④
0k kR I U
0jkjkI g U
k SkUU?
KFI U V
4
5
6
1
1
0
K
R
R
R
1
2
0
0
0
0
S
S
I
U
V
1
2
3
4
5
6
I
I
I
I
I
I
1
2
3
4
5
6
U
U
U
U
U
U
1
1
1
1
0
0
g
F
代入数据,
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
2
0
1
1
3
K
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
1
1
0
4
1
0 0 0 0
1
1
0
F
15
10
0
0
0
0
V1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 1 1
1 0 1 0 0 1
A
1 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1
B
1?
f
K F V
0 B 0
A 0 0
I
U
MATLAB计算,
a0=zeros(3,6);
v0=zeros(3,1);
x=inv([a,a0;a0,b;k,f])*([v0;v0;v]);
fprintf('\n支路 电流值 ')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f',j,x(j))
end;
fprintf('\n支路 电压值 ')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f',j,x(j+6))
end
clc;
a=[1,1,0,0,1,0;
0,0,0,1,-1,1,;
-1,0,-1,0,0,-1];
b=[1,0,0,0,-1,-1;
0,1,0,-1,-1,0,;
0,0,1,1,0,-1];
v=[15;10;0;0;0;0];
k=[1,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,0;
0,0,-1,0,0,0;
0,0,0,-2,0,0;
0,0,0,0,-1,0;
0,0,0,0,0,-3];
f=[0,0,0,0,0,0;
0,1,0,0,0,0;
0,0,0,0.25,0,0;
0,0,0,1,0,0;
0,0,0,0,1,0;
0,0,0,0,0,1];
Liebiaofa.m
支路 电流值
1 15.0000
2 -5.0000
3 5.0000
4 10.0000
5 -10.0000
6 -20.0000
支路 电压值
1 -70.0000
2 10.0000
3 -80.0000
4 20.0000
5 -10.0000
6 -60.0000
计算结果,
本章小结,
关联矩阵 A
0?Ai
T n?u A u
支路电压列向量
12[,,] Tbu u u?u
节点电压列向量
12[,,,]
T
n nu u u?u
回路电流列向量
1 2 ( 1 )[,,]t
T
l l l l b ni i ii
(单连支回路 )
支路电流列向量
12[,,,] Tbi i i?i
割集电压 列向量
1 2 ( 1 ),,,c s C C C n tu u u
Tu (单树支割集 )
回路矩阵 B
f?B u 0
T
fl?B i i
割集矩阵 Q
0f?Qi
T
f cs?Q u u
节点电压方程
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
()k k k s k s kU Z I I U
ss
T nA Y A U A Y U A I
回路电流方程割集电压方程
Tf f c s f s f sQ Y Q U = Q Y U - Q I
lTf f f s f sB Z B I = B Z I - B U
列表法
f
A 0 0
I
U
KF
0
V
B0IUFK V
1,图的基本概念 ;
2,关联矩阵 A，回路矩阵 B,割集矩阵 Q;
3,KCL矩阵形式,KVL矩阵形式 ;
4,节点电压方程矩阵形式 ;
5,回路电流方程矩阵形式 ;
6,割集电压方程矩阵形式 ;
7,列表法 (2B法 )介绍,
1) 当电路的结构比较简单时，可以直接利用基尔霍夫定律及前面章节所介绍的 支路法、回路法 和 节点法,直接手工建立所需的解题方程组来解题。
3)求解矩阵形式表示的电路方程，可以归结为解矩阵相量的问题，可采用矩阵计算工具软件如 Matlab软件等方便快捷地进行矩阵运算。
2)解决复杂网络问题可以应用网络图论的方法对电路进行系统化分析，应用矩阵方法系统地分析网络的图和建立电路方程，即建立矩阵形式的节点电压方程、割集电压方程和回路电流方程等。
7.1 网络图论概念电路图与拓扑图实际电路图 对应的线图 (有向图 )
线图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际电路的结构（支路与节点之间的连接关系）。
R 2
R 5
R 4
R 1
R 3
R 6
U s 1
①
②
③
④
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
树支、连支、单连支回路 ①
②
④
③
1
2
3
4
5
6树 T所包含的支路称为 树支 ；
（图中支路 1,2,3）
图中其余的支路称为 连支 ；
（图中支路 4,5,6）
树支数 = nt－ 1 (节点数减 1）
连支数 =支路数－ 树支数
= b － nt ＋ 1 =（网孔数）
①
②
④
③
1
2
3 6
③
4
5 ①
②
单连支回路：每一连支可与其两端之间的唯一树支路径构成一条唯一的回路。此回路称为单连支回路。
回路方向与连支一致。
7.2 关联矩阵与节点电流定律实际电路 结构 可用一个 有向图 来具体描述 。 把有向图各节点和支路编号,然后依次把各支路与相应连接点的连接信息用数字形式记忆下来 。 根据这些信息可完整描述电路的 联接关系,计算机可根据这些信息自动识别电路关系,并应用 基尔霍夫定律 建立相应的 电路方程,进行相应的运算 。
反映电路结构中支路与节点连接关系可用一个关联矩阵 A来描述,
R 2
R 5
R 4
R 1
R 3
R 6
U s 1
①
②
③
④
关联矩阵
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
有向图有向图结构用一个 阶矩阵来表示,记为 。 矩阵的行对应于有向图的节点,矩阵的列对应于网络的支路 。
中的元素作如下定义：
tnb? aA
aA
0
1,
1,
jk
kj
a k j
kj
当支路 不连接到节点 时;
当支路 连接到节点 且方向为离开节点时;
当支路 连接到节点 且方向为指向节点时;
1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
aA
支 路节点
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
aA
支 路节点
1) 每一列中只包含二个非零元素＋ 1和－ 1
2) 把所有行的元素按列相加，则得到全零的行，因此矩阵的行不是彼此独立的。
3) 矩阵的秩为 。1
tn?
节点数：
支路数：
tn
b
降阶关联矩阵把 的任一行划去，剩下的矩阵称为 降阶关联矩阵,记作 A。
aA
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1
A
1） 矩阵 A的行是彼此独立的；
2） 矩阵 A同样能充分描述有向图的连接关系，划去的行对应的节点即为参考节点 。
由关联矩阵可建立电路的连接图 (有向图 )
1
2
34
5
6
①
② ③
④
1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
A
1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1
0 1 1 1 0
1
0
aA
①
②
③
④
矩阵形式的基尔霍夫电流定律 ①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
12,,,bi i i
12[,,,] Tbi i i?i
设网络各支路电流为支路电流方向与有向图支路方向一致，
用矩阵形式表示的支路电流列向量为用关联矩阵 A左乘支路电流列向量 i，可得
0?Ai
0?AI
或上式为 矩阵形式的基尔霍夫电流定律
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1
A
如图
1 2 3 4 5 6[,,,,,]
Ti i i i i i?i
1
1 2 3
2 4 5
14
2
3
4
5
6
6
1 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1 0
i i i
i i i
i
i
i
i
i i i
i
i
Ai
乘积的每一行对应一个节点电流方程 (KCL).
节点电压与支路电压之间的关系 ①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
网络各 节点电压列向量 为
12[,,,]
T
n nu u u?u
12[,,] Tbu u u?u
则有
T n?u A u
设支路电压参考方向与支路电流方向一致,令 支路电压列向量 为
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1
A
如图
1 2 3 4 5 6[,,,,,] Tu u u u u u?u
1 2 3[,,]
T
n u u u?u
T n?u A u
13
1
12
2
1
13
2
4 23
3
5
2
6
3
1 0 1
1 1 0
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
uu
u
uu
u
u
uu
u
u uu
u
u
u
u
u
7.3 回路矩阵与回路电压定律用回路电流法分析电路时，支路与回路之间的关系可以用一个回路矩阵 来描述。
aB
回路矩阵,
,;
0
1
1
jk
k
k
k
b
支路 不包含在回路j 中;
支路 包含在回路j 中,且方向和回路走向一致;
支路 包含在回路j 中 且方向和回路走向相反
aB
当选择 单连支回路 时,所建立的回路矩阵称为基本回路矩阵,记为 。
fB
设支路 2,5,6为树支，基本回路矩阵为
1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1
fB
支 路回路
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
设支路 1,2,3为树支，基本回路矩阵为
1 1 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1
ftBB
1
单位矩阵树支矩阵回路矩阵的每一行元素反映了该回路中所包含的支路及其方向。
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
1 2
3
选择网孔回路时，网孔回路矩阵为：
0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1
1 0 1 0 0 1
mB
矩阵形式的基尔霍夫电压定律设网络支路电压的参考方向与支路电流方向一致，写成列向量为
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
12[,] Tbu u u?u
用回路矩阵 左乘支路电压列向量,可得
fB u
f?B u 0
上式为 矩阵形式的基尔霍夫电压定律或
0fBU
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5如图
1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1
fB
支路电压列向量为
1 2 3 4 5 6[,,,,,] Tu u u u u u?u
1
2
3
4
1 2 5 6
2 3 5
45
5
6
6
1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 0
f
u u u u
u u u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
Bu
乘积的每一行对应一个回路电压方程 (KVL).
支路电流与回路电流之间的关系设 支路电流 列向量为
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
回路电流 列向量为
1 2 ( 1 )[,,]t
T
l l l l b ni i ii
12[,,] Tbi i i?i
支路数,b
节点数：
tn
T
fl?B i i
Tfl?B I I
有或
T
fl?B i i
如图
1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1
fB
设支路电流列向量为
1 2 3 4 5 6[,,,,,] Ti i i i i i?i
回路电流列向量为
1 2 3 1 3 4,,],[,[ ]TTl l l l iii i i ii
支路 2,5,6
为树支
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
1
13
3
4
1 3 4
14
1
2
3
4
5
1
3
4
6
1 0 0
1 1 0
0 1 0
0 0 1
1 1 1
1 0 1
l
T
f
i
ii
i
i
i i i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
iBi
则有
①
②
④
③
1
2
3 6
4
5
T
fl?B i i
7.4 割集矩阵与节点电流定律
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
C S 1
C S 2
C S 3
割集是图的一个子集（某些支路的集合），满足
移去该子集，连通图分为两部分；
少移去其中任一条，图保持连通。
割集用符号 CS来表示，规定了割集的方向，则割集又可看成一个闭合面。割集为一个广义的节点，流出割集表面的电流代数和为零。
如图，割集 CS1包含 1,2,3支路,割集 CS2包含 1,2,5、
6支路,割集 CS3包含 1,4,6支路 。
单树支割集选定一个树，每一割集只包含一条树支，则称为单树支割集。单树支割集的方向取与树支方向一致。
如图,选 1,2,3支路为树支,
则单树支割集如图所示。
割集 1包含的支路,1,4,6
割集 2包含的支路,2,4,5,6
割集 3包含的支路,3,5,6
已知树支电压可解出电路各支路电流 !
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
CS1
CS2
CS3
割集矩阵 aQ
0
1
1
jk
kj
q k j j
k j j
当支路 不在割集内当支路 在割集内,且方向与割集 方向一致当支路 在割集内,且方向与割集 方向相反
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
CS1
CS2
CS3
基本割集矩阵 (单树支割集 )
1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
f
Q
支 路割集支路 1,2,3为树支
[]f l?Q 1 Q
矩阵形式的基尔霍夫电流定律
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
CS1
CS2
CS3
用 割集矩阵 左乘支路电流列向量 i，可得aQ
12[,,,] Tbi i i?i
用矩阵形式表示的支路电流列向量为或
0f?Qi
0f?QI
上式是 广义节点 的基尔霍夫电流定律的矩阵形式。
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
CS1
CS2
CS3
如图支路 1,2,3为树支基本割集矩阵
1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
f
Q
1 2 3 4 5 6[,,,,,] Ti i i i i i?i
支路电流列向量
0f?Qi
1
2
1 4 6
3
2 4 5 6
4
3 5 6
5
6
1 0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1 0
f
i
i
i i i
i
i i i i
i
i i i
i
i
Qi
割集电压 (树支电压 )与支路电压之间的关系
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
CS1
CS2
CS3
支路 1,2,3为树支单树支割集中，割集电压即为树支电压
1 2 3c s t u u u Tuu
支路电压
1 2 3 4 5 6[,,,,,] Tu u u u u u?u
则有
T
f cs?Q u u
11
22
1
33
2
1 2 4
3
2 3 5
1 2 3 6
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
0 1 1
111
T
f c s
uu
uu
u
uu
u
u u u
u
u u u
u u u u
Q u u
7.5 关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵的关系对于同一个电路，若各支路，节点的编号及方向均相同时，其列写出的关联矩阵，回路矩阵和割集矩阵之间存在着一定的联系。
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)(2)
(3)
目的,从一种矩阵导出另一种矩阵,
简化建立矩阵的过程,
例如,从 A矩阵导出 B和 Q矩阵,
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)(2)
(3)
(1) 回路矩阵与割集矩阵基本回路矩阵
f B
110100
011010
101001
f B
基本割集矩阵
f Q
100101
010110
001011
f Q
编号规则,
先给树支编号,然后再给连支编号。
选支路 1,2,3为树支
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)(2)
(3)
110100
011010
101001
f B
100101
010110
001011
f Q
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
0 1 1
1 0 1
000
000
000
1 1 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1
T
ff
BQ
0Tff?BQ
0Tff?QB
即有由矩阵性质可得另一形式为若网络支路编号按 先树支后连支 编排，
110100
011010[1]
101001
ftBB
100101
010110[1]
001011
fl
[ 1 ] [ 1 ] 0T T Tf f t l t lB Q B Q B Q
T
tlBQ
则,
T
ltBQ
(2) 关联矩阵和回路矩阵 ①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)(2)
(3)
基本回路矩阵
f B
110100
011010
101001
f B
关联矩阵
A
111000
010110
100101
A
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)(2)
(3)
110100
011010
101001
f B
111000
010110
100101
A
1 0 1
1 1 0
0 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
01 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0
00
00
0001
0
T
f
AB
即有由矩阵性质可得另一形式为
0TfAB?
0TfBA?
111000
010110[]
100101
l t AAA
若网络支路编号按 先树支后连支 编排，
110100
011010[1]
101001
ftBB
则,
[ ] [ 1 ] 0T T Tf t l t t t lA B A A B A B A
1T
t t lB A A
11[] T
t l tB A A
即有
T
ltBQ
1[ 1 ] [ [ ] 1 ]TT
f t l tB B A A
从 A矩阵导出
B和 Q矩阵,
1[ 1 ] [ 1 ]
lf l tQ Q A A
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)
(2)
(3)
例 1,写出如图网络的关联矩阵 A,
从 A推出 和,取 1,2,3
支路为树,
fB f
Q
解,
1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1
1 1 1 0 0 0
A
1 0 0
0 1 0
1 1 1
tA
1 0 1
0 1 1
000
lA
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)
(2)
(3)
1 0 0
0 1 0
1 1 1
tA
1 0 1
0 1 1
000
lA
1[ 1 ] [ [ ] 1 ]TT
f t l tB B A A
1
1 0 0
0 1 0
111
tA
1
1 0 1
[ ] 0 1 1
0 0 1
T
tA
1 0 0
0 1 0
1 1 0
T
lA
①
②
④
③
1
2
3
6
4
5
(1)
(2)
(3)
1[ 1 ] [ [ ] 1 ]TT
f t l tB B A A
1
1 0 1
[ ] 0 1 1
0 0 1
T
tA
1 0 0
0 1 0
1 1 0
T
lA
1
1 0 0 1 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1 1 0
[]TTltAA?
1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1
fB
与直接列写相同,
a-bq.m
基尔霍夫电流定律
0?Ai
关联矩阵 A
节点电压与支路电压
T n?u A u
网络有向图变量,矩阵及关系
①
②
④
③
1
2
3
4
5
6支路电流列向量
12[,,,] Tbi i i?i
支路电压列向量
12[,,] Tbu u u?u
节点电压列向量
12[,,,]
T
n nu u u?u
回路电流列向量
1 2 ( 1 )[,,]t
T
l l l l b ni i ii
割集电压列向量
12[,,,] TC S C S C S C S nu u u?u
①
②
④
③
1
2
3
4
5
6
回路矩阵
fB
基尔霍夫电压定律
f?B u 0
支路电流与回路电流
T
fl?B i i
基本割集矩阵
fQ
0f?Qi
基尔霍夫电流定律 (广义节点 )
割集电压与支路电压 T
f cs?Q u u
1[ 1 ] [ [ ] 1 ]TT
f t l tB B A A
从 A矩阵导出
B和 Q矩阵,
1[ 1 ] [ 1 ]
lf l tQ Q A A
7.6 节点电压方程
R 2
R 4
R 1
R 3
R 6
U s 1
①
②
③
④
I S5
在讨论实际电路问题的时候，
首先必须定义一个能 代表一般支路结构 的 典型支路,
1> 典型支路
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
()k k k s k s kU Z I I U
1
K K K
K
Z R j L jC
2>节点电压方程 的导出 (无受控源 )
Z 2
Z 4
Z 3
Z 6
①
②
③
④
I S5
Z 1
U s 1
Z 5
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
()k k k s k s kU Z I I U
(1) 写支路电压方程
1 1 1 1 1() ssU Z I I U
()k k k s k s kU Z I I U
()b b b s b s bU Z I I U
............
............
1 1 1 1( 0 ) ( )sU Z I U
5 5 5 5( ) 0sU Z I I
6 6 6( 0 ) 0U Z I
............
实际电路,
(2) 支路电压方程矩阵形式 11 1 1 100
0 0 ( )
00
Ss
kk k Sk sk
bb b Sb sB
ZU I I U
ZU I I U
ZU I I U
写为矩阵形式,有
() ssU Z I I U
U
Z
I
sI
sU
支路电压列向量支路阻抗矩阵 (对角阵 )
支路电流列向量支路电流源列向量支路电压源列向量
(3) 支路导纳矩阵
1
1
1
00
1
00
1
00
k
b
Z
Z
Z
YZ
() ssU Z I I U
(4) 矩阵方程变换两边乘 A
ssA Y U A I A I A Y U
两边乘 Y
() ssY U I I Y U
YZ 1
0?AI根据 和 T nU A U
得,
ss
T nA Y A U A Y U A I
上式即为矩阵形式的节点电压方程
ssA Y U A I A I A Y U
T?nY A Y A
节点导纳矩阵节点电压列向量
1
k
n
n
U
U
U
U
(5) 利用矩阵方程解题
ssT n
A Y A U A Y U A I
支路节点编号,列参考方向 ;
列关联矩阵 A;
根据 典型支路与实际电路 列支路阻抗 (导纳 )矩阵 Z,
,支路电压源向量 和支路电流源向量 ;
求节点阻抗矩阵 ;
由 求出 ;
由节点电压求支路电压 ;
求支路电流
sU sI
T?nY A Y A
1YZ
n
U
T nU A U
() ssI Y U U I
:电路如图所示，试建立矩阵形式的节点电压方程式。
Z 2
Z 4
Z 3
Z 6
①
②
③
④
I S5
Z 1
U s 1
Z 5
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
解,关联矩阵 A
0 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1
A
支路阻抗矩阵,
1
2
3
4
5
6
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
例 1
支路导纳矩阵,
1
2
3
4
5
6
1/
1/
1/
1/
1/
1/
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Y
Z 2
Z 4
Z 3
Z 6
①
②
③
④
I S5
Z 1
U s 1
Z 5
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
支路电压源向量
1
0
0
0
0
0
S
s
U
U
支路电流源向量
5
0
0
0
0
0
S
S
I
I
2 3 5 2 5
2 1 2 4 4
54
1
2
3
4
5
6
6
45
1
1
0 1 0
1
11
101
0 1 1 0
1 1 1
1 1 1 1 1
11
10
1 0 0
1 1 0 1 0 0
1 0 1 1
0 0 0 1 1 1
1 0 1
1 1 1
1 0 0 1
1
T
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z
Z
Z Z Z Z Z
n
Y A Y A
节点导纳矩阵,
1
2
3
4
5
6
1
5
1
5
0
0
0
0
0
1
1
1
01
0
1 0 1 0
1 1 0 1 0 0
1
0 0 0 1 1 1
1
1
0 1 1 0 1
0
0
0
1 1 0 1 0 0
0 0 0 1
0
11
0
S
ss
S
S
S
Z
Z
Z
Z
Z
Z
U
A Y U A I
I
U
I
1
5S
Z
I
Z 2
Z 4
Z 3
Z 6
①
②
③
④
I S5
Z 1
U s 1
Z 5
矩阵形式的节点电压方程式
ss
T nA Y A U A Y U A I
2 3 5 2 5
2 1 2 4 4
5 4 4
5
1
1
56
1
2
5
3
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
S
S
S
Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z
Z
IU
U
U
U
I
例 2:电路如图所示，已知
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
R 2
R 4
R 3
R 6
I S5
C 1
U s 1
L 5
2 3 4 6 2,R R R R
5
1
1 3,L
C
01 100 53.1SUV
0
5 1 0 3 6,9SIA
,试求支路电流,
解,列出所需数据 (节点法 )
0 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1
A 1 ( 60 80 )
00
00
00
00
00
S
S
j
U
U
5
00
00
00
00
86
00
S
S
j
I
I
R 2
R 4
R 3
R 6
I S5
C 1
U s 1
L 5
3 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 2 0 0 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 2
j
j
Z
1[ ] ( )
SS
TnU A Y A A Y U A I
根据由 MATLAB程序计算得：
支路电压
T nU A U
支路电流
1 () SSI Z U U I
MATLAB程序,%节点法例
a=[0,-1,1,0,-1,0;-1,1,0,1,0,0;0,0,0,-1,1,1];
us=[-60-80i;0;0;0;0;0];
is=[0;0;0;0;8-6i;0];
z=[-3i,0,0,0,0,0;0,2,0,0,0,0;0,0,2,0,0,0;
0,0,0,2,0,0;0,0,0,0,3i,0;0,0,0,0,0,2];
y=inv(z);
un=(a*y*(a'))\(a*y*us-a*is);
u=a'*un;
i=y*(u-us)+is;
disp('节点电压 ');disp(un);
disp('支路电压 ');disp(u);
disp('支路电流 ');disp(i);
Fa1.m
una=abs(un);ia=abs(i);ua=abs(u);
unb=180./pi.*angle(un);ib=180./pi.*angle(i);ub=180./pi.*angle(u);
fprintf('\n节点 电压值 (模 相位 )')
for j=1:3
fprintf('\n%2.0f%15.4f%10.3f',j,una(j),unb(j))
end
fprintf('\n\n支路 电压值 (模 相位 )')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f%10.3f',j,ua(j),ub(j))
end
fprintf('\n\n支路 电流值 (模 相位 )')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f%10.3f',j,ia(j),ib(j))
end
>> 节点电压（伏）
-0.9231 +25.6923i
-18.4615 +52.3077i
-17.5385 +26.6154i
支路电流（安）
-9.2308 +26.1538i
-8.7692 +13.3077i
-0.4615 +12.8462i
-0.4615 +12.8462i
8.3077 - 0.4615i
-8.7692 +13.3077i
支路电压（伏）
18.4615 -52.3077i
-17.5385 +26.6154i
-0.9231 +25.6923i
-0.9231 +25.6923i
-16.6154 + 0.9231i
-17.5385 +26.6154i
计算结果：
支路 电流值 (模 相位 )
1 27.7350 109.440
2 15.9372 123.383
3 12.8544 92.058
4 12.8544 92.058
5 8.3205 -3.180
6 15.9372 123.383
节点 电压值 (模 相位 )
1 25.7089 92.058
2 55.4700 109.440
3 31.8744 123.383
支路 电压值 (模 相位 )
1 55.4700 -70.560
2 31.8744 123.383
3 25.7089 92.058
4 25.7089 92.058
5 16.6410 176.820
6 31.8744 123.383
1）包含 元件电流控制的电压源
R 3C 3
L 1
U s 2
I S5
R 5
R 2
R 6
i
3
r i
3
R 4
①
②
③
④
①
②
③
④
1
2
3
4
56
( ) ( )k k k s k k j j s j s kU Z I I r I I U
包含有元件电流控制的电压源，
则一般支路形式如图所示 。
I S k
.
U S k
.I k
,U k
Z k
r
kj I ej
.
I ek
.
包含受控源电路分析
I S k
.
U S k
.I k
,U k
Z k
r
kj I ej
.
I ek
.
R 3C 3
L 1
U s 2
I S5
R 5
R 2
R 6
i
3
r i
3
R 4
①
②
③
④
各支路电压方程式组：
1 1 1 1 1()ssU Z I I U
( ) ( )k k k s k k j j s j s kU Z I I r I I U
( ) ( )j j j s j jk k s k s jU Z I I r I I U
………
…
…………
()b b b s b s bU Z I I U
………
…
1 1 1 1 1()ssU Z I I U
4 4 4 4 4 3 3 3 4( ) ( )s s sU Z I I r I I U
………
…
…………
6 6 6 6 6() ssU Z I I U
用矩阵形式表示
11 1 1 1
..
.,,.,,,
.,,,,
.,,( ).,,,
.,,,,
.,,.,,,
..
k
SS
jj j S j S j
kk k S
jk
k S k
b S b
j
b b
ZU I I U
ZU I I U
ZU I I U
ZUI
r
I
r
Sb
U
j k
k
j
() ssU Z I I U记为：
ss
T nA Y A U A Y U A I
矩阵形式的节点电压方程 节点电压方程 形式与不包含受控源时的形式完全相同,
其差别在于支路阻抗矩阵 Z。
1YZ
1
..
.,,
.,,,,
.,,
.,,,,
.,,
..
jk
kj
j
k
b
r
Z
Z
Z
Z
r
Z
j
j
k
k
C 3
L 1
U s 2
I S5
R 5
R 2
R 6
i
3
r i
3
R 4
①
②
③
④
I S k
.
U S k
.I k
,U k
Z k
r
kj I ej
.
I ek
.
支路阻抗矩阵 Z中第 k行（受控电压源支路号）第 j列（控制电流支路号）位置出现一个受控源控制系数 。
对于如图电路，支路阻抗矩阵为：
1
2
3
4
5
6
.
.
1
.,,,
.
.
jL
R
jC
R
R
R
Z
C 3
L 1
U s 2
I S5
R 5
R 2
R 6
i
3
r i
3
R 4
①
②
③
④
例 3:电路如图所示，已知
2 4 65 2,R R R R
1
3
1 2,L
C
02 1 0 0 0SUV
0
5 1 0 9 0SIA
,试求支路电流,
解,列出所需数据 (节点法 )
1 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 1
0 0 1 1 1 0
A
2
00
100
00
00
00
00
S
S
U
U
5
00
00
00
00
10
00
S
S
j
I
I
2,
① ② ③
④
1
2
3
4
56
I S k
.
U S k
.I k
,U k
Z k
r
kj I ej
.
I ek
.
C 3
L 1
U s 2
I S5
R 5
R 2
R 6
i
3
r i
3
R 4
①
②
③
④
I S k
.
U S k
.I k
,U k
Z k
r
kj I ej
.
I ek
.
1
2
3
4
5
6
.
.
1
.,,,
.
.
jL
R
jC
R
R
R
Z
2.
2.
2
.,2,,
.2
.
2
2
j
j
,* ( )U c o n j I?S支路复功率：
,* ( )SSu U c o n j I IS电压源复功率：
,* ( )Si U c o n j I?S电流源复功率：
( ),* ( )zS SU U c o n j I IS负载复功率：
讨论：功率表达式及计算。
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
ss
T nA Y A U A Y U A I
Fa3.m
T n?U A U
() ssI Y U U I
由 MATLAB程序计算得：
节点 电压值 (模 相位 )
1 57.8054 -179.758
2 37.6116 123.896
3 23.8900 -152.650
支路 电压值 (模 相位 )
1 48.4390 -139.493
2 57.8054 0.242
3 38.1269 -16.348
4 42.1958 -90.331
5 23.8900 27.350
6 37.6116 123.896
支路 电流值 (模 相位 )
1 24.2195 130.507
2 21.0979 179.669
3 19.0634 73.652
4 5.9469 -28.142
5 18.7734 55.587
6 18.8058 123.896
Fa3.m
负载复功率
0 +1.1732e+003i
8.9024e+002
0 -7.2683e+002i
1.1707e+002 -2.2195e+002i
2.8537e+002
7.0732e+002
电压源复功率
0
-2.1098e+003 -1.2195e+001i
0
0
0
0
电流源复功率
0
0
0
0
1.0976e+002 -2.1220e+002i
0
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
2）包含 元件电压控制的电流源
R 6
C 1
L 5
R 3
R 2
I S2
U s 1
R 4
U 4
.
U 4
.
g
包含有元件电压控制的电流源，则一般支路形式如图所示 。
( ) ( )k k k s k k j j s j s kI Y U U g U U I
I S k
.
U S k
.
I k
.
U k
Y k
U ek
.
g
kj U ej
I S k
.
U S k
.
I k
.
U k
Y k
U ek
.
g
kj U ej
1 1 1 1 1() ssI Y U U I
各支路电压方程式组：
( ) ( )k k k s k k j j s j s kI Y U U g U U I
()b b b s b s bI Y U U I
………
…
………
… 用矩阵形式表示：
( ) ( )j j j s j j k k s k s jI Y U U g U U I………
…
11 1 1 1
..
.,,.,,,
.,,,,
.,,( ).,,,
.,,,,
.,,.,,,
..
k
SS
jj j S j S j
kk k S
jk
k S k
b S b
j
b b
YI U U I
YI U U I
YI U U I
YIU
g
U
g
Sb
I
()ssI Y U U I
矩阵方程：
ss
T nA Y A U A Y U A I
节点电压方程 形式与不包含受控源时的形式完全相同,其差别在于支路阻抗矩阵 Y。
对于元件电压控制的电流源情况，可直接列写 支路导纳矩阵,
把相应的受控源控制系数写入到 Y的对应位置。
其余的计算方法与不包含受控源情况完全相同。
I S k
.
U S k
.
I k
.
U k
Y k
U ek
.
g
kj U ej
例 4：建立图示电路节点法求解所需的各矩阵。
R 6
C 1
L 5
R 3
R 2
I S2
U s 1
R 4
U 4
.
U 4
.
g
解：
0 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1
A
1
0
0
0
0
0
S
S
U
U
2
0
0
0
0
0
S
S
I
I
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
I S k
.
U S k
.
I k
.
U k
Y k
U ek
.
g
kj U ej
I S k
.
U S k
.
I k
.
U k
Y k
U ek
.
g
kj U ej
R 6
C 1
L 5
R 3
R 2
I S2
U s 1
R 4
U 4
.
U 4
.
g
1
2
3
2
5
6
.
1
.
1
1
.,,,
1
.
1
.
jC
R
R
R
jL
R
g
Y
①
②
③
④
1
2
3
4
5
6
7.7 回路电流方程
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1典型支路
1,回路电流方程的建立
()k k k s k s kU Z I I U 典型支路
0fBU
lfTf f f s f sB U = B Z B I - B Z I + B U = 0
Tfl?B I I
lI
为回路电流列向量
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
典型支路
lTf f f s f sB Z B I = B Z I - B U
即有
ll f s f sZ I = B Z I - B U
l TffZ = B Z B
(回路阻抗矩阵 )
令回路电流方程
1 ()ll? f s f sI = Z B Z I - B U
fB
Z
sU sI
Tfl?I B I
2,由回路电流求解支路电流电压
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
典型支路ssU = Z I - Z I + U
R 6
C 1
L 5
R 3
R 2
I S2
U s 1
R 4例 1,电路及有向图如图所示,取支路 1、
3,6为树支,试建立矩阵形式的回路电流方程。
1 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
fB
基本回路矩阵为
2 3 4 5 6
1,,,,,Z d i a g j R R R j L R
C
支路阻抗矩阵为
1
2
3
4
5
6
解,选择 单连支回路 作为基本回路，
2 4 5[]l III I=
1[ 0 0 0 0 0 ] TSUsU
2[ 0 0 0 0 0 ] TSIsI
电压源及电流源列向量为
R 6
C 1
L 5
R 3
R 2
I S2
U s 1
R 4
1
2
3
4
5
6
23
66
3 5 6
1
0 0 0
1
0 0 0
0 0 0
f
j R R
C
B Z j R R
C
R j L R
2 3 3
4 6 6
3 6 3 6
11
11
l
j R R j R
CC
j j R R R
CC
R R R R j L
T
ff
Z B Z B
回路阻抗矩阵为
2 2 1
1
0
ss
f s f s s
R I U
B ZI B U U
矩阵形式的回路方程为
2 3 3
2 2 1
4 6 6 1
3 6 3 6
2
4
5
11
11
0
ss
s
j R R j R
CC
R I U
j j R R R U
CC
R
I
R R R j
I
L
I
ll f s f sZ I = B Z I - B U
R 6
C 1
L 5
R 3
R 2
I S2
U s 1
R 4
C 3
L 1
U s 2
I S5
R 5
R 2
R 6
i
3
r i
3
R 4
①
②
③
④
例 2:电路如图所示，已知
2 4 65 2,R R R R
1
3
1 2,L
C
02 1 0 0 0SUV
0
5 1 0 9 0SIA
,试用回路电流解,选 1,2,3为树,基本回路矩阵为
1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1
fB
2,
①
②
③
④
1
2
3
4
56
法求各支路电流,
2
00
100
00
00
00
00
S
S
U
U
5
00
00
00
00
10
00
S
S
j
I
I
C 3
L 1
U s 2
I S5
R 5
R 2
R 6
i
3
r i
3
R 4
①
②
③
④
①
②
③
④
1
2
3
4
56
I S k
.
U S k
.I k
,U k
Z k
r
kj I ej
.
I ek
.
1
2
3
4
5
6
.
.
1
.,,,
.
.
jL
R
jC
R
R
R
Z
元件电流控制的电压源
2.
2.
2
.,2 2,,
.2
.2
j
j
Z
2
00
100
00
00
00
00
S
S
U
U
5
00
00
00
00
10
00
S
S
j
I
I
1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1
fB
MATLAB程序所需的数据,
MATLAB程序,Fa4.m
%回路法例
bf=[-1,0,-1,1,0,0;
0,-1,1,0,1,0;
-1,-1,0,0,0,1];
us=[0;100;0;0;0;0];
is=[0;0;0;0;10i;0];
z=[2i,0,0,0,0,0;
0,2,0,0,0,0;
0,0,-2i,0,0,0;
0,0,-2,2,0,0;
0,0,0,0,2,0;
0,0,0,0,0,2];
zl=bf*z*(bf');
zlf=inv(zl);
il=zlf*(bf*z*is-bf*us);
i=(bf')*il;
u=z*i-z*is+us;
ia=abs(i);ua=abs(u);
ib=180./pi.*angle(i);ub=180./pi.*angle(u);
fprintf('\n\n支路 电压值 (模 相位 )')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f%10.3f',j,ua(j),ub(j))
end
fprintf('\n\n支路 电流值 (模 相位 )')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f%10.3f',j,ia(j),ib(j))
end
支路 电压值 (模 相位 )
1 48.4390 -139.493
2 57.8054 0.242
3 38.1269 -16.348
4 42.1958 -90.331
5 23.8900 27.350
6 37.6116 -56.104
支路 电流值 (模 相位 )
1 24.2195 130.507
2 21.0979 179.669
3 19.0634 73.652
4 5.9469 -28.142
5 18.7734 55.587
6 18.8058 -56.104
计算结果与节点法一致 !
7.8 割集电压方程典型支路
1.割集电压 方程的建立写为矩阵形式,有
() ssU Z I I U
U
Z
I
sI
sU
支路电压列向量支路阻抗矩阵支路电流列向量支路电流源列向量支路电压源列向量
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
()k k k s k s kU Z I I U
() ssU Z I I U
1YZ
ssI = Y ( U - U ) + I
f f f sT c ss ffQ I = Q Y - Q Y U + Q I =QU 0
0f?QI
T
f cs?Q u u
Tf f c s f s f sQ Y Q U = Q Y U - Q I
q c s f s f sY U = Q Y U - Q I
割集电压方程
fQ
Z
sU sI
基本割集矩阵 (单树支割集 )
fQ
csu
割集电压 (树支电压 )
qY
割集导纳矩阵
2,由 割集电压 求解支路电流电压 I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
典型支路
T
f? CSU Q U
ssI = Y ( U - U ) + I
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
0 0 1 1 1
fQ
4
1 2 3 4
1 1 1 1,,,,d ia g S C
R R S L S L
Y ( s )
例 1,图示电路，试建立运算形式的割集电压方程和支路电压表达式。
解 作有向图，选支路 1,2,3为树
R 1 R 2
L 4
L 3
C 5 i S2
i
S1
1 2
3
单树支割集矩阵为由于电路中不包含受控源，因此支路导纳矩阵为一对角阵
R 1 R 2
L 4
L 3
C 5 i S2
i
S1
1 2
3
支路电压源电流源列向量为,
12[ ( ),( ),0,0,0 ] TSSI S I S?SI ( S )
[ 0,0,0,0,0 ] T?SU ( S )
Tf f c s f s f sQ Y Q U = Q Y U - Q I
根据可写出割集电压的矩阵形式
1
2
3
()
( ) ( )
()
C
C
C
S
SS
S
cs
U
UU
U
割集电压
1CS
2CS
3CS
55
1 4 4 4
11
22
4 2 4 4
3
55
4 4 3 4
1 1 1 1
( ) ( )
1 1 1 1
( ) ( )
()
1 1 1 1
CS
CS
C
SC SC
R SL SL SL
U S I S
U S I S
SL R SL SL
US
SC SC
SL SL SL SL
T
f? CSU Q U
1
5
1
2
3
2
3
4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
()
()
1
()
()
()
( 1)
()
()
1 0 1
C
C
C
US
US
US
US
US
US
US
US
例 2:电路如图所示，已知
R 2
R 4
R 3
R 6
I S5
C 1
U s 1
L 5
2 3 4 6 2,R R R R
5
1
1 3,L
C
01 100 53.1SUV
0
5 1 0 3 6,9SIA
试用割集法求支路电流,
解,选支路 1,3,4为树,列出基本割集矩阵
,
1
2
3
4
5
6
CS 1
CS 2 CS 3
1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1
fQ
1
( 60 80 )
00
00
00
00
00
S
S
j
U
U
5
00
00
00
00
86
00
S
S
j
I
I
R 2
R 4
R 3
R 6
I S5
C 1
U s 1
L 5
3 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 2 0 0 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 2
j
j
Z
1
2
3
4
5
6
CS 1
CS 2 CS 3
Tf f c s f s f sQ Y Q U = Q Y U - Q I
计算式,
1
2
3
4
5
6
CS 1
CS 2 CS 3
1
2
3
1
3
4
C
C
C
cs
U
U
U
U
UU
U
1?Y = Z
1( ) ( )?Tc s f f f s f sU = Q Q QYY U - Q I
T
f? CSU Q U
1 ()
ss
I Z U U I
Fa5.m ucs=inv(qf*y*(qf)')*(qf*y*us-qf*is);
u=(qf)'*ucs;
i=y*(u-us)+is;
ia=abs(i);ua=abs(u);
ib=180./pi.*angle(i);ub=180./pi.*angle(u);
fprintf('\n\n支路 电压值 (模 相位 )')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f%10.3f',j,ua(j),ub(j))
end
fprintf('\n\n支路 电流值 (模 相位 )')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f%10.3f',j,ia(j),ib(j))
end
%节点法例
qf=[1,-1,0,0,-1,-1;
0,-1,1,0,-1,0;
0,0,0,1,-1,-1];
us=[-60-80i;0;0;0;0;0];
is=[0;0;0;0;8-6i;0];
z=[-3i,0,0,0,0,0; 0,2,0,0,0,0;
0,0,2,0,0,0; 0,0,0,2,0,0;
0,0,0,0,3i,0; 0,0,0,0,0,2];
y=inv(z);
7.9 列表法（ 2b法）
节点法,割集法 和 回路法 建立矩阵方程时,电路中受控源的处理比较麻烦,而且对于含多端元件的电路不适用 。
如果只考虑使得方程简单易于建立,则可以用 支路电压 和 支路电流 同时作为变量 （ 共为 2b个变量 ）,
对电路建立 节点电流方程,回路电压方程 和 支路电压电流关系式 （ 共为 2b个方程 ）,直接解出各支路电压和电流 。 这种方法称为 2b法 。
建立 2b个独立方程,
C 3
L 1
U s 6
I S5
R 7
i
3
r i
3
① ②
③
④
⑤
L 2
M
①
②
③
④
⑤
1
2
3
4
5
6
7
网络有 nt个节点,b条支路,一般一个元件 (一个端口 )选为一条支路。
支路电流参考方向选择：
U si
i I S
U ki?
L 1 L 2
M
i
1
i
2
支路电压支路电流选关联参考方向 选支路 1,2,3,7为树
1） 矩阵形式的基尔霍夫电流定律
1 0 1 0 0 1 0
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0 1
A
1 2 3 4 5 6 7
T
I I I I I I I
I
（ nt –1）个方程
0?AI
①
②
③
④
⑤
1
2
3
4
5
6
7
C 3
L 1
U s 6
I S5
R 7
i
3
r i
3
① ②
③
④
⑤
L 2
M
①
②
③
④
⑤
1
2
3
4
5
6
7
2） 矩阵形式的基尔霍夫电压定律
（ b – nt +1）个方程0
f
BU
C 3
L 1
U s 6
I S5
R 7
i
3
r i
3
① ②
③
④
⑤
L 2
M
选支路 1,2,3,7为树
1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 1
fB
1 2 3 4 5 6 7
T
U U U U U U U
U
单连支回路
3) 支路电压电流方程可通过对 b条支路列写 电压电流关系 而得到另外 b个方程
k SkUU?
电压源电流源支路：
k SkII?
电阻电容电感（无互感）支路：
kk kU j L I
1
kk
k
UIjCkkU R I?
33
3
1UI
jC
77U R I?
66SUU?
55SII?
C 3
L 1
U s 6
I S5
R 7
i
3
r i
3
① ②
③
④
⑤
L 2
M
受控源支路：
VCVS 支路：
VCCS 支路：
CCVS 支路：
CCCS 支路：
k k j jUU
k kj jI g U?
k kj jU r I?
k kj jII
4 4 3 3UIr?
C 3
L 1
U s 6
I S5
R 7
i
3
r i
3
① ②
③
④
⑤
L 2
M
电感耦合支路：
和 ji i i ijU j L I j M I
j j j ji iU j L I j M I
C 3
L 1
U s 6
I S5
R 7
i
3
r i
3
① ②
③
④
⑤
L 2
M
21 1 1U j L I j M I
2 2 2 1U j L I j M I
1 1 1111
1
11 1
1
b
bbbb b
b
b b b b
FF
F
IU
F
V
V
K
KK U
K
I
iVijK ijF
b条支路电压电流关系式写成矩阵形式：
式中 和 为支路电压和电流关系方程系数，
中电压或电流源，所有系数由支路情况决定。
为支路在列表法计算时,根据不同支路在 [K],[F]和 矩阵中填入相应元素,因此被称为列表法 。
[]V
C 3
L 1
U s 6
I S5
R 7
i
3
r i
3
① ②
③
④
⑤
L 2
M
1
2
3
7
1
2
3
4
5
6
7
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
I
I
I
I
I
I
jL
jL
jC
R
jM
j
I
M
r
5
6
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
S
S
U
U
U
U
U
U
I
U
U
0k kUR I
0kkj jIr U
0
ji
i
i ijj L j MII
U
k SkUU?
0?AI 0fBU
由此可得矩阵方程：
KFI U V
（ nt –1） （ b – nt +1） （ b）
A
关联矩阵 ( 1)t bn
fB
基本回路矩阵
( 1)tbbn K
电流系数矩阵
bb F
电压系数矩阵
bb?
V 电源矩阵
1b?
合并为一个统一的矩阵方程,得：
f
A 0 0
I
U
KF
0
V
B0
22bb? 21b? 21b?
f
A 0 0
I
U
KF
0
V
B0
22bb? 21b? 21b?
1?
f
K F V
0 B 0
A 0 0
I
U
直接解矩阵,可得出支路电压和支路电流,
I S1
U s 2
R 4
U 4
R 5 R 6
g U 4
① ② ③
④
例,图示电路,
121 5,1 0SSI A U V
450,2 5,2,1g S R R
6 3R
，求支路电压与电流。
1
2 3
4
5 6① ② ③
④
选支路 4,5,6为树解：有向图及参考方向如图，
1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 1 1
1 0 1 0 0 1
A
1 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1
B
I S1
U s 2
R 4
U 4
R 5 R 6
g U 4
① ② ③
④
0k kR I U
0jkjkI g U
k SkUU?
KFI U V
4
5
6
1
1
0
K
R
R
R
1
2
0
0
0
0
S
S
I
U
V
1
2
3
4
5
6
I
I
I
I
I
I
1
2
3
4
5
6
U
U
U
U
U
U
1
1
1
1
0
0
g
F
代入数据,
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
2
0
1
1
3
K
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
1
1
0
4
1
0 0 0 0
1
1
0
F
15
10
0
0
0
0
V1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 1 1
1 0 1 0 0 1
A
1 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1
B
1?
f
K F V
0 B 0
A 0 0
I
U
MATLAB计算,
a0=zeros(3,6);
v0=zeros(3,1);
x=inv([a,a0;a0,b;k,f])*([v0;v0;v]);
fprintf('\n支路 电流值 ')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f',j,x(j))
end;
fprintf('\n支路 电压值 ')
for j=1:6
fprintf('\n%2.0f%15.4f',j,x(j+6))
end
clc;
a=[1,1,0,0,1,0;
0,0,0,1,-1,1,;
-1,0,-1,0,0,-1];
b=[1,0,0,0,-1,-1;
0,1,0,-1,-1,0,;
0,0,1,1,0,-1];
v=[15;10;0;0;0;0];
k=[1,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,0;
0,0,-1,0,0,0;
0,0,0,-2,0,0;
0,0,0,0,-1,0;
0,0,0,0,0,-3];
f=[0,0,0,0,0,0;
0,1,0,0,0,0;
0,0,0,0.25,0,0;
0,0,0,1,0,0;
0,0,0,0,1,0;
0,0,0,0,0,1];
Liebiaofa.m
支路 电流值
1 15.0000
2 -5.0000
3 5.0000
4 10.0000
5 -10.0000
6 -20.0000
支路 电压值
1 -70.0000
2 10.0000
3 -80.0000
4 20.0000
5 -10.0000
6 -60.0000
计算结果,
本章小结,
关联矩阵 A
0?Ai
T n?u A u
支路电压列向量
12[,,] Tbu u u?u
节点电压列向量
12[,,,]
T
n nu u u?u
回路电流列向量
1 2 ( 1 )[,,]t
T
l l l l b ni i ii
(单连支回路 )
支路电流列向量
12[,,,] Tbi i i?i
割集电压 列向量
1 2 ( 1 ),,,c s C C C n tu u u
Tu (单树支割集 )
回路矩阵 B
f?B u 0
T
fl?B i i
割集矩阵 Q
0f?Qi
T
f cs?Q u u
节点电压方程
I S k
.
U S k
.I k
.
U k
.
R jL?
jC?
1
()k k k s k s kU Z I I U
ss
T nA Y A U A Y U A I
回路电流方程割集电压方程
Tf f c s f s f sQ Y Q U = Q Y U - Q I
lTf f f s f sB Z B I = B Z I - B U
列表法
f
A 0 0
I
U
KF
0
V
B0IUFK V
