2009-7-25 1
P129 习题 5.2
1(1),6,9.
P133 习题 5.3
1(3)(6)(9),2(3)(5)(11).
3(3)(7)(9)(10),4(3)(8).
作 业预习,P135— 141
2009-7-25 2
第十三讲 不定积分（一）
一、原函数与不定积分概念二、基本积分表三、凑微分法
2009-7-25 3
一、原函数与不定积分概念
（ 1） 从运算与逆运算看初等数学中加法与减法、乘法与除法、
乘方与开方等，都是互逆的运算。
微分运算是对一个可导函数求导数。
微分运算的逆运算是什麽？
问题：
).()(),(
),(
xfxFxF
xf
的导函数正是使要求这样一个函数已知函数这就是求原函数和不定积分的运算。
2009-7-25 4
)()(
)(
),(
tStv
tv
tSS

求导数：
要求瞬时速度已知运动规律
（ 2） 从物理问题看
)()(),(:
)(
),(
:
tvtStS
tSS
tv


使求原函数要求运动规律已知瞬时速度反问题
2009-7-25 5
.)()(
)()()()(
,),(
.)(
上的一个原函数在是则称或都有使可导函数若另有一个上有定义在区间设
IxfxF
dxxfxdFxfxF
IxxF
Ixf


（一）原函数的定义
.),(
3)()(]1[ 23
上的一个原函数区间在是例

xxfxxF
.)1,1(
1
1
)(a r c s i n)(]2[
2
上的一个原函数区间在是例

x
xfxxF
2009-7-25 6
关于原函数有两个理论问题,
（ a）原函数的存在问题
.)(
,)(
上存在原函数在区间则上连续在区间若函数
Ixf
Ixf
结论,
（ b）原函数的结构问题
.3)(
3)(,
23
23
上的原函数在也是 Rxcx
xcxRc

一个函数若存在一个原函数，
则它必有无穷多个原函数。
2009-7-25 7
IxxfxFCxF )()(])([
.,
)()(,
)()(
为任意常数其中原函数的全体是则原函数上的一个在区间是若
C
xfCxF
IxfxF
[定理 1]
[证 ]
一个原函数上的在是）证明（ IxfCxF )()(1?
原函数上的一个在是 IxfCxF )()(
2009-7-25 8
上的任何一个原函数在是设 IxfxG )()(
Ixxfxf
xFxGxFxG


0)()(
)()(])()([
推论知由拉格朗日中值定理的
IxCxFxG )()(
IxCxFxG )()(即的形式都可以表示为上的任意一个原函数在）证明（
CxF
Ixf
)(
)(2
2009-7-25 9
.
)()(
),()(
上的不定积分在区间称为其原函数的全体则上存在原函数在区间设
I
xfCxF
xFIxf
CxFdxxf )()(
积分变量积分常数积分号
（二）不定积分的定义记作,被积函数
2009-7-25 10
CxFy )( 积分曲线族
x x
y
o
积分曲线
)( xFy?
积分曲线与积分曲线族
2009-7-25 11


0
2
1
0c o s
)(
2
xCx
xCx
xg

0
0s i n
)(
xx
xx
xf设
.)1,0()()2(
)()()1(
点的积分曲线过求的不定积分吗？是问：
xf
xfxg
[例 3]
[解 ] 不是！
处不连续在点因为 0)(?xxg
(1)
2009-7-25 12
的积分曲线族首先要求 )()2( xf


0
2
1
0c o s
)(
2
2
1
xCx
xCx
xG
上的原函数在是若 RxfxG )()(
连续在 0)( xxG
)0()(lim)(lim
00
GxGxG
xx


12 1 CC



01
2
1
0c o s
)(
2
xCx
xCx
xG
分段积分，得
2009-7-25 13
01c o sl i m)0(
0

x
xG
x
又
0
11
2
1
l i m)0(
2
0


x
x
G
x
0)0( G
xxGx s i n)(,0 时当
)()(,),()( xfxGxG 且上可导在于是




01
2
1
0c o s
)(
2 xCx
xCx
dxxf
xxGx )(,0 时当
2009-7-25 14



01
2
1
0c o s
)(
2
xCx
xCx
xGy即的积分曲线族是 )( xf
得令,1)0(,0 Gx 0?C


01
2
1
0c o s
)(
2
xx
xx
xFy
点的积分曲线过是 )1,0()( xf
2009-7-25 15
)())(()1( xfdxxf
dxxfdxxfd )())((
Cxfdxxf )()()2(
Cxfxdf )()(
（三）不定积分的性质
（ 1） 不定积分与微分互为逆运算
2009-7-25 16
dxxgdxxgdxxgxf )()()]()([)3(
dxxfkdxxkf )()()4(
dxxfkxfk )]()([ 2211
dxxfkdxxfk )()( 2211
综合 (3)(4)
（ 2） 线性运算性质
2009-7-25 17
不定积分计算的基本思想：
求不定积分是求导的逆运算导数基本公式 —— 积分基本公式微分法 —— 积分法 反想逆运算怎样计算不定积分？
2009-7-25 18
dxx?)1(
dx
x
1)2(
xdxs i n)3(
xdxc o s)4(
Cx?
1
1
)1(
Cx?ln
Cx c o s
Cx?s in
二、基本积分表
2009-7-25 19
dxa x)5(
dxe x)6(
x d x2s e c)7(
x d x2c s c)8(
s h x d x)9(
c h x d x)10(
Ca
a
x?
ln
1
Ce x?
Cx?ta n
Cx c o t
Cch x?
Csh x?
2009-7-25 20
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
2
2
2
2
1
1
)14(
1
1
)13(
1
1
)12(
1
1
)11(
Cx?a r c s in
Cx?a r c c o s
Cx?a r c t a n
Cxa rc?c o t
Caxaax dx a r c t a n1)15( 22
2009-7-25 21
C
ax
ax
aax
dx?


ln
2
1)18(
22
C
a
x
xa
dx

a r c s i n)16(
22
Cxax
xa
dx

)ln()17( 22
22
Cxxx d x c s cc o tlnc s c)20(
Cxxxdx s e ct a nlns e c)19(
2009-7-25 22
dxxxxx )
11
12(]4[ 23计算例




dx
x
dx
x
dxxdxdxx
2
3
11
12原式
4
2
1 x?
[解 ]
2
2
1 x? x? x2?
x
1? C?
2009-7-25 23

dx
x
x
1
12
]5[ 2
2
计算例
dx
x
x


1
3)1(2
2
2
原式
dx
x
dx

1
1
32 2
Cxx a r c t a n32
[解 ]
2009-7-25 24
dxxx 22 c o ss i n
1]6[ 计算例
dx
xx
xx

22
22
c o ss i n
c o ss i n
原式
dx
x
dx
x
22
s i n
1
c o s
1
Cxx c o tt a n
[解 ]
2009-7-25 25
）（目标是积分基本公式形再分项通过代数或三角恒等变直接分项小结：
x d x
dx
xx
2
22
t a n)2(
)1(
1
)1(
练习题：
dx
xx
xx


)1(
)1(
22
22
dxx )1( s e c 2
2009-7-25 26
5c o s dxx问：
cxxdxdxx 5s i n
5
1)5(5c o s
5
15c o s
ux?5视
cxdxx s i nc o s
cuduu s inc o s或利用微分形式不变性
)5(5c o s)5( s i n xdxxd? dxxd 5)5(?
2009-7-25 27
则可微且设,)(,)()( xucuFduuf
cxFdxxxf )]([)()]([
三、凑微分法定理 1：（凑微分法）
[证 ] 利用微分形式不变性
)]([)]([})]([{ xdxFcxFd
duuF )( duuf )(?
dxxxf )()]([
2009-7-25 28
dxxxf )()]([
)]([)]([ xdxf
duuf )(
cuF )(
cxF )]([?
凑微分怎样应用凑微分法？
dxx )(
2009-7-25 29
dx
x 52
1
]1[ 例
)52(
52
1
5
1
52
1
xd
x
dx
x

du
u?

1
5
1
CxCu 52
5
2
5
2
xu 52令
[解 ]
向哪个积分公式凑？
cudu
u
2
1
2009-7-25 30
xdxt a n]2[ 例
xdx
x
dx
x
xdxx s i n
c o s
1
c o s
s i nt a n
du
u?

1
CxCu c o slnln
ux?c o s令
[解 ]
2009-7-25 31
xdxxdx 32 s i n)2(;s i n)1(]3[ 例
dxxxdx
2
2c o s1s i n)1( 2
cxx 2s i n412
[解 ]
)2(2c o s4121 xddx
x d xx s ins in 2? x d x3s i n)2(
)( c o s)c o s1( 2 xdx
Cxx 3c o s
3
1c o s
2009-7-25 32
222222 )3(;)2(;)1(]4[ ax dxxa dxax dx例
])(1[ )()1( 2222 axa axadax dx ca
x
a
a r c t a n1
[解 ]
)1( 2
22
a
xa
dx
c
a
x
a
x
d
a
x

a r c s i n)(
)(1
1
2
22
)2(
xa
dx
2009-7-25 33
22)3( ax
dx
)](1)(1[
2
1 axd
ax
axd
axa


dx
axaxa
)11(
2
1

C
ax
ax
a
Caxax
a

ln
2
1
)ln( l n
2
1
2009-7-25 34
xx
dx
1
]5[ 例
x
xd
1
2原式
x
xd
1
)1(
2
Cx 14
[解 ]
2009-7-25 35
dx
x
x
4c o s4
2s i n]6[ 例
dx
x
xx?
4c o s4
c o ss i n2原式

22
2
)( c o s4
)( c o s
x
xd
Cx )
2
c o sa r c s i n ( 2
[解 ]
2009-7-25 36
xedx1]7[ 例
dx
e
ee
dx
e x
xx
x

1
1
1
1
dx
e
e
dx x
x
1
x
x
e
edx
1
)1(
[解 ]
Cex x )1l n (
2009-7-25 37
xdxc o s]8[ 例
xxddxxxdxx 22 s i n1 )( s i nc o sc o sc o s1
C
x
x?

s i n1
s i n1ln
2
1
C
x
x
c o s
s i n1ln
[解 ]
Cxx t a ns e cln
2009-7-25 38
)ln1(
ln1
12lnln1 xd
x
x?
原式
dx
xx
x?
ln1
2ln]9[ 例
)ln1()ln1( 2
1
xdx
[解 ]
)ln1()ln1()12( l n 2
1
xdx
Cxx 2
1
2
3
)ln1)(12( l n2)ln1(
3
2
2009-7-25 39
dx
xex
x
x
)1(
)1(]10[ 例
dx
xexe
ex
xx
x
)1( )1(原式
)(
)1(
)1( x
xx
xx
xed
xexe
xexe


)1( )( xx
x
xexe
xed
C
xe
xe
x
x
1
ln
[解 ]
2009-7-25 40
)( baxda d x
)(
2
1 2xdxdx?
)( xx eddxe?
)( s i nc o s xdxdx?
)c o s(s i n xdxdx
)( l n
1
xddx
x
)(2
1
xddx
x
)( a r c t a n
1
1
2 xddxx
)( a r c s i n
1
1
2
xddx
x
常用微分公式
2009-7-25 41
)s i n( c o s
2 2?
xx
dx
练习
1
1
4
3
dx
x
xx
练习
Cxx 42 1
2
1a r c s i n
2
1
C
x
t a n1
1
)1(
3 42?
xx
dx
练习
222 121121 xdxxdxxdx
2009-7-25 42
32
32
4?
dxx
x
练习
1
5
2

dx
xx
x
练习
1
16
2 dxe x练习
dx
x
xdx
x
dx
x
x

222 )3(4
3
94
2
94
32
xdxxdxxdxxxx 1)1( 222
dxee
dxe
xx
x
)1( 2