§ 4.5用 laplace变换法分析电路,S域的元件模型用拉普拉斯变换分析系统基于两种观点,
1.用变换的观点 S域的元件模型
2.用频率分析的观点要引入系统转移函数的概念一,积分微分方程拉氏变换的步骤
y(t)的微分方程初始条件 y(s)的代数方程
y(s)的函数微分方程的解取拉氏变换取拉氏反变换解方程经典法求解
1
1
3
1
H
4
1
F1
)(1 ti
)(2 ti
二,实例分析
0)0()()(
4
1
)0()()(
2
2
1
l
t
c
iAtueti
VuAttuti
求 )(2 tu
3
21
)(3 1 tu
)(2 tu
)(1 tu
已知,
解,1.列出节点电位方程
t
tutidu
L
tutu
titu
dt
tdu
ctu
)(3)()(
1
)()
3
1
1
1()(1
)()(1
)(
)()11(
12221
12
1
1
移项，整理并代入参数得：
t
t
tuedututu
ttutu
dt
tdu
tu
)()(4)(4)(4
)()(
)(
)(2
2
221
2
1
1
初始条件
0)0()0(
4
1
)0()0()0( 1
LL
cc
ii
Vuuu
2.求这组方程的拉氏变换
2
1
)(
4
)(4)(4
1
)()0()()(2
221
2211
s
su
s
susu
s
suussusu
c
解联立代数方程组得
2
)()1(4)(4
4
11
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21
221
s
s
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s
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2
4
11
)(
)(
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1)2( 2
2
1
s
s
s
su
su
ss
s
写成矩阵形式求出方程的解
1)1(
12
1
)(
22
Ss
su
3.求拉氏逆变换
)()]s in (
2
1[)]([)(
2
1
2 tutesuLtu
t
64.251?p
R
L
r
s
0)(
)(
tRi
dt
tdi
L
程为：解：开关打开后电路方 E
0)()]0()([ sRIissIL
t
L
R
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L
R
s
i
sI
)0()]([)(
)0(
)(
1
所以
tLRe
r
Eti
r
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EtRitv r )()(
越大，且波形衰减越快开关打开瞬间的幅值越大，波形在 0?tR
)(tvr
三,用 laplace变换法分析电路
1.S域的元件模型
R.L.C元件的时域关系为：
u
q
cudi
c
tV
i
L
dt
tdi
LtV
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t
cLc
L
L
RR
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)(
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)(
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各式进行拉氏变换得：
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1
)(
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ccc
LL
RR
u
s
sI
sc
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sRIsv
对电流解出得：
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1
)(
1
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)(
1
)(
ccc
LLL
RR
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i
s
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sL
sI
sV
R
sI
(p201.图 4－ 11和图 4-12)
( s域 元件 模型）
SL
)0(1 li
s
R
R?
SL )0(?lLi SC
1 )0(1
cVs
)0(?cCV
SC
1
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LL
L
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LL
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)(
cc
c
cuss c u
sI
)(siL? )(sic
)(siL?
)(sic?
)(siR?
)(siR?
2.电路基本定理的运算形式 -kirchhoftis定律
K.I.L
对于任意的节点，在同一时刻流入该节点的电流代数和恒等于零即
0)(0)( sIti
K.V.L
沿任意闭合回路，各段电压的代数和恒等于零，即
0)(0)( sVtu
用拉氏变换分析电路的步骤如下：
A.将已知的电动势、恒定电流进行拉氏变换。
B.根据原电路图画出运算等效电路图。
C.用计算线性系统或电路稳定状态的任何方法解运算电路，求出待求量的象函数。
D.将求得的象函数变换为原函数。
)(te
2
F1
)(0 tv
*.电路如图所示：
求,
1.冲激响应 h(t)=?
2.求系统的起始状态 使得在零输入响应 =h(t).
3.求系统的起始状态,使系统对 u(t)的激励时的完全响应仍为 u(t).
)0(),0( cL ui
H1
解,
)()()1( thsH
先求出 H(s)
12
1
1
1
)(
)(
)(
2
0
ss
sc
slr
sc
sE
sV
sH
tte
s
LsHLth
]
)1(
1[)]([)(
2
11
参见 p181表 4-1中 9号公式
))(()(
)()(
)(
2
2
第二章内容用冲激品平衡法求解
ttv
dt
tdv
RC
dt
tvd
LC
th
c
cc
2 s
)(sE
s
1
)()0(1 tuus c?
)()0( tiL2.用 s域模型求解
12
)0()0()2(
12
)(
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11
1
2
)0()0(
1
)(
)(
22
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ss
iVs
ss
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V
ss
s
s
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s
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sV
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c
Lc
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)(0 tv
依题意有
12
1
12
)0()0()2(
22
ssss
iVs Lc
从而得到 1)0()0()2( Lc iVs
3.当激励信号 e(t)=u(t)时,可以得到,
12
)0()0()2(
12
21)(
220
ss
iVs
ss
s
s
sV Lc
要使完全响应等于激励信号应有
02)0()0()2( siVs Lc
1)0(
0)0(
l
c
i
v
0)0(
1)0(
l
c
l
v
P254.4-15 21R
22R
53R
)(21 te
1?5
H3.0 )(
2 tv
用代文宁定理
202
)(
3.06
3.0
2
)()(
2 s
ssE
s
ssEsV解：
]
111
[
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22
Ts
e
TsTss
E
Ttu
T
Tt
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T
t
tuELsE
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T
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而
1解法
E
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)(te
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20
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1
20
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)
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(
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Ts
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E
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s
s
sv
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)(
2
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2
2
1
2
Ttuetue
T
E
tue
E
tv
sVLtv
Tttt
而下面用卷积的方法求解解法 2：
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1)(
)(
1
)(
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2
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2
tV
Ldt
tdi
dV
L
du
L
ti
sHth
L
t t
LL
列出回路电流方程：
)()()()(
)()(
)()(
231
2
23
231
tetVtiRRti
R
tVtiR
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LL
L
RR
1R
2R
3R
)(2 tv
上式求导并将（ 1）式代入得
dt
tde
RR
RtV
RR
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dt
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)(2
)(
21
2
2
21
3132212
代入数值，得
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2
1)( 20 tuetth t
利用卷积的性质来求解 e(t)的 z.s.r
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2
2 dhdt
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dt
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2
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2
2
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T
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2
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T
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''
2
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2
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)1(
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202020
2020
2
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TT
eTe
T
E
e
E
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T
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tvTtif
证明,v2 (t)在 t=T时为负值，
1)120(,0 20 TeTT?
只要证明 T=0是上式的极大值点，也就证明
)0.,(1)120( 20 TeT T
TTT
T
eeTeTf
eTTfif
202020'
20
4 0 0)20)(120(20)(
)120()(.
0,,0)(,' Tt h enTfif
极大值点
0400)(,0 20' TTeTfT
所以 v2 (t)在 t=T时为负值,
)(,,0,, tvkt R求闭合时电路如图所示
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k
E
2c
)(tvR
：开关闭合后电路方程为时解,0,?t
R
tv
dt
tdvctvtEu
dt
dc RR
R
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21
整理得：
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21
1
21
t
cc
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1
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1
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1
21
1 21 tue
cc
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t
ccR
R
强迫突变
4－ 8
P251-251
作业,4-8,4-11
预习,4-6节
12
)0()0()2(
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1
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2
2
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2
1
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2
31
代入上式，整理得把 )(
1)(
2 tvLdt
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T
T
T
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代替一个串连支路的电阻来总可以用一个电压源和来看就其两个端纽端网络任何一个线性含源的二代文宁定理
,,
,:
ba
N
的等效电阻。所得网络值时为零等于该网络所有独立源串连电阻的开路电压络电压源的电压等于该网
N
Rb
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,
.
.
N
a
b
a
b
0R
N
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b
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0RR ab
1.用变换的观点 S域的元件模型
2.用频率分析的观点要引入系统转移函数的概念一,积分微分方程拉氏变换的步骤
y(t)的微分方程初始条件 y(s)的代数方程
y(s)的函数微分方程的解取拉氏变换取拉氏反变换解方程经典法求解
1
1
3
1
H
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)(1 ti
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二,实例分析
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VuAttuti
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已知,
解,1.列出节点电位方程
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L
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12
1
1
移项，整理并代入参数得：
t
t
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ttutu
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tdu
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)()(
)(
)(2
2
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2
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1
初始条件
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LL
cc
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Vuuu
2.求这组方程的拉氏变换
2
1
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221
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写成矩阵形式求出方程的解
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3.求拉氏逆变换
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2
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1
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程为：解：开关打开后电路方 E
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所以
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EtRitv r )()(
越大，且波形衰减越快开关打开瞬间的幅值越大，波形在 0?tR
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三,用 laplace变换法分析电路
1.S域的元件模型
R.L.C元件的时域关系为：
u
q
cudi
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tV
i
L
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LtV
tIRtV
t
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L
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各式进行拉氏变换得：
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对电流解出得：
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(p201.图 4－ 11和图 4-12)
( s域 元件 模型）
SL
)0(1 li
s
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SL )0(?lLi SC
1 )0(1
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SC
1
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)(siL? )(sic
)(siL?
)(sic?
)(siR?
)(siR?
2.电路基本定理的运算形式 -kirchhoftis定律
K.I.L
对于任意的节点，在同一时刻流入该节点的电流代数和恒等于零即
0)(0)( sIti
K.V.L
沿任意闭合回路，各段电压的代数和恒等于零，即
0)(0)( sVtu
用拉氏变换分析电路的步骤如下：
A.将已知的电动势、恒定电流进行拉氏变换。
B.根据原电路图画出运算等效电路图。
C.用计算线性系统或电路稳定状态的任何方法解运算电路，求出待求量的象函数。
D.将求得的象函数变换为原函数。
)(te
2
F1
)(0 tv
*.电路如图所示：
求,
1.冲激响应 h(t)=?
2.求系统的起始状态 使得在零输入响应 =h(t).
3.求系统的起始状态,使系统对 u(t)的激励时的完全响应仍为 u(t).
)0(),0( cL ui
H1
解,
)()()1( thsH
先求出 H(s)
12
1
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2
11
参见 p181表 4-1中 9号公式
))(()(
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2
2
第二章内容用冲激品平衡法求解
ttv
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RC
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1
)()0(1 tuus c?
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依题意有
12
1
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)0()0()2(
22
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iVs Lc
从而得到 1)0()0()2( Lc iVs
3.当激励信号 e(t)=u(t)时,可以得到,
12
)0()0()2(
12
21)(
220
ss
iVs
ss
s
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sV Lc
要使完全响应等于激励信号应有
02)0()0()2( siVs Lc
1)0(
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P254.4-15 21R
22R
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用代文宁定理
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111
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列出回路电流方程：
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2
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上式求导并将（ 1）式代入得
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3132212
代入数值，得
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利用卷积的性质来求解 e(t)的 z.s.r
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证明,v2 (t)在 t=T时为负值，
1)120(,0 20 TeTT?
只要证明 T=0是上式的极大值点，也就证明
)0.,(1)120( 20 TeT T
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0,,0)(,' Tt h enTfif
极大值点
0400)(,0 20' TTeTfT
所以 v2 (t)在 t=T时为负值,
)(,,0,, tvkt R求闭合时电路如图所示
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：开关闭合后电路方程为时解,0,?t
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强迫突变
4－ 8
P251-251
作业,4-8,4-11
预习,4-6节
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代替一个串连支路的电阻来总可以用一个电压源和来看就其两个端纽端网络任何一个线性含源的二代文宁定理
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的等效电阻。所得网络值时为零等于该网络所有独立源串连电阻的开路电压络电压源的电压等于该网
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