2009-7-25 1
欢迎你！
清华园的新主人
2009-7-25 2
2009-7-25 3
微积分
E-mail,
xylu@math.tsinghua.edu.cn
讲课教师 陆小援
Tel,62782327
2009-7-25 4
参考书目：
1.,微积分教程,韩云瑞等清华大学出版社
3.,微积分学习指导,韩云瑞等
4.,大学数学 概念、方法与技巧,
微积分部分 刘坤林等
2.,一元微积分,萧树铁 主编高教出版社清华大学出版社清华大学出版社
2009-7-25 5
作 业
P3 习题 1.1
4(2)(4)(6),7.
P7 习题 1.2 2,5,
P12 习题 1.3 7,9.
预习,P27— 39
2009-7-25 6
答疑时间 地点,
理科楼 数学系 1111
交作业时间,星期一星期五 课后
2009-7-25 7
引言
（一）上大学学什麽？
珍惜时光
三个方面
学会自学尝试研究性的学习方法：
提出问题、研究问题、解决问题注重持续性学习：
有计划地安排学习做人之道,治学之方,健身之术学会向书本、老师、周围学
2009-7-25 8
（二）学数学学什麽？
数学的基本特征抽象性演绎性广泛性
（研究对象）
（论证方法）
（应用）
假设 结论logic
理性思维
2009-7-25 9
关于学习数学的要求
1) 搞清概念，侧重思路。
2) 适当做题，掌握基本。
3) 广泛联想，多方应用。
2009-7-25 10
（三）这个学期学什麽？
一元函数微分利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质极限的直观定义与计算导数与微分的概念与计算微分学应用
一元函数积分不定积分定积分概念与计算积分学应用
简单微分方程
2009-7-25 11
第一讲 函数一、予备知识二、函数概念三、函数的初等性质四、复合函数与反函数五、初等函数
2009-7-25 12
一、予备知识
1,常用的数的集合自然数集有理数集整数集实数集
},,210{ nN,，，?
},,210{ nZ,，，
},{Q 为互质的整数qp
q
p?
}{R 是实数xx?
},{C Ryxiyx 复数集
2009-7-25 13
2,邻域
0,0Rx设
0x0x0x
O
x
),(}{),( 0000 xxxxxxN
000 xxxxx
).,(
}{
0
00
xN
xxxx
记作邻域的称为点数集
邻域的空心点称为数集
0
0
*
0 ),(}0{
x
xNxxx
}{),( 000 xxx
2009-7-25 14
逻辑符号.3
”）全称量词“（?1
”表示“任意的”。,?
例如：,,Rx,。表示“对于任意的实数 x
”）存在量词“（?2
”表示“存在”。,?
例如,）”（且,b,acQc,ba,Qb,a
".c
b,a
有理数之间，存在表示“任意两个有理数
2009-7-25 15
二、函数概念定义：
.RD 为非空数集设?
.
).(,
!,,
上的一个函数在为定义则称记作与之对应实数按确定的规则如果
D
fxfyy
fDx
RDf?:或记
.,,定义域—因变量—自变量— Dyx
存在唯一值域—}),(,{ DxxfyRyy )( Df
)( fR或
2009-7-25 16
函数的两个要素：
2.定义域 D
1.对应规则 f
x
xyxy 2, 与例
12)( 2 xxf例：
表示对应规则 f 12)( 2f
112)1( 2f
1)12(2)12( 2 ttf
1)1(2)1( 2
xx
f
表示的是不同的函数定义域不同，
2009-7-25 17
三、函数的初等性质
1,函数的奇偶性称为奇函数)(),()(,xfxfxfDx
称为偶函数)(),()(,xfxfxfDx
2,函数的增减性
)
f,)x(f)xf
)x(f)x(fxx,Ix,x
（严格单调增函数为单调增函数称）（
21
212121
(?
)
f),)x(f)x(f(
)x(f)x(fxx,Ix,x
严格单调减函数（
为单调减函数称
21
212121
2009-7-25 18
3,函数的周期性为周期函数称 f
)x(f)Tx(fx,T R0
的周期是则称有最小周期若 fTTf,
[注意 ] 并不是所有的函数都有最小周期例如：考察狄里克雷函数
为无理数当为有理数当
x
x
x
,0
,1
)(?
2009-7-25 19
4,函数的有界性定义：
使得对如果存在一个实数,)1( M
,M)x(f,Dx 都有每一个
.上是有上界的在则称函数 Df
使得对如果存在一个实数,)2( N
N)x(f,Dx 都有每一个
.上是有下界的在则称函数 Df
2009-7-25 20
.
,)3(
数有界函称为数既有上界又有下界的函使得对于即存在一个正数,0?M
.)(,MxfDx 成立每一个
[例 ] ),( xeyey xx 和
00),,( xx eex 和有因为
.,
,),(,
无上界有下界上在和所以 xx eyey
2009-7-25 21
[问题 ] 如何定义无界函数？
.,)(
,,0
*
*
上无界在则称函数使得总存在如果对任意的正数
DfMxf
DxM
[例 ]
.),0()0,(1 上是无界的在
x
y
.
),[],(,0
有界的上是在对任意的
则有取对任意的,
2
1,0 *
M
xM
MM
x xx
21
*
11?
x
2009-7-25 22
1x 2x xx
)( xfy?y
o
A
B
凸的（下凸）
5.函数的凸性
2009-7-25 23
y
xo 1x 2xx
凹的（上凸）
)( xfy?
A
B
2009-7-25 24
可表示为如下形式：xxxx,),( 21
,
11
1
21 xk
kx
k
x
可解出
1,1,0 2121 且其中
221121,),( xxxxxx 有则
)0(,
2
1
kk
xx
xx记
,
1
,
1
1
21 k
k
k?
令
2009-7-25 25
弦线 AB的方程为
)()()()()( 1
12
12
1 xxxx
xfxfxfxY?
)()(
,),(
2211
21
xxYxY
xxx
有
121
)()()( 2211 xfxfxY
)()()()( 12211
12
12
1 xxxxx
xfxfxf
2009-7-25 26
.],[
)()()(
.],[,
1
)()()(
,],[,
.],[:)(
22112211
2121
22112211
21
函数上为凹在则称如果函数凸上为在则称都成立和的任意非负实数对于满足不等式如果设函数
baf
xfxfxxf
baf
xfxfxxf
baxx
Rbaxf
（一） 凸性定义：
2009-7-25 27
四,复合函数与反函数定义：
这时在集合的交集非空定义域的与的值域并且和假定给了两个函数
,)(
)(),(
)(
fD
fgRgxgu
ufy
,)}()(),({ 上且 fDxggDxxD
.
)),((
构成的复合函数与这个函数为由则称可以确定一个函数
gf
xgfy?
1,复合函数
2009-7-25 28
例,s i n)(,)()1( xxgueufy u
则有
xexgf s i n))((? ),(x
,)(,)()2( 2xxguuufy
则有
xxxgf 2))(( ),(x
gf?记作
))((:)( xgfxgf即
2009-7-25 29
,1)(,ln)()4( 2 xxguuufy
则有 ),1l n ())(( 2 xxgf
).,1()1,(x
.1)(,a r cs i n)()3( xexguuf
所以,不能构成复合函数 ) ),(( xgf
],1,1[)(fD ),,1()(gR
.)()(gRfD?
因为
2009-7-25 30
2,反函数在函数定义中，要求函数是单值的，即
)()( 2121 xfxfxx
)()(,,2121 xfxfxx 不一定有但是
)()( 2121 xfxfxx如果之间就有如下关系与值域则在定义域 )( DfD
)(,!),( xfyDxDfy 使得
.)(
,)(
的反函数称为函数新的对应关系到个由这是一
xfy
DDf
)()(1 Dfyyfx记作
2009-7-25 31
.
)(
1
1
Dff
Dff
f
的定义域的值域是；的值域的定义域是函数反函数由定义可以知道：
2009-7-25 32
[例 2]
xxfy s i n)(设严格单调则 ]1,1[]
2
,
2
[,f
]1,1[a r c s i n)(1 yyyfx
有反函数
[例 3] ),0(),( xey
是严格单调函数习惯上,记 ),0(ln xxy
),0(ln)(1 yyyfx
有反函数
2009-7-25 33
五,初等函数基本初等函数
（ 2）幂函数
（ 5）三角函数
（ 3）指数函数
（ 6）反三角函数
（ 4）对数函数
（ 1）常量函数
xy?
)0( aay x xey?
)( 常数cy?
xy al o g? xxy el o g:ln
e是无理数
xxxx c o t,t a n,c o s,s i n
xa r cxxx c o t,a r c t a n,a r c c o s,a r c s i n
都是周期函数
2009-7-25 34
初等函数基本初等函数经过 有限次 的四则运算及复合运算所得到的函数,称为初等函数,
双曲函数双曲正弦
)(
2
1s i n h xx eex
双曲余弦
)(
2
1c o s h xx eex
双曲正切
xx
xx
ee
ee
x
xx
c o s h
s i n ht a n h
),(x
2009-7-25 35
反双曲正弦 )1l n (ha r c s i n 2xxx
反双曲余弦 )1l n (ha r c c o s 2 xxx
反双曲正切
x
xx
1
1ln
2
1ha r c t a n
),(x
),1[x
)1,1(x
2009-7-25 36
非初等函数的例子
（ 1）符号函数
.0,1
,0,0
,0,1
s g n
x
x
x
xy
O
y
x
1
1?
xxx s g n?
[注意 ]
2009-7-25 37
（ 2）取整函数
),1(,Zkkxkkxy
25.2?[例如 ] 35.2
O
y
x
1
1?
2 3 4
2?3?
1
2
3
1?
2?
3?
[注意 ]
)(1 Rxxxx
2009-7-25 38
函数表示的其他分类：
（ 1）显函数
（ 2）隐函数
（ 3）参数式函数
)( xfy?
确定的函数由方程 0),(?yxF
确定的函数由参数方程
)(
)(
tyy
txx
2009-7-25 39
]2,0[
s i n
c o s
]1[
t
tby
tax
椭圆：例
0,
)c o s1(
)s i n(
]3[?
a
tay
ttax
摆线：例
a?
a?2
]2,0[
s i n
c o s
]2[
0
0
t
tryy
trxx
圆：例
2009-7-25 40
]2,0[
s i n
c o s
]4[
3
3
t
tay
tax
星形线：例
a
内旋轮线
0,3
2
3
2
3
2
aayx隐函数方程：
欢迎你！
清华园的新主人
2009-7-25 2
2009-7-25 3
微积分
E-mail,
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讲课教师 陆小援
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参考书目：
1.,微积分教程,韩云瑞等清华大学出版社
3.,微积分学习指导,韩云瑞等
4.,大学数学 概念、方法与技巧,
微积分部分 刘坤林等
2.,一元微积分,萧树铁 主编高教出版社清华大学出版社清华大学出版社
2009-7-25 5
作 业
P3 习题 1.1
4(2)(4)(6),7.
P7 习题 1.2 2,5,
P12 习题 1.3 7,9.
预习,P27— 39
2009-7-25 6
答疑时间 地点,
理科楼 数学系 1111
交作业时间,星期一星期五 课后
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引言
（一）上大学学什麽？
珍惜时光
三个方面
学会自学尝试研究性的学习方法：
提出问题、研究问题、解决问题注重持续性学习：
有计划地安排学习做人之道,治学之方,健身之术学会向书本、老师、周围学
2009-7-25 8
（二）学数学学什麽？
数学的基本特征抽象性演绎性广泛性
（研究对象）
（论证方法）
（应用）
假设 结论logic
理性思维
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关于学习数学的要求
1) 搞清概念，侧重思路。
2) 适当做题，掌握基本。
3) 广泛联想，多方应用。
2009-7-25 10
（三）这个学期学什麽？
一元函数微分利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质极限的直观定义与计算导数与微分的概念与计算微分学应用
一元函数积分不定积分定积分概念与计算积分学应用
简单微分方程
2009-7-25 11
第一讲 函数一、予备知识二、函数概念三、函数的初等性质四、复合函数与反函数五、初等函数
2009-7-25 12
一、予备知识
1,常用的数的集合自然数集有理数集整数集实数集
},,210{ nN,，，?
},,210{ nZ,，，
},{Q 为互质的整数qp
q
p?
}{R 是实数xx?
},{C Ryxiyx 复数集
2009-7-25 13
2,邻域
0,0Rx设
0x0x0x
O
x
),(}{),( 0000 xxxxxxN
000 xxxxx
).,(
}{
0
00
xN
xxxx
记作邻域的称为点数集
邻域的空心点称为数集
0
0
*
0 ),(}0{
x
xNxxx
}{),( 000 xxx
2009-7-25 14
逻辑符号.3
”）全称量词“（?1
”表示“任意的”。,?
例如：,,Rx,。表示“对于任意的实数 x
”）存在量词“（?2
”表示“存在”。,?
例如,）”（且,b,acQc,ba,Qb,a
".c
b,a
有理数之间，存在表示“任意两个有理数
2009-7-25 15
二、函数概念定义：
.RD 为非空数集设?
.
).(,
!,,
上的一个函数在为定义则称记作与之对应实数按确定的规则如果
D
fxfyy
fDx
RDf?:或记
.,,定义域—因变量—自变量— Dyx
存在唯一值域—}),(,{ DxxfyRyy )( Df
)( fR或
2009-7-25 16
函数的两个要素：
2.定义域 D
1.对应规则 f
x
xyxy 2, 与例
12)( 2 xxf例：
表示对应规则 f 12)( 2f
112)1( 2f
1)12(2)12( 2 ttf
1)1(2)1( 2
xx
f
表示的是不同的函数定义域不同，
2009-7-25 17
三、函数的初等性质
1,函数的奇偶性称为奇函数)(),()(,xfxfxfDx
称为偶函数)(),()(,xfxfxfDx
2,函数的增减性
)
f,)x(f)xf
)x(f)x(fxx,Ix,x
（严格单调增函数为单调增函数称）（
21
212121
(?
)
f),)x(f)x(f(
)x(f)x(fxx,Ix,x
严格单调减函数（
为单调减函数称
21
212121
2009-7-25 18
3,函数的周期性为周期函数称 f
)x(f)Tx(fx,T R0
的周期是则称有最小周期若 fTTf,
[注意 ] 并不是所有的函数都有最小周期例如：考察狄里克雷函数
为无理数当为有理数当
x
x
x
,0
,1
)(?
2009-7-25 19
4,函数的有界性定义：
使得对如果存在一个实数,)1( M
,M)x(f,Dx 都有每一个
.上是有上界的在则称函数 Df
使得对如果存在一个实数,)2( N
N)x(f,Dx 都有每一个
.上是有下界的在则称函数 Df
2009-7-25 20
.
,)3(
数有界函称为数既有上界又有下界的函使得对于即存在一个正数,0?M
.)(,MxfDx 成立每一个
[例 ] ),( xeyey xx 和
00),,( xx eex 和有因为
.,
,),(,
无上界有下界上在和所以 xx eyey
2009-7-25 21
[问题 ] 如何定义无界函数？
.,)(
,,0
*
*
上无界在则称函数使得总存在如果对任意的正数
DfMxf
DxM
[例 ]
.),0()0,(1 上是无界的在
x
y
.
),[],(,0
有界的上是在对任意的
则有取对任意的,
2
1,0 *
M
xM
MM
x xx
21
*
11?
x
2009-7-25 22
1x 2x xx
)( xfy?y
o
A
B
凸的（下凸）
5.函数的凸性
2009-7-25 23
y
xo 1x 2xx
凹的（上凸）
)( xfy?
A
B
2009-7-25 24
可表示为如下形式：xxxx,),( 21
,
11
1
21 xk
kx
k
x
可解出
1,1,0 2121 且其中
221121,),( xxxxxx 有则
)0(,
2
1
kk
xx
xx记
,
1
,
1
1
21 k
k
k?
令
2009-7-25 25
弦线 AB的方程为
)()()()()( 1
12
12
1 xxxx
xfxfxfxY?
)()(
,),(
2211
21
xxYxY
xxx
有
121
)()()( 2211 xfxfxY
)()()()( 12211
12
12
1 xxxxx
xfxfxf
2009-7-25 26
.],[
)()()(
.],[,
1
)()()(
,],[,
.],[:)(
22112211
2121
22112211
21
函数上为凹在则称如果函数凸上为在则称都成立和的任意非负实数对于满足不等式如果设函数
baf
xfxfxxf
baf
xfxfxxf
baxx
Rbaxf
（一） 凸性定义：
2009-7-25 27
四,复合函数与反函数定义：
这时在集合的交集非空定义域的与的值域并且和假定给了两个函数
,)(
)(),(
)(
fD
fgRgxgu
ufy
,)}()(),({ 上且 fDxggDxxD
.
)),((
构成的复合函数与这个函数为由则称可以确定一个函数
gf
xgfy?
1,复合函数
2009-7-25 28
例,s i n)(,)()1( xxgueufy u
则有
xexgf s i n))((? ),(x
,)(,)()2( 2xxguuufy
则有
xxxgf 2))(( ),(x
gf?记作
))((:)( xgfxgf即
2009-7-25 29
,1)(,ln)()4( 2 xxguuufy
则有 ),1l n ())(( 2 xxgf
).,1()1,(x
.1)(,a r cs i n)()3( xexguuf
所以,不能构成复合函数 ) ),(( xgf
],1,1[)(fD ),,1()(gR
.)()(gRfD?
因为
2009-7-25 30
2,反函数在函数定义中，要求函数是单值的，即
)()( 2121 xfxfxx
)()(,,2121 xfxfxx 不一定有但是
)()( 2121 xfxfxx如果之间就有如下关系与值域则在定义域 )( DfD
)(,!),( xfyDxDfy 使得
.)(
,)(
的反函数称为函数新的对应关系到个由这是一
xfy
DDf
)()(1 Dfyyfx记作
2009-7-25 31
.
)(
1
1
Dff
Dff
f
的定义域的值域是；的值域的定义域是函数反函数由定义可以知道：
2009-7-25 32
[例 2]
xxfy s i n)(设严格单调则 ]1,1[]
2
,
2
[,f
]1,1[a r c s i n)(1 yyyfx
有反函数
[例 3] ),0(),( xey
是严格单调函数习惯上,记 ),0(ln xxy
),0(ln)(1 yyyfx
有反函数
2009-7-25 33
五,初等函数基本初等函数
（ 2）幂函数
（ 5）三角函数
（ 3）指数函数
（ 6）反三角函数
（ 4）对数函数
（ 1）常量函数
xy?
)0( aay x xey?
)( 常数cy?
xy al o g? xxy el o g:ln
e是无理数
xxxx c o t,t a n,c o s,s i n
xa r cxxx c o t,a r c t a n,a r c c o s,a r c s i n
都是周期函数
2009-7-25 34
初等函数基本初等函数经过 有限次 的四则运算及复合运算所得到的函数,称为初等函数,
双曲函数双曲正弦
)(
2
1s i n h xx eex
双曲余弦
)(
2
1c o s h xx eex
双曲正切
xx
xx
ee
ee
x
xx
c o s h
s i n ht a n h
),(x
2009-7-25 35
反双曲正弦 )1l n (ha r c s i n 2xxx
反双曲余弦 )1l n (ha r c c o s 2 xxx
反双曲正切
x
xx
1
1ln
2
1ha r c t a n
),(x
),1[x
)1,1(x
2009-7-25 36
非初等函数的例子
（ 1）符号函数
.0,1
,0,0
,0,1
s g n
x
x
x
xy
O
y
x
1
1?
xxx s g n?
[注意 ]
2009-7-25 37
（ 2）取整函数
),1(,Zkkxkkxy
25.2?[例如 ] 35.2
O
y
x
1
1?
2 3 4
2?3?
1
2
3
1?
2?
3?
[注意 ]
)(1 Rxxxx
2009-7-25 38
函数表示的其他分类：
（ 1）显函数
（ 2）隐函数
（ 3）参数式函数
)( xfy?
确定的函数由方程 0),(?yxF
确定的函数由参数方程
)(
)(
tyy
txx
2009-7-25 39
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椭圆：例
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摆线：例
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圆：例
2009-7-25 40
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3
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星形线：例
a
内旋轮线
0,3
2
3
2
3
2
aayx隐函数方程：
