第二章 连续时间系统的时域分析线性时不变系统的描述及特点连续时间 LTI系统的响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质用卷积求解系统的零状态响应
§ 2.1引言
*重点和难点
1.系统微分方程的建立与求解 (归纳出 2－ 15
和 2－ 17式）
2.系统自然频率的求法（ 47页最后一段话）
3.卷积积分
4.系统的全响应
5.初始条件的确定
*卷积积分限和定义域的确定是本章的难点系统 建立系统的微分方程 求转移算子 H(p)
求特征根求冲激响应 h(t)
求零输入响应
)(tyx
求零状态响应
)(*)()( thtfty f?
)()()( tytyty fx求全响应
时域经典法和时域卷积法
§ 2.2微分方程的建立与求解一,微分方程建立的两类约束
1.来自连接方式的约束,kvl和 kil,与元件的 性质无关,
2.来自元件伏安关系的约束,与元件的连接方式无关,
a.电阻：
b.电容,
c.电感,
)(
)(
ti
tuR?
)(
)(
tu
tqC?
R
Ruip ui
2
2
t
c dicu )(
1
il
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l
t
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)(1?
d.耦 合电感 v— I 的关系
dt
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dt
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m
dt
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l
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d
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dt
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m
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d
tv 21111 )(
V1 V2
I1 I2M
1L 2L
二,微分方程的求解
卷积法 零输入响应求解零状态响应求解微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解和特解组成齐次解 的形式由齐次方程的特征根 确定特解 的形式由方程右边激励信号的形式确定
)()()( tytyty ph
)(typ
经典时域分析方法
)(tyh
齐次解 yh(t)的形式
(1) 特征根是不等实根 s1,s2,?,sn
tsntstsh neKeKeKty21 21)(
(2) 特征根是等实根 s1=s2=? =sn
tsnntstsh etKteKeKty 1 2 1)(
(3) 特征根是成对共轭复根
)s i nc o s()s i n c o s()( 11111 tKtKetKtKety iiiitth i
2/,nijs iii
常用激励信号对应的特解形式输入信号 特解
K A
Kt A+Bt
Ke-at(特征根 sa) Ae-at
Ke-at(特征根 s=?a) Ate-at
Ksin?0t 或 Kcos?0t Asin?0t+ Bcos?0t
Ke-atsin?0t 或 Ke-atcos?0t Ae-atsin?0t+ Be-atcos?0t
例 1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件 y(0)=1,y’(0)=2,输入信号 f(t)=e?t u(t)，求系统的完全响应 y(t)。
0),()(8)('6)(" ttftytyty
0862 ss
42 21 ss,
tth eKeKty 3221)( ——
特征根为齐次解 yh(t)
解,(1)求齐次方程 y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解 yh(t)
特征方程为
2) 求非齐次方程 y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t) = f(t)的特解 yp(t)
解得 A=5/2,B=?11/6
由输入 f (t)的形式，设方程的特解为 yp(t)=Ce-t
将特解带入原微分方程即可求得常数 C=1/3。
3) 求方程的全解
ttt
ph eBeAetytyty
3
1)()()( 42
131)0( BAy
23142)0(' BAy
0,3161125)( 42 teeety ttt
).(),()(
:2
0
tvtuEete
t
求输出信号号电路如图所示，激励信例
)(te
1R
C
2R
)(0 tv
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c R2 V0(t)
解,
)()()()( 010
2
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R
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1
0
21
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RR
dt
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0
21
21
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cRR
RR? 齐次解,
tCRR RR
Ae 21
21
)()( tuEete t
P46.表 2— 2若因激励信号为
cRR
RR
21
21
则：
tBetB)(
ttt e
cR
E
Be
cRR
RR
Be
121
21
cRRRR
ER
B
2121
2
)0()0( vv
t
t
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RR
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2
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ER
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2
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2
0
0)0(
cRR
RR
21
21若,
则特解为,
tB tetB)(
将 B(t)代入微分 方程,并用初始条件求出待定系数：
t
cRR
RR
te
cR
E
tv 21
21
1
0
)(
)()( 21
21
2121
2
0
t
CRR
RR
t ee
CRRRR
ER
tv
经典法不足之处
若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理 。
若激励信号发生变化，则须全部重新求解。
若初始条件发生变化，则须全部重新求解。
这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。
P44:表 2－ 1
*相似系统：用同一类型的方程描述的系统。
相似系统可以有完全不同的物理外貌。
用同一微分方程描述的对偶电路是相似系统的特例。
§ 2.3起始条件的跳变 — 从 到?0?0
一,系统的状态（起始与初始状态）
1.系统的状态,
以后任何时刻的响应。信号，就能够完全确定的激励系统模型以及数据，利用这组数据和知道的最少量时刻的状态是一组必须系统在
0
0
0
t
tt
tt
时表示激励接入之后的瞬以时表示激励接入之前的瞬以
＋
－
0
0
1.系统的状态：
2.起始状态,它决定了 z.i.r.在激励接入之前的瞬时
t= 系统的状态,它总结了计算未来响应所需要的过去的全部信息,
3.初始状态,跳变量,它决定了 z.s.r.(在激励接入之后的瞬时 t= 系统的状态,
4.初始条件,它决定了完全响应,这三个量的关系是：
)0()(?kr
0
)0()(?kzsr
0
)0()(?kr
)0()0()0( )()()( kkzsk rrr
二,初始条件的确定（换路定律）
时不变,
)0()0( cc vv )0()0( ll ii
时变,)0()0(
qq )0()0(
的完全响应。
方程，求时间内描述系统的微分写出和从物理概念判断
”转至“时刻，开关自“进入稳态，
”，已以前开关位于“电路如图所示，
)(0.2
)0(),0()0(),0(.1
".210
10*
0
0
'
0
'
00
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vvvv
t
t
2
10
10v
1F 1H 2 V0(t)
1
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2
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dt
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dt
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'
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V0(t)
10v
1F 1H 2
1
10v
点路已进入稳态以前解,0.1?t?
2
10
2.t>0时,电路方程为,
2
)(10)()(1)(
2
1 00
00
tv
dt
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0)()()( 0020
2
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2
3
2
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2,1 j
0)0(0v
4)0('0v
将初始条件代入：
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2
3
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3
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0
)
2
3
s i n
2
3
c o s()( 212
1
0 tctcetv
t
Z.i.r=0; f.r=0;完全响应 =自由响应特征根为系统的自 由频率
§ 2.4 z.i.r和 z.s.r (p52-p58)
完全响应＝自由响应＋强迫响应
＝零输入响应＋零状态响应
＝通解＋特解
＝暂态响应＋稳态响应
:
)312(54
解释如下式，一些重要结论及－页参考 p
。始状态和激励信号决定要同时由起，而自由响应的仅由起始储能情况决定零输入响应的然而它们的系数不同。都满足齐次方程之解，自由响应和零输入响应
kz i k AA
)1(
系统自身参数有关。励信号决定，二者都与定，另一部分由激，一部分由起始状态决自由响应由两部分组成 )2(
决定。励信号和系统参数共同响应可以不为零，由激应为零，但自由条件为零，则零输入响若系统起始无储能，即 －0)3(
。出现在零状态响应之中若发生跳变只可能时刻，不跳变。此时刻时刻到零输入响应由 ＋－ 00)4(
之关系仍为线性。
与，但是增量不满足叠加性和齐次性而对于满足线性关系；如合叠加性和齐次性。，输入－输出之增量符之差的线性函数。也即响应之差是两激励任意两个激励信号产生增量线性系统的概念
)(
)()()(
)()(
:)5(
te
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taetr
P83.2— 7 t>0时的电 路
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dt
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0
0
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完全解：
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自由响应,t
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s eriE
1
)(
强迫响应：
is C R
srit?)(,?特解
sri
p81作业,2-5
预习,§ 2.5
§ 2.1引言
*重点和难点
1.系统微分方程的建立与求解 (归纳出 2－ 15
和 2－ 17式）
2.系统自然频率的求法（ 47页最后一段话）
3.卷积积分
4.系统的全响应
5.初始条件的确定
*卷积积分限和定义域的确定是本章的难点系统 建立系统的微分方程 求转移算子 H(p)
求特征根求冲激响应 h(t)
求零输入响应
)(tyx
求零状态响应
)(*)()( thtfty f?
)()()( tytyty fx求全响应
时域经典法和时域卷积法
§ 2.2微分方程的建立与求解一,微分方程建立的两类约束
1.来自连接方式的约束,kvl和 kil,与元件的 性质无关,
2.来自元件伏安关系的约束,与元件的连接方式无关,
a.电阻：
b.电容,
c.电感,
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二,微分方程的求解
卷积法 零输入响应求解零状态响应求解微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解和特解组成齐次解 的形式由齐次方程的特征根 确定特解 的形式由方程右边激励信号的形式确定
)()()( tytyty ph
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经典时域分析方法
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齐次解 yh(t)的形式
(1) 特征根是不等实根 s1,s2,?,sn
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(2) 特征根是等实根 s1=s2=? =sn
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(3) 特征根是成对共轭复根
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常用激励信号对应的特解形式输入信号 特解
K A
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Ke-at(特征根 s=?a) Ate-at
Ksin?0t 或 Kcos?0t Asin?0t+ Bcos?0t
Ke-atsin?0t 或 Ke-atcos?0t Ae-atsin?0t+ Be-atcos?0t
例 1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件 y(0)=1,y’(0)=2,输入信号 f(t)=e?t u(t)，求系统的完全响应 y(t)。
0),()(8)('6)(" ttftytyty
0862 ss
42 21 ss,
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特征根为齐次解 yh(t)
解,(1)求齐次方程 y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解 yh(t)
特征方程为
2) 求非齐次方程 y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t) = f(t)的特解 yp(t)
解得 A=5/2,B=?11/6
由输入 f (t)的形式，设方程的特解为 yp(t)=Ce-t
将特解带入原微分方程即可求得常数 C=1/3。
3) 求方程的全解
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求输出信号号电路如图所示，激励信例
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经典法不足之处
若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理 。
若激励信号发生变化，则须全部重新求解。
若初始条件发生变化，则须全部重新求解。
这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。
P44:表 2－ 1
*相似系统：用同一类型的方程描述的系统。
相似系统可以有完全不同的物理外貌。
用同一微分方程描述的对偶电路是相似系统的特例。
§ 2.3起始条件的跳变 — 从 到?0?0
一,系统的状态（起始与初始状态）
1.系统的状态,
以后任何时刻的响应。信号，就能够完全确定的激励系统模型以及数据，利用这组数据和知道的最少量时刻的状态是一组必须系统在
0
0
0
t
tt
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时表示激励接入之后的瞬以时表示激励接入之前的瞬以
＋
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0
0
1.系统的状态：
2.起始状态,它决定了 z.i.r.在激励接入之前的瞬时
t= 系统的状态,它总结了计算未来响应所需要的过去的全部信息,
3.初始状态,跳变量,它决定了 z.s.r.(在激励接入之后的瞬时 t= 系统的状态,
4.初始条件,它决定了完全响应,这三个量的关系是：
)0()(?kr
0
)0()(?kzsr
0
)0()(?kr
)0()0()0( )()()( kkzsk rrr
二,初始条件的确定（换路定律）
时不变,
)0()0( cc vv )0()0( ll ii
时变,)0()0(
qq )0()0(
的完全响应。
方程，求时间内描述系统的微分写出和从物理概念判断
”转至“时刻，开关自“进入稳态，
”，已以前开关位于“电路如图所示，
)(0.2
)0(),0()0(),0(.1
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点路已进入稳态以前解,0.1?t?
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2.t>0时,电路方程为,
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Z.i.r=0; f.r=0;完全响应 =自由响应特征根为系统的自 由频率
§ 2.4 z.i.r和 z.s.r (p52-p58)
完全响应＝自由响应＋强迫响应
＝零输入响应＋零状态响应
＝通解＋特解
＝暂态响应＋稳态响应
:
)312(54
解释如下式，一些重要结论及－页参考 p
。始状态和激励信号决定要同时由起，而自由响应的仅由起始储能情况决定零输入响应的然而它们的系数不同。都满足齐次方程之解，自由响应和零输入响应
kz i k AA
)1(
系统自身参数有关。励信号决定，二者都与定，另一部分由激，一部分由起始状态决自由响应由两部分组成 )2(
决定。励信号和系统参数共同响应可以不为零，由激应为零，但自由条件为零，则零输入响若系统起始无储能，即 －0)3(
。出现在零状态响应之中若发生跳变只可能时刻，不跳变。此时刻时刻到零输入响应由 ＋－ 00)4(
之关系仍为线性。
与，但是增量不满足叠加性和齐次性而对于满足线性关系；如合叠加性和齐次性。，输入－输出之增量符之差的线性函数。也即响应之差是两激励任意两个激励信号产生增量线性系统的概念
)(
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P83.2— 7 t>0时的电 路
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齐次解,trcAe 1?
完全解：
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sri
p81作业,2-5
预习,§ 2.5
