§ 2.7 卷积的性质一,卷积代数
1221.1 ffffl a weco m m u t a t i v
3121321 ][.2 fffffffl a wved i s t r i b u t i
][][.3 321321 ffffffl a wea s s o ci a t i v
*.移不变
321 fffif )()(,03201 ttffttf则二,卷积的微分和积分
1.两函数相卷积后的导数等于两函数之一的导数与另一函数相卷积,
dt
df
ff
dt
df
ff
dt
d 2
12
1
21 ][
2.两函数相卷积后的积分等于两函数之一的积分与另一函数相卷积,
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tt
)(*][ 2121
df
dt
fd
df
dt
df
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)()( 2
2
1
2
2
1
21
3.推广
)()()(,)()(2)(1 tstftf nmnm则三,奇异信号的卷积特性
)()()(.1 tfttf
)()()( 00 ttftttf
)()()( 1001 tttfttttf
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)()()(.2 ttt
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t
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5.推广,)()()( )()( tfttf kk
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相当于微分运算 )()()( ' tfttpf?
)()()(1 tftutfp
相当于积分运算
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)()()()()()( '''' ttutfttuttftf
四,例题：
1.P85.2-19(a) 1
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1 2 3 t
f2(t)
-2 2
t
解：
dttfff )]2()2()[(121
)2()2( 11 tftf
2
1-1 3 54-5 -3
f1*f2
用 P67-68图 2－ 17示例解如下例题：
2
a
f1(t)
t
1
f2(t)b
t
解,
2'1 ff
2)]1()([ ftAtA
)1()( 22 tAftAf
)(1' tf
1 2 3?
21.2 ff?计算
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2
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3.计算下列函数的卷积结果,并化出波形,
...
2 3 5?
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4.P85.2-19(b)
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1
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1－
方法二,用微分积分性质
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d
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条件为
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注意积分常数的问题。
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)()1(11
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t
t
t
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＝
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321 thdcbthth
tha
响应所示，求子系统的冲激分别为和系统的个子系统组成，已知总线性时不变系统是由三图示
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)(3 th
)(2 th
)(t? )(th
(a)
2
54
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10
(b)
1
)(1 th
40
(c) 0
)(2 th
1
1
2
(d)
)]()([)()(
)(
321 thththth
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可知，系统的总响应为解：由图也应为矩形波为一炬形波为一梯形波，而因
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32
1
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thth
2
1
)]1()([2)()( 32 tututhth
)]2()1()[1()]1()()[2(
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)()]1()([2)( 23
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tututtututtutu
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)(3 th
1
1
2
2
此题的关键是利用了两个不同宽度的矩形波的卷积结果是梯形波。
6.线性系统如图所示,它由几个子系统组成,已知部分子系统的冲激响应为
)1(2)(),1()( 21 tthtth
若整个系统对 sintu(t)的零状态响应如 (b)
所示,求子系统的冲激响应 h3(t)。
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2121
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证明：
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令对上式交换积分次序得
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21
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＝
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342
2
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证明 2;
t1
t2
时：tttb 31,
t1
t3 t4
卷积在 t>t1+t3
时开始有值时：tttc 42,
卷积在 t>t2+t4
时又将等于零。
12
1234
3142
)()(
)()(
tttt
tttt
例 8：利用位移特性及 u(t)? u(t)= r(t),
计算 y(t) = f(t)? h(t)。
解,y(t) = f(t)? h(t) = ( u(t)? u(t-1) ) * ( u(t)? u(t-2) )
=u(t)? u(t) - u(t-1)? u(t) - u(t)? u(t-2) - u(t-1)? u(t-2)
= r(t)? r(t?2) – r(t?1) + r(t-3)
)( tf
t
10
1
)( th
t
20
1
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t
20
1
1 3
t t?3
第二次作业点评,p84.2-14
)(tf
0 1
1
t
)(tf
0 1
1
t
0
1
1
t
2
)(ts
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21
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tstftf
则若
)(ts
434
322
420
tt
tt
tt差别：第二小题就是把第一小题的卷积结果向右平移两个单位。
预习第六章前四节和第三章前两节作业,2－ 12； 2－ 18
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f2(t)
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1f
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四,例题：
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解：
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用 P67-68图 2－ 17示例解如下例题：
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3.计算下列函数的卷积结果,并化出波形,
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2 3 5?
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响应所示，求子系统的冲激分别为和系统的个子系统组成，已知总线性时不变系统是由三图示
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可知，系统的总响应为解：由图也应为矩形波为一炬形波为一梯形波，而因
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此题的关键是利用了两个不同宽度的矩形波的卷积结果是梯形波。
6.线性系统如图所示,它由几个子系统组成,已知部分子系统的冲激响应为
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若整个系统对 sintu(t)的零状态响应如 (b)
所示,求子系统的冲激响应 h3(t)。
h2(t)
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(b) b
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令对上式交换积分次序得
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时开始有值时：tttc 42,
卷积在 t>t2+t4
时又将等于零。
12
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例 8：利用位移特性及 u(t)? u(t)= r(t),
计算 y(t) = f(t)? h(t)。
解,y(t) = f(t)? h(t) = ( u(t)? u(t-1) ) * ( u(t)? u(t-2) )
=u(t)? u(t) - u(t-1)? u(t) - u(t)? u(t-2) - u(t-1)? u(t-2)
= r(t)? r(t?2) – r(t?1) + r(t-3)
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第二次作业点评,p84.2-14
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预习第六章前四节和第三章前两节作业,2－ 12； 2－ 18
h(t)f(t) hf? f(t))(th fh?
f2(t)
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