一,求系统单位样值响应（ 1）
一般时域经典方法求 h(n)
将 转化为起始条件，于是齐次解，即零输入解就是单位样值响应 。
在 时，接入的激励转化为起始条件
在 时，接入的激励用线性时不变性来进行计算。
)(n?
)(nh
0?n
0?n
§ 7.5离散时间系统的单位样值响应离散时间系统()n? ()hn
p28.例 7－ 3
)()3()2(3)1(3)( nxnynynyny
三重根
nCnCnCny )1)(()(
32
2
1
齐次解
,0)2(,0)1(,1)0( xxx
,0)2(,0)1(,1)0( hhh
确定初始条件
12321 321 CCC
)()23(
2
1)( 2 nunnnh
1
例 7－ 14
)2(3)()2(6)1(5)( nxnxnynyny
32 21
,0)1(,1)0( hh 3,2 21 CC
只考虑 激励)(nx
)2(3 nx只考虑 激励
)2(]23[3
)2(3)(
11
12


nu
nhnh
nn
利用 LTI
)2()23(3)()23(
)()()(
1111
21


nunu
nhnhnh
nnnn
nn CCnh 32)( 211
)()23()( 111 nunh nn
求系统单位样值响应（ 2）
利用已知的阶跃响应求单位冲激响应 h(n)
例：已知因果系统是一个二阶常系数差分方程，并已知当 x(n)=u(n) 时的响应为：
（ 1）求系统单位样值响应
（ 2）若系统为零状态，求此二阶差分方程
)()10532()( nung nn
设此二阶系统的差分方程的一般表达式为：

2
0
21 )()2()1()(
r
r rnxbnyanyany
解
0212 aa
)()10532()( nung nn
)1()5
5
12
2
2
1
()(14
)1()()(
)1()()(



nun
ngngnh
nunun
nn?

特征根：
52 21
107
)5)(2(
2
21
2





aa
107 21 aa
由 g(n) 求 h(n)
)1()10532()1( 11 nung nn
)2()1()()2(10)1(7)( 210 nbnbnbnhnhnh
11114101376262)(2
85139813)1(1
1414)0(0
3
1
0



bnhn
bhn
bhn
)1()5
5
122
2
1()(14)( nunnh nn?
62)2(13)1(14)0( hhh
)2(111)1(85)(14
)2(10)1(7)(


nxnxnx
nynyny
二,根据单位样值响应分析系统的因果性和稳定性
因果性：输入变化不领先于输出变化必要条件
稳定性：输入有界则输出必定有界充分条件
0)(0 nhn

n
nh )(
n
4 0,7 2
1,( ) ;
2,( 5 ) ;
6,2 ( ) ;
7,3 ( ) ;
n
p
n
n
un
un
因果，稳定因果，稳定
3,( n + 4 ) ; 非因果，稳定
4.2u(n); 因果，非稳定
5.u(3-n); 非因果，不稳因果，不稳定非因果，稳定
287:40?p
( ) ;
9,0,5 ( ) ;
( ) ;
( ) ;
1
1 2,( ) ;
!
n
n
un
un
un
un
n
n
5
n
8,2 G 因果，稳定因果，稳定
10.0.5 非因果，不稳定
1
11,因果，稳定
n
因果，稳定因果，不稳定);(1.11 nun
例：已知某系统的问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？
)()( nuanh n?
是因果系统





a
a
a
a
a
nuanh
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
)()(
1
有界稳定发散不稳定
0)()(0)(0 nuanhnun n?
例
)2(3)1(2)()1(
5
1)( nxnxnxnyny
求系统单位样值响应 h(n)
判断系统稳定性解：
2)
5
1()(
5
1 nCnh n?
66
25
66)2(
5
9)1(,1)0( Chhh
)2(
5
166)1(
5
9)()(?

nunnnh
n


20
)2.0(66
5
91)(
n
n
n
nh
稳定系统


0
0
)()()(:
)()()(:
j
jkhjekyL D T I S
dthetyL T I S
单位取样序列之和：
加权，移位的任意序列都可以表示为?


j
jkjxkx )()()(?
§ 7.6.卷积和
k
)(k?
0
LDTIS
LDTIS
j
k
)( jkc
k
)(kh
j
)( jkch?
)()(
)()(
)()(
jkchjkc
kchkc
khk

二,卷积和的计算
图解法
按公式计算
序列阵表格法
查表法
利用单位序列信号求卷积
利用卷积的性质求卷积
)(),()()()(
,10),()(
..1
nyNnununxnG
anuanh
N
n
求响应即若激励信号为其中是某系统的单位样值响应图解法：例


*
m
)(nh
m
)(mx
P32:例 7－ 15
)( mh?
m
折后得到的。
依纵轴反将是折迭：
)(
)(.1
mh
mh?
)( mnh?
m
得到的。
轴右移沿将是位移：
n
mmh
mnh
)(
)(.2



4
0
)4()()0()4()1()3(
)2()2()3()1()4()0()4(
)4(4.3
m
mhmxhxhx
hxhxhxy
mhn 时相乘：如求和式.5
10
00

Nnaaa
n
m
mn
n
m
mn
)(ny
时00?n
]
1
1
[ 1
)1(

a
a
a
n
n ]
1
1
[ 1?
a
a
a
N
n
n
)(ny
*离散卷积和的动画演示：
2.序列阵表格法 (排表法）
并验证之。不同的方法求卷积和如图所示，试用几种和已知例
)(
)()(:
ky
khkf
)(kf
k0
2
1
1?
*
k0
2
1 2
1
4
)(kh
线上的数值迭加即可。
积，只要将对角所标数的乘积，为求卷与字相应于表示，表中所记录的数边界纵排序列以表示，左面顶端序列以常采用的方法为表格的
)()(
)(
)(
khkf
kh
kf
)(kf
)(kh 2
0 -1
0
2
1 0
000
4 0 -2
2 -1
)(ky 0,4,2,-2,-1
排表法
133 hfy c
)3()2()1()0()( ffffkf
)3(
)2(
)1(
)0(
)(
h
h
h
h
kh
)0()3(
)0()2(
)0()1(
)0()0(
fh
fh
fh
fh
)1()3(
)1()2(
)1()1(
)1()0(
fh
fh
fh
fh
)2()3(
)2()2(
)2()1(
)2()0(
fh
fh
fh
fh
)3()3(
)3()2(
)3()1(
)3()0(
fh
fh
fh
fh
......
)0()2()1()1()2()0()2(
)0()1()1()0()1(
)0()0()0(
fhfhfhy
fhfhy
fhy


102?
120
102?
204?
000
12240
不进位乘法
1,2,2,4,0)(ky
以矩阵相乘的形式出现*
1
2
2
4
0
0
0
1
2
0
20100
02010
00201
00020
00002
1,2,2,4,0)(ky
m
L
L
n
=m
n
).().),(,( nmnLLm?
单位序列卷积法.3
)2()1(2)(*)2()(2)( kkkhkkkf
)2()1(2*)2()(2)( kkkkky
)4()3(2)2(2)1(4 kkkk
之和？是否等于所得序列各项项之和的乘积参与卷积的两序列的各.a
4.
*
查卷积和表 (p34;表 7－ 1）
捡验卷积结果正确与否的方法




kfkf n
k
n
k
nn
k
khkfky
00
1
0
)()()(
3)120)(102(12240
便是正确的。
若与已知条件相符反求和由
)(
),()()(.
ky
khkfkyb
)(*)()(
)()(*)(
1 kykfkh
kykfkh

120
12240102?
000
224?
204?
102?
102?
0
)(kh
4,利用差分性质求卷积(可以证明）
1 2 1 2 1 2( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( )
ii
x n x n x i x n x n x i


＝
12
12
1
0 0 6
( ) [ ( ( ) ( 6 ) ] ; ( ) ( 6 ) ( 1 )
( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ( 6 ) ]
n n n n
i i i i
x n n u n u n x n u n u n
s n x n x n
x i i u i u i i i




已知：
求：
解：
应用杂级数
2
11
1 2 2 22( ) ( )
t t td f d f
f f f d f d
d t d t



)6()]54321()1(
2
1
[)()1(
2
1
)(
)()1(
2
1
.,,321
1



nunnnunnnx
nunnn
n
i
)6(15)]6()()[1(
2
1 nunununn



)()()(*)()(
)1()6()]1()6([)(
2121
2
nxixnxnxns
nnnunuunx
n
i

)1()6()6(15)]6()()[1(
2
1 nnnunununn
)]1()1()[2)(1(
2
1
)]1()([15)]()6()[7)(6(
2
1
{


nununn
nununununn
用函数式计算卷积.5
12( ) ( ) ( )
[ ( ) ( 6 ) ] [ ( 6 ) ( 1 ) ]
m
s n x n x n
m u m u m u n m u n m



( ) ( 6 ) ( ) ( 1 )
( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 1 )
mm
mn
m u m u n m m u m u n m
m u m u m u n m m u m u n m








6
60
1( ) ( 6 ) ( 6 ) ( 7) ( 6 )?
2
n
mm
m u m u n m m n n u n



1
0
1( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )
2
n
mm
m u m u n m m n n u n



6
6
1( 6 ) ( 6 ) [ ( 6 ) ( 7 ) 1 5 ] ( )
2
n
mm
m u m u n m m n n u n



1
6
1[ ( 6 ) ( 1 ) ] [ ( 1 ) ( 2 ) 1 5 ] ( 5 )
2
n
mm
m u m u n m m n n u n



1
( ) ( 6)( 7 ) [ ( 6) ( ) ]
2
15 [ ( ) ( 5 ) ]
1
( 1 ) ( 2)[ ( 1 ) ( 5 ) ]
2
s n n n u n u n
u n u n
n n u n u n



三,卷积和的性质
)(*)()(*)(.1 kekhkhke?交换律：
)(*)()()()(*)()(
:.2
2121 khkekhkekhkeke
分配律
)(*)()(*)()(
)(*)()(*)()(
.4
khkekhkeky
khkekhkeky


卷积和的差分
)](*)([*)()(*)](*)([
.3
2121 khkhkekhkhke?
结合律：
])([*)()(*)]([)(
.4
0




jj
k
j
jhkekhjejy
卷积和的求和
)()(*)(
)()(*)(
)()(*)(
)()(*)(
.5
2121
jjkejkjke
jkejkke
jkejkke
kekke



与单位序列的卷积：
)(*)()(*)(
)(*)()(
)(*)(
)(*)()(*)()(
.6
11
11
jjkhjkekhjke
jkhkejky
jjkhjke
khjkejkhkejky




位移序列的卷积：
3 5 ( p 4 2 )7 －习题
h ( n ):
)(
2
1
)()(
2
1
( n )x ( n ):
求已知 nunyn
n

依次求出页式借助原书解 74)-(736:


)(
.
.
4
1
)0(/)]1()1()2()0()2([)2(
)0(/)]1()0()1([)1(
)0(/)0()0(
nh
xxhxhyh
xxhyh
xyh
)(0
)()
2
1
(
为奇为偶
n
nn