§ 3.3典型周期信号的傅里叶级数
周期矩形脉冲信号
周期锯齿脉冲信号
周期三角脉冲信号
周期半波余弦信号
周期全波余弦信号我们重点讨论周期矩形脉冲信号的频谱，由此得出的某些结论，适用于所有的周期信号。
一,周期矩形脉冲信号的频谱分析
)(tf {
E
0
22 11
nTtnT
2)1(2 11
TntnT
2 2? T
1.求 f(t)的复数振幅和展开成傅立叶级数
P90 (3-5)
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0
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T
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上式中 n=0，则为不定式利用罗必塔法则
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)(
1
1
2.画频谱图由复振幅
nc
的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所构成的包络是
x
xsin 的形式 ----称为抽样函数。
1,找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）
包络线方程为
2
2
s i n
2
T
E
c n?
与横轴的交点由下式决定,0
2
2
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即,
3,2,
2
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...
3
,
2
,
1
2
0
0
表示过零点的谐波频率f
fff
若这些频率恰好基波频率恰好是基波频率的整数倍，
则相应的谐波为零。
TTTTfff 3,2,0
1
0
所以，包络线与横轴的交点应满足两个条件：
一是谐波条件。
二是谐波为零的条件。
)( 1表示基波频率f
2.粗略求出各次谐波的振幅值由 的表达式可知：
nC
当
3
1?
T
时，最大值为 E
T
E
3
22
即当
31?
T
时，第一个零点内含有二条谱线，依次类推，就大致画出了振幅频谱图。
nC
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2
4
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1?
2
3.相位的确定
T
2
1?
代入
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可知
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1
p
T
n
n
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n
1T
n
nC
1T
n当角度 在第一、二象限时 为正实数即相位为零。
nC
当角度 在第三、四象限时 为负实数即相位为
二,结论
1.离散性 2.谐波性 3.收敛性
1.频谱是离散的,两谱线间的距离为
T
2
1?
2.由
T
EC
0
知,当 E变大时,? 变大,
则各次谐波的幅度愈大,
T变大,则谐波幅度愈小,
3.当
mn?
2
1
或
2
1 mn?
时，谱线的包络经过零值。
4.频带问题 (p164,3-17)
a.对于单调 衰减的信号，把零频率到谐波幅度降到最大值十分之一的那个频率间频带，称为信号的带宽
10
1
1f
b.对于周期过零的信号常认为包络线第一个零点以上的谐波可以忽略不计,
1
f
三,
1T
的比值改变时，对频谱结构的影响。
P105.图 (3-11)和 p106.图（ 3－ 12）
1.T不变,变?
即谱线的疏密不变不变，不变,11,Ta?
的收敛速度变慢则 ncb,,
包线的零值位置不变不变，不变，
谱线密集变时不变，
2
.
,,.
.2
1
b
Ta
T
构会发生什么变化呢？时，时域波形和频谱结Tc,
§ 3.4傅立叶变换一,频谱密度函数二,非周期信号的频谱分析 ----傅立叶变换三,傅立叶积分的其他形式四,傅立叶积分的其他形式五,傅立叶变换的存在六,周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比一,问题的提出
1.从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的规律就存在。
2.从数学角度来看：
无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。
2
2
1)(
2
l im
T
T
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Tn
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T
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1
2
1
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结论,信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的。
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时，信号的频谱分布仍然存在。
二,频谱密度函数
1.定义：令
)
2
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2
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11
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CTC
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T
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T
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T
T
tjn
T
n
T
2
2
1)(lim
2
lim,?
b.这样定义能确切的反映信号的频谱分布特性。
各个频率分量振幅之间的相对比例关系是固定不变的。
2.几点说明
)(,?jFa 代表了信号中各频率分量振幅的相对大小。
b.各频率分量的实际振幅为
dF |)(| 是无穷小量。
C,具有单位角频率振幅的量纲。
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)()(|)(| 22 bajF
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为为 的相位。
的振幅。
)(?jF
)(?jF
)(?jF
且 |)(|?jF 和 )(?a 为? 的偶函数。
)( 和 )(?jb 为? 的奇函数。
补充,复数谱（又称为幅相频谱）
复数谱的图形通常用横轴表示实部，纵轴表示虚部。频率作为参变数，给定一个频率值，便可得到曲线上一点。
设
t
Te
T
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T
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1
)(
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三,非周期信号的频谱分析 ----傅立叶变换
1.由傅立叶级数到傅立叶积分
2
2
1
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T
T
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1
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反变换正变换
2.几点说明：
a.正变换给出了非周期信号的频谱的数学表达式。
时间函数 f(t)可以表示为频率在区间 )(
内的指数函数的连续和。
傅立叶变换提供了信号的频率描述和时间描述之间相互变换的工具。正变换通常叫做分析运算，
反变换通常叫做综合运算。
B.关于连续谱的说明具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。
具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中，每一频率分量包含的能量则为无穷小量。
3.傅立叶积分的三角形式
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)(s i n [|)(|
2
1
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1
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非周期信号：
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周期信号与非周期信号都可以分解为许多不同频率的正弦分量。
对周期信号，是用实际振幅对非周期信号，是用密度函数
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作出的。
作出的。
四,傅立叶积分的其他形式
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aa
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2
)()(
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在最近的科技书中比较通用的形式有：
五,傅立叶变换的存在
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存在的充分条件：
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dtetfdtetfjF tjtj |||)(||)(||)(|
1|| tje?
由知而
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傅立叶变换存在的充分条件是：
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存在。
六,周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比
1.它们都具有抽样函数 的形式。
x
xsin
2.
2
2
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1
1
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C
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2
这是由于两者的定义规定的。
B.
nC
nC
中的不连续变量
1?n
在
)(?jF 中变成了连续变量?
C.由非周期脉冲按一定的周期 T重复后构成的周期信号,
)(?jF
和
nC
之间可以互求。
3.非周期信号的频谱也具有收敛性。脉宽的定义方法与周期信号相同。
第三次作业点评,p85,2-18
)(2)(3
)(2)(3)(2)(6
)(
)(2)(
233
3
tte
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tuete
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＝解：
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2
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2
2
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t
t
§ 3.5 § 3.6§ 3.9
作业,p163.
3-15,3-19
预习证明：当全波和半波两个对称条件都满足时，求傅立叶级数的系数只要对四分之一波形积分即可。
（半波对称）
（全波对称）
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2
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周期矩形脉冲信号
周期锯齿脉冲信号
周期三角脉冲信号
周期半波余弦信号
周期全波余弦信号我们重点讨论周期矩形脉冲信号的频谱，由此得出的某些结论，适用于所有的周期信号。
一,周期矩形脉冲信号的频谱分析
)(tf {
E
0
22 11
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2)1(2 11
TntnT
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1.求 f(t)的复数振幅和展开成傅立叶级数
P90 (3-5)
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2.画频谱图由复振幅
nc
的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所构成的包络是
x
xsin 的形式 ----称为抽样函数。
1,找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）
包络线方程为
2
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2
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与横轴的交点由下式决定,0
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0
表示过零点的谐波频率f
fff
若这些频率恰好基波频率恰好是基波频率的整数倍，
则相应的谐波为零。
TTTTfff 3,2,0
1
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所以，包络线与横轴的交点应满足两个条件：
一是谐波条件。
二是谐波为零的条件。
)( 1表示基波频率f
2.粗略求出各次谐波的振幅值由 的表达式可知：
nC
当
3
1?
T
时，最大值为 E
T
E
3
22
即当
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T
时，第一个零点内含有二条谱线，依次类推，就大致画出了振幅频谱图。
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2
3.相位的确定
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2
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1
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T
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n当角度 在第一、二象限时 为正实数即相位为零。
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当角度 在第三、四象限时 为负实数即相位为
二,结论
1.离散性 2.谐波性 3.收敛性
1.频谱是离散的,两谱线间的距离为
T
2
1?
2.由
T
EC
0
知,当 E变大时,? 变大,
则各次谐波的幅度愈大,
T变大,则谐波幅度愈小,
3.当
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2
1
或
2
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时，谱线的包络经过零值。
4.频带问题 (p164,3-17)
a.对于单调 衰减的信号，把零频率到谐波幅度降到最大值十分之一的那个频率间频带，称为信号的带宽
10
1
1f
b.对于周期过零的信号常认为包络线第一个零点以上的谐波可以忽略不计,
1
f
三,
1T
的比值改变时，对频谱结构的影响。
P105.图 (3-11)和 p106.图（ 3－ 12）
1.T不变,变?
即谱线的疏密不变不变，不变,11,Ta?
的收敛速度变慢则 ncb,,
包线的零值位置不变不变，不变，
谱线密集变时不变，
2
.
,,.
.2
1
b
Ta
T
构会发生什么变化呢？时，时域波形和频谱结Tc,
§ 3.4傅立叶变换一,频谱密度函数二,非周期信号的频谱分析 ----傅立叶变换三,傅立叶积分的其他形式四,傅立叶积分的其他形式五,傅立叶变换的存在六,周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比一,问题的提出
1.从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的规律就存在。
2.从数学角度来看：
无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。
2
2
1)(
2
l im
T
T
tjn
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dtetf
T
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1
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结论,信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的。
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时，信号的频谱分布仍然存在。
二,频谱密度函数
1.定义：令
)
2
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2
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11
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T
CTC
jF nn
T
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T
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T
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2
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b.这样定义能确切的反映信号的频谱分布特性。
各个频率分量振幅之间的相对比例关系是固定不变的。
2.几点说明
)(,?jFa 代表了信号中各频率分量振幅的相对大小。
b.各频率分量的实际振幅为
dF |)(| 是无穷小量。
C,具有单位角频率振幅的量纲。
)()(|)(|)(,)( jbaejFjFd j
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)(
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为为 的相位。
的振幅。
)(?jF
)(?jF
)(?jF
且 |)(|?jF 和 )(?a 为? 的偶函数。
)( 和 )(?jb 为? 的奇函数。
补充,复数谱（又称为幅相频谱）
复数谱的图形通常用横轴表示实部，纵轴表示虚部。频率作为参变数，给定一个频率值，便可得到曲线上一点。
设
t
Te
T
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T
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a
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T
a
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2()(]2
1)([ KbKa
三,非周期信号的频谱分析 ----傅立叶变换
1.由傅立叶级数到傅立叶积分
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1,
2 nd
T
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)(
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1
)(
反变换正变换
2.几点说明：
a.正变换给出了非周期信号的频谱的数学表达式。
时间函数 f(t)可以表示为频率在区间 )(
内的指数函数的连续和。
傅立叶变换提供了信号的频率描述和时间描述之间相互变换的工具。正变换通常叫做分析运算，
反变换通常叫做综合运算。
B.关于连续谱的说明具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。
具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中，每一频率分量包含的能量则为无穷小量。
3.傅立叶积分的三角形式
dtFjdtF
deeFdejFtf tjjtj
)(s i n [|)(|
2
1
)(c o s [|)(|
2
1
|)(|
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非周期信号：
周期信号：
0
)](c o s (|)(|1)(
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n
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周期信号与非周期信号都可以分解为许多不同频率的正弦分量。
对周期信号，是用实际振幅对非周期信号，是用密度函数
nC
)(?jF
作出的。
作出的。
四,傅立叶积分的其他形式
dejFatf
dtetfajF
tj
tj
)()(
)()(
2
1
只要
2
1
21 aa
1,
2
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21
21
aa
aa
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在最近的科技书中比较通用的形式有：
五,傅立叶变换的存在
)(?jF
存在的充分条件：
dttfdttf )(|)(|
dtetfdtetfjF tjtj |||)(||)(||)(|
1|| tje?
由知而
dttfF |)(||)(|?
傅立叶变换存在的充分条件是：
dttf |)(|
存在。
六,周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比
1.它们都具有抽样函数 的形式。
x
xsin
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1
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T
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A,值较 )(?jF 值多乘了
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2
这是由于两者的定义规定的。
B.
nC
nC
中的不连续变量
1?n
在
)(?jF 中变成了连续变量?
C.由非周期脉冲按一定的周期 T重复后构成的周期信号,
)(?jF
和
nC
之间可以互求。
3.非周期信号的频谱也具有收敛性。脉宽的定义方法与周期信号相同。
第三次作业点评,p85,2-18
)(2)(3
)(2)(3)(2)(6
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§ 3.5 § 3.6§ 3.9
作业,p163.
3-15,3-19
预习证明：当全波和半波两个对称条件都满足时，求傅立叶级数的系数只要对四分之一波形积分即可。
（半波对称）
（全波对称）
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