§ 12.3连续时间系统状态方程的求解
用拉普拉斯变换法求解状态方程
用时域法求解状态方程矢量微分方程的求解一,状态方程的解和壮态过渡矩阵
1.状态方程的解,设 LTIS第 k个状态方程为
mkmkknknkkk fbfbfbxaxaxax,..,,' 22112211
)(...)()(..)()0()(
)()(),()(
1111 sFbsFbsxasxaXssX
sFtfsXtx
mkmkknknkk
iikk
则令
)(
.
)(
.
...
.
)(
'
)(
.
...
.
)0(
'
)0(
)(
.
)(
2
1
1
1111
1
111
2
11
sF
sF
bb
bb
sx
sx
aa
aa
x
x
sx
sx
s
nmn
m
nnnn
n
n
....)()(
)]()0([)()(
)()0()()(
)()()0()(
1
1
予解矩阵令
AsIs
sBFXAsIsX
sBFXsXAsI
sBFsAXXsSX
)]()([)0()]([)(
)()]()0([)(
11 sBFsLXsLtx
SsBFXsX
riz,.
rsz,.
}
)d e t (
)(
{)]([)( 11
AsI
AsIadj
LsLt
的逆矩阵称为 )()()( 1 AsIAsIs
kj
jk kj
)1(的行列式乘以列元素所得行第除去第行列式是它的转置矩阵。，
为元素的矩阵是以余因子其中（
（
，则使得
，则存在唯一的逆即阶方阵是满秩的若
)()(
)
)d e t (
)
),0)d e t ((
1
11
1
kj
T
jk
jkjk
T
jk
AA
AA
A
A
A
IAAAA
A
AnA
2.状态过渡矩阵
)]([)(},
)(
{)(
)0()()(:..
)0()()(,0)(
11
sLt
AsI
AsIa d j
Lt
xttxriz
XssXsF
则令
Atetxttx )(),0()()(
3.例,令 R=0;则本例的状态方程如下,? )(tEu
m
L
L
n
=m
n
).().),(,( nmnLLm?
)(
0
/1
0/1
/10
'
'
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L
v
i
c
L
v
i
c
L
c
L
sc
Ls
c
Ls
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/1
0/1
/1
10
01
Lcsc
Ls
s
AsI
AsIadj
AsIs
1
,
/1
/11
)(
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2
02
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2
1
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0
1
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/1
)(
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/1
/1
)(
2
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2
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2
s
s
s
E
s
LE
s
E
L
s
c
s
c
s
L
s
s
sx
sFssxrszx
s
s
s
c
s
L
s
s
s
的拉氏变换为则若
)c o s1(
s in
)]([)(
0
0
0
1
tE
t
L
E
sXLtx
二,输出方程的解和多输入多输出系统的转移函数
)()()()()()( sDFsCXsYtDytCxty
)}(])([)]0()({[)(
)(])([)0()()(
11 sFDBsCLXscLty
sFDBsCXscsy
riz,,rsz,.
1.转移函数矩阵 (多输入多输出系统 )
DBAsICsH
sFsHsysFDBscsy ff
1)()(
)()()()(])([)( 而
若系统有 r个输出,m个输入,k阶则
)()()(
)()()('
111
111
'
teDtCtr
teBtAt
mmrkkrr
mmkkkkk
mrmkkrmr DBAsICsH
1)()(
)(.)(
...
)(.)(
1
111
sHsH
sHsH
mrr
m
0
)(
)()( 其它输入个输入第个输入的响应中第个输出第
sEj
jsRisH
j
i
ij
2.系统的稳定性 (351-352)
条件是 A矩阵所有的特征根,都必须具有负的实部,
3.系统的频率响应
DBAIjCjssHjH 1)()()(
§ 12.7系统的可控制性和可观测性一,定义,可控制性,对一个系统进行激励所 产生的响应,能激发系统所有的固有频率时,则系统是可控的,(状态变量与输入之间的联系 )
*.可观测性,若一个系统的所有固有频率在输出中都可以观测出来,则系统是可观测的,(状态变量与输出量之间的联系,)
二,条件,若用 H(s)来判断,则充要条件是分子分母中不存在可以相消的因子,
p366检 查图 12-7(b)所示系统的可控制性和可观测性。
-?
as
bs
bs
cs
cs?
1
)(sE )(sR
1
)1)()((
))((
)(
)(
)(
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1
)([:
2
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cs
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csbs
sE
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sH
sR
bs
cs
bs
as
sR
cs
sE解
H(s)有零极点相 消,
所以系统不完全可控和不完全可观。
)()()(
)()()(
.*
tDetCtr
tBetAt
L T I S
的壮态方程表示为：若
).(.1 sH求系统的转移函数
拟框图。参数如上画出系统的摸
，求，
，若
.3
).(0011
1
1
0
300
020
001
.2
sHDC
BA
...
1
1
1
0.4 riz，求）（若起始条件
11
1
)
300
020
001
100
010
001
()(
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)(
)(
)(
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SAsI
sHA B C D
DBAsIC
sE
sR
sH
矩阵求带入已知的解
3/100
02/10
001/1
300
020
001
1
s
s
s
s
s
s
2
1
1
1
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1
1
1
1
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s
s
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s1
2?
不可观测。
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.3
2
1
1
1
1
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011{
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1
111
ss
L
s
s
s
AsIcLXscLtr
zc
§ 11.6
物理系统 流图 解答
1942:C.E.shannon
1953:S.J.mason
1959:Coates
80年代,chan和 Bapna
一,信号流图的获得
HF Y F YH
1H
2H
)(sF
F
源点
1H
2H
1 沟点
1x
2x
)(sy
)(sy
二,术语和基本性质
wczbyax
yax
x
a
y
x
y
z
w
a
b
c
*.连接于存在因果关系的结点上。
*.它是有方向的。
*.支路是有权的。
1.术语的定义
1
2
3
4
5
1x
2x
3x
4x
5x
a
b
c
d
e
f
a.节点,表示系统中变量或信号的点。
b.转移函数,两个节点之间的增益为转移函数。
g
c.支路,连接两个节点之间的定向线段。
d.源点,只有输出支路的节点 (自变量）。
e.汇点,只有输入支路的节点 (应变量 )。
f.混合节点,即有输入又有输出支路的节点。
g.路 径,是从某一节点出发连续经过一些支路
(沿着支路方向 )而终止另一个节点上 ;(或同一节点上 ),构成的一种拓扑结构。
h.开路径,是从某节点连续经过一些支路而终止在另一个节点上,且每个节点只通过一次的路径。
i.前向路径,是从源点到汇点方向的路径。
j.环路,若路径的终点就是路径的起点,且与其它节点的相交不多于一次的拓扑结构。
k.环路增益,环路中各支路转移函数乘积。
l.自环,从某一节点出发,只经过一个支路而又终止在同一节点上。
m.不接 触环路,两环路之间没有任何公共节点。
n.前向路径的增益,前向路径中,各支路转移函数的乘积。
2.信号流图的性质,(p289-293)
3.某些流图的简化或变换原图 等效图 备注
1x 2x 3x
12T 23T
1x 3x
12T 23T 123123
.1
xTTx?
级联节点
1x 2
x
'12T
''12T
1x 2
x'12T ''12T
112122 )'''(
.2
xTTx
迭加
1x
2x
3x
4x
5x
15T 25T
53T
54T
3x
2x
1x
4x
5315TT 5325TT
5425TT
5415TT 25425154154
25325153153
5544
5533
2251155
.3
xTTxTTx
xTTxTTx
xTx
xTx
xTxTx
合并一个节 点
1x 5x 3x
15T
35T
53T
1x 3x
15T 53T
53T 35T
33553153153
32
54,0
3.4
xTTxTTx
xx
T
的特例规则
5x
3x
35T
53T
5x
3x
53T
53T 35T
335535533
15 1
4
.5
xTTxTx
T
的特例规则消出一个环路
1x
2x
12T
22T
1x
2x
22
12
1 T
T
1
22
12
2
2221122
1
.6
x
T
T
x
xTxTx
消除一个自环
)1)(5(
2
ss
s
2?s
k 2?s
+ -
1x
2x
e y
)(sE
1
1x
2x )(sy
2?s
k
)1)(5(
2
ss
s
2?s
:.例?
的应用）规则消去节点解 4(,.,1xa
)(sE
2?s
k
2x
)1)(5(
ss
k
2?s
)(sy
的应用）消去自环（规则 6.b
)(sE 2x
)(sy
)1)(5(
1
2/
ss
k
sk
2?s
kss
ssk
s
ss
k
sk
c
)1)(5(
)1)(5(
)2(
)1)(5(
1
2/
.
闭合环路传输函数正向支路的传输函数
1
)(
)1)(5(
)1)(5(
)(
)(
)(
sH
kss
ssk
sE
sy
sH
三,Mason增益公式 (293;11-78)
kkgH
1 举例,P303.11-29(b)
)(sx )(sy
1H
5H4H
3H2H
6H
1G
4G
3G
2G
1465444
33,1322221
,
,
5:
GGHLGHL
GLGHHLGHL
个环路：流图有解
3224422146
44313222
32231442241
1
GGHGHGHGGH
GHGGHHGH
GGHLLGHGHLL
路；没有三个互不接触的回
，
个：两两不接触的环路有两
1,
:
1
543211
所有环路都与此接触前向通路有两条 HHHHHg
32
5612
1
,
G
HHHg
有两个：
而与此不接触的环路
2211)(
gg
sH
fcdgbe
dgcfah
x
y
sH
)1)(1(
)1(
)(
。上标上相应的转移函数并在每一支路画出系统的流图表示，
的转移函数，根据下面源点和沟点间.?
b e d gcfdgbe
dgcfah
y
x
H
1
)1(
:?解
iigH?
1
对照梅逊公式：
b e d gLL
dgLcfLbeL
21
321
,,
环路：而有一个两两不接触的
：可知该系统有三个环路
dgLcfL
ahg
32
1
,
:
:
与此不接触的环路为前向通路有一条
x
a h
y
e b
f c
g d
*.画出图示网络的信号流图,并用梅逊公式试求 H=Ur/E,
1c 2c解,列出支路的电压电流关系
)()(
)]()([)(
)]()([)(
)]()([)(
2
22
21
11
sRIsu
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LssIsIsu
scsusEsI
R
RL
L
L
)(te
+
- L
RU
1I
2I
Lu
)(sR
Ls
sc2 R
ls? sc2?sc1?
)(sE )(
1 sI )(suL )(2 sI
)(suR
sc1 1
k
k
kTsH
1)(
32122221 )(1 RscLcsRcsLcsLc
113211RscLcT
3
212
2
21
3
21
)(1
)(
RscLcsRcsLcLc
RscLc
sH
)(
)(
)(
,.*
sx
sy
sH?转移函数并用梅逊公式求其图画出如图所示的信号流
1H
3G
1G
3H2H
2G
+
-
+ -
-
+
)(sx
)(sy
5x4x
1x
3x2x
)(sx )(sy
1x 5x
4x
3x
2x
1H 3H2H
1G?
3G?
2G?
环路有三个,
3323
232
1211
GHHL
GHL
GHHL
其中 L1与 L2为两两不接触的环路,
][
][1
21321
33223121
GGHHH
GHHGHGHH 前向通路只有一条,
前向通路接触由于所有环路都与该条前向通路的增益 3211,HHHg?
11
][1
)(
2132123332121
321
11
GGHHHGHGHHGHH
HHH
g
sH
用拉普拉斯变换法求解状态方程
用时域法求解状态方程矢量微分方程的求解一,状态方程的解和壮态过渡矩阵
1.状态方程的解,设 LTIS第 k个状态方程为
mkmkknknkkk fbfbfbxaxaxax,..,,' 22112211
)(...)()(..)()0()(
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1111 sFbsFbsxasxaXssX
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1
1
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1
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2
11
sF
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1
予解矩阵令
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的逆矩阵称为 )()()( 1 AsIAsIs
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为元素的矩阵是以余因子其中（
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，则使得
，则存在唯一的逆即阶方阵是满秩的若
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2.状态过渡矩阵
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11
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AsI
AsIa d j
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则令
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3.例,令 R=0;则本例的状态方程如下,? )(tEu
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二,输出方程的解和多输入多输出系统的转移函数
)()()()()()( sDFsCXsYtDytCxty
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11 sFDBsCLXscLty
sFDBsCXscsy
riz,,rsz,.
1.转移函数矩阵 (多输入多输出系统 )
DBAsICsH
sFsHsysFDBscsy ff
1)()(
)()()()(])([)( 而
若系统有 r个输出,m个输入,k阶则
)()()(
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111
111
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111
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0
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)()( 其它输入个输入第个输入的响应中第个输出第
sEj
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j
i
ij
2.系统的稳定性 (351-352)
条件是 A矩阵所有的特征根,都必须具有负的实部,
3.系统的频率响应
DBAIjCjssHjH 1)()()(
§ 12.7系统的可控制性和可观测性一,定义,可控制性,对一个系统进行激励所 产生的响应,能激发系统所有的固有频率时,则系统是可控的,(状态变量与输入之间的联系 )
*.可观测性,若一个系统的所有固有频率在输出中都可以观测出来,则系统是可观测的,(状态变量与输出量之间的联系,)
二,条件,若用 H(s)来判断,则充要条件是分子分母中不存在可以相消的因子,
p366检 查图 12-7(b)所示系统的可控制性和可观测性。
-?
as
bs
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cs
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1
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1
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1
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2
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sE
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sH
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sE解
H(s)有零极点相 消,
所以系统不完全可控和不完全可观。
)()()(
)()()(
.*
tDetCtr
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L T I S
的壮态方程表示为：若
).(.1 sH求系统的转移函数
拟框图。参数如上画出系统的摸
，求，
，若
.3
).(0011
1
1
0
300
020
001
.2
sHDC
BA
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1
1
1
0.4 riz，求）（若起始条件
11
1
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300
020
001
100
010
001
()(
)(.2
)(
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SAsI
sHA B C D
DBAsIC
sE
sR
sH
矩阵求带入已知的解
3/100
02/10
001/1
300
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001
1
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BAsICsHD?
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2?
不可观测。
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2
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1
111
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L
s
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AsIcLXscLtr
zc
§ 11.6
物理系统 流图 解答
1942:C.E.shannon
1953:S.J.mason
1959:Coates
80年代,chan和 Bapna
一,信号流图的获得
HF Y F YH
1H
2H
)(sF
F
源点
1H
2H
1 沟点
1x
2x
)(sy
)(sy
二,术语和基本性质
wczbyax
yax
x
a
y
x
y
z
w
a
b
c
*.连接于存在因果关系的结点上。
*.它是有方向的。
*.支路是有权的。
1.术语的定义
1
2
3
4
5
1x
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3x
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5x
a
b
c
d
e
f
a.节点,表示系统中变量或信号的点。
b.转移函数,两个节点之间的增益为转移函数。
g
c.支路,连接两个节点之间的定向线段。
d.源点,只有输出支路的节点 (自变量）。
e.汇点,只有输入支路的节点 (应变量 )。
f.混合节点,即有输入又有输出支路的节点。
g.路 径,是从某一节点出发连续经过一些支路
(沿着支路方向 )而终止另一个节点上 ;(或同一节点上 ),构成的一种拓扑结构。
h.开路径,是从某节点连续经过一些支路而终止在另一个节点上,且每个节点只通过一次的路径。
i.前向路径,是从源点到汇点方向的路径。
j.环路,若路径的终点就是路径的起点,且与其它节点的相交不多于一次的拓扑结构。
k.环路增益,环路中各支路转移函数乘积。
l.自环,从某一节点出发,只经过一个支路而又终止在同一节点上。
m.不接 触环路,两环路之间没有任何公共节点。
n.前向路径的增益,前向路径中,各支路转移函数的乘积。
2.信号流图的性质,(p289-293)
3.某些流图的简化或变换原图 等效图 备注
1x 2x 3x
12T 23T
1x 3x
12T 23T 123123
.1
xTTx?
级联节点
1x 2
x
'12T
''12T
1x 2
x'12T ''12T
112122 )'''(
.2
xTTx
迭加
1x
2x
3x
4x
5x
15T 25T
53T
54T
3x
2x
1x
4x
5315TT 5325TT
5425TT
5415TT 25425154154
25325153153
5544
5533
2251155
.3
xTTxTTx
xTTxTTx
xTx
xTx
xTxTx
合并一个节 点
1x 5x 3x
15T
35T
53T
1x 3x
15T 53T
53T 35T
33553153153
32
54,0
3.4
xTTxTTx
xx
T
的特例规则
5x
3x
35T
53T
5x
3x
53T
53T 35T
335535533
15 1
4
.5
xTTxTx
T
的特例规则消出一个环路
1x
2x
12T
22T
1x
2x
22
12
1 T
T
1
22
12
2
2221122
1
.6
x
T
T
x
xTxTx
消除一个自环
)1)(5(
2
ss
s
2?s
k 2?s
+ -
1x
2x
e y
)(sE
1
1x
2x )(sy
2?s
k
)1)(5(
2
ss
s
2?s
:.例?
的应用）规则消去节点解 4(,.,1xa
)(sE
2?s
k
2x
)1)(5(
ss
k
2?s
)(sy
的应用）消去自环（规则 6.b
)(sE 2x
)(sy
)1)(5(
1
2/
ss
k
sk
2?s
kss
ssk
s
ss
k
sk
c
)1)(5(
)1)(5(
)2(
)1)(5(
1
2/
.
闭合环路传输函数正向支路的传输函数
1
)(
)1)(5(
)1)(5(
)(
)(
)(
sH
kss
ssk
sE
sy
sH
三,Mason增益公式 (293;11-78)
kkgH
1 举例,P303.11-29(b)
)(sx )(sy
1H
5H4H
3H2H
6H
1G
4G
3G
2G
1465444
33,1322221
,
,
5:
GGHLGHL
GLGHHLGHL
个环路：流图有解
3224422146
44313222
32231442241
1
GGHGHGHGGH
GHGGHHGH
GGHLLGHGHLL
路；没有三个互不接触的回
，
个：两两不接触的环路有两
1,
:
1
543211
所有环路都与此接触前向通路有两条 HHHHHg
32
5612
1
,
G
HHHg
有两个：
而与此不接触的环路
2211)(
gg
sH
fcdgbe
dgcfah
x
y
sH
)1)(1(
)1(
)(
。上标上相应的转移函数并在每一支路画出系统的流图表示，
的转移函数，根据下面源点和沟点间.?
b e d gcfdgbe
dgcfah
y
x
H
1
)1(
:?解
iigH?
1
对照梅逊公式：
b e d gLL
dgLcfLbeL
21
321
,,
环路：而有一个两两不接触的
：可知该系统有三个环路
dgLcfL
ahg
32
1
,
:
:
与此不接触的环路为前向通路有一条
x
a h
y
e b
f c
g d
*.画出图示网络的信号流图,并用梅逊公式试求 H=Ur/E,
1c 2c解,列出支路的电压电流关系
)()(
)]()([)(
)]()([)(
)]()([)(
2
22
21
11
sRIsu
scsususI
LssIsIsu
scsusEsI
R
RL
L
L
)(te
+
- L
RU
1I
2I
Lu
)(sR
Ls
sc2 R
ls? sc2?sc1?
)(sE )(
1 sI )(suL )(2 sI
)(suR
sc1 1
k
k
kTsH
1)(
32122221 )(1 RscLcsRcsLcsLc
113211RscLcT
3
212
2
21
3
21
)(1
)(
RscLcsRcsLcLc
RscLc
sH
)(
)(
)(
,.*
sx
sy
sH?转移函数并用梅逊公式求其图画出如图所示的信号流
1H
3G
1G
3H2H
2G
+
-
+ -
-
+
)(sx
)(sy
5x4x
1x
3x2x
)(sx )(sy
1x 5x
4x
3x
2x
1H 3H2H
1G?
3G?
2G?
环路有三个,
3323
232
1211
GHHL
GHL
GHHL
其中 L1与 L2为两两不接触的环路,
][
][1
21321
33223121
GGHHH
GHHGHGHH 前向通路只有一条,
前向通路接触由于所有环路都与该条前向通路的增益 3211,HHHg?
11
][1
)(
2132123332121
321
11
GGHHHGHGHHGHH
HHH
g
sH
