§ 3.7傅立叶变换的基本性质
对称性和叠加性
奇偶虚实性
尺度变换特性
时移特性和频移特性
微分和积分特性
卷积定理 (§ 3.8)
Paseval定理
1：对称性若 )()(?Ftf? 则 )(2)( ftF
若 )(tf 为偶函数,则
)(2)( ftF?
或
)()(
2
1
ftF?
证明见 p123
)(t?
)(?F
t?
t?
)(tF
)(2
若 f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子
)(tf )(?F
222?
t?
1?
0 0
)(tf
)(?F
c?
2
c?
2? 2c
2
c
t?
2
c
1
0 0
2
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1t
1F::
2求例题一
22
2
a
ae ta
ee
t
e
t
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
双边指数信号解,.1 1 4p
atetf)(
FT
jaF
1)(
1)(1
jta
FTF?
对称性
aefF 2)(2)(
1
t 换成
）对称性部分成立的例子例题二 (0t,1a,
f 换成
1F
换成
t
例题三：试求函数
t
tsin 的傅立叶变换解：若直接用
dte
t
t
dtetfF
tj
tj
s i n
)()(
来求出
t
tsin 的傅立叶变换将是不容易的。
这里可用对称性来求解,
分析,
2
2
s in
)(
Etf?
)( tf
1
0
1?t
1?t
s i n2
)]([)( tfFF
2
2
根据偶函数 对称性可得
1
1
0
2
)(2]
s in2
[)]([
f
t
t
FtFF
上式两端同乘以 1/2得
)]1()1([
1
1
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]
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[
uu
t
t
F
)(tf
1? 1
)(?F
)(21 tF )(?f
1
t
t
我们也可以用此来求
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t
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a
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2
1
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当 0 时
0
0
)(
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a
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2、线性（叠加性）
)()(?ii FtfFT?若：
n
i
ii
n
i
ii FatfaFT
11
)()(?则：
的傅立叶变换。求例题四 )t(f:
)(tf
2?2
1
2
t
)]()([)]()([)( 22 tututututf
)](2)2/([)( SaSaF
3,奇偶虚实性无论 f(t)是实函数还是复函数，下面两式均成立
)()]([ ** FtfFT
)()]([ **?FtfFT
)()]([?FtfFT?
)()]([ FtfFT
时域反摺频域也反摺时域共轭频域共轭并且反摺更广泛地讲,函数 f(t)是 t的复数 ;令
)(1 tf 和 )(
2 tf
分别代表它们的实部和虚部,
)()()( 21 tjftftf
)()()( jXRjF
上式整理得出：
带入把尤拉公式,ts i njtc o se
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tj
tj
21
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21
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1
3.,,,,s i nco s tjte tj
1.,,,,,)(
2
1
)(?
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2),,,,,()()( jXjRjF
式整理得带入，把 132
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2
1)(
1
dtXtRtf ]c o s)(s i n)(
2
1)(
2
特殊情况的讨论：
a.实数函数设 f(t)是 t的实函数,则 的实部与虚部将分别等于 (f2(t)=0,f(t)=f1(t))
t d ttfR?
c o s)()( t d ttfX?
s i n)()(
)(?F
从上式可以得出结论,
)()(
)()()(
)()()(
)()()()(
*
FF
jXRF
jXRF
XXRR
实信号的频谱具有很重要的特点,正负频率部分的频谱是相互共轭的,
,f(t)是实函数
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)(?R )(?X
)()( RR
)()( * FF
偶函数 奇函数
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FtfFT
FtfFT
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b,虚函数设 f(t)是纯虚函数 0)()()(
12 tftjftf
则
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2
2
因而 是 的奇函数,而 是 的偶函数,
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)()( * FF
反之也正确,
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F
tftfc
tj
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)(
)()(.偶实函数：
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c o s)(2c o s)()(
0
X
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反之,若一实函数 f(t)的付立叶积分也是实函数,
则 f(t)必是偶函数,
实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数
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22
2)(
F 0)(
d 奇实函数设 f(-t)=-f(t) 则
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反之,若一实函数 f(t)付立叶积分是一纯虚函数,则 f(t)必是奇函数,
实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数
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)(tf
)( tf?
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*例题五：信号如图所示,利用信号性质求频谱之实部,
)]()([
2
1)( tftftf
e
)
2
()(1 SaEjF?
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c o s)2(23c o s)(4)](R e [ 221 SaSaFFF
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2
4? 2? 2 4
2
4.尺度变换特性时间波形的扩展和压缩,将影响频谱的波形对于一个实常数 a,其关系为
)(
1
)()()(
a
F
a
atfFtf
则证明见 p126
)(tf
2
)(atf
6
6
3
2
6
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2
时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）
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0 4/?4/ t
)2(21?F
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压缩 扩展
1
0
等效脉宽与等效频宽
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( ) d ( 0 )
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等效频宽
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2 π
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等效脉宽( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )
1
f
f
fF
F B f
B
*反比特性的物理意义
a．函数 f(at)表示函数 f(t)在时间刻度上压缩 a倍，同样 表示函数在频率刻度上扩展 a倍，因此比例性表明，在时间域的压缩等于在频率域中的扩展反之亦然,
b．脉宽 频宽＝常 数
)0()0( fF?
fBFf )0()0(?
aF?
5、时移特性若则证明：
)()(
)()(
00
0
)(
0
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#)()( 00 FettfFT tj
)()(?FtfFT?
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带有尺度变换的时移特性
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)(
1
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1
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)(
1
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t
j
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若 a < 0,则有绝对值的傅立叶变换。为轴反褶后得以求变换的性质利用傅立叶题：已知例题六
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2
t
)t(f,
),(F)t(f213.167p:
2
0
1
11
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t
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101
11
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解：方法一：
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t
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t
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方法二：
0
0
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tj
tj
eFtf
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Ftf
：根 据 傅 立 叶 变 换 的 性 质例题七,求下列时域函数的频谱的带宽
1
1? 1
)(1 tf
t
1
)(2 tf
t2
1
2
)(3 tf
4
t
1).0(1fB f
1).0(2fB f
时移不影响带宽
1).0(3fB f
时域重复影响幅频高度不影响频谱带宽
1)0()0( 1fBF f
1
例题八,p130例 3-2:求三脉冲信号的频谱单矩形脉冲 的频谱为有如下三脉冲信号其频谱为
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)()()()( 000 TtfTtftftf
)c o s21)(
2
(
)c o s21)((
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0
0
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TF
eeFF
TjTj
6.频移特性 ----调制 (p133-135)
)()()()( ctj FetfFtf c 则若例题九,P167.3-24
2
ttftf 01 co s)()(
)
2
(
2
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[
4
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频移特性
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,
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微分特性积分特性卷积定理
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lim
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对称性和叠加性
奇偶虚实性
尺度变换特性
时移特性和频移特性
微分和积分特性
卷积定理 (§ 3.8)
Paseval定理
1：对称性若 )()(?Ftf? 则 )(2)( ftF
若 )(tf 为偶函数,则
)(2)( ftF?
或
)()(
2
1
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证明见 p123
)(t?
)(?F
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若 f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子
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双边指数信号解,.1 1 4p
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FT
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对称性
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1
t 换成
）对称性部分成立的例子例题二 (0t,1a,
f 换成
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换成
t
例题三：试求函数
t
tsin 的傅立叶变换解：若直接用
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t
t
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tj
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来求出
t
tsin 的傅立叶变换将是不容易的。
这里可用对称性来求解,
分析,
2
2
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根据偶函数 对称性可得
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上式两端同乘以 1/2得
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我们也可以用此来求
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)()(?则：
的傅立叶变换。求例题四 )t(f:
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)](2)2/([)( SaSaF
3,奇偶虚实性无论 f(t)是实函数还是复函数，下面两式均成立
)()]([ ** FtfFT
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时域反摺频域也反摺时域共轭频域共轭并且反摺更广泛地讲,函数 f(t)是 t的复数 ;令
)(1 tf 和 )(
2 tf
分别代表它们的实部和虚部,
)()()( 21 tjftftf
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上式整理得出：
带入把尤拉公式,ts i njtc o se
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实信号的频谱具有很重要的特点,正负频率部分的频谱是相互共轭的,
,f(t)是实函数
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偶函数 奇函数
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b,虚函数设 f(t)是纯虚函数 0)()()(
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因而 是 的奇函数,而 是 的偶函数,
)(?R)(?X
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反之也正确,
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反之,若一实函数 f(t)的付立叶积分也是实函数,
则 f(t)必是偶函数,
实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数
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d 奇实函数设 f(-t)=-f(t) 则
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反之,若一实函数 f(t)付立叶积分是一纯虚函数,则 f(t)必是奇函数,
实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数
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*例题五：信号如图所示,利用信号性质求频谱之实部,
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4.尺度变换特性时间波形的扩展和压缩,将影响频谱的波形对于一个实常数 a,其关系为
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时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）
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等效脉宽与等效频宽
j( ) ( ) e d
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等效频宽
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等效脉宽( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )
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*反比特性的物理意义
a．函数 f(at)表示函数 f(t)在时间刻度上压缩 a倍，同样 表示函数在频率刻度上扩展 a倍，因此比例性表明，在时间域的压缩等于在频率域中的扩展反之亦然,
b．脉宽 频宽＝常 数
)0()0( fF?
fBFf )0()0(?
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5、时移特性若则证明：
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若 a < 0,则有绝对值的傅立叶变换。为轴反褶后得以求变换的性质利用傅立叶题：已知例题六
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1
2
)(3 tf
4
t
1).0(1fB f
1).0(2fB f
时移不影响带宽
1).0(3fB f
时域重复影响幅频高度不影响频谱带宽
1)0()0( 1fBF f
1
例题八,p130例 3-2:求三脉冲信号的频谱单矩形脉冲 的频谱为有如下三脉冲信号其频谱为
)(0 tf
)2()(0 SaEF?
)()()()( 000 TtfTtftftf
)c o s21)(
2
(
)c o s21)((
)1)(()(
0
0
TSaE
TF
eeFF
TjTj
6.频移特性 ----调制 (p133-135)
)()()()( ctj FetfFtf c 则若例题九,P167.3-24
2
ttftf 01 co s)()(
)
2
(
2
)( 121 SaF?
]
4
)(
4
)(
[
4
)( 02021
SaSaF
2
]co s)([ 0 ttfFT?
)]()([21 0000 FF
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2
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0
)(0?F
)(021?F
)(?F
0?0
频移特性
)(021?F
)(
2
1c o s
00
0
tjtj eet
)(tf tje 02
1? )(tftje 021
)(21 0F )(21 0F
)]()([21 00 FF
载波频率
0?
)653(,1 3 3?p
)]()([
2
1c o s)(
000 FFttf
)]()([
2
s i n)( 000 FF
j
ttf
)()(,?Ftfif?
TFTtfTtfT h e n c o s)()]()([
2
1
,
3-25 3-22
微分特性积分特性卷积定理
dejFtf
dtetfjF
tj
ttj
)()(
)()(
)0)(()(
2
1
)0(
)0)(()()0(
lim
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FdFf
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t
dtetfF
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tj
tj
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)(
2
1
)(
dtttfttfR ]s i n)(c o s)([)(
21
dtttfttfX ]c o s)(s i n)([)( 2
1
dtXtRtf ]s i n ()(c o s)(
2
1
)(1
dtXtRtf ]c o s)(s i n)(
2
1
)(2
