四,拉氏变换的基本性质 （ 1）
线性
)(
1
tfk i
n
i
i?
)]([.
1
tfLTk
n
i
i?
dt
tdf )(微分 )0()( fsSF
积分
t df )( sfs sF )0()( '
时移 )()(
00 ttuttf )(0 sFe st?
频移
atetf?)(
)( asF?
拉氏变换的基本性质 （ 2）
尺度变换
)(atf asFa1
)(lim)0()(lim
0
sSFftf
st
终值定理 )(l i m)()(l i m 0 sSFftf st
卷积定理
)(*)( 21 tftf )().( 21 sFsF
初值定理
)().( 21 tftf )(*)(2 1 21 sFsFj?
4.时域平移
2.对 t微分
3.对 t积分
7.初值
8.终值
(一 ).时域平移特性和应用
1.时移性设
)()( sFtf?
则
otsFettuttf ostoo )()()( 0
0t
)(tf )( 0ttf?
P189.表 4.2 拉氏变换的性质重点讨论
0)()(:
)()(:
0
tjejFttf
jFtf
则若这个性质表明信号在时域中的延时和频域中的移相是相对应的,
傅立叶变换的时移性质
2.四个不同的函数
)()(.)()(.
)()(.)(.
000
00
ttuttfdttutfc
tuttfbttfa
)()(s i n)()(
)(s i n)()(
)()(s i n)()(
)(s i n)(
:s i n)(
0000
00
00
00
ttuttttuttf
tttuttutf
tutttuttf
ttttf
ttf
设
ttf?s i n)(?设
)(s i n 0tt )()(s i n 0 tutt
)(s i n 0tttu?
)()(s i n 0ttutt o
0t 0t
0t
0t
)(.1 tf
20s i n
Ttt当?
为其它值时t0
)]
2
()([s in)(
:
T
tututtf
解
3.时移特性的应用 p250.4-2 (1)
)1(
)]
2
()
2
(s in)([ s in)]([
)
2
()
2
(s in ()(s in)(
s in)
2
(s in
2
s inc o sc o ss in)s in (
2
22
s
T
e
s
T
tu
T
tttuLtfL
T
tu
T
tttutf
t
T
tT
BBB
利用和
*台阶函数
)()43(4)2(4)4(4)(4)( TtEuTtuETtuETtuEtuEtf
s
EtuE
4)(4 ]41[4)( 4
3
24 sT
sTsTsT
eeee
s
E
tf?
*单边周期函数的拉氏变换定理,若接通的周期函数 f(t)的第一个周期的拉氏变换为则函数 f(t)的拉氏变换为 )(sFT
01
)()(
sT
T
e
sFsF
E
T
例：周期信号的拉氏变换
)()( 11 sFtf
LT
)()( 11 sFenTtf s n T
LT
ST
n
SnT
LT
n
e
sF
esFnTtf
1
)(
)()(
1
0
1
0
第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷递减等比级数求和求全波整流周期信号的拉氏变换例 1：
)(tf
1
2
T0 T
2
T
1
)(0 tf
0
t
t
)]
2
()([s i n Ttutut
T
22
)1( 2
S
e
T
LT
T
2?
2
22
1
1)1( 2
T
S
e
S
e
T
信号加窗第一周期
)21(1 2 ss ees
)(tf
单对称方波周期对称方波乘衰减指数
s2
2s
e1
1)e1(
s
1
包络函数
te?
1 2
)2()1(2)( tututu
)1(
)1(
)1(
1
)1(
)1(
S
S
e
e
s
.求图示信号的拉氏变换
s
s
e
e
s?
1
11
抽样信号的拉氏变换
0
)()(
n
T nTtt
ST
n
SnT
T ees?
1
1)(
0
)()()( ttftf Ts
0
)()(
n
SnT
s enTfsF
抽样序列抽样序列的拉氏变换时域抽样信号抽样信号的拉氏变换
*抽样信号的拉氏变换
0
0
0
0
)()()()()(
1
1
)()]([
)()(
n
Ts
ST
n
St
T
n
T
nTtnTfttftf
e
dtentttL
nTtt
0
0
0
)(
)()()]([
n
n s T
n
St
S
enTf
dtenTtnTFtfL?
抽样信号的拉氏变换可表示为 S域级数
1
0
)(1
1'21
0
)0()(
)0()0()0()(
)0()(),()(.1
n
r
rrnn
nnnn
n
n
e
fssFs
ffsfssFs
dt
fd
sRfssF
dt
df
sFtf
和则若?
证明,
时域微分积分特性二 ).(
.
:
可以推广到高阶是指数阶函数令
)0()(]
)(
[
0)(l im)(
)()()(
)(
0
)()]([
)()(
)(
)(
)]([
l i m
0
'
0 0
'
fssF
dt
tdf
L
tfetf
ssFoftfe
dtsetftfetfL
v d uuvu d v
sedutfvtdfdveu
tdfedte
dt
tdf
tfL
st
t
st
t
stst
stst
stst
*几点说明
a.如果过所处理里的函数为有始函数即 00)( ttf )0(),0(),0( )1(' nfff?则都为零,那么
)(])([)(][ sFs
dt
tfdLssF
dt
dfL n
n
n
但若 f(t)在 t=0有跃变,应嵌入一个冲激,
相等。不一定和但虽然
)]([)]()([[
)]()([)]([:
tf
dt
d
Ltutf
dt
d
L
tutfLtfL?
)0( 有关与为什么微分得变换式里?f
)(2 tf
0...1 t
0.,, te at
)(1 tf
)(2 tf
)(1][)()( 111 ssFas sdtdfLtuaetdtdf at
)()(22 tuaet
dt
df at?
)0()(12][ 22
fssF
as
s
as
a
dt
df
L
)t(ue)t(f at1设：
这里还要说明一个基本问题,即不要把单边拉氏变换理解为只能用于因果信号,如在利用微分和积分定理求非因果信号的单边拉氏变换时,这样理解，可能会得出错误的结果,如
.结果就错了若误认为 0)t(f1)t(f
0t20t
2
c.为了不使 t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变换中一般采用 系统,而且采用 系统,
对解决实际问题较为方便,
0?0
2.时域积分特性若 则)()( sFtf?
s
df
s
sF
df
s
sF
df
tt?
0
0
)()(
)(
)(
)(:
且拉
t jFjdfjFtf )(1)(),()(, 则付
0)(,2)0(
)()(2)(3
dff
tudftf
dt
df
t
t
求,
ss
df
s
sF
sFfssF
t
1
]
)(
)(
[2)(3)0()(
]3[)(
2
3
1
1
23
12
)(
2
2
tt eetf
ssss
s
sF
解,
初始条件自动包含在变换式中，一步求出系统的全响应。
三,初值和终值定理
1.初值定理若 f(t) 及其导数 可以进行拉氏变换且 )()( sFtf? dt
df
则
)(lim)0()(lim
0
ssFftf
st
证明,利用时域微分特性
)0()(][
0?
fssFdte
dt
df
dt
dfL st
先假定 f(t)在原点连续,则 在原点处不
dt
df
包含冲激,于是
0
0)0()(lim0lim fssFdte
dt
df
s
st
s
即
)(lim)0()0()0( ssFfff
s
再假定 f(t)在原点有跃变,则 f(t)的导数可写成
0)()]0()0([)(1 ttfftf
dt
df
其中 在 t=0连续,于是)(
1 tf
)0()0(0)()]0()0([lim
)(lim
)(
lim
0
0 0
1
ffdtetff
dtetfdte
dt
tdf
st
s
st
s
st
s
即
)(lim)0(
)0()0()0()(lim
ssff
fffssF
s
s
*几点说明
a.要注意初值 f(t) 为 t= 时刻的值,而不是
f(t)在 t= 时刻的值,无论拉氏变换 F(s)是
0
0
采用 系统还是采用 系统,所求得的初值总是
0?0
)0(?f
b.若 F(s)是有理代数式,则 F(s)必须是真分式即 F(s)分子的阶次应低于分母的阶次,若不是真分式,则应用长除法,使 F(s)中出现真分式,而初值 等于真分式 逆变换,)0(?f )(0 tf)(0 sF
c.物理解释,)(js 相当于接入信号的突变高频分量,所以可以给出相应的初值
)0(?f
d.由上式也说明,根据象函数 F(s)判断原函数是 否 否包含冲激函数及其各阶导数存在
2.终值定理若 f(t)及其导数可以进行拉氏变换且存在,则
)(lim tf
t
)(l i m)(l i m 0 ssFtf st
证明见 p188
终值定理表明信号在时域中 值,可以通过复频域中的 F(s)乘以 s取 的极限得到而不必求 F(s)的反变换
)(?f
0?s
*两点说明,
a,存在等价于限制 F(s)的极点在 s左半平面内和原点仅有单阶极点,)(lim tft
b.物理解释：
00js
相当于直流状态因而得到电路稳定的终值．
.54.251 值和终值分别求下列逆变换的初?p
)2()1(
)3(
.2
)5)(2(
)6(
.1 2
ss
s
ss
s
0
)5)(2(
)6(
lim)(lim
1
)5)(2(
)6(
lim)0(.1:
0
ss
s
stf
ss
s
sf
st
s
解
3)1(
)()]([:
s
sNtfL已知
（ 1） 如果 N(s)=3 利用初值定理求 f(t)的展开 式
332210)( tatataatf 中前两项中非零项,
0
)2()1(
)3(
lim)(lim
0
)2()1(
3
lim)0(.2
2
0
2
ss
s
stf
ss
s
sf
st
s
3
2
''
3
2
''
31
'
33
'
)1(
3)0(
)1(
3)]([
0)1( 3lim)0(
)1(
3)0(
)1(
3)]([
S
Sf
S
StfL
S
SSaf
S
Sf
S
StfL
S
0
)1(
3
lim)0(
)1(
3
)]([:
30
3
s
Saf
s
tfL
S
由题义可知解
3
2
3
3
''
3
3
3
3
2
3
2
2
''
)1(
)133(3
3
)1(
3
)0(
)1(
3
]
)(
[
2
3
3
)1(
3
2)0(
lim
S
SS
S
S
f
S
S
dt
tfd
L
a
S
S
Saf
S
32
3
3
2
3
)3(
2
3
2
3
)(
2
3
9
)1(
)133(3
6)0(
l i m
tttf
a
s
ss
saf
s
3
)1(
3
)0(
)1(
3
)]([
3
3
''
3
3
)3(
s
s
f
s
s
tfL
*卷积定理
dzzsFzF
j
tftfL
sFsFdtffL
sFtfsFtf
j
j
t
)()(
2
1
)]()([
)()()()([
)()(),()(
2121
212
0
1
2211
则若为一复频域中的围线积分。
求图示三角 波 f(t)的拉氏变换,
解,方法一,按定义式积分
22
1 2
1
0
)1(1)2()()(
0
sststst e
s
dtetdttedtetfsF
方法二,利用线性迭加和时移定理
2
2
0
2
)1(
1
)(
)()]([
1
)]([
)2()2()1()1(2)()(
0
s
s
e
s
sF
t
esFtfL
s
ttuL
tuttutttutf
t
1
1
2
)(tf
方法三,利用微分积分定理将 f(e)微分二次
2
2
2
)1()]2()1(2)([]
)(
[
s
etttL
dt
tfd
L
根据微分定理,
2
21
2
1
2
'
1
'2
2
2
)1(
1
)(
)1()(
0)0(0)0(
)0()0()(]
)(
[
s
s
e
s
sF
esFs
ff
sffsFs
dt
tfd
L
方法四,利用卷积定理 f1(t)可以看作是 f1(t)自身的卷积,
2
2
1
111
11
)1(
1
)(
)1(
1
)(
)()()(
)(*)()(
s
s
e
s
sF
e
s
sF
sFsFsF
tftftf
)(1 tf
)(1 tf
*利用所示矩形脉冲的 Laplace 变换式和本章所述拉氏变换的性质,求图示函数的拉氏变换,
1f
2
2
2
2?2
2?4
(a) (b) ( c)
(d) (e) (f)
2f
4f
3f
5f 6f
：
)(1
2
[
)(21)()(
)2()()()()(
)1(
1
)(
)2()()()(
2
2
12
12
2
1
1
ssss
xx
ss
s
eeee
ee
s h x
sheessFsF
tttf
dt
d
tfb
e
s
sF
tututfa
)1(
1
/)(
)(
)(
])([)]([)(
)()2()()(
)()(
)2(2)]2()([)()(
2
2
1
0
1
133
1
/
3
13
3
s
t
t
e
s
ssF
s
dttf
s
sF
dfLtfLsF
tftututf
dftf
tutututtfc
即或
)]1(
2
1
[
1
)(
)(
2
1
)2(
)2()]2()([
2
1
)(
)]2()([
2
)()(
22
4
1
4
4
ss
e
s
e
s
sF
tft
ttututf
dt
d
tutu
t
tfd
或者由图 (d)可知：
SS
S
t
t
e
S
e
S
e
SS
SF
SF
tudf
tutftf
22
2
21
4
1
34
1
)1(
2
1
1)(
2
1
)(
)2()(
2
1
)2()(
2
1
)(
0
SS
S
S
tt
ee
S
eSFSF
tf
tututff
e
S
SFSF
tfetutuetfe
22
2
16
1
6
)1(2
15
15
)1(
1
)()(
)2(
)]4()2([)()(
)1(
1
1
)1()(
)()]2()([)()(
作业 4-3
预习,4.5节 --4.6节
线性
)(
1
tfk i
n
i
i?
)]([.
1
tfLTk
n
i
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dt
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积分
t df )( sfs sF )0()( '
时移 )()(
00 ttuttf )(0 sFe st?
频移
atetf?)(
)( asF?
拉氏变换的基本性质 （ 2）
尺度变换
)(atf asFa1
)(lim)0()(lim
0
sSFftf
st
终值定理 )(l i m)()(l i m 0 sSFftf st
卷积定理
)(*)( 21 tftf )().( 21 sFsF
初值定理
)().( 21 tftf )(*)(2 1 21 sFsFj?
4.时域平移
2.对 t微分
3.对 t积分
7.初值
8.终值
(一 ).时域平移特性和应用
1.时移性设
)()( sFtf?
则
otsFettuttf ostoo )()()( 0
0t
)(tf )( 0ttf?
P189.表 4.2 拉氏变换的性质重点讨论
0)()(:
)()(:
0
tjejFttf
jFtf
则若这个性质表明信号在时域中的延时和频域中的移相是相对应的,
傅立叶变换的时移性质
2.四个不同的函数
)()(.)()(.
)()(.)(.
000
00
ttuttfdttutfc
tuttfbttfa
)()(s i n)()(
)(s i n)()(
)()(s i n)()(
)(s i n)(
:s i n)(
0000
00
00
00
ttuttttuttf
tttuttutf
tutttuttf
ttttf
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)(s i n 0tt )()(s i n 0 tutt
)(s i n 0tttu?
)()(s i n 0ttutt o
0t 0t
0t
0t
)(.1 tf
20s i n
Ttt当?
为其它值时t0
)]
2
()([s in)(
:
T
tututtf
解
3.时移特性的应用 p250.4-2 (1)
)1(
)]
2
()
2
(s in)([ s in)]([
)
2
()
2
(s in ()(s in)(
s in)
2
(s in
2
s inc o sc o ss in)s in (
2
22
s
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s
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利用和
*台阶函数
)()43(4)2(4)4(4)(4)( TtEuTtuETtuETtuEtuEtf
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4)(4 ]41[4)( 4
3
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*单边周期函数的拉氏变换定理,若接通的周期函数 f(t)的第一个周期的拉氏变换为则函数 f(t)的拉氏变换为 )(sFT
01
)()(
sT
T
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sFsF
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例：周期信号的拉氏变换
)()( 11 sFtf
LT
)()( 11 sFenTtf s n T
LT
ST
n
SnT
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sF
esFnTtf
1
)(
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第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷递减等比级数求和求全波整流周期信号的拉氏变换例 1：
)(tf
1
2
T0 T
2
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)(0 tf
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)]
2
()([s i n Ttutut
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22
)1( 2
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信号加窗第一周期
)21(1 2 ss ees
)(tf
单对称方波周期对称方波乘衰减指数
s2
2s
e1
1)e1(
s
1
包络函数
te?
1 2
)2()1(2)( tututu
)1(
)1(
)1(
1
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S
S
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.求图示信号的拉氏变换
s
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1
11
抽样信号的拉氏变换
0
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T nTtt
ST
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T ees?
1
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)()()( ttftf Ts
0
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抽样序列抽样序列的拉氏变换时域抽样信号抽样信号的拉氏变换
*抽样信号的拉氏变换
0
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1
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0
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St
S
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dtenTtnTFtfL?
抽样信号的拉氏变换可表示为 S域级数
1
0
)(1
1'21
0
)0()(
)0()0()0()(
)0()(),()(.1
n
r
rrnn
nnnn
n
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fssFs
ffsfssFs
dt
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sRfssF
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sFtf
和则若?
证明,
时域微分积分特性二 ).(
.
:
可以推广到高阶是指数阶函数令
)0()(]
)(
[
0)(l im)(
)()()(
)(
0
)()]([
)()(
)(
)(
)]([
l i m
0
'
0 0
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fssF
dt
tdf
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ssFoftfe
dtsetftfetfL
v d uuvu d v
sedutfvtdfdveu
tdfedte
dt
tdf
tfL
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t
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stst
stst
*几点说明
a.如果过所处理里的函数为有始函数即 00)( ttf )0(),0(),0( )1(' nfff?则都为零,那么
)(])([)(][ sFs
dt
tfdLssF
dt
dfL n
n
n
但若 f(t)在 t=0有跃变,应嵌入一个冲激,
相等。不一定和但虽然
)]([)]()([[
)]()([)]([:
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tutfLtfL?
)0( 有关与为什么微分得变换式里?f
)(2 tf
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)(1 tf
)(2 tf
)(1][)()( 111 ssFas sdtdfLtuaetdtdf at
)()(22 tuaet
dt
df at?
)0()(12][ 22
fssF
as
s
as
a
dt
df
L
)t(ue)t(f at1设：
这里还要说明一个基本问题,即不要把单边拉氏变换理解为只能用于因果信号,如在利用微分和积分定理求非因果信号的单边拉氏变换时,这样理解，可能会得出错误的结果,如
.结果就错了若误认为 0)t(f1)t(f
0t20t
2
c.为了不使 t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变换中一般采用 系统,而且采用 系统,
对解决实际问题较为方便,
0?0
2.时域积分特性若 则)()( sFtf?
s
df
s
sF
df
s
sF
df
tt?
0
0
)()(
)(
)(
)(:
且拉
t jFjdfjFtf )(1)(),()(, 则付
0)(,2)0(
)()(2)(3
dff
tudftf
dt
df
t
t
求,
ss
df
s
sF
sFfssF
t
1
]
)(
)(
[2)(3)0()(
]3[)(
2
3
1
1
23
12
)(
2
2
tt eetf
ssss
s
sF
解,
初始条件自动包含在变换式中，一步求出系统的全响应。
三,初值和终值定理
1.初值定理若 f(t) 及其导数 可以进行拉氏变换且 )()( sFtf? dt
df
则
)(lim)0()(lim
0
ssFftf
st
证明,利用时域微分特性
)0()(][
0?
fssFdte
dt
df
dt
dfL st
先假定 f(t)在原点连续,则 在原点处不
dt
df
包含冲激,于是
0
0)0()(lim0lim fssFdte
dt
df
s
st
s
即
)(lim)0()0()0( ssFfff
s
再假定 f(t)在原点有跃变,则 f(t)的导数可写成
0)()]0()0([)(1 ttfftf
dt
df
其中 在 t=0连续,于是)(
1 tf
)0()0(0)()]0()0([lim
)(lim
)(
lim
0
0 0
1
ffdtetff
dtetfdte
dt
tdf
st
s
st
s
st
s
即
)(lim)0(
)0()0()0()(lim
ssff
fffssF
s
s
*几点说明
a.要注意初值 f(t) 为 t= 时刻的值,而不是
f(t)在 t= 时刻的值,无论拉氏变换 F(s)是
0
0
采用 系统还是采用 系统,所求得的初值总是
0?0
)0(?f
b.若 F(s)是有理代数式,则 F(s)必须是真分式即 F(s)分子的阶次应低于分母的阶次,若不是真分式,则应用长除法,使 F(s)中出现真分式,而初值 等于真分式 逆变换,)0(?f )(0 tf)(0 sF
c.物理解释,)(js 相当于接入信号的突变高频分量,所以可以给出相应的初值
)0(?f
d.由上式也说明,根据象函数 F(s)判断原函数是 否 否包含冲激函数及其各阶导数存在
2.终值定理若 f(t)及其导数可以进行拉氏变换且存在,则
)(lim tf
t
)(l i m)(l i m 0 ssFtf st
证明见 p188
终值定理表明信号在时域中 值,可以通过复频域中的 F(s)乘以 s取 的极限得到而不必求 F(s)的反变换
)(?f
0?s
*两点说明,
a,存在等价于限制 F(s)的极点在 s左半平面内和原点仅有单阶极点,)(lim tft
b.物理解释：
00js
相当于直流状态因而得到电路稳定的终值．
.54.251 值和终值分别求下列逆变换的初?p
)2()1(
)3(
.2
)5)(2(
)6(
.1 2
ss
s
ss
s
0
)5)(2(
)6(
lim)(lim
1
)5)(2(
)6(
lim)0(.1:
0
ss
s
stf
ss
s
sf
st
s
解
3)1(
)()]([:
s
sNtfL已知
（ 1） 如果 N(s)=3 利用初值定理求 f(t)的展开 式
332210)( tatataatf 中前两项中非零项,
0
)2()1(
)3(
lim)(lim
0
)2()1(
3
lim)0(.2
2
0
2
ss
s
stf
ss
s
sf
st
s
3
2
''
3
2
''
31
'
33
'
)1(
3)0(
)1(
3)]([
0)1( 3lim)0(
)1(
3)0(
)1(
3)]([
S
Sf
S
StfL
S
SSaf
S
Sf
S
StfL
S
0
)1(
3
lim)0(
)1(
3
)]([:
30
3
s
Saf
s
tfL
S
由题义可知解
3
2
3
3
''
3
3
3
3
2
3
2
2
''
)1(
)133(3
3
)1(
3
)0(
)1(
3
]
)(
[
2
3
3
)1(
3
2)0(
lim
S
SS
S
S
f
S
S
dt
tfd
L
a
S
S
Saf
S
32
3
3
2
3
)3(
2
3
2
3
)(
2
3
9
)1(
)133(3
6)0(
l i m
tttf
a
s
ss
saf
s
3
)1(
3
)0(
)1(
3
)]([
3
3
''
3
3
)3(
s
s
f
s
s
tfL
*卷积定理
dzzsFzF
j
tftfL
sFsFdtffL
sFtfsFtf
j
j
t
)()(
2
1
)]()([
)()()()([
)()(),()(
2121
212
0
1
2211
则若为一复频域中的围线积分。
求图示三角 波 f(t)的拉氏变换,
解,方法一,按定义式积分
22
1 2
1
0
)1(1)2()()(
0
sststst e
s
dtetdttedtetfsF
方法二,利用线性迭加和时移定理
2
2
0
2
)1(
1
)(
)()]([
1
)]([
)2()2()1()1(2)()(
0
s
s
e
s
sF
t
esFtfL
s
ttuL
tuttutttutf
t
1
1
2
)(tf
方法三,利用微分积分定理将 f(e)微分二次
2
2
2
)1()]2()1(2)([]
)(
[
s
etttL
dt
tfd
L
根据微分定理,
2
21
2
1
2
'
1
'2
2
2
)1(
1
)(
)1()(
0)0(0)0(
)0()0()(]
)(
[
s
s
e
s
sF
esFs
ff
sffsFs
dt
tfd
L
方法四,利用卷积定理 f1(t)可以看作是 f1(t)自身的卷积,
2
2
1
111
11
)1(
1
)(
)1(
1
)(
)()()(
)(*)()(
s
s
e
s
sF
e
s
sF
sFsFsF
tftftf
)(1 tf
)(1 tf
*利用所示矩形脉冲的 Laplace 变换式和本章所述拉氏变换的性质,求图示函数的拉氏变换,
1f
2
2
2
2?2
2?4
(a) (b) ( c)
(d) (e) (f)
2f
4f
3f
5f 6f
：
)(1
2
[
)(21)()(
)2()()()()(
)1(
1
)(
)2()()()(
2
2
12
12
2
1
1
ssss
xx
ss
s
eeee
ee
s h x
sheessFsF
tttf
dt
d
tfb
e
s
sF
tututfa
)1(
1
/)(
)(
)(
])([)]([)(
)()2()()(
)()(
)2(2)]2()([)()(
2
2
1
0
1
133
1
/
3
13
3
s
t
t
e
s
ssF
s
dttf
s
sF
dfLtfLsF
tftututf
dftf
tutututtfc
即或
)]1(
2
1
[
1
)(
)(
2
1
)2(
)2()]2()([
2
1
)(
)]2()([
2
)()(
22
4
1
4
4
ss
e
s
e
s
sF
tft
ttututf
dt
d
tutu
t
tfd
或者由图 (d)可知：
SS
S
t
t
e
S
e
S
e
SS
SF
SF
tudf
tutftf
22
2
21
4
1
34
1
)1(
2
1
1)(
2
1
)(
)2()(
2
1
)2()(
2
1
)(
0
SS
S
S
tt
ee
S
eSFSF
tf
tututff
e
S
SFSF
tfetutuetfe
22
2
16
1
6
)1(2
15
15
)1(
1
)()(
)2(
)]4()2([)()(
)1(
1
1
)1()(
)()]2()([)()(
作业 4-3
预习,4.5节 --4.6节
