1
§ 6.3信号的正交函数分解
正交矢量
正交函数
正交函数集
帕塞瓦尔定理
2
一、正交矢量矢量,V1 和 V2 参加如下运算,是它们的差，如下式：
eVVcV 2121
1V 1V 1V
2V
2V
2V
eV
eV eV
212Vc 212Vc 212Vc
eV
3
2
21
2
21
1212
.c o s
c o s
V
VV
V
VV
VVc
2
2
21
12
.
V
VV
c?
表示 和 互相接近的程度
1V 2V12c
当,完全重合，则随夹角增大,减小；
当,和 相互垂直
1V 2V 0,0 12 c?
12c
0,90 12 co? 1V 2V
4
yx VVV zyx VVVV
V
V
xV
xV
yV
zV
yV
二维正交集 三维正交集
5
二,正交函数令 则误差能量 最小
)()()( 212121 ttttfctf
dttfctf
tt
t
t
2
2121
21
2 )]()([
)(
1 2
1
0
12
2
dcd?
2?
6
0)]()([
1 2
2121
1212
2
1
dttfctf
ttdc
d t
t
dttftfdttf
dc
d
tt
t
t
t
t
)()(2)(1 2121
1212
22
1
21 0)(2 2212 tt dttfc
解得
2
1
2
1
)(
)()(
2
2
21
12 t
t
t
t
dttf
dttftf
c
7
正交条件若,则 不包含 的分量，则称正交。
正交的条件：
012?c )(1 tf )(2 tf
0)()(
2
1
21
t
t
dttftf
8
正交条件若,则 不包含 的分量，则称正交。
正交的条件：
012?c )(1 tf )(2 tf
0)()(
2
1
21
t
t
dttftf
9
例：
试用 sint 在区间（ 0,2 ）来近似
)2(1
)0(1
)(
t
t
tf
4
1
2 t
0
-
1
4
)(tf
10
解：
td a
td ttf
c
2
0
2
2
0
12
s i n
s i n)(
2
0
)s i n(s i n[1 dttt d t
4?
ttf s i n
4
)(
所以：
11
例：试用正弦 sint 在（ 0,2 ）区间内来表示余弦 cost
显然
2
0
0s i nc o s t d tt
所以
012?c
说明 cost 中不包含 sint 分量，
因此 cost 和 sint 正交,
12
三,正交函数集
n个函数 构成一函数集，
如在区间 内满足正交特性，即
)(),(),( 21 tgtgtg n?
),( 21 tt
)(0)()(2
1
jidttgtgt
t ji
2
1
)(2t
t ii
Kdttg
则此函数集称为正交函数集
13
任意函数由 n个正交的函数的线性组合所近似
)(
)()()()(
1
2211
tgc
tgctgctgctf
n
r
rr
nn
ic
2
1
2
1
2
1 )()(
1
)(
)()(
2
t
t
t
i
i
t
t
i
t
i
i dttgtf
Kdttg
dttgtf
c
由最小均方误差准则，要求系数 满足
14
在最佳逼近时的误差能量
2
1 1
22
12
2 )(1 t
t r
n
r
r Kcdttftt?
21 1)(2tt i dttg dttgtfc
t
t ii
)()(2
1
2
1 1
22
12
2 )(1 t
t
n
r
rcdttftt?
归一化正交函数集：
15
复变函数的正交特性
)()( 2121 tfctf?
2
1
2
1
)()(
)()(
*
22
*
21
12 t
t
t
t
dttftf
dttftf
c
0)()()()(2
1
2
1
2
*
1
*
21
t
t
t
t
dttftfdttftf
两复变函数正交的条件是
16
§ 6.4 用完备正交集，帕塞瓦尔定理
)()(
1
tgctf r
r
r?
2
1 1
22
12
2 )(1 t
t r
n
r
r Kcdttftt?
0lim 2?
n
17
另一种定义：在正交集 之外再没有一有限能量的 x(t)满足以下条件
三角函数集
复指数函数集
)(tg i
21 0)()(tt i dttgtx
ntn 1c o s?
ntn 1s i n?
ntjne 1?
18
*.信号的表示
1.规范量,用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小 (Norm).
n
nxdttx )()(
.2
或摸可积或摸可和
n
N
T
TT
n
nx
N
nx
dttx
T
tx
nxnxdttxtx
)(
12
1
lim)(
)(
2
1
lim)(
)()(,)()(
.3
1
1
11
信号的一阶规范量
19
dttxtx
2
2
)()(
.4 信号的二阶规范量
n
nxnx 22 )()(
N
Nn
N
T
TT
nx
N
nx
dttx
T
tx
2
2
2
2
)(
12
1
lim)(
)(
2
1
lim)(
20
T
T2
t
t
)(1 tf
)(2 tf
相关函数的引入.*
)()( 12 Ttftf
0?xy?
完全线性无关。
21
§ 6.6相关定理
若已知则
证明
)()]([
)()]([
YtyFT
XtxFT
)().()]([ * YXRFT xy?
)()()()(
).()(
.)()()]([
**
*
*
YXdteYtx
dtdetytx
dtedtytxRFT
tj
j
tj
xy
22
自相关函数与幅度谱的平方是一对 FT
2* )()()()]([ XXXRFT
xx
若有 y(t)是实偶函数,也是实偶函数则次时相关定理等与卷积定理
)(?Y
)()()().(
])()([
*
*
YXYX
dtytxFT
去共轭
)( ty
dtyx )()(
变量互换
23
*相关与卷积的比较
dtfftR
dtfftftf
)()()(
)()()()(
2112
2121
)()()( 2112 tftftR
变量置换变量置换两种运算都包含移位，相乘和积分三个步骤，其差别仅在于卷积多了一个折叠的过程
24
周期信号的自相关仍然同周期例,周期余弦 的自相关
tEtx 1c o s)(
对功率有限信号
dttxtxTR T )()(1l i m)(
1
2
11
c o s
2
)](c o s [.c o slim
2
2
E
dttt
T
T
T
同周期
25
).()(),()(;0)(01)(.*
yxxy RRTtxty
txTttx
和试求它们的互相关函数另一信号在其于时间内已知
dttxtyR
dttytxR
yx
xy
)()()(
)()()(
解：
26
27
§ 6.7能量谱和功率谱
dttftfR )()()( * dttfR
2
)()0(
deFR j.)(2 1)(
2
dFR
2
)(
2
1)0(
dFdttfR
22 )(
2
1)()0(
帕斯瓦尔定理
28
能量谱 —— 帕斯瓦尔定理
dttf
2
)(
0 t
dF 2)(21
0?
2)(tf
2)(?F
两块阴影的面积 相等能量有限信号
29
平均功率功率有限信号 f(t)
2
2
0
)(
)(
T
T
T t
ttf
tf
)(tf
)(tfT
d
T
F
dttf
T
P
T
T
T
T
T
T
T
2
2
)(
lim
2
1
)(
1
lim
2
2
2
2
2
T
2
T?
平均功率
30
功率谱
T
F T
T
2
)(
lim)(
功率密度函数
dP )(
2
1
平均总功率
0?
)(
31
例：周期信号 的功率谱，周期为)(tf
1T
)(2)( 1 nFF
n
n
)2()( TT S aG
2
)(
)(*)
2
(
2
)(
1 TnSaFT
F
T
Sa
T
F
n
n
T
n
nT
T
T
Tn
SaFT
T
F
2
)(
lim
)(
lim)( 12
2
2
n
n nF )(2)( 1
2
32
维纳 — 欣钦定理
de
T
F
dttftf
T
R
j
T
T
T
T
2
*
)(
l im
2
1
)()(
1
l im)(
2
2
)(
deR j)(2 1)(
deR j
)()(
一对傅立叶变换
33
例：求周期余弦的功率谱 和自相关)( )(?R
)(tf
)(
c o s)(
11
2
1
tjtjE ee
tEtf
)(?F
1?1
E
)]()([)( 11 EF
1?1
)(
)()(2)( 112 E
)(?R
1
22
c o s
2
][
4
)(
2
1
)(
11
E
ee
E
deR
jj
j
t
34
§ 6.8 激励和响应的功率谱和能量谱
h (t))(te )(*)()( thtetr?
)(?jE )(?jH )()()( jHjEjR?
)( je
2)(?jH2)(?jE
)()(
)()(
)()(
2
22
2
jjH
jEjH
jRj
e
r
响应的能量谱
35
)()(
)(
1
lim)(
)(
1
lim)(
2
22
2
jjH
jE
T
jH
jR
T
j
e
T
T
T
T
r
取一段时间间隔功率有限信号功率谱
36
激励和响应的自相关
)()()()( * jjHjHj er?
)()()()( * jjHjHj er?
)()](*[
)()]([
*?
jHthFT
jHthFT
)(*)(
)(*)(*)()(
he
er
RR
ththRR
37
)(
)(
jH
th
)(te
)(?jE )(
)(
jR
tr
2)(?jH
)(
)(
j
j
e
e
)(
)(
j
j
r
r
)(?hR
)(?eR )(?
rR
38
P370.6-20 )(tf
2
T2T?
1
t
)(?jH
12-12
39
*.周期信号的功率
dttf
T
p
T
T
2
2
2
)(
1
功率密度函数时，当
...
)(
)(
)()(;)(,
)1 2 73.2 5 0(
)(
2
1
2
2
lim
lim
T
F
tftfTFT
pd
T
F
T
T
TT
T
T
40
)(2)(),1303.(253 1
2
nFsp nf
)c os1(
)(
4
c os)
4
(
42
c os)(
2
21
2/
0
2/
0
1
n
n
t dtnt
T
TT
t dtntf
T
F
T
T
n
])1(1[
)(
4
2
n
n? 为奇数为偶数
n
n
n
.,,
8
.,,,,,0
22?
0)( 0 Ftf 无直流分量，?
41
)(2)( 1
2
nF
n
n
)(
)(
64
2
.,,,,,,,,0
14
n
n
n
n
为偶数
)]12()()[12(
12
1
)]()12()[12(
12
1
)(
uu
uuH
)]12()([)12(
144
1
)]()12([)12(
144
1
)(
2
22
uu
uuH
42
*.输出信号的功率谱为,(p523-524)(6-93)
)()()( 2 fr SHS?
)]6()6([
16
2)(:
:),(
,6
2
,
3
.1
4
1
r
S
H
T
T
其它各次谐波均被滤出故只有基波可通过时当
0)(;0)(,12
2
,
6
.2 21
rS
T
T r当
43
*.输出信号的功率谱为
)()()( 2 fr SHS?
)]6()6([
16
2)(:
:),(
,6
2
,
3
.1
4
1
r
S
H
T
T
其它各次谐波均被滤出故只有基波可通过时当
0)(;0)(,12
2
,
6
.2 21
rS
T
T r当
§ 6.3信号的正交函数分解
正交矢量
正交函数
正交函数集
帕塞瓦尔定理
2
一、正交矢量矢量,V1 和 V2 参加如下运算,是它们的差，如下式：
eVVcV 2121
1V 1V 1V
2V
2V
2V
eV
eV eV
212Vc 212Vc 212Vc
eV
3
2
21
2
21
1212
.c o s
c o s
V
VV
V
VV
VVc
2
2
21
12
.
V
VV
c?
表示 和 互相接近的程度
1V 2V12c
当,完全重合，则随夹角增大,减小；
当,和 相互垂直
1V 2V 0,0 12 c?
12c
0,90 12 co? 1V 2V
4
yx VVV zyx VVVV
V
V
xV
xV
yV
zV
yV
二维正交集 三维正交集
5
二,正交函数令 则误差能量 最小
)()()( 212121 ttttfctf
dttfctf
tt
t
t
2
2121
21
2 )]()([
)(
1 2
1
0
12
2
dcd?
2?
6
0)]()([
1 2
2121
1212
2
1
dttfctf
ttdc
d t
t
dttftfdttf
dc
d
tt
t
t
t
t
)()(2)(1 2121
1212
22
1
21 0)(2 2212 tt dttfc
解得
2
1
2
1
)(
)()(
2
2
21
12 t
t
t
t
dttf
dttftf
c
7
正交条件若,则 不包含 的分量，则称正交。
正交的条件：
012?c )(1 tf )(2 tf
0)()(
2
1
21
t
t
dttftf
8
正交条件若,则 不包含 的分量，则称正交。
正交的条件：
012?c )(1 tf )(2 tf
0)()(
2
1
21
t
t
dttftf
9
例：
试用 sint 在区间（ 0,2 ）来近似
)2(1
)0(1
)(
t
t
tf
4
1
2 t
0
-
1
4
)(tf
10
解：
td a
td ttf
c
2
0
2
2
0
12
s i n
s i n)(
2
0
)s i n(s i n[1 dttt d t
4?
ttf s i n
4
)(
所以：
11
例：试用正弦 sint 在（ 0,2 ）区间内来表示余弦 cost
显然
2
0
0s i nc o s t d tt
所以
012?c
说明 cost 中不包含 sint 分量，
因此 cost 和 sint 正交,
12
三,正交函数集
n个函数 构成一函数集，
如在区间 内满足正交特性，即
)(),(),( 21 tgtgtg n?
),( 21 tt
)(0)()(2
1
jidttgtgt
t ji
2
1
)(2t
t ii
Kdttg
则此函数集称为正交函数集
13
任意函数由 n个正交的函数的线性组合所近似
)(
)()()()(
1
2211
tgc
tgctgctgctf
n
r
rr
nn
ic
2
1
2
1
2
1 )()(
1
)(
)()(
2
t
t
t
i
i
t
t
i
t
i
i dttgtf
Kdttg
dttgtf
c
由最小均方误差准则，要求系数 满足
14
在最佳逼近时的误差能量
2
1 1
22
12
2 )(1 t
t r
n
r
r Kcdttftt?
21 1)(2tt i dttg dttgtfc
t
t ii
)()(2
1
2
1 1
22
12
2 )(1 t
t
n
r
rcdttftt?
归一化正交函数集：
15
复变函数的正交特性
)()( 2121 tfctf?
2
1
2
1
)()(
)()(
*
22
*
21
12 t
t
t
t
dttftf
dttftf
c
0)()()()(2
1
2
1
2
*
1
*
21
t
t
t
t
dttftfdttftf
两复变函数正交的条件是
16
§ 6.4 用完备正交集，帕塞瓦尔定理
)()(
1
tgctf r
r
r?
2
1 1
22
12
2 )(1 t
t r
n
r
r Kcdttftt?
0lim 2?
n
17
另一种定义：在正交集 之外再没有一有限能量的 x(t)满足以下条件
三角函数集
复指数函数集
)(tg i
21 0)()(tt i dttgtx
ntn 1c o s?
ntn 1s i n?
ntjne 1?
18
*.信号的表示
1.规范量,用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小 (Norm).
n
nxdttx )()(
.2
或摸可积或摸可和
n
N
T
TT
n
nx
N
nx
dttx
T
tx
nxnxdttxtx
)(
12
1
lim)(
)(
2
1
lim)(
)()(,)()(
.3
1
1
11
信号的一阶规范量
19
dttxtx
2
2
)()(
.4 信号的二阶规范量
n
nxnx 22 )()(
N
Nn
N
T
TT
nx
N
nx
dttx
T
tx
2
2
2
2
)(
12
1
lim)(
)(
2
1
lim)(
20
T
T2
t
t
)(1 tf
)(2 tf
相关函数的引入.*
)()( 12 Ttftf
0?xy?
完全线性无关。
21
§ 6.6相关定理
若已知则
证明
)()]([
)()]([
YtyFT
XtxFT
)().()]([ * YXRFT xy?
)()()()(
).()(
.)()()]([
**
*
*
YXdteYtx
dtdetytx
dtedtytxRFT
tj
j
tj
xy
22
自相关函数与幅度谱的平方是一对 FT
2* )()()()]([ XXXRFT
xx
若有 y(t)是实偶函数,也是实偶函数则次时相关定理等与卷积定理
)(?Y
)()()().(
])()([
*
*
YXYX
dtytxFT
去共轭
)( ty
dtyx )()(
变量互换
23
*相关与卷积的比较
dtfftR
dtfftftf
)()()(
)()()()(
2112
2121
)()()( 2112 tftftR
变量置换变量置换两种运算都包含移位，相乘和积分三个步骤，其差别仅在于卷积多了一个折叠的过程
24
周期信号的自相关仍然同周期例,周期余弦 的自相关
tEtx 1c o s)(
对功率有限信号
dttxtxTR T )()(1l i m)(
1
2
11
c o s
2
)](c o s [.c o slim
2
2
E
dttt
T
T
T
同周期
25
).()(),()(;0)(01)(.*
yxxy RRTtxty
txTttx
和试求它们的互相关函数另一信号在其于时间内已知
dttxtyR
dttytxR
yx
xy
)()()(
)()()(
解：
26
27
§ 6.7能量谱和功率谱
dttftfR )()()( * dttfR
2
)()0(
deFR j.)(2 1)(
2
dFR
2
)(
2
1)0(
dFdttfR
22 )(
2
1)()0(
帕斯瓦尔定理
28
能量谱 —— 帕斯瓦尔定理
dttf
2
)(
0 t
dF 2)(21
0?
2)(tf
2)(?F
两块阴影的面积 相等能量有限信号
29
平均功率功率有限信号 f(t)
2
2
0
)(
)(
T
T
T t
ttf
tf
)(tf
)(tfT
d
T
F
dttf
T
P
T
T
T
T
T
T
T
2
2
)(
lim
2
1
)(
1
lim
2
2
2
2
2
T
2
T?
平均功率
30
功率谱
T
F T
T
2
)(
lim)(
功率密度函数
dP )(
2
1
平均总功率
0?
)(
31
例：周期信号 的功率谱，周期为)(tf
1T
)(2)( 1 nFF
n
n
)2()( TT S aG
2
)(
)(*)
2
(
2
)(
1 TnSaFT
F
T
Sa
T
F
n
n
T
n
nT
T
T
Tn
SaFT
T
F
2
)(
lim
)(
lim)( 12
2
2
n
n nF )(2)( 1
2
32
维纳 — 欣钦定理
de
T
F
dttftf
T
R
j
T
T
T
T
2
*
)(
l im
2
1
)()(
1
l im)(
2
2
)(
deR j)(2 1)(
deR j
)()(
一对傅立叶变换
33
例：求周期余弦的功率谱 和自相关)( )(?R
)(tf
)(
c o s)(
11
2
1
tjtjE ee
tEtf
)(?F
1?1
E
)]()([)( 11 EF
1?1
)(
)()(2)( 112 E
)(?R
1
22
c o s
2
][
4
)(
2
1
)(
11
E
ee
E
deR
jj
j
t
34
§ 6.8 激励和响应的功率谱和能量谱
h (t))(te )(*)()( thtetr?
)(?jE )(?jH )()()( jHjEjR?
)( je
2)(?jH2)(?jE
)()(
)()(
)()(
2
22
2
jjH
jEjH
jRj
e
r
响应的能量谱
35
)()(
)(
1
lim)(
)(
1
lim)(
2
22
2
jjH
jE
T
jH
jR
T
j
e
T
T
T
T
r
取一段时间间隔功率有限信号功率谱
36
激励和响应的自相关
)()()()( * jjHjHj er?
)()()()( * jjHjHj er?
)()](*[
)()]([
*?
jHthFT
jHthFT
)(*)(
)(*)(*)()(
he
er
RR
ththRR
37
)(
)(
jH
th
)(te
)(?jE )(
)(
jR
tr
2)(?jH
)(
)(
j
j
e
e
)(
)(
j
j
r
r
)(?hR
)(?eR )(?
rR
38
P370.6-20 )(tf
2
T2T?
1
t
)(?jH
12-12
39
*.周期信号的功率
dttf
T
p
T
T
2
2
2
)(
1
功率密度函数时，当
...
)(
)(
)()(;)(,
)1 2 73.2 5 0(
)(
2
1
2
2
lim
lim
T
F
tftfTFT
pd
T
F
T
T
TT
T
T
40
)(2)(),1303.(253 1
2
nFsp nf
)c os1(
)(
4
c os)
4
(
42
c os)(
2
21
2/
0
2/
0
1
n
n
t dtnt
T
TT
t dtntf
T
F
T
T
n
])1(1[
)(
4
2
n
n? 为奇数为偶数
n
n
n
.,,
8
.,,,,,0
22?
0)( 0 Ftf 无直流分量，?
41
)(2)( 1
2
nF
n
n
)(
)(
64
2
.,,,,,,,,0
14
n
n
n
n
为偶数
)]12()()[12(
12
1
)]()12()[12(
12
1
)(
uu
uuH
)]12()([)12(
144
1
)]()12([)12(
144
1
)(
2
22
uu
uuH
42
*.输出信号的功率谱为,(p523-524)(6-93)
)()()( 2 fr SHS?
)]6()6([
16
2)(:
:),(
,6
2
,
3
.1
4
1
r
S
H
T
T
其它各次谐波均被滤出故只有基波可通过时当
0)(;0)(,12
2
,
6
.2 21
rS
T
T r当
43
*.输出信号的功率谱为
)()()( 2 fr SHS?
)]6()6([
16
2)(:
:),(
,6
2
,
3
.1
4
1
r
S
H
T
T
其它各次谐波均被滤出故只有基波可通过时当
0)(;0)(,12
2
,
6
.2 21
rS
T
T r当
