*7.傅立叶变换的微分
A.时间微分特性若 )()(?Ftf?
则
)(
)(
Fj
dt
tdf
及
)()(
)(
Fj
dt
tfd n
n
n
证明请见 p134
b.频率 微分特性若 )()(?Ftf?
)()()( tfjtddF则
)()()( tfjtd Fd nn
n
及
)(2
)](2[)()(
)(21:
][
'
jt
d
d
tfjt
tF
－
解例一：求
8.积分特性
A.时间积分特性
1)公式 A
若
)()(?Ftf?
,则
)(1)(?
F
j
df
t
条件,
)753,136(
|
)(
0
p
F
此条件的解释见
或
0)0(?F
(等效于满足绝对可积 )
t
dft )()(设仅当
)(t?
满足狄氏条件,亦即
)(t?
是绝对可积的,上述时间域中积分的结论才有效,
即要
dtdfdtt t |)(||)(|
有限则必须使
0)(lim?
t
t
即
tt df 0|)(|l i m
时才有此结论,这等效为,
0)0(F|)(Flim
|]dte)t(f[limdt)t(flim
0
t
0
tj
tt
由傅立叶变换对可知,
dFf
dttfF
)(
2
1
)0(
)()0(
当当
0)(lim
0)(lim
F
tf
t
证明,令?
t dft )()(
或
)()( tf
dt
td
若 )(t? 满足狄氏条件,即 )()( jt
则 )()( jjtf
即 )()( jjjF
证毕。)j(F
j
1
d)(f
)j(F
j
1
)j(
t
例二,P168 (3-25) )(tf
E
0
2
1
2
2
2
1?
t
)(' tf
2
2
2
1
2
1?
1
2
E
解,
0)(f? 上述公式可用,
)]
2
(
)
2
()
2
(
)
2
([
2
)("
11
1
t
tt
t
E
tf
2
2
1 21
2
)(" tf
1
2
E
)(")
2
c o s2
2
c o s2(
2
)
(
2
)]("[
1
1
22
22
1
11
jF
E
ee
ee
E
tfL
jj
jj
4
)(
4
)(
2
)(
)
2
c o s
2
( c o s
41
)("
)(
1
)(
111
1
1
22
sasa
E
E
jF
j
jF
当
12
时 )(?F 为
44
3
2
3)( 111 sasaEF?
根据两个抽样函数相乘,可大致画出频谱
13
4
E123?
1
4
13
4
13
8
1
4
2)公式 B
若 0)0(?F 或 0)(f 即意味着 f(t)不是能量信号,则 f(t)积分的傅立叶变换必须包含一个冲激函数,
)()0()(1)( BFjF
j
dft
)()(
])()([]*[
21
2121
FF
dtedtffffF tj
的证明。用卷积定理来证明或见 1 3 5p
)](
1
)[(
)()()(*)()(
j
jF
dtuftutfdf
t
证明了上述的结果,
)(tf
1
1
0
1
t
0t
)(' tf
例三,P137 例 3-7
1)(
10
f
t此时
B式通用,
解：
)()()()(
00)()(
)1()(
)1()]1()([
)1()()('
)1()]1()([)(
atfttfat
ttt
tutu
tttt
tututf
tutututtf
1|
1
)]('[
0|1)}("{
)1()()("
)()11)(()1()1(
0
0
j
e
tfF
etfF
tttf
tttttt
j
j
2
2
22
2
2
2
)
2
(
1
)(
)
)(
()(
)(
1
)(
)()(
)(
1
)(
j
jj
j
j
j
esa
j
j
ee
e
j
e
f
j
e
jF
3）公式 C
j
e1
)t(f
1)(f;1)(f
e1)t('f
)1t()t()t('f
)1t(u)t(u)t(f
)()](f)(f[
j
)j(F
d)('f
j
j
t
1?
1
)1(
1
)(
)()()(
)()0()()(
)](
1
[)](
1
[)(
)1()()(
0
j
jj
j
e
j
tf
ee
tfttf
e
jj
F
tututf
*.用叠加原理和时移特性来求解：
用迭加原理将得出相同的结论。
再来观察 )sgn (t 函数的傅立叶变换
t t
)sgn (t )(sgn ' t
1
1?
)(2 t?
j
ttf
fftt
2)s g n ()(
1)(;1)(;2)(2)(s g n '
:.注意积分常数的问题?
)()()( ftf
dt
dftf
dt
d?
t
－
)()]s g n (5.0[)()(,t
dt
tdt
dt
tdu如
)s g n ()()(,ttud
t
而
).s g n (1)( tf但若考虑
t
j
jFdfffA
)()(.0)()(.
A式运用
B若 )(,0)( ff 有限值
)()()()(
f
j
jFdft
B式运用
)()(:.4?Ftf?若结论
t
ff
j
jF
df
cfcfC
)()]()([
)(
)(
)(;)(,21
C式运用
B 频率积分定理若
)()(?jFtf?
则
dF
jt
tf )()(
0)(
2
1)0(
dFf条件：
时有效。
若 0)0(?f 则
dFtf
jt
tf )()()0()(
若按未修正的频域积分定理做，可得
01)0(,1)( ftf
j
t
2
)s g n (?
)s g n (
1
j
t
的傅立叶变换求例四,]1[.
t
F
)(2
1
)(2)(2
)(2)(
uj
t
ud
tf
明显，两者有矛盾。若按修正的积分定理，
则不会产生矛盾。
)(2)(,1)0(.1)( tfftf?
)(2)(2)( uddF
jt
tf
tfu
)(
)()0()(2
)( t
)s g n (
1
j
t
§ 3.8卷积定理时域卷积定理频域卷积定理一,时域卷积定理若
)()();()( 2211 FtfFtf
则 )()()](*)([
2121 FFtftfF
证明,139
二,频域卷积处理若 )()]([);()]([
2211 FtfFFtfF
则
)()(
2
1)]()([
2121 FFtftfF
其中 uduFFFF
)()()()( 2121
时域中两函数乘积的傅立叶变换，等效于在频域中它们频谱的卷积。
证明,dtetftftftfF tj
)()()]()([
2121?
deFtf tj)(
2
1)(
11
代入，
du)u(F)u(F
2
1
)]t(f)t(f[F
dte)t(fdu)(F
2
1
)]t(f)t(f[F
2121
t)juj(
2121
互换积分次序得：
例五：求单个余弦脉冲的频谱 (题 3－ 26)
)
2
()( SaEG? )()(
)(tGtcos
2)(1
)
2
c o s (E2
)(F
乘
FT FT
卷
ttGtf c o s).()(?
例六：求三角脉冲的频谱三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积
)(tG )(tG
)(*)( tGtG
卷
)(?G )(?G乘
42
)( 2 SaEF
例七：求图中所示的三角调幅波信号的频谱
t0co s?1
1?
2
2
t
)(21c o s 000 tjtj eet
ttf 21)(
0
42
)( 20 SaEF
4
)(
4
)(
4
)( 0202 SaSaEF
三角波
1?E
)(0?F
)(21 0?F )(21 0?F
)(?F
0?0
例八,P169 3-35
)t
)(tf
t
t
)(1 tf
t
)(2 tf
t
解：
T
nFF n 2);(2)( 002
0;
2
s i n
2
)c o s(c o s[
1
)(
1
0
2
0
2
00
0
F
n
n
dttnt d tn
dtetf
T
F
tjn
n
)(
2
s in4)(2
nn
n
F
)
4
(
2
)()( 1211
saFtf
)
4
(
2
s i n)]([
1
21
n
sa
n
n
tfF
题 3-24载波只有一个频率,故调制后是将三角脉冲频谱搬移到 w0处,而周期方波有无数奇次谐波分量,故被三角脉冲调幅后,将把三角脉冲的频谱加权移到各奇次谐波处以后迭加,
d)(F
2
1
dt)t(f
P a s e v a lP a s e v a l:
22
恒等式。定理或证明由频域卷积定理得解,
( * ))(F)(F2 1)]t(f)t(f[F 2121
)(F)t(f,**由奇偶虚实特性可知
)t(f)t(f);t(f)t(f( * ) *21式中设
d)(F)(F
2
1
dt)t(f)t(f
**
d)(F
2
1
dt)t(f 22
证明完毕。
§ 3.10-3.11
作业,3-28
3-34
思考？
（ 1）有多少种求单三角脉冲的傅立叶变换的方法？请论证。
（ 2）使用傅立叶变换的基本性质求下列函数的傅立叶变换，并小结一下奇虚函数的傅立叶变换的特点，如为实偶函数的傅立叶变换又怎样？
已知,求：jttf?)(?)(F
2
s in
2
s in2c o sc o s
4
)(
s in
4
)(
s in
)(
8
)( 11
1
2
E
F
4/)(
4/)s i n (
4/)(
4/)s i n (
2
)(
1
1
1
11
E
01)0(
1)(:
F
t?如
j
tud
t
1
)()(
dejFtf
dtetfjF
tj
ttj
)()(
)()(
)0)(()(
2
1
)0(
)0)(()()0(
lim
lim
FdFf
tfdttfF
t
d
t
t
td t
t
jdte
tt
F
tj
0
0
s in
s in
1
2
1
]
1
[
因
0
2
0
2
]
1
[
t
F 0
0
j
j s g nj
tsgn
t?
j
2
t
jt
2 sgn2
tj?
1?sgn
2
c o s
E2
)]
22
s i n (
1
)
22
s i n (
1
[E
]
2
)[(Sa
2
E
]
2
)[(Sa
2
E
)]()([)
2
(SaE
2
1
)(F
222
秒米为光速：，此处的波长相对应可以求出不同频率的
/103
8
0
c
c
ffc
频分，码分，波分）二是多路复用（时分，
一是天线尺寸
A.时间微分特性若 )()(?Ftf?
则
)(
)(
Fj
dt
tdf
及
)()(
)(
Fj
dt
tfd n
n
n
证明请见 p134
b.频率 微分特性若 )()(?Ftf?
)()()( tfjtddF则
)()()( tfjtd Fd nn
n
及
)(2
)](2[)()(
)(21:
][
'
jt
d
d
tfjt
tF
－
解例一：求
8.积分特性
A.时间积分特性
1)公式 A
若
)()(?Ftf?
,则
)(1)(?
F
j
df
t
条件,
)753,136(
|
)(
0
p
F
此条件的解释见
或
0)0(?F
(等效于满足绝对可积 )
t
dft )()(设仅当
)(t?
满足狄氏条件,亦即
)(t?
是绝对可积的,上述时间域中积分的结论才有效,
即要
dtdfdtt t |)(||)(|
有限则必须使
0)(lim?
t
t
即
tt df 0|)(|l i m
时才有此结论,这等效为,
0)0(F|)(Flim
|]dte)t(f[limdt)t(flim
0
t
0
tj
tt
由傅立叶变换对可知,
dFf
dttfF
)(
2
1
)0(
)()0(
当当
0)(lim
0)(lim
F
tf
t
证明,令?
t dft )()(
或
)()( tf
dt
td
若 )(t? 满足狄氏条件,即 )()( jt
则 )()( jjtf
即 )()( jjjF
证毕。)j(F
j
1
d)(f
)j(F
j
1
)j(
t
例二,P168 (3-25) )(tf
E
0
2
1
2
2
2
1?
t
)(' tf
2
2
2
1
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1?
1
2
E
解,
0)(f? 上述公式可用,
)]
2
(
)
2
()
2
(
)
2
([
2
)("
11
1
t
tt
t
E
tf
2
2
1 21
2
)(" tf
1
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E
)(")
2
c o s2
2
c o s2(
2
)
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)(
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111
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jF
j
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当
12
时 )(?F 为
44
3
2
3)( 111 sasaEF?
根据两个抽样函数相乘,可大致画出频谱
13
4
E123?
1
4
13
4
13
8
1
4
2)公式 B
若 0)0(?F 或 0)(f 即意味着 f(t)不是能量信号,则 f(t)积分的傅立叶变换必须包含一个冲激函数,
)()0()(1)( BFjF
j
dft
)()(
])()([]*[
21
2121
FF
dtedtffffF tj
的证明。用卷积定理来证明或见 1 3 5p
)](
1
)[(
)()()(*)()(
j
jF
dtuftutfdf
t
证明了上述的结果,
)(tf
1
1
0
1
t
0t
)(' tf
例三,P137 例 3-7
1)(
10
f
t此时
B式通用,
解：
)()()()(
00)()(
)1()(
)1()]1()([
)1()()('
)1()]1()([)(
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tutu
tttt
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1|
1
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0|1)}("{
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0
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j
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j
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3）公式 C
j
e1
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e1)t('f
)1t()t()t('f
)1t(u)t(u)t(f
)()](f)(f[
j
)j(F
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t
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1
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)()0()()(
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[)](
1
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0
j
jj
j
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tfttf
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F
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*.用叠加原理和时移特性来求解：
用迭加原理将得出相同的结论。
再来观察 )sgn (t 函数的傅立叶变换
t t
)sgn (t )(sgn ' t
1
1?
)(2 t?
j
ttf
fftt
2)s g n ()(
1)(;1)(;2)(2)(s g n '
:.注意积分常数的问题?
)()()( ftf
dt
dftf
dt
d?
t
－
)()]s g n (5.0[)()(,t
dt
tdt
dt
tdu如
)s g n ()()(,ttud
t
而
).s g n (1)( tf但若考虑
t
j
jFdfffA
)()(.0)()(.
A式运用
B若 )(,0)( ff 有限值
)()()()(
f
j
jFdft
B式运用
)()(:.4?Ftf?若结论
t
ff
j
jF
df
cfcfC
)()]()([
)(
)(
)(;)(,21
C式运用
B 频率积分定理若
)()(?jFtf?
则
dF
jt
tf )()(
0)(
2
1)0(
dFf条件：
时有效。
若 0)0(?f 则
dFtf
jt
tf )()()0()(
若按未修正的频域积分定理做，可得
01)0(,1)( ftf
j
t
2
)s g n (?
)s g n (
1
j
t
的傅立叶变换求例四,]1[.
t
F
)(2
1
)(2)(2
)(2)(
uj
t
ud
tf
明显，两者有矛盾。若按修正的积分定理，
则不会产生矛盾。
)(2)(,1)0(.1)( tfftf?
)(2)(2)( uddF
jt
tf
tfu
)(
)()0()(2
)( t
)s g n (
1
j
t
§ 3.8卷积定理时域卷积定理频域卷积定理一,时域卷积定理若
)()();()( 2211 FtfFtf
则 )()()](*)([
2121 FFtftfF
证明,139
二,频域卷积处理若 )()]([);()]([
2211 FtfFFtfF
则
)()(
2
1)]()([
2121 FFtftfF
其中 uduFFFF
)()()()( 2121
时域中两函数乘积的傅立叶变换，等效于在频域中它们频谱的卷积。
证明,dtetftftftfF tj
)()()]()([
2121?
deFtf tj)(
2
1)(
11
代入，
du)u(F)u(F
2
1
)]t(f)t(f[F
dte)t(fdu)(F
2
1
)]t(f)t(f[F
2121
t)juj(
2121
互换积分次序得：
例五：求单个余弦脉冲的频谱 (题 3－ 26)
)
2
()( SaEG? )()(
)(tGtcos
2)(1
)
2
c o s (E2
)(F
乘
FT FT
卷
ttGtf c o s).()(?
例六：求三角脉冲的频谱三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积
)(tG )(tG
)(*)( tGtG
卷
)(?G )(?G乘
42
)( 2 SaEF
例七：求图中所示的三角调幅波信号的频谱
t0co s?1
1?
2
2
t
)(21c o s 000 tjtj eet
ttf 21)(
0
42
)( 20 SaEF
4
)(
4
)(
4
)( 0202 SaSaEF
三角波
1?E
)(0?F
)(21 0?F )(21 0?F
)(?F
0?0
例八,P169 3-35
)t
)(tf
t
t
)(1 tf
t
)(2 tf
t
解：
T
nFF n 2);(2)( 002
0;
2
s i n
2
)c o s(c o s[
1
)(
1
0
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dtetf
T
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2
s in4)(2
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)
4
(
2
)()( 1211
saFtf
)
4
(
2
s i n)]([
1
21
n
sa
n
n
tfF
题 3-24载波只有一个频率,故调制后是将三角脉冲频谱搬移到 w0处,而周期方波有无数奇次谐波分量,故被三角脉冲调幅后,将把三角脉冲的频谱加权移到各奇次谐波处以后迭加,
d)(F
2
1
dt)t(f
P a s e v a lP a s e v a l:
22
恒等式。定理或证明由频域卷积定理得解,
( * ))(F)(F2 1)]t(f)t(f[F 2121
)(F)t(f,**由奇偶虚实特性可知
)t(f)t(f);t(f)t(f( * ) *21式中设
d)(F)(F
2
1
dt)t(f)t(f
**
d)(F
2
1
dt)t(f 22
证明完毕。
§ 3.10-3.11
作业,3-28
3-34
思考？
（ 1）有多少种求单三角脉冲的傅立叶变换的方法？请论证。
（ 2）使用傅立叶变换的基本性质求下列函数的傅立叶变换，并小结一下奇虚函数的傅立叶变换的特点，如为实偶函数的傅立叶变换又怎样？
已知,求：jttf?)(?)(F
2
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2
s in2c o sc o s
4
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4
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s in
)(
8
)( 11
1
2
E
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4/)(
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秒米为光速：，此处的波长相对应可以求出不同频率的
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频分，码分，波分）二是多路复用（时分，
一是天线尺寸
