理想取样信号的拉普拉斯变换
Z变换定义
Z变换的收敛域
常用序列的 Z变换
Z变换的性质
Z反变换本章要点 (1)
Z变换的基本概念和基本性质
利用 Z变换解差分方程
离散系统的系统函数
离散系统的频率响应
数字滤波器初步本章要点 (2)
求序列的 Z变换－利用 Z变换的定义，借助 Z变换的性质，或采用幂级数展开法
逆 Z变换的确定－围线积分法（留数法）
部分分式法，幂级数展开法（长除法）。注意在不同形式收敛域下逆变换的求法。
掌握 Z变换的主要性质，特别是位移性和卷积定理
由连续信号的拉氏变换求离散（抽样）信号的 Z变换； S平面与 Z平面的映象关系
离散系统的系统函数，单位样值 (冲激 )响应及频率响应 (意义，特点及求法 )
离散系统的构成
§ 8.1引言
*借助抽样信号的拉氏变换引出 Z变换

0
)()()().()(
n
Ts
nTtnTxttxtx
抽样信号的拉氏变换：
dtenTtnTxdtetxtx
st
n
st
ss


0
0
0
)()()()(?
对上式取拉氏变换：
交换积分与求和次序：
sT
n
n
sT
n
s n T
s
ezznxzx
z
T
sezenTxsx


0
0
)()(
ln
1;)()( 或令
）的生成函数（
相应的值数值。数为的系一般为复变数，每一项
，级数（洛朗级数的特例的一个幂变换为的列定义：一个离散时间序
n
znx
nx
Z
ZZnx
)(
)(
)
)(
1
1?T令：
sze?
*,典型序列的 Z变换 (p375附录 5）
单位样值序列
单位阶跃序列
斜变序列
指数序列
正弦余弦序列
§ 8.2.Z变换定义，典型序列的 Z变换

0
)()(:
n
nznxzX单


n
nznxzX )()(:双
)0(1)()]([)1(
0

zznnZT
n
n 0
()
( 2 ) [ ( ) ] ( )
( ) ( 6 3,
( 0 0,)
( 0,0 )
n
n
r m m
rm
ZT n m n m z
r z z p
mz
mz







位移性）
)0(
0
)1()1()]1([)3(
1
0
1




z
zz
znznnZT
n
n
n
n

不然级数发散此级数存在
1
00
1[ ( ) ] ( ) ( 1 )
11
nn
nn
zZ T u n u n z z z
zz





2
0
21 )1()1(
1)()]([

z
z
z
znnunnuZT
n
n
)(
1
1)]([
1
0
az
az
z
az
zanuaZT n
n
nn?

1z? -1将上式两边分别对 求导后，两边各乘z 得
Z由此可以看出变换的基本形式：
mzz
z
正弦序列的 Z 变换,
0
0
0
0
00
00
0
0
2
0
[]
[]
[ s i n ] [ ( ) / 2 ]
( ) / 2
sin
2 c os 1
jn
j
jn
j
j n j n
jj
z
Z T e
ze
z
Z T e
ze
Z T n Z T e e j
zz
j
z e z e
z
zz






1c o s2
)c o s(
2/)(
]2/)[(][ c o s
][
][
0
2
0
0
00
00
0
0
0
0




zz
zz
ez
z
ez
z
eeZTnZT
ez
z
eZT
ez
z
eZT
jj
njnj
j
nj
j
nj
余弦序列的 Z 变换,
)(
c o s2
)c o s(
2/)(
]2/)([]c o s[
][
][
2
0
2
0
0
00
00
0
0
0
0








z
zz
zz
ez
z
ez
z
eeZTnZT
ez
z
eZT
ez
z
eZT
jj
njnjnn
j
njn
j
njn
例
§ 8.3 Z变换的收敛域 (p49)
一,Z变换的收敛域

0
)(
n
nznx
1.根据级数理论
2.借助于 S平面与 Z平面的映射
3.几类序列 Z变换的收敛域双边序列左边序列右边序列有限长序列
4.例子：

n
n
n a
a 1
lim* 比项法：设不能肯定。
级数发散。
级数收敛。
,1
,1
,1


n n
n
alim
)(*
设：
柯西准则捡根法不能肯定。
级数发散。
级数收敛。
,1
,1
,1
是收敛半径。之范围，这里于变换存在时是指数阶的，则它的且当有限的在每个有限的间隔内是如果序列
RRz
Zn
nx

)(
，列之间存在着对应关系指数阶函数和指数阶序为指数阶函数。称时都有使所有的和时存在正数当定义：如有一序列
)()(
,)(
nxAanx
Nn
NaAnnx
n


几类序列的收敛域
（ 1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列
21
2
1
)()( nnnznxzX
n
nn
n
收敛域为除了 0和 的整个 平面
z
]Re[z
]Im[zj
)(nx
120 0 0n z n z时,和 时 外，所有z 值都收敛
（ 2）右边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列
1nn?
)(nx

nnznxzX
nn
n
1
1
)()(
1
1
)(l i m
1)(l i m
x
x
n
n
n
n
n
Rz
zRnx
znx



收敛半径圆外为收敛域
1xR
]Re[z
]Im[zj
（ 3）左边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列
2nn?
)(nx
2
2
)()( nnznxzX
n
n
n







22
)()()(
nn
n
mn
nm
m
nm
znxzmxzX
2
)(l i m
1
)(l i m
1)(l i m
1
x
n
n
n
n
n
n
n
R
nx
z
znx
znx





收敛半径圆内为收敛域，
若则不包括 z=0点02?n
2xR
]Im[zj
]Re[z
（ 4）双边序列：只在 区间内，
有非零的有限值的序列
n
)(nx


nznxzX
n
n)()(



0
1
)()()(
n
n
n
n znxznxzX
圆内收敛圆 外 收敛
12 xx RR?
12 xx RR?
有环状收敛域没有收敛域
12 xx RR?
]Im[zj
]Re[z


)(.4
)]8()([)
3
1
()(.3
)1()
3
1
()(.2
)()
3
1
()(.1
,.
nx
nununx
nunx
nunx
Z
n
n
n
极图。并标明收敛域，画出零变换求下列序列的
on
n
n
n
2
0)
3
1
(
例：
)(
3
1)()1( nunx n


右边序列
3
1
3
1
1
1
3
1
)(
10
1


z
z
z
zzX
n
n
3
1
1
xR
3
1 z 3
1
1
xR
31
]Im[zj
]Re[z圆外为收敛域，
若 n>0
则不包括 z=0点例：
)1(
3
1)()2(

nunx
n左边序列
3
131
1
1)3(1
3
1
3
1
)(
1
0
1
1
1
1






z
z
z
z
zzzX
m
m
m
m
n
mn
n
001
3
1
1)3(l i m
2



zn
Rz
z
x
n
n
n
收敛半径圆内为收敛域，
若则不包括 z=0点0?n
2xR
31
]Im[zj
]Re[z?
例：
)]8()([
3
1)()3(

nununx
n 有限长序列
)(
)(
1
1)(
3
1)(
3
17
8
3
18
1
3
1
81
3
17
0
1





zz
z
z
zzzX
n
n
收敛域为除了 0 和的整个 平面
z
]Re[z
]Im[zj
3
1
3
1
28
3
18
0
)(
8
2
z
z
ez
ez
K
j
kj
8个零点
7阶极点一阶极点
)(kf
0)31(?kk
02?kk
...])
3
1
()
3
1
(
3
1
1[
...])2()2([,,,
)()(
31211
2131






zzz
zz
zkfzF
k
k
解：
双边序列：.4
22lim
212,1)2(lim
1




k k
k
k k
k
z
zzz
Z
或条件是的正幂无穷级数第一项仅含有
3
1
3
1
lim1)
3
1
(lim?



k
k
k
k
k
k
k
zz
Z
或的负幂的无穷级数第二项仅含有
3
1
2)( zzF 的绝对收敛域为
Rez
Imz
的圆环。的绝对收敛域为
3
1
2)( zzF
3
1
2
*.用一可编程序的计算器对一组量测的数据 f(k)进行平均处理。当接到一个量测的数据后，计算器就算出这一结果的平均值。试写出这一运算过程的方程，并写出相当于这一运算过程的转移函数。
)]1()([
2
1
)(
.)(:
kfkfky
ky 则表示计算器的输出设解
)(
2
1)(
2
1)( 1 zFzzFzy
)1(
2
1
)(
)()( 1 z
zF
zyzH
*序列形式与双边 Z变换的收敛域的关系
(p52.表 8－ 1）
§ 8.4-逆 Z变换一,逆 Z变换
1.围线积分法 (留数法） (p55-p56)
2.幂级数展开法 (长除法） (p56-p58)
3.部分分式展开法 (p58-60)
4.(p60-p61)三个逆 Z变换表
§ 8.5 Z变换的基本性质（自学 61-77页）
线性和位移性
序列线性加权（ Z 域微分）
序列指数加权（ Z 域尺度变换）
初值定理和终值定理
时域卷积和 Z 域卷积定理
帕斯瓦尔定理参见下册的 P-73表 8-5
离散时间信号 Z域分析小结
(1)Z变换与拉普拉斯变换的关系。
(2)双、单边 Z变换的定义与适用范围,
双边适用于离散系统综合设计单边大多用于离散系统的分析
(3)Z域分析与其他域分析方法相同,Z变换的性质类似于其他变换。但时移特性，单、双边变换明显不同。
并联形式的结构图。
示系统的建立级联和画出下列系统函数所表.?
573
1053)(
23
23


zzz
zzzzH
21
21
12
2
521
1053
1
1
)52)(1(
)1053(
)(






zz
zz
zzzz
zzz
zH ＝
解：

1?z 1?z
1?z
)(nx )(ny
3
2 5?
5? 10
级联形式的结构图
12
1 1 2
1 3 5 1 0 ( )
()
1 1 2 5 ( )
z z y z
Hz
z z z x z






211
2
2
521
1
1
2
521
2
)(
zzz
zz
z
z
z
zH



2

1?z
1?z
1?z
)(nx
)(ny
5?
2
并联形式的结构图
（一）从 S 平面到 Z 平面的映射
()
1
ln
sT
j T T j T j T
z e s z
T
sj
z e e e z e





§ 8.6 Z变换与拉普拉斯的关系 (p74-p79)
jrez?
S
T Teer s


2
2

j
1 2
zjIm
zRe
1
2
平面的映射平面与 zs
:,变换收敛域小结拉氏变换和 z?
.,
,.1
长序列这对应着时域中是有限平面为有限变换收敛域平面限拉氏变换的收敛域为有
z
zS
.,
,
.2
数或序列这对应着时域的右边函的某园周的外部平面中以原点为园心变换收敛域平面的有限条平行于虚轴直线右侧拉氏变换的收敛域为某
zzS
.,
,
.3
数或序列这对应着时域的左边函的某园周的内部平面中以原点为园心变换收敛域平面的有限条平行于虚轴直线左侧拉氏变换的收敛域为某
zzS
.,.4 变换为环拉氏变换为带 z