§ 4.10全通函数与最小相移函数的 z-p分布
全通函数、定义、特征与应用
最小相移函数
零极点分析的物理解释
极零点靠近虚轴高阶系统分析一,全通函数：
1,定义
2.特征
cj
kjH
kk
)(
)(
3.应用：
2?
3?
2?
3?
.0,.;
)()()0(
0
00
或取全通函数的幅角为阶数正实零点的数目为全通函数负实极点或
N
m
Nmm
j
)(?jH
121 zzz c
两个阻抗互为倒量的网络称倒量网络或常阻网络。
4.电路结构 (p234.例 4－ 23)(p261.4-41)
ssz
ss
zif 1,11,21
c
c
c
c
zz
zz
zz
zz
sv
sv
sH
2
2 2
1
1
1 )(
)(
)(
1
1
/1
1
1
/1
1
1
2
2
ss
ss
ss
ss
2
31,
2
31
2,12,1
jss
pz
0
0
0
j
)(?jH
0
零点和极点关于纵轴成镜象对称。
二,最小相移网络
1.定义：零点仅位于左半平面或虚轴上的转移函数。
224,32,1 jpp
所有振幅频谱相同，而相位滞后最小的转移函数为最小相移函数。
2.非最小相移函数总可以化成最小相移函数与全通函数的乘积。
0
0
0
0
2j aN
bN
)())(()(
))(()(
)())(()(
))(()(
*
01012
*
0101
*
01011
*
0101
sHsssssH
sssssN
sHsssssH
sssssN
b
a
设：
)())((
))((
))((
)( *0101*
0101
*
0101
1 sHssss
ssss
ssss
sH
)()(2 sHsH? 全三,写出图示系统函数,H(s)=v2(s)/v1(s),根据 H(s)的 z-p 分布,粗略化出幅频曲线。
CLLRcsLsLLLLRs
cLss
sLscsL
R
sLscsL
sv
sv
sH
212
2
2121
3
2
2
12
12
1
2
//1)/)((
)/1(
)
/1)/1(
1
(
)
/1)/1/(1
1
(
)(
)(
)(
1.三个极点有一个在负实轴上,另外两个是左半 s平面的共轭极点。
2.若三个极点都在负实轴上,
0
0
0?
cLj 2
1
.1
2 CL
的模均小于可以证明三个极点矢量
a.对于直流分量,电感短路,相当于 H(0)=0
与 s=0的传输零点是一致的。
b.在 并联谐振频率上,并联回路相当于开路,即
c.在串联谐振频率上,串联回路可视为短路,是 H(s)的零点。
d.当激励 信号趋于无穷时,电感均相当于开路,
1)(),()( lim12
jHtvtv
是一个峰点。1)(),()( 22 jHtvtv
*.理想变压器与耦合电感
*.理想变压器的伏安关系
)(
1
)(
)()(
12
12
ti
n
ti
tnutu
*.耦合电感的伏安关系
dt
di
L
dt
di
Mu
dt
di
M
dt
di
Lu
2
2
1
2
21
11
*.同名端：
M
1u 2
u1L 2L
1i 2i
1u 2
u
n:1
1i
2i
全耦合。时为负。为正，否则端流出）时，
同是从同名都是从同名端流入（或圈电流的正方向同名端的判别：当两线
1,10
)(
,0
.*
2211
1221
21
21m a x
2
21
KK
LL
M
K
LLMMLL
MM
P262.4-43,解：
)()( 1 svsv ac?
a b
)(1 tv
)(1 tv
)(2 tv
c)(
1
2
/1
)(2)(
1
1
sv
R c s
R c s
csR
R
svsv
bc
)(]1
1
2
[
)()()(
1
2
sv
R c s
R c s
svsvsv
acbc
Rcs
Rcs
sv
sv
sH
/1
/1
)(
)(
)(
1
2
全通网络。
P264.4.49
解,1.由于此系统是一个无源有耗系统，所以系统稳定,)(2tv
R
)()]()([
)()()()(.2
212
211
svss M Iss L I
sEss M Iss L IsRI
])[(
)()(
1
)(
)(
)(
)(
222
22
1
s M EVsLR
sLRsLsM
I
sv
sE
sI
sI
sLsM
sMsLR
m
1i
2i
)(1 tv
，则欲使 极点落 于左 半平面.3
.
2)()(
)(
)(
)(
)(
2,1
2222
2
2
2
ML
R
S
RR L ssML
s M R
sE
sV
sH
R
sv
sI
P
0
0
ML
R
ML
R
此条件实际上也能得到满足。
)(404,261 bp
)(1 tv )(2 tv
1c
2c
)
1
1
()
1
1
(
)
1
1
(
)(
2
2
1
1
2
2
sl
sc
sl
sc
sl
sc
sH
1L
2L
)(
1
2121
212
1
2
21
1
ccll
ll
s
cl
s
cc
c
c
)(
1
2121
21
2,1
11
2,1
ccll
ll
jp
cl
jz
z
z
p
p
2211.1 clcl?
2211.2 clcl?
2211.3 clcl?
*p(230-231)高阶系统（极零点靠近虚轴）
1i
2C
1C
L
2v
无损电路，即 很小
)(
)(1
)(
)
1
(
1
)(
)(
)(
2
2
2
2
1
2
1
21
212
2
2
1
2
ss
s
C
CLC
CC
ss
LC
s
CsI
sV
sZ
21
21
21
2
2
1
11
CC
CC
L
LC
1p
2p
3p
1z
2z
j
1? 2?
1?
2?
090
090?
)(?jZ
)( j
应。位特性，并求其阶跃响，试求其频率特性和相数的极点分布如图所示一线性系统，其传输函.*
060
j
解：
1
)
2
3
2
1
)(
2
3
2
1
)(1(
1
)(
jsjss
ksH
)()()( sEsHsy f
)
2
3
2
1
)(
2
3
2
1
)(1(
1
jsjss
s
k
)(]
2
3s i n
3
21[)]([)( 2 tuteeksYLty tt
ff
)
1
(
2
2
2
1
)1)(1(
)
2
3
2
1
)(
2
3
2
1
)(1(
)(;
a r c t ga r c t gj
e
k
jj
k
jjjjj
k
jHjs令
)
1
()(
1
1
)(
2
2
a r c tga r c tgj
jH
k
)(?jH
§ 4.11线 性系统的稳定性
稳定系统的定义
稳定系统 H(s)表示式 m与 n的限制
稳定系统分母多项式系数的性质一,定义如果一个系统对于任何有界的输入,其响应也是有界的,既若
eMte?)(
,则有,
rMtr?)(
其中 Me,Mr为有限的正实数,
那么,我们称该系统是稳定的,
证明,充分性,
dhtedhtetr
thtetr
)()()()()(
)()()(
dtth )( 条件稳定线性系统完全等效
re
e
MdhMtr
Mte
)()(
)(?
必要性,用一个特例,即当 t趋向无穷大时,确实存在一个有界的函数在该系统所引起的响应是无界的,
设
)(
)(
)(
th
th
tf
显然
1)(?tf
dhd
h
h
dhfr
dhtftr
)(
)(
)(
)()()0(
)()()(
2
dh )(
P239.例 4-24
处响应是无界的,0)(
tdthI
从 z-p点在 s平面的分布来考察系统的稳定性可以得到如下的结论,
(1)H(s)在右半平面内不能有极点,
(2)H(s)在 轴的极点必须是单阶的,
二,稳定系统 H(s)表示式 m与 n的限制
0
1
1
0
1
1
)(
)(
)(
bsbsb
asasa
sB
sA
sH
n
n
n
n
m
m
m
m
j
当 s很大时
nm
n
m
n
n
m
m
s
s
b
a
sb
sa
sH?
)(l im
因为 jw轴上的极点只能是单阶的,故 m-n最多等于 1.故 m与 n之间的关系只有三种,
1
1
nm
nm
nm
nm
特殊情况,
系统函数策动点函数转移函数
1 nm
1 nm
nm?
如果 H(s)为策动点函数或入端函数,则 m与
n之间的关系将受到进一步的约束,
1.设
)(
)()(
sB
sAsH 入端阻抗
1 nm
)(
)(
)(
1
sA
sB
sH
入端导纳 1 mn
综合以上的条件,m与 n的关系属于以下三种情况之一,
2对于出现在不同端口上的四个转移函数其 m与 n的关系也受到进一步的限制,若 H(s)
为转移阻抗,转移导纳,电压传输比,电流传输比时,
1
1
nm
mn
mn
1 nm
nm?
)(
)(
)(
)(
)(,1
sD
sc
ks
sB
sA
sHnm若例 题
)(tvr)(tE
1
1
1
1
)1/(
/1)(
)(
)(
ss
s
R C sR C s
scR
R
sE
sV
sH
R
)()()( tuetth t
)(1 tv
)(til
)(2 tv
*
)(
)(
)(,
)(
)(
)(
1
2
21 sv
sv
sH
si
sv
sH
l
讨论其稳定性。 解,
不稳定。
的限制与表示式稳定系统 nmsH )(
nm
nm
nm
转移函数入端函数系统函数
1
1
三,稳定系统分母多项式系数的性质设
)(
)(
)(
sB
sA
sH?
其中
01
1
1
01
1
1
)(
)(
bsbsbsbsB
asasasasA
b
n
n
n
m
m
m
m
系数均为实数,
若为稳定系统,则 B(s)根的实部应为负值,
1.多项式 B(s)因子分解的几种形式
A.若有实根,则 sorassB )()(
B.若有共轭复根,则
cbssjBsjBssB 2)2)(2()(
C.若有虚根,则 )()( 2 dssB
且系数 a.b.c.d都是正值,
2.重要结论
A.对于稳定系统 B(s)多项式的系数 bi全部都为正值,
B.多项式 B(s)从最高次幂排至最低次幂,无缺项,或缺全部偶次项或全部奇次项,
C.如 H(s)为入端函数,那么有关 B(s)多项式的性质也适用于 A(s),
D.对于一阶和二阶多项式 B(s)的系数,bi>0,
i=0.1.2为稳定系统的充分必要条件,
E.对于二阶以上的系统,bi>0为稳定系统的必要条件,而不是充分条件
823
24
)(.3
972
2
)(.2
234
12
)(.1:
23
2
3
23
23
2
sss
ss
sH
ss
sss
sH
sss
ss
sH例非稳。有负系数 )3(
项，非稳。缺少 2s
复根，非稳。
有一对正实部的共轭分母 )43)(2( 2 sss
2R
1R
2c1c
)(1 tV )(3 tV )(4 tV )(2 tV
P264.4-48
解,列出节点电流方程
243
2
32131 )()(
1)()()()( scsVsV
RsVsVscsVsV
因为放大器的输入电阻为无穷大,而有
21434 )()()( cRsVsVssV
A
又由于放大器的输出阻抗为零,而有
)(1)()()( 2442 sVAsVsAVsV
221121
212
12
2
2
1
2
1)(
1
1)(
)(
)(
cRcR
sA
cR
ccR
cR
s
As
sV
sV
sH
要使系统稳定工作,则应使 H(s)极点落于左半平面内即
21
212
21
212 )(10)(1
cR
ccR
AA
cR
ccR?
下节为本章的习题课处，则轴的设三个极点分别位于实 zyx,,
cLL
R
cL
ss
LL
LLRszsysxs
212
2
21
213 )())()((
3
2
)(
1
1
21
21
21
2
CLL
R
x y z
LL
LLR
zyx
cL
xzyzxy
s
的系数项匹配得将上式展开，并以
)(/)(2 2121 yxLLLLRz式得：由
1代入整理如下
cL
yx
LL
LLRxyxy
221
21 1)]()()[(
401)()(
221
2122
cLLL
LLRyxyxyx
对方程唯一确定的解不是由于暂为常数解此方程而为变量以
,
,,xyx
02 cbxax
04221 acbxsx 故令
04
)6(
)6(0]
)(
[
4)(
23
5
)5(0]
1)[
[4]
)(
[
2
2
21
21
221
212
221
2122
21
21
acb
y
LL
LLR
CLLL
LLR
yy
cLLL
LLR
yy
LL
LLR
y
同理也有一重解唯一确定的量，故方程由于
）得整理（
0}4])({[3.4])([:
2
2
21
212
21
21
CLLL
LLR
LL
LLR?即两边平方得将整理得
)2(
)7(
3
]
)(
[:
2
2
21
21
CLLL
LLR
.
1
,,
,,
1
31
2
)7)(1(
]
)(
[)(2
2
2
222
22
222
2
21
21222
cL
zyx
zyx
CL
zyx
CLCL
zyx
LL
LLR
xzyzxyzyx
均小于均不为零由于式代入上式得将
证毕。
全通函数、定义、特征与应用
最小相移函数
零极点分析的物理解释
极零点靠近虚轴高阶系统分析一,全通函数：
1,定义
2.特征
cj
kjH
kk
)(
)(
3.应用：
2?
3?
2?
3?
.0,.;
)()()0(
0
00
或取全通函数的幅角为阶数正实零点的数目为全通函数负实极点或
N
m
Nmm
j
)(?jH
121 zzz c
两个阻抗互为倒量的网络称倒量网络或常阻网络。
4.电路结构 (p234.例 4－ 23)(p261.4-41)
ssz
ss
zif 1,11,21
c
c
c
c
zz
zz
zz
zz
sv
sv
sH
2
2 2
1
1
1 )(
)(
)(
1
1
/1
1
1
/1
1
1
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2
ss
ss
ss
ss
2
31,
2
31
2,12,1
jss
pz
0
0
0
j
)(?jH
0
零点和极点关于纵轴成镜象对称。
二,最小相移网络
1.定义：零点仅位于左半平面或虚轴上的转移函数。
224,32,1 jpp
所有振幅频谱相同，而相位滞后最小的转移函数为最小相移函数。
2.非最小相移函数总可以化成最小相移函数与全通函数的乘积。
0
0
0
0
2j aN
bN
)())(()(
))(()(
)())(()(
))(()(
*
01012
*
0101
*
01011
*
0101
sHsssssH
sssssN
sHsssssH
sssssN
b
a
设：
)())((
))((
))((
)( *0101*
0101
*
0101
1 sHssss
ssss
ssss
sH
)()(2 sHsH? 全三,写出图示系统函数,H(s)=v2(s)/v1(s),根据 H(s)的 z-p 分布,粗略化出幅频曲线。
CLLRcsLsLLLLRs
cLss
sLscsL
R
sLscsL
sv
sv
sH
212
2
2121
3
2
2
12
12
1
2
//1)/)((
)/1(
)
/1)/1(
1
(
)
/1)/1/(1
1
(
)(
)(
)(
1.三个极点有一个在负实轴上,另外两个是左半 s平面的共轭极点。
2.若三个极点都在负实轴上,
0
0
0?
cLj 2
1
.1
2 CL
的模均小于可以证明三个极点矢量
a.对于直流分量,电感短路,相当于 H(0)=0
与 s=0的传输零点是一致的。
b.在 并联谐振频率上,并联回路相当于开路,即
c.在串联谐振频率上,串联回路可视为短路,是 H(s)的零点。
d.当激励 信号趋于无穷时,电感均相当于开路,
1)(),()( lim12
jHtvtv
是一个峰点。1)(),()( 22 jHtvtv
*.理想变压器与耦合电感
*.理想变压器的伏安关系
)(
1
)(
)()(
12
12
ti
n
ti
tnutu
*.耦合电感的伏安关系
dt
di
L
dt
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Mu
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M
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2
1
2
21
11
*.同名端：
M
1u 2
u1L 2L
1i 2i
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u
n:1
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2i
全耦合。时为负。为正，否则端流出）时，
同是从同名都是从同名端流入（或圈电流的正方向同名端的判别：当两线
1,10
)(
,0
.*
2211
1221
21
21m a x
2
21
KK
LL
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P262.4-43,解：
)()( 1 svsv ac?
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sv
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/1
/1
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1
2
全通网络。
P264.4.49
解,1.由于此系统是一个无源有耗系统，所以系统稳定,)(2tv
R
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212
211
svss M Iss L I
sEss M Iss L IsRI
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)(
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222
22
1
s M EVsLR
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I
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1i
2i
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，则欲使 极点落 于左 半平面.3
.
2)()(
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)(
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R
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此条件实际上也能得到满足。
)(404,261 bp
)(1 tv )(2 tv
1c
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)
1
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p
2211.1 clcl?
2211.2 clcl?
2211.3 clcl?
*p(230-231)高阶系统（极零点靠近虚轴）
1i
2C
1C
L
2v
无损电路，即 很小
)(
)(1
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1
(
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1?
2?
090
090?
)(?jZ
)( j
应。位特性，并求其阶跃响，试求其频率特性和相数的极点分布如图所示一线性系统，其传输函.*
060
j
解：
1
)
2
3
2
1
)(
2
3
2
1
)(1(
1
)(
jsjss
ksH
)()()( sEsHsy f
)
2
3
2
1
)(
2
3
2
1
)(1(
1
jsjss
s
k
)(]
2
3s i n
3
21[)]([)( 2 tuteeksYLty tt
ff
)
1
(
2
2
2
1
)1)(1(
)
2
3
2
1
)(
2
3
2
1
)(1(
)(;
a r c t ga r c t gj
e
k
jj
k
jjjjj
k
jHjs令
)
1
()(
1
1
)(
2
2
a r c tga r c tgj
jH
k
)(?jH
§ 4.11线 性系统的稳定性
稳定系统的定义
稳定系统 H(s)表示式 m与 n的限制
稳定系统分母多项式系数的性质一,定义如果一个系统对于任何有界的输入,其响应也是有界的,既若
eMte?)(
,则有,
rMtr?)(
其中 Me,Mr为有限的正实数,
那么,我们称该系统是稳定的,
证明,充分性,
dhtedhtetr
thtetr
)()()()()(
)()()(
dtth )( 条件稳定线性系统完全等效
re
e
MdhMtr
Mte
)()(
)(?
必要性,用一个特例,即当 t趋向无穷大时,确实存在一个有界的函数在该系统所引起的响应是无界的,
设
)(
)(
)(
th
th
tf
显然
1)(?tf
dhd
h
h
dhfr
dhtftr
)(
)(
)(
)()()0(
)()()(
2
dh )(
P239.例 4-24
处响应是无界的,0)(
tdthI
从 z-p点在 s平面的分布来考察系统的稳定性可以得到如下的结论,
(1)H(s)在右半平面内不能有极点,
(2)H(s)在 轴的极点必须是单阶的,
二,稳定系统 H(s)表示式 m与 n的限制
0
1
1
0
1
1
)(
)(
)(
bsbsb
asasa
sB
sA
sH
n
n
n
n
m
m
m
m
j
当 s很大时
nm
n
m
n
n
m
m
s
s
b
a
sb
sa
sH?
)(l im
因为 jw轴上的极点只能是单阶的,故 m-n最多等于 1.故 m与 n之间的关系只有三种,
1
1
nm
nm
nm
nm
特殊情况,
系统函数策动点函数转移函数
1 nm
1 nm
nm?
如果 H(s)为策动点函数或入端函数,则 m与
n之间的关系将受到进一步的约束,
1.设
)(
)()(
sB
sAsH 入端阻抗
1 nm
)(
)(
)(
1
sA
sB
sH
入端导纳 1 mn
综合以上的条件,m与 n的关系属于以下三种情况之一,
2对于出现在不同端口上的四个转移函数其 m与 n的关系也受到进一步的限制,若 H(s)
为转移阻抗,转移导纳,电压传输比,电流传输比时,
1
1
nm
mn
mn
1 nm
nm?
)(
)(
)(
)(
)(,1
sD
sc
ks
sB
sA
sHnm若例 题
)(tvr)(tE
1
1
1
1
)1/(
/1)(
)(
)(
ss
s
R C sR C s
scR
R
sE
sV
sH
R
)()()( tuetth t
)(1 tv
)(til
)(2 tv
*
)(
)(
)(,
)(
)(
)(
1
2
21 sv
sv
sH
si
sv
sH
l
讨论其稳定性。 解,
不稳定。
的限制与表示式稳定系统 nmsH )(
nm
nm
nm
转移函数入端函数系统函数
1
1
三,稳定系统分母多项式系数的性质设
)(
)(
)(
sB
sA
sH?
其中
01
1
1
01
1
1
)(
)(
bsbsbsbsB
asasasasA
b
n
n
n
m
m
m
m
系数均为实数,
若为稳定系统,则 B(s)根的实部应为负值,
1.多项式 B(s)因子分解的几种形式
A.若有实根,则 sorassB )()(
B.若有共轭复根,则
cbssjBsjBssB 2)2)(2()(
C.若有虚根,则 )()( 2 dssB
且系数 a.b.c.d都是正值,
2.重要结论
A.对于稳定系统 B(s)多项式的系数 bi全部都为正值,
B.多项式 B(s)从最高次幂排至最低次幂,无缺项,或缺全部偶次项或全部奇次项,
C.如 H(s)为入端函数,那么有关 B(s)多项式的性质也适用于 A(s),
D.对于一阶和二阶多项式 B(s)的系数,bi>0,
i=0.1.2为稳定系统的充分必要条件,
E.对于二阶以上的系统,bi>0为稳定系统的必要条件,而不是充分条件
823
24
)(.3
972
2
)(.2
234
12
)(.1:
23
2
3
23
23
2
sss
ss
sH
ss
sss
sH
sss
ss
sH例非稳。有负系数 )3(
项，非稳。缺少 2s
复根，非稳。
有一对正实部的共轭分母 )43)(2( 2 sss
2R
1R
2c1c
)(1 tV )(3 tV )(4 tV )(2 tV
P264.4-48
解,列出节点电流方程
243
2
32131 )()(
1)()()()( scsVsV
RsVsVscsVsV
因为放大器的输入电阻为无穷大,而有
21434 )()()( cRsVsVssV
A
又由于放大器的输出阻抗为零,而有
)(1)()()( 2442 sVAsVsAVsV
221121
212
12
2
2
1
2
1)(
1
1)(
)(
)(
cRcR
sA
cR
ccR
cR
s
As
sV
sV
sH
要使系统稳定工作,则应使 H(s)极点落于左半平面内即
21
212
21
212 )(10)(1
cR
ccR
AA
cR
ccR?
下节为本章的习题课处，则轴的设三个极点分别位于实 zyx,,
cLL
R
cL
ss
LL
LLRszsysxs
212
2
21
213 )())()((
3
2
)(
1
1
21
21
21
2
CLL
R
x y z
LL
LLR
zyx
cL
xzyzxy
s
的系数项匹配得将上式展开，并以
)(/)(2 2121 yxLLLLRz式得：由
1代入整理如下
cL
yx
LL
LLRxyxy
221
21 1)]()()[(
401)()(
221
2122
cLLL
LLRyxyxyx
对方程唯一确定的解不是由于暂为常数解此方程而为变量以
,
,,xyx
02 cbxax
04221 acbxsx 故令
04
)6(
)6(0]
)(
[
4)(
23
5
)5(0]
1)[
[4]
)(
[
2
2
21
21
221
212
221
2122
21
21
acb
y
LL
LLR
CLLL
LLR
yy
cLLL
LLR
yy
LL
LLR
y
同理也有一重解唯一确定的量，故方程由于
）得整理（
0}4])({[3.4])([:
2
2
21
212
21
21
CLLL
LLR
LL
LLR?即两边平方得将整理得
)2(
)7(
3
]
)(
[:
2
2
21
21
CLLL
LLR
.
1
,,
,,
1
31
2
)7)(1(
]
)(
[)(2
2
2
222
22
222
2
21
21222
cL
zyx
zyx
CL
zyx
CLCL
zyx
LL
LLR
xzyzxyzyx
均小于均不为零由于式代入上式得将
证毕。
