§ 5.4 理想低通滤波器
理想低同滤波器的转移函数
理想低同滤波器的冲激响应
理想低通滤波器的阶跃响应
佩利 -维纳准则
)(?jH
c?c
)(
0t?
一,理想低通滤波器响应
)(?jH
为其它值）?
(0
)(1 cc
0)(,)( 0 tjKeHt
dtethH
deHth
tj
tj
)()(
)(
2
1
)(
二,单位冲激响应
I.L.p)(t? )(th
1.h(t)的求取 (p275,5-24)
)(
)(s i n
)(
0
0
tt
tt
th
c
cc
2.说明：
a.波形产生了失真。
b.h(t)的主峰发生在 t=t0处。
c.系统违背了因果律。
)()]([)( 00limlim ttttSath cc
cc
)( th
t
d
t
c
K
c
d
t
c
d
t
)(t?
0
t
L
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22
2
3
2
2
3
3
2
)(
c
c
c
c
j
jH
)0()2 3s i n (
3
2)]([)( 21 ttejHFTth
c
tc c
)(th
c?
c?
2由实际电路组成从 t>=0
开始，物理可实现实例.280p
)(?jH
1
c?c
c?
c
)(
2
1.时域 —— 因果性
2.频域有界能量可积频带内不为零
0)(,0 tht
d
jH
21
)(ln
djH
2
)(
0)(jH
限制了衰减速度三,系统的物理可实现性 — 佩利,维纳准则
.佩利 -维纳准则只是物理可实现系统的必要条件,而不是充分条件。
3.推论,
a.幅度函数 H(jw)在 某些离散频率处,可以是零,但在一有限频带内不能为零。
积分w i e n e rp a l e yjH,0)(
pl,ph,pB,ps,pB,ps.
都是不能实现的,
b.幅度特性不能有过大的 总衰减不能实现。
是允许的。
2
)(
)(
)(
a
a
kejH
kejH
c.I.l.p可以 任意逼进,
高斯幅频特性是否物理可实现？
2)( ejH
2
lim2(2lim
lim
1
1
1
11
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1
)(ln
1
1
2
2
2
22
2
BBtgB
tgd
dd
e
d
jH
BB
B
B
B
发散的，物理不可实现
P311,5-13
c
c
tj
e
......0
.0
)(
)c o s1)(()(:
i
c
i
H
HH?解
)]c o s
2
1
1)(([)]([)( 11?
c
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)]
2
1
)((
2
1
)([1
cc
jj
i
ii eeHHF
))(()]([)( 01 ttSaHFth ccii
)(
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1
)(
4
1
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c
i
c
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))((
4
1
))((
4
1
)((
0
00
c
c
c
c
c
c
c
c
ttSa
ttSattSa
*.理想低通滤波器的幅频特性出现附加调制时,将使冲激响应出现成对回波,若附加调制的幅度很小,则与 ILPF的 h(t)偏离程度并不严重,
四,单位阶跃响应,1.ru(t)的求取：
t
u
t
dhtrdtu )()(,)()(?
积分器 L.I.P
积分器L.I.P
) (t? )(tu )(tru
) (t? )(th )(tru
c
cc
t t
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dddxtx
d
t
t
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)(
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0
0
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)(t?
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2
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0
00
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x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
tr
tt
u
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s in
)(
00
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x
x
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2
1
[)( 0ttSitr cu
2.正弦积分的说明：
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/2
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x
y
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0
0
近于直线。附近，在是奇函数。
处出现极值。在处变号，在的积分，是
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2
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0)0(.
)()()(.
)()(.
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Sic
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t
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0
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d
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r
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波纹。的振荡为为非因果的振荡
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trtr
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uu
c
c
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*.理想低通滤波器响应的动态演示即所示如图器的响应所示系统理想低通滤波已知图,)(,bHa
)(?H
CS
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0
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,
2
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s
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c,下式成立：则对于任意的证明：若
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c
b图响应为理想低通滤波器的冲激证明,
t
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c
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的冲激响应得在利用理想低通滤波器
)(
)(s in
)()(
sc
sccs
k
s kTt
kTtT
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代入上式则若 1;2 cssc T
2/)(
]2/)(s in [)()(
ss
ss
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s kTt
kTtkTxty
可得利用为整数设 2)( sss TmmTt
)(
)(s in)()(
km
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k
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)( )(s in km km km
km
0
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,....2,1,0)()( mmTxmTy ss
倍大于信号最高频率若根据抽样定理 22,
s
s T
成立。条件下：在不是带限信号，则若则且
)()(
2
)()()(
).()(,
2
ss
s
c
s
c
mTxmTy
txtytx
txty
证毕。
p310.5.9 解：由对称性 )(?jH
2
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2
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1
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)(
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接近抽样函数接近矩形
1
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c
c
f
f
波纹的周期数为输出脉冲
G i b bs
f c
.跃响应之差总响应又可视为两个阶跃信号之差，矩形脉冲可视为两个阶波纹的数目。所包含的即为输出脉冲而率想低通滤波器的截止频和理矩形脉冲的宽度输出脉冲的形状取决于现象，所以产生和下降沿的跳变，都会截断效应对于上升沿由于理想低通滤波器的
G ib b s
f
G ib b s
cc
;
例：理想低通对 的响应
可以证明理想低通对 和对 的响应是一样的
)( xSa
)(t
c
t t
c
c
sin
证,
)()( tte
c
)]([)( 0ttSath c)()( tte
)]([)()( 0ttSathtr c
c
t
tte
c
c
sin)(? 对偶性
)(?jE
和 有完全一样的形状，相乘的结果还是,反变换回去还是
e(t),只是多了相移，因为 是有线性相位的
)(?jE )(?jH
)(?jE
)(?jH
)(?jE
)(?jH
)( j
)(
)(s in)(
0
0
tt
tttr
0t
)(tr
*结论
(1)输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波器的相位特性的斜率。
(2)输入信号在通过理想低通滤波器后，输出响应在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的通频带宽度成反比。
(3)理想低通滤波器的通带宽度与输入信号的带宽不相匹配时，输出就会失真。系统的通带宽度越大于信号的带宽，则失真越小，反之，则失真越大。
t
t
t
tx 1 0 0 0c o s
s in
)(
若输入信号制的接收系统如图所示是载波振幅调
).(,0)(
,
tyj 求输出信号位特性其相如图所示低通滤波器的传输函数
L.P.f
X(t)
S(t) y(t) -1 1
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ttts 1000c o s)(
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2
(),
2
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)()(
1
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2
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GtSa
GtSa令
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其它0
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SXtstx
)]2000()(2)2000([
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)]1000()1000([
)]1000()1000([
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t
t
t
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GGG
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1
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)(
2
222
法确定系统频率响应的方*
的确定方法复杂系统五确定由四确定利用三直接法二实验方法一
)(.
)()(.
)()(.
.
.
jH
jHth
jHpH
串联系统
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)(1?jH )2?jH（
)(?jy
)()()( 21 jHjHjH?
)2?jH（
)(1?jH
)(?jE )(?jy
)()()( 21 jHjHjH
并联系统
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)2?jH（
反馈系统
)()(1
)()(
21
1
jHjH
jHjH
非因果和反因果因果性,*
.,
,
,
:
则系统具有因果性入信号值无关而与将来的输前时刻的输入信号值刻以只取决于该时刻和该时信号值出若系统在任何时刻的输因果系统
0t
0tt?
过去时刻
0tt?
将来时刻现在时刻
..
:
有关值还与将来输入信号值号只要某个时刻的输出信非因果系统
..,
:
无关而与过去的输入信号值信号值来的时刻输入只取决于同一时刻及将任一时刻的输出信号值反因果系统
§ 6.7能量谱和功率谱
dttftfR )()()( * dttfR
2
)()0(
deFR j.)(2 1)(
2
dFR
2
)(
2
1)0(
dFdttfR
22 )(
2
1)()0(
帕斯瓦尔定理能量谱 —— 帕斯瓦尔定理
dttf
2
)(
0 t
dF 2)(21
0?
2)(tf
2)(?F
两块阴影的面积 相等能量有限信号平均功率功率有限信号 f(t)
2
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T
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T
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T?
平均功率功率谱
T
F T
T
2
)(
lim)(
功率密度函数
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2
1
平均总功率
0?
)(
例：周期信号 的功率谱，周期为)(tf
1T
)(2)( 1 nFF
n
n
)2()( TT S aG
2
)(
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(
2
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F
T
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T
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T
T
Tn
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T
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lim)( 12
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n nF )(2)( 1
2
维纳 — 欣钦定理
de
T
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l im
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2
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deR j
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一对傅立叶变换
P370.6-20 )(tf
2
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1
t
)(?jH
12-12
*.周期信号的功率
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T
p
T
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)(
)(
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)1 2 73.2 5 0(
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lim
T
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tftfTFT
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T
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n
n? 为奇数为偶数
n
n
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8
.,,,,,0
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0)( 0 Ftf 无直流分量，?
)(2)( 1
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n
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)(
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.,,,,,,,,0
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n
n
n
n
为偶数
)]12()()[12(
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)(
uu
uuH
)]12()([)12(
144
1
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144
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)(
2
22
uu
uuH
*.输出信号的功率谱为,(p523-524)(6-93)
)()()( 2 fr SHS?
)]6()6([
16
2)(:
:),(
,6
2
,
3
.1
4
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H
T
T
其它各次谐波均被滤出故只有基波可通过时当
0)(;0)(,12
2
,
6
.2 21
rS
T
T r当作业,5.25(p314)
预习,5.7-5.11
理想低同滤波器的转移函数
理想低同滤波器的冲激响应
理想低通滤波器的阶跃响应
佩利 -维纳准则
)(?jH
c?c
)(
0t?
一,理想低通滤波器响应
)(?jH
为其它值）?
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二,单位冲激响应
I.L.p)(t? )(th
1.h(t)的求取 (p275,5-24)
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)(s i n
)(
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2.说明：
a.波形产生了失真。
b.h(t)的主峰发生在 t=t0处。
c.系统违背了因果律。
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)( th
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2由实际电路组成从 t>=0
开始，物理可实现实例.280p
)(?jH
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1.时域 —— 因果性
2.频域有界能量可积频带内不为零
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)(
0)(jH
限制了衰减速度三,系统的物理可实现性 — 佩利,维纳准则
.佩利 -维纳准则只是物理可实现系统的必要条件,而不是充分条件。
3.推论,
a.幅度函数 H(jw)在 某些离散频率处,可以是零,但在一有限频带内不能为零。
积分w i e n e rp a l e yjH,0)(
pl,ph,pB,ps,pB,ps.
都是不能实现的,
b.幅度特性不能有过大的 总衰减不能实现。
是允许的。
2
)(
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a
a
kejH
kejH
c.I.l.p可以 任意逼进,
高斯幅频特性是否物理可实现？
2)( ejH
2
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发散的，物理不可实现
P311,5-13
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ttSattSa
*.理想低通滤波器的幅频特性出现附加调制时,将使冲激响应出现成对回波,若附加调制的幅度很小,则与 ILPF的 h(t)偏离程度并不严重,
四,单位阶跃响应,1.ru(t)的求取：
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积分器 L.I.P
积分器L.I.P
) (t? )(tu )(tru
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2.正弦积分的说明：
-?/2
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Sinx/x1
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近于直线。附近，在是奇函数。
处出现极值。在处变号，在的积分，是
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3.Gibbs现象
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时当群延时平均延迟时间预冲和过冲。
波纹。的振荡为为非因果的振荡
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*.理想低通滤波器响应的动态演示即所示如图器的响应所示系统理想低通滤波已知图,)(,bHa
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)(?jH
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b图响应为理想低通滤波器的冲激证明,
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代入上式则若 1;2 cssc T
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可得利用为整数设 2)( sss TmmTt
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)( )(s in km km km
km
0
1
,....2,1,0)()( mmTxmTy ss
倍大于信号最高频率若根据抽样定理 22,
s
s T
成立。条件下：在不是带限信号，则若则且
)()(
2
)()()(
).()(,
2
ss
s
c
s
c
mTxmTy
txtytx
txty
证毕。
p310.5.9 解：由对称性 )(?jH
2
)2(2)2(4.
2
1)]([)( tSatSajHFth
)()(
2
1
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jFtf
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2
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2
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2
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2
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2
uxt
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2
(
2
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2
(
2
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1
)(
tSitSitr
接近抽样函数接近矩形
1
1
c
c
f
f
波纹的周期数为输出脉冲
G i b bs
f c
.跃响应之差总响应又可视为两个阶跃信号之差，矩形脉冲可视为两个阶波纹的数目。所包含的即为输出脉冲而率想低通滤波器的截止频和理矩形脉冲的宽度输出脉冲的形状取决于现象，所以产生和下降沿的跳变，都会截断效应对于上升沿由于理想低通滤波器的
G ib b s
f
G ib b s
cc
;
例：理想低通对 的响应
可以证明理想低通对 和对 的响应是一样的
)( xSa
)(t
c
t t
c
c
sin
证,
)()( tte
c
)]([)( 0ttSath c)()( tte
)]([)()( 0ttSathtr c
c
t
tte
c
c
sin)(? 对偶性
)(?jE
和 有完全一样的形状，相乘的结果还是,反变换回去还是
e(t),只是多了相移，因为 是有线性相位的
)(?jE )(?jH
)(?jE
)(?jH
)(?jE
)(?jH
)( j
)(
)(s in)(
0
0
tt
tttr
0t
)(tr
*结论
(1)输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波器的相位特性的斜率。
(2)输入信号在通过理想低通滤波器后，输出响应在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的通频带宽度成反比。
(3)理想低通滤波器的通带宽度与输入信号的带宽不相匹配时，输出就会失真。系统的通带宽度越大于信号的带宽，则失真越小，反之，则失真越大。
t
t
t
tx 1 0 0 0c o s
s in
)(
若输入信号制的接收系统如图所示是载波振幅调
).(,0)(
,
tyj 求输出信号位特性其相如图所示低通滤波器的传输函数
L.P.f
X(t)
S(t) y(t) -1 1
H(w)
ttts 1000c o s)(
)(2)
2
(),
2
()(, GtSaSatG?解
)()(
1
)(2)(2,2
2
2
GtSa
GtSa令
111
其它0
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2
1)(
22 GGjx
)]1 0 0 0()1 0 0 0([)(S
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2
1)()(
SXtstx
)]2000()(2)2000([
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1
)]1000()1000([
)]1000()1000([
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2
1
222
22
GGG
dzzz
zGzG
t
t
t
ty
GH
GGG
Y
2
s in
)(
)(
2
1
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)]2 0 0 0()(2)2 0 0 0([
4
1
)(
2
222
法确定系统频率响应的方*
的确定方法复杂系统五确定由四确定利用三直接法二实验方法一
)(.
)()(.
)()(.
.
.
jH
jHth
jHpH
串联系统
)(?jE
)(1?jH )2?jH（
)(?jy
)()()( 21 jHjHjH?
)2?jH（
)(1?jH
)(?jE )(?jy
)()()( 21 jHjHjH
并联系统
)(1?jH
)2?jH（
反馈系统
)()(1
)()(
21
1
jHjH
jHjH
非因果和反因果因果性,*
.,
,
,
:
则系统具有因果性入信号值无关而与将来的输前时刻的输入信号值刻以只取决于该时刻和该时信号值出若系统在任何时刻的输因果系统
0t
0tt?
过去时刻
0tt?
将来时刻现在时刻
..
:
有关值还与将来输入信号值号只要某个时刻的输出信非因果系统
..,
:
无关而与过去的输入信号值信号值来的时刻输入只取决于同一时刻及将任一时刻的输出信号值反因果系统
§ 6.7能量谱和功率谱
dttftfR )()()( * dttfR
2
)()0(
deFR j.)(2 1)(
2
dFR
2
)(
2
1)0(
dFdttfR
22 )(
2
1)()0(
帕斯瓦尔定理能量谱 —— 帕斯瓦尔定理
dttf
2
)(
0 t
dF 2)(21
0?
2)(tf
2)(?F
两块阴影的面积 相等能量有限信号平均功率功率有限信号 f(t)
2
2
0
)(
)(
T
T
T t
ttf
tf
)(tf
)(tfT
d
T
F
dttf
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T
T
T
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T
T
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1
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1
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2
2
2
2
T
2
T?
平均功率功率谱
T
F T
T
2
)(
lim)(
功率密度函数
dP )(
2
1
平均总功率
0?
)(
例：周期信号 的功率谱，周期为)(tf
1T
)(2)( 1 nFF
n
n
)2()( TT S aG
2
)(
)(*)
2
(
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F
T
Sa
T
F
n
n
T
n
nT
T
T
Tn
SaFT
T
F
2
)(
lim
)(
lim)( 12
2
2
n
n nF )(2)( 1
2
维纳 — 欣钦定理
de
T
F
dttftf
T
R
j
T
T
T
T
2
*
)(
l im
2
1
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1
l im)(
2
2
)(
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deR j
)()(
一对傅立叶变换
P370.6-20 )(tf
2
T2T?
1
t
)(?jH
12-12
*.周期信号的功率
dttf
T
p
T
T
2
2
2
)(
1
功率密度函数时，当
.,,
)(
)(
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)1 2 73.2 5 0(
)(
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1
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lim
lim
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tftfTFT
pd
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F
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T
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T
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2
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)(
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4
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c os)(
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0
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0
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n
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T
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t dtntf
T
F
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T
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4
2
n
n? 为奇数为偶数
n
n
n
.,,
8
.,,,,,0
22?
0)( 0 Ftf 无直流分量，?
)(2)( 1
2
nF
n
n
)(
)(
64
2
.,,,,,,,,0
14
n
n
n
n
为偶数
)]12()()[12(
12
1
)]()12()[12(
12
1
)(
uu
uuH
)]12()([)12(
144
1
)]()12([)12(
144
1
)(
2
22
uu
uuH
*.输出信号的功率谱为,(p523-524)(6-93)
)()()( 2 fr SHS?
)]6()6([
16
2)(:
:),(
,6
2
,
3
.1
4
1
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S
H
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T
其它各次谐波均被滤出故只有基波可通过时当
0)(;0)(,12
2
,
6
.2 21
rS
T
T r当作业,5.25(p314)
预习,5.7-5.11
