? 单边指数信号
双边指数信号
矩形脉冲信号
钟形脉冲信号
符号函数
升余弦脉冲信号
§ 3.5- 典型非周期信号的频谱信号
dttf
T
dttf
T
TT



2
2
2
2
)(
1
)(
lim
功率：
能量：
单边指数信号
信号表达式
– 幅频
– 相频
)0(0
)0(
)(
t
te
tf
t?
)0(1)()(?





j
dtetfF tj
22
1)(

F
)()( a r c t g
f(t)
t0
)(?F
1
)(
2?
2
a2
1
a3
双边指数信号
)()( tetf t?
22
2)(


F 0)(
一,dtettF tj

)()]([
10je
)(t?
t
j
)(?jF
1




tddet tj c o s
2
1
.1
2
1
)(
1)(?t? 0)( 0 tjett
P80-81黎曼－勒贝格 2-99和 2－ 100
)( 0tt
0t
)(?jF
)( j
0t
二,冲激偶的傅立叶变换
det tj2 1)(


dejt
dt
d tj)()(
2
1
jt
dt
dFT?


)(
n
n
n
jt
dt
dFT )()(
)()(2)(
n
n
nn
d
djtFT?
1)]([?tFT?
三,sgn(t)的付立叶变换
)s g n ()( ttf
+1 t>0
-1 t<0
)(2 tf
0.,.,, te at
0...., te at
dtedtejF tjatja



0
)(
0
)(
2 )(

22
2

a
j
)()( 2
0l i m
jFjF
a?


ja
j
a
22
22
0
lim
2)(?jF
)( j
0....2
0....2
1
1?

j
t
d
t
de
j
tf
tj
2
)s g n (
s i n12
2
1
)(





1
s i n
s i n2
s i n)(2)(
0
0
0



t dt
t dt
dtttfjF
四,常数的付立叶变换
2

2
E
)
2
()( saEtEG?
)2(22)2(][ limlim

saESaEEF


P17.1-35
)]([)( l i m ktsa
k
t
k?

)(2][ EEF?
)(tf
E
)(2]1[F
t
五,u(t)的付立叶变换
)(tu
)]s g n (1[
2
1
)]([ ttuF

j
jF
1
)()(
P168.3-30
方法一
)sgn(21 t
2
1
t
t
t
ja
tue
tetu
at
at
a

1
)(
)0(lim)(
0
)()(
1
)(
2222


jBA
a
j
a
a
ja
jF
e

方法二,利用单边指数函数取极限
)0()()(
)0(0)()(
l i m
l i m
0
0




AA
AA
a
a





－
a
a r c tg
d
a
a
d
dA
a
aa
lim
limlim
0
2
00
1
)(



j
jBAF
BB
a
1
)(
)()()(
1
)()(
l i m
0



§ 3.9 周期信号的傅立叶变换
一般周期信号的傅立叶变换
傅立叶级数 FS与其单脉冲的傅立叶变换 FT的关系
正余弦信号的傅立叶变换 FT
复指数信号的傅立叶变换
周期单位冲激序列的 FS和 FT
周期矩形脉冲的 FS和 FT
周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系
1.无穷期指数函数 的傅立叶变换tje
0
tjtj edeF 0
2
1)(
2
1]([
00
1



0?
][2 1)]([ 001 tjeFFF
)(2 00 tje
R
tjI
)(2)]([2][ 001 FFeF tj
用反证法,
][ s i n.].[ co s.2 11 tFandtF
)(
2
1
c o s 111 tjtj eet
)]()([co s 111t
)(
2
1
s in 111 tjtj ee
j
t
)]()([s i n 111 jt
3.一般周期信号的傅立叶变换
tjn
n
n eFtf
1)(

)(2 11tje?
)(2][)]([ 1 nFeFFtfF
n
n
tjn
n
n


)( 1
n
nC
1
)(1 0
1
nn jFTF
P147.例 3－ 10
周期单位冲激序列的 FS




n
tjn
n
n
T eFnTtt
1.)()(
1

11
1
).(
1 21
2
1
1
T
dtet
T
F
T
T
tjn
Tn


n
tjn
T eTt

1
1
)(
周期单位冲激序列的 FT





n
tjn
n
tjn
n
n
T eTeFnTtt

1
1
1.)()( 1
)(12)]([ 1
1
n
T
tfFT
n


)()]([)( 11?


n
T ntFTF
)(t?
0 t
)(0?F
1
)1(
0?
)(tT?
1T
t
nF
0?
0?
)(?F
1?1 12?
12?1
1
12
1?
1
1T
FS
FT
（ p148,例题 3-11 ）
)
2
()(0 SaEjF?
)
2
()(
1 1
0
1
1


n
Sa
T
E
jF
T
F nn
tj
n
enSa
T
Etf )
2
()( 1
1

)(2)( 1 nFjF
n
n

)()
2
( 111

n
n
SaE
n


令,
20
1
秒

8
25.0
22
1
1 TsT
4
1?
单个矩形脉冲的变换
0?n
8?
40?40?
25
1
周期信号的频谱 密度
)(?jF
)(?jF
4.周期矩形脉冲的 FS和 FT
E
)(0 tf
0 2
2
t
E
)(0?F

2
2? 0
1T1T?
E
)(tf
1T
E?
1E
)(?F
nF
t
FT
FS
FT
周期重复
5.周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系
2
21
1
1
1).(
1 T
T
tjn
n dtetfTF
2
1
2
1
).()( 00
T
T dtetfF
tj
1
)(
1
0
1

nn
F
T
F


2)(0
SaEF
)
2
()(1 1
1
0
1
1


nSa
T
EF
T
F nn
1.
2
)( 1
1
jn
n
enSa
T
Etf



)(
2
)( 1
1
1
1
nnSaEF
n




由单脉冲联想 FS的 Fn
FS
FT
6.小结,单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较
单脉冲的频谱 是连续谱，它的大小是有限值；
周期信号的谱 是离散谱，含谱密度概念，它的大小用冲激表示；
是 的包络的 。
)(0?F
)(?F
)(?F)(
0?F
1
1?
.物理意义不同,前 者是单个复简谐波成份的复振幅,而后者是单位带宽内所有复简谐波成分的合的复振幅值。
.单位不 同,Fn的单位是 伏特或安培,而
F(jw)的单位 则是 (伏特 /赫,安培 /赫 )
,代表的是信号的功率分配,而代表了信号的能量分布,
nF )(?jF
*求如图所示正弦信号经对称限幅后输出波形的基波，二次和三次谐波的有效值,

A
)( tf?
t?
)()( tftf
0?na
)( tf?
ttA 0......s i n 0
tA,,,,,,s i n
ttA,,,,,,s i n 0
ttdfttdtf
T
b
T
T
00
2
0
000
2
2
01
s i n)(
4
)(s i n)(
2



]s i ns i ns i n[
4
00
2
0
0
0
2
ttdAttdA

)2s i n2(

A
)2s i n2(
A
)4s i n
6
1
2s i n
3
1
(3s i n)(
4
0
2
0
003


A
ttdtfb

T
e f f dttf
T
F
0
2 )(1
)co s ()(, tFtfif m
mm
T
meff FFdttF
T
F 7 0 7.0
2
1
)(c o s
1 2
2
0


2
2
......
2
2
31 bb
傅立叶变换的唯一性
)()]([)]([ 21?jFtfFtfF
)()( 21 tftf?
由则反之,由
)()]([)]([ 2111 tfjFFjFF
)()( 21 FF?则给出简短证明如下：
)(
2
1
2
1
)(
])([
2
1
)(
2
1
)(
)(
2
1













tde
det
dedetf
dejFtf
tj
tj
tjj
tj
交换积分顺序
)()()(
)(][
2
1
)(
22
2
)(
1
tfdft
dfdetf
tj








)(),( 21 tftf 在 积分意义 上相等。
傅立叶变换的 唯一性 表明了 信号 及其 频谱 的 唯一 对应关系。
证明 p17 1-35
)(21)];
2
([)( saEtEG
以及
1)(lim?

tG?
和傅立叶变换的唯一性，有
)]([2)]
2
([lim
EsaE?

)]([l i m)(
)]
2
([
2
l i m)(
Ktsa
k
t
Kt
saE
K
t
K
K


)(1 tf
)(2 tf
*四种时频对应关系
1.基本性质。
2.与抽样定理有关的性质。
周期信号的频谱,周期性 -抽样性抽样信号的频谱,抽样性 -周期性
3.与单边特性有关的性质。
(希尔泊特交换）解析信号 -单频谱
4.与功率谱有关的性质。
相关函数 -功率谱
§ 3.7-3.8
作业：
p169.3-32