§ 7.4常系数差分方程的求解迭代法时域经典法离散卷积法：利用齐次解得零输入解，再利用卷积和求零状态解。
变换域法（ Z变换法）
状态变量分析法一求解差分方程的迭代法和经典法
迭代法当差分方程阶次较低时常用此法
)()(
)()1()(
0.)2()1()2(2
0)1()0()1(1
1)(0)0()1()0(0
)()()()1()(
2
nuany
anxnaynynn
aaaxayyn
aaxayyn
nxayyn
nnxnxnayny
n
n
时域经典法差分方程特征根,有 N个特征根齐次解：
非重根时的齐次解
L次重根 时的齐次解
共轭根 时的齐次解
M
r
r
N
k
k rnxbknya
00
)()(
0)(
0
knya
N
k
k k
n
k
N
k
kCny
0
)(
n
k
kl
l
k
l nCny?
1
)(
nn jCjC )()( 21
齐次解的形式
(1) 特征根是不等实根 r1,r2,?,rn
(2) 特征根是等实根 r1=r2=? =rn
(3) 特征根是成对共轭复根
knnkkh rCrCrCky2211][
knnkkh rkCkrCrCky 121][
02,1 jejbar?
0201 s i nc o s][ kCkCky kkh
特解：（参考 p20最后一段 )
自由项为 的多项式则特解为
自由项含有 且 不是齐次根,则特解
自由项含有 且 是单次齐次根，
则特解
自由项含有 且 是 K次重齐次根则特解
1121 kkk DnDnD?
kn
na nDa
na
a
a
na a
n
k
kk aDnDnD )(
1
1
21?
naDnD )( 21?
特解：
自由项为 正弦或余弦表达式则特解为
是差分方程的特征方程的 m次重根时,
则特解是
0201 c o ss i n)( nDnDnD
k
k
kk nDnDnD )(
1
1
21?
kn
完全解 =齐次解 +特解代入边界条件求出待定系数,于是得到完全解的闭式
iC
下面对上次课讨论的 p39,7-22题的差分方程进行求解元代入方程将代入方程：将特解
＋解：特征方程为
73.142]10)003.1(06.10[
003.0
1
)12(
12;003.0
10
)1)(
10
20()(
10
2020)0(
10
)1()(
10
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n
n
n
n
y
na
a
a
a
ny
a
cy
a
acny
a
D
DaDD
Dacny
nxa
a
2 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件 y[0]=0,y[1]=?1,输入信号 f[k]=2k u[k]，求系统的完全响应 y[k]。
特征根为齐次解 yh[k]
解 (1)求齐次方程 y[k]?5y[k?1]+6y[k?2] = 0的齐次解 yh[k]
特征方程为
][]2[6]1[5][ kfkykyky
0652 rr
3,2 21 rr
kkh CCky 32][ 21
2) 求非齐次方程 y[k]?5y[k?1]+6y[k?2] =f[k] 的特解 yp[k]
解得 C1=?1,C2= 1
由输入 f [k]的形式，设方程的特解为将特解带入原微分方程即可求得常数 A=?2。
3) 求方程的全解
0,2][ kAkky kp
0,232][][][ 121 kkCCkykyky kkkph
0]0[ 21 CCy
1232]1[ 21 CCy
0,232][ 1 kkky kkk
讨论
1) 若初始条件不变，输入信号 f[k] = sin?0
k u[k]，则系统的完全响应 y[k]=？
2) 若输入信号不变，初始条件 y[0]=1,y[1]=1,
则系统的完全响应 y[k]=？
经典法不足之处
若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。
若激励信号发生变化，则须全部重新求解。
若初始条件发生变化，则须全部重新求解。
这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。
二,离散时间系统的转移算子：
1.定义
a.E算子：又称超前算子,它表示将序列向前（向左）移一位的运算。
等等。
。（向右）移一位的运算表示将序列向后算子：又称迟后算子；
即：
),..2()(
1
)1()(
1
.
1
.
)()(
....)2()(
)1()(
2
2
kyky
E
kyky
E
E
b
nkykyE
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kykEy
n
)()()()(
)(
1
)(
)(
1
.
)()1()2()()(;)(
)(.
01
01
2
kfkyEDkf
ED
ky
ED
d
kyakyakykyEN
aEaEEN
ENc
子。算子：又称广义迟后算则：
子。如算子：又称广义超前算
2.离散系统的算苻方程式
)(
...
...
)(
)()(
)()(.
01
1
1
01
1
1
0 0
00
kf
aEaEaEa
bEbEbEb
ky
rnxbknya
rnxbknyaa
n
n
m
n
m
m
m
m
N
k
M
r
rk
M
r
r
N
k
k
后向：
前向：
b.因果系统和非因果系统对于差分方程来说，激励的最高序号不能大于响应函数的最高序号，即 m<n,否则系统为非因果系统。
Ef(k) Y(k)=f(k+1)
c.递归系统和非递归系统
)()1()(
)1()()(
kbekayky
kaykbeky
存在着输出对输入的反馈（递归）
b?
-a
e(k) Y(k)
Y(k-1)
1?E
1b?
0b
)(ke )1(?ke )(ky
非递归系统反馈。
存在输出对输入的输出只与输入有关，不
)()()()()(
)1()()(
1
10
10
keEbbkeEHky
kebkebky
1?E
三,离散系统的零输入响应
0)(...)1()(
0)(
01
kyankyanky
kf
n
0)()..,0111 kyaEaEaE nnn（
应用移序算子
...1)1(;2)0(
0)(2)1(3)2(
rizyy
kykyky
的例题求：
0)1)(2(0)23
0)()23(
2
2
EEEE
kyEE
（
的特征方程为：解：
1
2
2
1
12)1(
2)0(;)1()2()(
21
21
21
ccy
ccy
ccky
kk
由起始条件
5
3
2
1
c
c
0;)1(5)2(3)( kky kk
1)0();()1(3)( ynunyny
差别：起始样值和初始样值的分方程的解法和用下面的例子来说明差表示。具有的一组样值，用加入以后系统已初始样值：在激励信号表示。具有的一组样值，用加入以前系统已起始样值：在激励信号
)(
)(
ny
ny
riz,.?
rc.?
rcnyny
nynyn
nynyn
n
.),()(
)()(0
)()(0
0
再求系统求出用迭代法由时，但：
时，则：
时接入在对于因果系统，若激励
*下面结合本例说明把初值 y(0)分别理解为起始和初始样值时求解差分方程的具体过程。方法一,迭代法
nn
nyny
yyn
yyn
yyn
nnyny
yy
3)
3
1
()1(
3
1
)(
....)
3
1
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3
1
)3(:2
)
3
1
()1(
3
1
)2(:1
3
1
)0(
3
1
)1(:0
0;0)1(3)(
1)0()0(.1
3
2
时，用迭代法当应满足方程若
3
1
)1()1(
)()1(3)(0
yy
nunynyn
因果性；
时，当
.....,
23331311)3(
67)]231(31[31)2(3)3()3(
22)231(31)1(3)2()2(
7231)0(3)1()1(
211)1(3)0()0(
22
y
yuy
yuy
yuy
yuy
：由以上两式用迭代法得
)13.5(
2
13.23...331)( 12
nnnny
)()13.5(
2
1)1(3)( nununy nn
时：；时：由迭代法求得为初始样值；则若
00)(0
1)0(.2
nnyn
y
)()13(
2
1
3...331)(
......
13331)1(3)2()2(
431)0(3)1()1(
1)1(3)0()0(
12
2
nuny
yuy
yuy
yuy
nn
)(
2
1;
2
1
13
3)()1(3)(
nuDDDDD
nunyny
；得为
，设特解的特征根为方法二：经典法
5
2
2)0(
)0(1)0(.1
)()
2
1
3.()(
cy
yy
nucny
n
代入上式得出由不满足上式为若把完全解：
)()
2
13
2
5()( nuny n
ncnyn 3.)(0 时，方程的解为当
)1(3)(0
3
1
)1()1(
nunyn
yy
n时，
由系统的因果性，
)()13(
2
1
3)(
3)(
)()13.5(
2
1
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1
nuny
ny
nununy
nn
n
nn
为零输入响应；所以?
z.I.r z.s.r
)()13(
2
1
)(
0;
2
3
)()
2
1
3.()(,1)0(.2
1
nuny
nc
nucnyy
n
n
时定出由若线性时不变的特性。
完全解不满足若系统不是零状态，则应由初始样值决定。
决定；完全响零输入响应由起始样值等于零。零状态：系统起始样值结语：
.3
.2
)(.1 ny
已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为 y[?1]=2,y[?2]=?1,y[?3]= 8，
求系统的零输入响应 yx[k]。
[解 ] 系统的特征方程为
][]3[5.0]2[]1[5.0][ kfkykykyky
05.05.0 23 rrr
kjejrr 2
3,21,5.0
系统的特征根为：
kCkCCky kx 2πc o s2πs in)21(][ 321
22]1[ 21 CCy
14]2[ 31 CCy
88]3[ 21 CCy
0,2πc o s5)21(][ kkky kx
变换域法（ Z变换法）
状态变量分析法一求解差分方程的迭代法和经典法
迭代法当差分方程阶次较低时常用此法
)()(
)()1()(
0.)2()1()2(2
0)1()0()1(1
1)(0)0()1()0(0
)()()()1()(
2
nuany
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aaxayyn
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n
n
时域经典法差分方程特征根,有 N个特征根齐次解：
非重根时的齐次解
L次重根 时的齐次解
共轭根 时的齐次解
M
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k
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1
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齐次解的形式
(1) 特征根是不等实根 r1,r2,?,rn
(2) 特征根是等实根 r1=r2=? =rn
(3) 特征根是成对共轭复根
knnkkh rCrCrCky2211][
knnkkh rkCkrCrCky 121][
02,1 jejbar?
0201 s i nc o s][ kCkCky kkh
特解：（参考 p20最后一段 )
自由项为 的多项式则特解为
自由项含有 且 不是齐次根,则特解
自由项含有 且 是单次齐次根，
则特解
自由项含有 且 是 K次重齐次根则特解
1121 kkk DnDnD?
kn
na nDa
na
a
a
na a
n
k
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1
1
21?
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特解：
自由项为 正弦或余弦表达式则特解为
是差分方程的特征方程的 m次重根时,
则特解是
0201 c o ss i n)( nDnDnD
k
k
kk nDnDnD )(
1
1
21?
kn
完全解 =齐次解 +特解代入边界条件求出待定系数,于是得到完全解的闭式
iC
下面对上次课讨论的 p39,7-22题的差分方程进行求解元代入方程将代入方程：将特解
＋解：特征方程为
73.142]10)003.1(06.10[
003.0
1
)12(
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10
)1)(
10
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2 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件 y[0]=0,y[1]=?1,输入信号 f[k]=2k u[k]，求系统的完全响应 y[k]。
特征根为齐次解 yh[k]
解 (1)求齐次方程 y[k]?5y[k?1]+6y[k?2] = 0的齐次解 yh[k]
特征方程为
][]2[6]1[5][ kfkykyky
0652 rr
3,2 21 rr
kkh CCky 32][ 21
2) 求非齐次方程 y[k]?5y[k?1]+6y[k?2] =f[k] 的特解 yp[k]
解得 C1=?1,C2= 1
由输入 f [k]的形式，设方程的特解为将特解带入原微分方程即可求得常数 A=?2。
3) 求方程的全解
0,2][ kAkky kp
0,232][][][ 121 kkCCkykyky kkkph
0]0[ 21 CCy
1232]1[ 21 CCy
0,232][ 1 kkky kkk
讨论
1) 若初始条件不变，输入信号 f[k] = sin?0
k u[k]，则系统的完全响应 y[k]=？
2) 若输入信号不变，初始条件 y[0]=1,y[1]=1,
则系统的完全响应 y[k]=？
经典法不足之处
若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。
若激励信号发生变化，则须全部重新求解。
若初始条件发生变化，则须全部重新求解。
这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。
二,离散时间系统的转移算子：
1.定义
a.E算子：又称超前算子,它表示将序列向前（向左）移一位的运算。
等等。
。（向右）移一位的运算表示将序列向后算子：又称迟后算子；
即：
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1
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1
.
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子。算子：又称广义迟后算则：
子。如算子：又称广义超前算
2.离散系统的算苻方程式
)(
...
...
)(
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01
1
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01
1
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kf
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k
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后向：
前向：
b.因果系统和非因果系统对于差分方程来说，激励的最高序号不能大于响应函数的最高序号，即 m<n,否则系统为非因果系统。
Ef(k) Y(k)=f(k+1)
c.递归系统和非递归系统
)()1()(
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kbekayky
kaykbeky
存在着输出对输入的反馈（递归）
b?
-a
e(k) Y(k)
Y(k-1)
1?E
1b?
0b
)(ke )1(?ke )(ky
非递归系统反馈。
存在输出对输入的输出只与输入有关，不
)()()()()(
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1
10
10
keEbbkeEHky
kebkebky
1?E
三,离散系统的零输入响应
0)(...)1()(
0)(
01
kyankyanky
kf
n
0)()..,0111 kyaEaEaE nnn（
应用移序算子
...1)1(;2)0(
0)(2)1(3)2(
rizyy
kykyky
的例题求：
0)1)(2(0)23
0)()23(
2
2
EEEE
kyEE
（
的特征方程为：解：
1
2
2
1
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2)0(;)1()2()(
21
21
21
ccy
ccy
ccky
kk
由起始条件
5
3
2
1
c
c
0;)1(5)2(3)( kky kk
1)0();()1(3)( ynunyny
差别：起始样值和初始样值的分方程的解法和用下面的例子来说明差表示。具有的一组样值，用加入以后系统已初始样值：在激励信号表示。具有的一组样值，用加入以前系统已起始样值：在激励信号
)(
)(
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riz,.?
rc.?
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再求系统求出用迭代法由时，但：
时，则：
时接入在对于因果系统，若激励
*下面结合本例说明把初值 y(0)分别理解为起始和初始样值时求解差分方程的具体过程。方法一,迭代法
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3
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3
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)1(:0
0;0)1(3)(
1)0()0(.1
3
2
时，用迭代法当应满足方程若
3
1
)1()1(
)()1(3)(0
yy
nunynyn
因果性；
时，当
.....,
23331311)3(
67)]231(31[31)2(3)3()3(
22)231(31)1(3)2()2(
7231)0(3)1()1(
211)1(3)0()0(
22
y
yuy
yuy
yuy
yuy
：由以上两式用迭代法得
)13.5(
2
13.23...331)( 12
nnnny
)()13.5(
2
1)1(3)( nununy nn
时：；时：由迭代法求得为初始样值；则若
00)(0
1)0(.2
nnyn
y
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2
1
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......
13331)1(3)2()2(
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nuny
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nn
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2
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1
13
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nuDDDDD
nunyny
；得为
，设特解的特征根为方法二：经典法
5
2
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)0(1)0(.1
)()
2
1
3.()(
cy
yy
nucny
n
代入上式得出由不满足上式为若把完全解：
)()
2
13
2
5()( nuny n
ncnyn 3.)(0 时，方程的解为当
)1(3)(0
3
1
)1()1(
nunyn
yy
n时，
由系统的因果性，
)()13(
2
1
3)(
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2
1
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1
nuny
ny
nununy
nn
n
nn
为零输入响应；所以?
z.I.r z.s.r
)()13(
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2
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n
n
时定出由若线性时不变的特性。
完全解不满足若系统不是零状态，则应由初始样值决定。
决定；完全响零输入响应由起始样值等于零。零状态：系统起始样值结语：
.3
.2
)(.1 ny
已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为 y[?1]=2,y[?2]=?1,y[?3]= 8，
求系统的零输入响应 yx[k]。
[解 ] 系统的特征方程为
][]3[5.0]2[]1[5.0][ kfkykykyky
05.05.0 23 rrr
kjejrr 2
3,21,5.0
系统的特征根为：
kCkCCky kx 2πc o s2πs in)21(][ 321
22]1[ 21 CCy
14]2[ 31 CCy
88]3[ 21 CCy
0,2πc o s5)21(][ kkky kx
