第三章 习题课一,本章要点
1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱,
2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱,
3.理解信号的时域与频域间的关系,
4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换,
5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理,
二,付立叶级数 (三角形式 )
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最小均方误差等于最小误差条件値 满足所给出的证明方均误差时，引起的误差函数为代替当用项构成一个有限级数式傅立叶级数中选取若从周期信号的三角形
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其中 an,bn分别用 p89(3-3）,（ 3-4）表达均方误差 En为
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三,傅立叶变换的定义
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应满足何条件？
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例五,P168.3-27
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解,1.p170,双边指数函数可知,
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根据傅立叶变换对 称性,
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所以：
由部分对称性：
因例八,设 代表图 (a)所示信号 f(t)之频谱，
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不求 F(w)而完成下列运算 (求 p168.3-25)
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5.画出 Re[F(w)]所对应信号波形的偶部。
2
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解,
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应为实偶,
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1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱,
2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱,
3.理解信号的时域与频域间的关系,
4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换,
5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理,
二,付立叶级数 (三角形式 )
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最小均方误差等于最小误差条件値 满足所给出的证明方均误差时，引起的误差函数为代替当用项构成一个有限级数式傅立叶级数中选取若从周期信号的三角形
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f2
1
Hz4 0 0f)t(f.1
c
m
所以抽样间隔应满足则奈奎斯特抽样间隔为的最高频率由题意，解：
HzHzfHz
ffff
f
K H z
T
f
msT
c
mscm
c
c
600)4001000(400
1
1
,1.2
即应满足由抽样定理，
则抽样频率已知抽样间隔四,用傅立叶变换的性质求傅立叶变换
)(2)( ftF
)(1)(
a
F
a
atf )()( Ftf
bjeFbtf )()(
abje
a
F
a
batf /)(
1
)(?
)()( 00 Fetf tj
)]()([
2
s i n)(
000
FFjttf
)]()([21c o s)( 000 FFttf
)()()( Fj
dt
tdf?
)()( Fj
dt
fd nn?
d
dFtfjt )()()(
d
Fdtfjt nn )()(
)()0(
)(
)(
F
j
F
df
t
)0)0(,..(
)(
)(
Fif
j
F
df
t
duuFtf
jt
tf
)()()0(
)(
)0)0(.(,)(
)(
fifduuF
jt
tf?
)().()()( 2121 FFtftf
)()(
2
1
)().( 2121
FFtftf
例五,P168.3-27
)]
2
()([2s i n)( Ttutut
T
Etf
)]2()([2c o s2)(' TtututTETtf
)]
2
()([2s in)2()('' Ttutut
T
E
T
tf
)]2()([2 TttET
)]
2
()([2)()()2( ''2 TttE
T
tftf
T
)1(
2
)()()()
2
( 222
Tj
eE
T
FjF
T
22
2
)
2
(
)1(
2
)(
T
eE
T
F
T
j
)()())(( 2'' jFjtfF?
).(?F例六：求图示波形的
t
1
1
2
2
3
3
)(tf
t
)(tf‘
dt
df对时间信号求导得解,
)3()1(
)]3()2([
)]2()([)(
'
tt
tutu
tututf
式用 Bf 1)(
32
5
)
2
()(2)( jj
jj
eeeSaeSaF
‘
)()()()('
f
j
Fdft
)(
])
2
()(2[
1
)(
32
5
jj
j
j
eeeSaeSa
j
F
例七：求下式的傅立叶变换
1
1.1
2tF
t
F 1.2
t
t
F 0
c o s
.3
][.4 tF
)][ s g n (.5 1F
]2[ c o s.6 1F
)]([.7 ttuF )]([.8 1?uF?
解,1.p170,双边指数函数可知,
22
2
a
ae ta 2
1
1
2
1
te
根据傅立叶变换对 称性,
ee
t
.
2
1.2
1
1
2
))((2......)(..2 jjjtfif
)(2)(2)( ujdjtj
jt
j
)]([)(2
1
tjFuj
t
)s g n ()(2
1
jjuj
t
)]s g n ()[ s g n (
2
c o s
00
0
jt
t
ttftft h e n
t
tfif 011 c o s)()(,,
1
)(..3
由 p133.(3-65)
)s g n (
1
j
t
)(21.4 t
)(2)](2[ ' jjd djt
jt?)('?
)(2),,,,,(2 '' jtjt
)s g n (22,2)s g n (.5 jtjt?
)]2()2([2c o s.6t?
2c o s2)]2()2([ tt
)]2()2([212c o s tt
t
j
t
jF
2
1)][ s g n (1
jtu
1)()(.7因
d
dFtjtf )()(
2
'
2
'
1
)(
)(
1
)()](
1
[)(
j
j
j
jd
d
jttu
t
j
tu
ut
jt
j
tu
2
)(
2
1
)(
)(2)(
1
)(
1
)(.8
所以：
由部分对称性：
因例八,设 代表图 (a)所示信号 f(t)之频谱，
)()()( jeFF?
不求 F(w)而完成下列运算 (求 p168.3-25)
)(.1
dF )(.3
dF?
s i n2
)(.4
5.画出 Re[F(w)]所对应信号波形的偶部。
2
1? 2 3
解,
)()()]1([ ))(( FeFetfF jj
应为实偶,
)0(,2 F
)(?F
,.....2,1,0.....2)( kk
)(.,0.,2)( t h e nkifk
62]42[
2
1
)()()0(.2 0
dttfdtetfF tj
422)0(20)(
2
1)(.3
ftdeFtf tj
0
s i n2
)(
2
1
)(.4
tdeFty tj?
)0(2
s in2
)( ydF
623)]1()1([)(2 tututf
3
4
4
3222
3
2s in
.2
2)(
1
.1
.
ad
a
a
d
a
证明下列积分例九：
dFf
dttfF
)(
2
1
)0(
)()0(
0)(lim
0)(lim
F
tf
t
dFdttf
22
)(
2
1
)(
22
2
)()(.1
a
a
Fetf ta令
aa
a
d
a
a
f
22
22
2
2
2
1
1)0(
3222
2
22
2
2)(
1
)
2
(
2
1
a
d
a
d
a
a
dte
ta
的等腰三角形为底宽为令在本题中 atf 4)(,.2
)(tf
a
t
2
1? )2( at?
0
)2( at?
a? a
a2
1
a? a
a2
1
据卷积定理得 f(t)的傅立叶变换为：
2
2
2 s in2)s in2.
2
1
()(
a
aa
a
a
a
F
3
4
4
2
2
2
2
2
2
3
2s in
)
s in2
(
2
1
)
2
1
)(),(
ad
a
d
a
a
dt
t
Ftf
a
a
（
代入能量公式中：把
s ins inc o sc o s
)c o s (
)(2
)s i nc o s(
)()(
0
2
01
1
01
2
0
22
tfa
tbta
atft
n
N
n
n
N
)(
2
1 2
1
1
2
1 n
N
n
n ba
)s inc o s()(2
)s inc o s(2
010
1
1
010
1
10
tbtatf
tbtaa
n
N
n
n
n
N
n
n
0
)(
1
1
1 nnn
N
n
n
bbaa
)()()()( 0022
nn
nFnTttf
)(2)(
]
4
)(
4
)(
[
2
)(1
)(
1
0
00
01
nFF
nT
Sa
nT
Sa
ET
T
nF
T
F
n
n
n
时：令?2?T
三角函数是正交函数
)2.3(0.s i n.c o s 1110
0
dttmtnTt
t
)3.3(
)(
)(
0
s ins in
0
0
1
2
11 nm
nm
td tmtn
Tt
t
T
)3.3(
)(
)(
0
c o sc o s
0
0
1
2
11 nm
nm
t d tmtn
Tt
t
T
2
2
1
2
2
1 0s i n0c o s
T
T
T
T t d tndtn
