第七章 离散时间系统的时域分析
*本章的重点离散信号描述与运算离散系统的数学模型差分方程的初值 — 起始样值与初始样值如何求差分方程的特解离散信号卷积运算的几种求法系统模拟
§ 7.1引言一,信号的分类：
按时间特性.1
).(:
).(:
t
t
整数用特定实数离散用全体实数连续按幅值特性.2
幅度量化：
幅度连续：
.,:.
.,:.
.,:.
.,:.
幅值量化时间离散数字幅值连续时间离散抽样幅度都连续时间摸拟幅值量化时间连续量化
d
c
b
a 连续离散
连续系统
微分方程
卷积积分
拉氏变换
连续傅立叶变换
卷积定理
离散系统
差分方程
卷积和
Z变换
离散傅立叶变换
卷积定理二连续时间系统与离散时间系统的类比一,离散时间信号的表示
1.由 f(t)到 f(n)
采样 量化
)(tfa )(nTfa )(nf
)(tfa
)(nTfa
)(nf
2.表示的方法表格形式及图形形式单位序列组合形式闭合形式序列形式
X(k)
§ 7.2离散时间信号 -序列例,已知序列 f(k)={1,2,4,8,…},试用上述几种方法表示之。
)(2)(.1,kukf k?闭合形式：解为负值时，向左移序。
为正值时，向右移序。
的移序。称为则序列为整数的关系之间满足与序列如序列序列的移序单位序列的移位
k
k
xyk
knxny
nxny
)(
)()(
)()(
)(:.2
如此例：
k
knkxnx
kkkkf
)()()(
.,,)2(4)1(2)()(
任意序列都可表示为：
3.图形形式
)(kf
k
0
1
21
2
4
4.表格形式
K 0 1 2 3,,
f(k) 1 2 4 8
举例 *.序列的移位（序）
)(kf
k
K -1 0 1 2 3
f(k) 3 2 1.5 1.25 1.125
)2(?kf
k
K -1 0 1 2 3 4 5
f(k-2) 0 0 3 2 1.5 1.25 1,125
K -2 -1 0 1 2
f(k+1) 3 2 1.5 1.25 1.125
)1(?kf
)()()1()(
)()()1()(
1 kfEmkfkfkfE
kfEmkfkfkEf
m
m
右移：
左移：
1?E
)(kf )1(?kf
迟后算子算子超前算子算子
:
1
:
E
E
为转移算子
)(
)(
)(
)()()()(
ED
EN
EH
kfENkyED
单位样值信号（ Unit Sample)
)0(0
)0(1
)(
n
n
n?
)(0
)(1
)(
0
0
0 nn
nn
nn?
)(n?
0 n
)( 0nn
0 n0n
3.几种常用的离散信号
离散单位阶跃信号
离散矩形序列
)0(0
)0(1
)(
n
n
nu
1
.....43210 n
1
43210 n
)()(
)0(0
)10(1
)(
0
nnunu
Nnorn
Nn
nG
n
斜变序列
)()( nnunR?
.,,,,543210
n
1
2
3
4
5
0
)()( 2 nunnr?
.,,,,543210
n
4
0
9
16
25
指数序列 )()( nuanx n?
1?a 10 a
01 a 1a
正弦序列
tAtf 0s i n)(
)s i n (
)s i n ()(
0
0
nA
nTAnx s
t = nTs
s
s fTN
0
00
2
0co s)(?nAnx?
43210
n
1?N
复指数序列
任意离散序列
)()](a r g [
00
0)()(
s inc o s)(
njnxj enxenx
njBnAnx
m
mnmxnx )()()(?
加权表示
)(tx
m
mn )(?
)(nx
周期序列奇对称偶对称若都有值。对所有的双边序列：
)()(
)()(
)()(
)(.
Nkfkf
kfkf
kfkf
kkfa
此序列又称因果序列。若右边序列序列时有值时若有值。对部分单边序列：
0,
0)(,,)(
)(.
1
11
N
kfNkkfNk
kkfb
区间内有值。仅在时限序列,21)(,NKNkfc
4.序列的分类：
)8/(
)(.2
)
87
3
c o s ()(.1
nj
enx
nAnx
)
87
3
7
3
c os (
]
8
)(
7
3
c os [)(
)(
).()(,.1:
NnA
NnANnx
nx
nxNnxN
是周期序列。则有若对于整数解试确定周期。若是周期性的期性的判断以下各序列是否周例,,.
47.37?p
.14,
)(,14
),()(,2
7
3
周期为是周期序列值满足此条件的最小正数的正数倍是若
nxN
nxNnxN
的周期序列。是周期为该序列才如为实整数时当周期为
0
0
0
00
2
,10,
2
.
2
),s i n ()(
NNa
NNnAnx
.
2
,
,152
5.7,
2
.
0
'
0
但周期大于序列则正弦序列仍是周期如有理数整数若
NN
NNb
.
,26,.
期序列此时为非周无理数若 NNc
8
8
)
8
()
88
(
)(
)(.2
N
j
N
j
n
j
Nn
j
enx
eeeNnx
k
N
enxNnx
N
j
2
8
,1),()( 8 则若二,离散信号的变换和运算表达式变换和运算
)()()( kfEnkfky n信号左移
)()()( kfEnkfky n信号右移
)()( kyky信号反转
)()()( 21 kfkfky信号相加不是周期序列
)()()( 21 kfkfky?信号相乘
i
ifky )()(信号累加
)()1()()( kfkfkfky前向差分
)1()()()( kfkfkfky后向差分
)()()( 21 kfkfky信号卷积
)()( 21 ikfif
i
后向差分 )( nx
中心差分?)( nx?
)
2
()
2
()(
)()()(
)()()(
h
nx
h
nxnx
hnxnxnx
nxhnxnx
前向差分差分 )(:.* nx
)3()2(3)1(3)(
)1()()(
)2()1(2)(
)1()()(
)1()()(
)(*
223
2
nxnxnxnx
nxnxnx
nxnxnx
nxnxnx
nxnxnx
nx 的后向差分序列
2
)12(
c o s2)1s i n (s i ns i n
212)1(
11)1(
)(
)()1()()(
.
2
222
n
nnn
t
dt
dt
nnnn
dt
dt
nnn
dt
tdu
nnununu
典型序列的差分
1
1
1
)(
)()12)(1(
6
1
)(
)()1(
2
1
)(
)()1()(
)()(
.
1
2
a
a
a
iua
nunnniui
nunniiu
nuniu
nui
nn
i
i
n
i
n
i
n
i
n
典型序列的求和
174
)()(
,.
－：例：
则为波 形的扩展。为压缩 。而构成乘以正 整数自变量序列的,重排”：若将
p
a
n
xanx
an?
§ 7.3 离散时间系统数学模型
离散线性时不变系统
离散系统的数学模型
从常系数微分方程得到差分方程
已知网络结构建立离散系统数学模型一,线性移不变离散时间系统
1.系统定义,一个系统,若输入是离散时间信号,输出也是离散时间信号,则此系统为离散时间系统,
T
X(n) Y(n)=T[x(n)]
2.线性系统离散线性时不变系统
线性：
1.可加性：
2.均匀性：
时不变性
)(nxi )(nyi)(nh
M
i
i nx
0
)(?
M
i
i ny
0
)(
M
i
ii nxa
0
)(?
M
i
ii nya
0
)(
)( mnx i? )( mny i?
)()(
)()(
11 naynaxT
nynxT
则若
)()( 22 nbynbxT?
)()( 21 nbxnaxT?
)()()()( 2121 nbynaynxbTnxaT
.
)(
:.3
变化而不随序列的先后运算过程中不随时间在整个系统的运算关系移不变系统 T
)()(
)()(
knyknxT
nynxT
则若
4.例题 p41,7.29
3)(2)(.1 nxny
)
67
2
s i n ()()(.2
nnxny
)()]([)(.3 2 课后作业nxny?
)()()(.4 课后作业?
n
m
mxny
)]([)]([
3)]()([2)]()([:
3)(2)]([)(
3)(2)]([)(.1:
21
2121
222
111
nbxTnaxT
nbxnaxnbxnaxT
nbxnbxTny
naxnaxTny
则设解
.)()(
)(3)(2)([
.)()(
000
之间满足移不变关系与不是线性关系与
nxny
nnynnxnnxT
nxny
)
67
2
s i n ()()]([)(
:.2
111
nnaxnaxTny
设
)
67
2
s i n ()()]([)( 222
nnbxnbxTny
.)()(
)
67
2
s i n ()]()([
)]()([
21
21
间满足线性关系与 nxny
nnbxnax
nbxnaxT
)
6
)(
7
2
s i n ()()(
)
67
2
s i n ()()]([
000
00
nnnnxnny
nnnxnnxT
.)()( 间不满足移不变关系与 nxny
二,数学描述 — 差分方程 (p39-7.22)
解,设第 n个月的本利 y(n)包括下列三个方面,
1.第 (n-1)个月的本利 y(n-1)
2.第 (n-1)个月的利息 ay(n-1)
3.第 n个月的存款 x(n)
Y(n)=x(n)+(1+a)y(n-1);y(t)-(1+a)y’=x(t)
P14;例 7-4此例中的差分方程 v(n)的自变量 n不表示时间，而是代表电路图中结点序号。
*差分方程的阶,差分方程的阶数等于未知序列变量序号最高与最低值之差,
三、从常系数微分方程得到差分方程
在连续和离散之间作某种近似
)()( nyty?
)]()1([
1)(
nyny
Tdt
tdy
s
)(tx )(ty
)()()( txtydt tdyRC
取近似：
)()( nyty? )]()1([)( nynyTRCdt tdyRC
s
)()()]()1([ nxnynynyTRC
s
)()()1()1( nx
RC
Tny
RC
Tny
)()( tfty
dt
dy
T
tyTty
dt
dy )()(
)(1)1(1)()( ky
T
ky
TT
kTyTkTy
dt
dy
)()()1()1( kTfkyTky
高阶情况
dt
dy
T
t
)( Tty?
22
2
2
2
)()(2)2(
)()(
//
][
T
TyTtyTty
dt
yd
T
tyTty
dt
dy
T
dtdydtdy
dt
dy
dt
d
dt
yd
TtTtt
代入可得：用
)(
1
)1(
1
)2(
1
2222
2
ky
T
ky
T
ky
Tdt
yd
)(
0
2 ikyadt
yd n
i
i
n
)()1(...)(
)()1(...)1()(
10
110
kfbkfbmkfb
kyakyankyankya
mm
nn
四,离散时间系统的模拟
1.离散时间系统的基本单元符号
E
1
Y(n) Y(n-1)
X(n) Y(n) X+y
Y(n) a ay(n) p11
直通时，得如 )()(1; 00 nfnybamn
连续系统的数学模型
)(
)(
...
)()(
)(
)(
...
)()(
11
1
10
11
1
10
teE
dt
tde
E
dt
ted
E
dt
ted
E
trC
dt
tdr
C
dt
trd
C
dt
trd
C
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
基本运算：各阶导数，系数乘，相加二、离散系统的数学模型
输入是离散序列及其时移函数
输出是离散序列及其时移函数
系统模型是输入输出的线性组合系数乘，相加，延时单元
),.,,,2(),1(),( nxnxnx
),.,,,2(),1(),( nynyny
M
r
r
N
k
k rnxbknyany
01
)()()(
2.一阶差分
E
1?
a
)(nx
)(ny
)]()1([
1
)( nxny
a
ny
E
1
)(nx a
)(ny?
)()1()( nxnayny
P38,7-9 列出图示系统的差分方程,指出其阶次,
E
1
E
1
E
1?
)(nx
)(ny
0a
2b
1b
1a
二阶差分方程解
)1()()2()1()(
)1()()2()1()(
:
1021
1021
nxanxanybnybny
nxanxanybnybny
习题,7－ 3，（ 1）（ 3）
7-33 7-35
*本章的重点离散信号描述与运算离散系统的数学模型差分方程的初值 — 起始样值与初始样值如何求差分方程的特解离散信号卷积运算的几种求法系统模拟
§ 7.1引言一,信号的分类：
按时间特性.1
).(:
).(:
t
t
整数用特定实数离散用全体实数连续按幅值特性.2
幅度量化：
幅度连续：
.,:.
.,:.
.,:.
.,:.
幅值量化时间离散数字幅值连续时间离散抽样幅度都连续时间摸拟幅值量化时间连续量化
d
c
b
a 连续离散
连续系统
微分方程
卷积积分
拉氏变换
连续傅立叶变换
卷积定理
离散系统
差分方程
卷积和
Z变换
离散傅立叶变换
卷积定理二连续时间系统与离散时间系统的类比一,离散时间信号的表示
1.由 f(t)到 f(n)
采样 量化
)(tfa )(nTfa )(nf
)(tfa
)(nTfa
)(nf
2.表示的方法表格形式及图形形式单位序列组合形式闭合形式序列形式
X(k)
§ 7.2离散时间信号 -序列例,已知序列 f(k)={1,2,4,8,…},试用上述几种方法表示之。
)(2)(.1,kukf k?闭合形式：解为负值时，向左移序。
为正值时，向右移序。
的移序。称为则序列为整数的关系之间满足与序列如序列序列的移序单位序列的移位
k
k
xyk
knxny
nxny
)(
)()(
)()(
)(:.2
如此例：
k
knkxnx
kkkkf
)()()(
.,,)2(4)1(2)()(
任意序列都可表示为：
3.图形形式
)(kf
k
0
1
21
2
4
4.表格形式
K 0 1 2 3,,
f(k) 1 2 4 8
举例 *.序列的移位（序）
)(kf
k
K -1 0 1 2 3
f(k) 3 2 1.5 1.25 1.125
)2(?kf
k
K -1 0 1 2 3 4 5
f(k-2) 0 0 3 2 1.5 1.25 1,125
K -2 -1 0 1 2
f(k+1) 3 2 1.5 1.25 1.125
)1(?kf
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)()()1()(
1 kfEmkfkfkfE
kfEmkfkfkEf
m
m
右移：
左移：
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)(kf )1(?kf
迟后算子算子超前算子算子
:
1
:
E
E
为转移算子
)(
)(
)(
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ED
EN
EH
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单位样值信号（ Unit Sample)
)0(0
)0(1
)(
n
n
n?
)(0
)(1
)(
0
0
0 nn
nn
nn?
)(n?
0 n
)( 0nn
0 n0n
3.几种常用的离散信号
离散单位阶跃信号
离散矩形序列
)0(0
)0(1
)(
n
n
nu
1
.....43210 n
1
43210 n
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)0(0
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)(
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Nnorn
Nn
nG
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斜变序列
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.,,,,543210
n
1
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25
指数序列 )()( nuanx n?
1?a 10 a
01 a 1a
正弦序列
tAtf 0s i n)(
)s i n (
)s i n ()(
0
0
nA
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t = nTs
s
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0
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2
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43210
n
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复指数序列
任意离散序列
)()](a r g [
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njnxj enxenx
njBnAnx
m
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加权表示
)(tx
m
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周期序列奇对称偶对称若都有值。对所有的双边序列：
)()(
)()(
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Nkfkf
kfkf
kfkf
kkfa
此序列又称因果序列。若右边序列序列时有值时若有值。对部分单边序列：
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)(.
1
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N
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kkfb
区间内有值。仅在时限序列,21)(,NKNkfc
4.序列的分类：
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NnA
NnANnx
nx
nxNnxN
是周期序列。则有若对于整数解试确定周期。若是周期性的期性的判断以下各序列是否周例,,.
47.37?p
.14,
)(,14
),()(,2
7
3
周期为是周期序列值满足此条件的最小正数的正数倍是若
nxN
nxNnxN
的周期序列。是周期为该序列才如为实整数时当周期为
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0
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,10,
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2
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但周期大于序列则正弦序列仍是周期如有理数整数若
NN
NNb
.
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期序列此时为非周无理数若 NNc
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j
n
j
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,1),()( 8 则若二,离散信号的变换和运算表达式变换和运算
)()()( kfEnkfky n信号左移
)()()( kfEnkfky n信号右移
)()( kyky信号反转
)()()( 21 kfkfky信号相加不是周期序列
)()()( 21 kfkfky?信号相乘
i
ifky )()(信号累加
)()1()()( kfkfkfky前向差分
)1()()()( kfkfkfky后向差分
)()()( 21 kfkfky信号卷积
)()( 21 ikfif
i
后向差分 )( nx
中心差分?)( nx?
)
2
()
2
()(
)()()(
)()()(
h
nx
h
nxnx
hnxnxnx
nxhnxnx
前向差分差分 )(:.* nx
)3()2(3)1(3)(
)1()()(
)2()1(2)(
)1()()(
)1()()(
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223
2
nxnxnxnx
nxnxnx
nxnxnx
nxnxnx
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nx 的后向差分序列
2
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212)1(
11)1(
)(
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.
2
222
n
nnn
t
dt
dt
nnnn
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典型序列的差分
1
1
1
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1
)(
)()1(
2
1
)(
)()1()(
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iua
nunnniui
nunniiu
nuniu
nui
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n
i
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典型序列的求和
174
)()(
,.
－：例：
则为波 形的扩展。为压缩 。而构成乘以正 整数自变量序列的,重排”：若将
p
a
n
xanx
an?
§ 7.3 离散时间系统数学模型
离散线性时不变系统
离散系统的数学模型
从常系数微分方程得到差分方程
已知网络结构建立离散系统数学模型一,线性移不变离散时间系统
1.系统定义,一个系统,若输入是离散时间信号,输出也是离散时间信号,则此系统为离散时间系统,
T
X(n) Y(n)=T[x(n)]
2.线性系统离散线性时不变系统
线性：
1.可加性：
2.均匀性：
时不变性
)(nxi )(nyi)(nh
M
i
i nx
0
)(?
M
i
i ny
0
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M
i
ii nxa
0
)(?
M
i
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)( mnx i? )( mny i?
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)()(
11 naynaxT
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则若
)()( 22 nbynbxT?
)()( 21 nbxnaxT?
)()()()( 2121 nbynaynxbTnxaT
.
)(
:.3
变化而不随序列的先后运算过程中不随时间在整个系统的运算关系移不变系统 T
)()(
)()(
knyknxT
nynxT
则若
4.例题 p41,7.29
3)(2)(.1 nxny
)
67
2
s i n ()()(.2
nnxny
)()]([)(.3 2 课后作业nxny?
)()()(.4 课后作业?
n
m
mxny
)]([)]([
3)]()([2)]()([:
3)(2)]([)(
3)(2)]([)(.1:
21
2121
222
111
nbxTnaxT
nbxnaxnbxnaxT
nbxnbxTny
naxnaxTny
则设解
.)()(
)(3)(2)([
.)()(
000
之间满足移不变关系与不是线性关系与
nxny
nnynnxnnxT
nxny
)
67
2
s i n ()()]([)(
:.2
111
nnaxnaxTny
设
)
67
2
s i n ()()]([)( 222
nnbxnbxTny
.)()(
)
67
2
s i n ()]()([
)]()([
21
21
间满足线性关系与 nxny
nnbxnax
nbxnaxT
)
6
)(
7
2
s i n ()()(
)
67
2
s i n ()()]([
000
00
nnnnxnny
nnnxnnxT
.)()( 间不满足移不变关系与 nxny
二,数学描述 — 差分方程 (p39-7.22)
解,设第 n个月的本利 y(n)包括下列三个方面,
1.第 (n-1)个月的本利 y(n-1)
2.第 (n-1)个月的利息 ay(n-1)
3.第 n个月的存款 x(n)
Y(n)=x(n)+(1+a)y(n-1);y(t)-(1+a)y’=x(t)
P14;例 7-4此例中的差分方程 v(n)的自变量 n不表示时间，而是代表电路图中结点序号。
*差分方程的阶,差分方程的阶数等于未知序列变量序号最高与最低值之差,
三、从常系数微分方程得到差分方程
在连续和离散之间作某种近似
)()( nyty?
)]()1([
1)(
nyny
Tdt
tdy
s
)(tx )(ty
)()()( txtydt tdyRC
取近似：
)()( nyty? )]()1([)( nynyTRCdt tdyRC
s
)()()]()1([ nxnynynyTRC
s
)()()1()1( nx
RC
Tny
RC
Tny
)()( tfty
dt
dy
T
tyTty
dt
dy )()(
)(1)1(1)()( ky
T
ky
TT
kTyTkTy
dt
dy
)()()1()1( kTfkyTky
高阶情况
dt
dy
T
t
)( Tty?
22
2
2
2
)()(2)2(
)()(
//
][
T
TyTtyTty
dt
yd
T
tyTty
dt
dy
T
dtdydtdy
dt
dy
dt
d
dt
yd
TtTtt
代入可得：用
)(
1
)1(
1
)2(
1
2222
2
ky
T
ky
T
ky
Tdt
yd
)(
0
2 ikyadt
yd n
i
i
n
)()1(...)(
)()1(...)1()(
10
110
kfbkfbmkfb
kyakyankyankya
mm
nn
四,离散时间系统的模拟
1.离散时间系统的基本单元符号
E
1
Y(n) Y(n-1)
X(n) Y(n) X+y
Y(n) a ay(n) p11
直通时，得如 )()(1; 00 nfnybamn
连续系统的数学模型
)(
)(
...
)()(
)(
)(
...
)()(
11
1
10
11
1
10
teE
dt
tde
E
dt
ted
E
dt
ted
E
trC
dt
tdr
C
dt
trd
C
dt
trd
C
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
基本运算：各阶导数，系数乘，相加二、离散系统的数学模型
输入是离散序列及其时移函数
输出是离散序列及其时移函数
系统模型是输入输出的线性组合系数乘，相加，延时单元
),.,,,2(),1(),( nxnxnx
),.,,,2(),1(),( nynyny
M
r
r
N
k
k rnxbknyany
01
)()()(
2.一阶差分
E
1?
a
)(nx
)(ny
)]()1([
1
)( nxny
a
ny
E
1
)(nx a
)(ny?
)()1()( nxnayny
P38,7-9 列出图示系统的差分方程,指出其阶次,
E
1
E
1
E
1?
)(nx
)(ny
0a
2b
1b
1a
二阶差分方程解
)1()()2()1()(
)1()()2()1()(
:
1021
1021
nxanxanybnybny
nxanxanybnybny
习题,7－ 3，（ 1）（ 3）
7-33 7-35
