2009-7-25 1
作 业
P137 习题 5.4
1(2)(6)(10),2(4)(13),3.
P142 习题 5.5
1(3)(12),2(3),3(2),7(4),(10).
复习,P135—141
预习,P143—155
2009-7-25 2
第十四讲 不定积分 （二）
一、变量代换法二、分部积分法
2009-7-25 3
dxxf )(
dxxxf )()]([
)( tx令常常遇到相反的情况
)())(( xdxf
dtttf )()]([
一、变量代换法凑微分法难求 ！ 容易求 ！
难求 ！ 容易求 ！
2009-7-25 4
dx
x1
1
][ 求例于是令,,2txtx
dt
t
tdx
x
1
2
1
1 dt
t
t?

1
1)1(2
]
1
1[2 dt
t
dt

Ctt )1ln(2
[解 ]
Cxx )1l n ((2
2009-7-25 5
则有有反函数且若
),(
)(,)()()]([
1 xt
txCtFdtttf



CxFdxxf )]([)( 1?
定理 2：（变量代换法）
[证 ]
dx
dt
dt
dFtF
dx
dcxF
dx
d )(])([ 1?
dt
dxdt
dF 1 )(
)(
1)()]([ xf
t
ttf?


2009-7-25 6
dxeI x 2
1]1[ 求例
[解 ]
22 te x令
),2l n ( 2 tx即
dt
t
tdx
2
2
2
dtt ttI 221 2 dtt 212 2
Ct
2
a r c t a n
2
12
Ce
x

2
2a r c t a n2
2009-7-25 7
dxxI 24]2[ 求例
[解 ]
tx s i n2?令 )22( t
t
tttx
c o s2
c o s2c o s2s i n124 222

td tI 2c o s4 dtt
2
2c o s14
Ctt )2s i n
2
1(2
td tdx c o s2?
2009-7-25 8
改写为将为了作变量回代 I,
CtttI )c o ss i n(2
直角三角形作一个根据代换函数,s i n2 tx?
x
2
24 x?
t
dxxI 24
Cxxx 24
22
a r c s in2
2009-7-25 9
9]3[ 2x
dxI求例
[解 ]
tx t a n3?令
tttx s e c3s e c31t a n39 222
Ctt t a ns e cln

dttdt
t
t
x
dx
s e c
s e c3
s e c3
9
2
2
td tdx 2s e c3?
2009-7-25 10
x
t
3
92?x
3
9s e c 2 xt
1
2
2 33
9
ln
9
c
xx
x
dx


1
2
3
9
ln c
xx

cxx 9ln 2
CttI t a ns e cln
2009-7-25 11
的方法吗？
还有其他问：二次根式去掉根号

)0(,
22
a
ax
dx
I求例如
)t0( ch tax令
dtdts htas htaI 11
“双曲代换” 和,倒数代换”
2009-7-25 12
)0(222 axax
dxI例如：求
)
1
(
1)(
11
212222 x
d
axxax
dx
x?

t
xx 1,0 令时当


dt
ta
t
x
d
ax
I
x 1
)
1
(
1)(
11
22212
c
x
xa
a
cta
a

22
2
22
2
1
1
1
2009-7-25 13
u d vv d uuvd)(
u d vv d uuvd )(
v d uuvu d v
二、分部积分法难求 ！容易求 ！
容易求 ！难求 ！
分部积分公式
2009-7-25 14
dxxe x计算例 ]1[
dvu 和关键：如何正确选择
dvx d xue x,若选择
dxexxedxxe xxx 22
22
则
[解 ]
更难求 ！
dvdxeux x,故选择
dxexedxxe xxx
Cexe xx Cxe x )1(
dxex x2
2
容易求 ！? dxe x
2009-7-25 15
x d xx s in]2[ 2计算例
)( c o ss in 22 xdxxdxx
)(c o sc o s 22 xxdxx
)( s in2c o s2 xxdxx
xdxxxx c o s2c o s2
x d xxxxx s in2s in2c o s2
Cxxxxx c o s2s i n2c o s2
[解 ]
2009-7-25 16
x d xx ln]3[ 计算例
dvx d xux,ln选择
dx
x
uxv 1,
2
2
则
dxxxxxxdxx 12ln2ln
22
于是
dxxxx 21ln2
2
Cxx )ln21(
4
2
[解 ]
2009-7-25 17
xdxx a r c t a n]4[ 计算例
)
2
(a r c t a na r c t a n
2
xxdx d xx
dx
x
xxx?
2
22
12
1a r c t a n
2
dx
x
xxx?

2
22
1
11
2
1a r c t a n
2
Cxxxx a r c t a n
2
1
2
1a r c t a n
2
2
[解 ]
2009-7-25 18
dxx3s e c]5[ 计算例
dxxxdxx 23 s e cs e cs e c
dxxxxx s e c)1( s e ct a ns e c 2
dxxdxxxx s e cs e ct a ns e c 3
)( t a ns e c xdx
dxxxxxx t a ns e ct a nt a ns e c
Cxxxx t a ns e cln
2
1t a ns e c
2
1
[解 ]
出现方程式
dxx3s e c
回归
2009-7-25 19
xdxe x c o s]6[ 计算例
xdexdxe xx s i nc o s
x d xexe xx s ins in
xdexe xx c o ss in
Cxxe x )c o s( s i n
2
1
x d xexexe xxx c o sc o ss in
回归
[解法一 ]
x d xe x c o s
2009-7-25 20
)(c o sc o s xx edxxdxe
x d xexe xx s i nc o s
xx xdexe s i nc o s
x d xexexe xxx c o ss inc o s
Cxxe x )c o s( s i n
2
1
[解法二 ]
2009-7-25 21
)(c o sc o s xx edxxdxe
x d xexe xx s i nc o s
xdexe xx c o sc o s
x d xexexe xxx c o sc o sc o s
x d xe x c o s 出现恒等式问题出在此解法三不可取
！
[解法三 ]
2009-7-25 22
利用分部积分推导递推公式
),2,1(s in]7[ nx d xI nn求积分例
Cxxdx c o ss in
的情形下面讨论 3?n
[解 ]
Cxxxxdx c o ss i n
2
1
2
s i n 2
2009-7-25 23
)c o s(s ins ins in 11 xxdxdxxI nnn
x d xxxnxx nn c o ss inc o s)1(c o ss in 21
dxxxnxx nn )s in1(s in)1(c o ss in 221
x d xnx d xnxx nnn s in)1(s in)1(c o ss in 21
xdxnnxxnI nnn 21 s i n1c o ss i n1 )2(?n
2009-7-25 24
5,4 nn例如：
xdxxxxdx 234 s i n43c o ss i n41s i n
Cxxxxx )c o ss i n(
8
3c o ss i n
4
1 3
]s i n
3
2c o ss i n
3
1[
5
4c o ss i n
5
1 24 xdxxxxx
xdxxxxdx 345 s i n54c o ss i n51s i n
Cxxxxx c o s15 8c o ss i n15 4c o ss i n51 24
2009-7-25 25
nn ax dxI )(]8[ 22求积分例 ),0( Nna
))( 1()()( 1221221221 nnnn axxdax xax dxI
Caxaax dxI a r c t a n1221
dxax xnax x nn )()1(2)( 22
2
122
1221 )( nn ax dxI
dxax aaxnax x nn )( )()1(2)( 22
222
122
[解 ]
nnn IanInax
x 2
1122 )1(2)1(2)(
2009-7-25 26
121222 )22(
32
)()22(
1


nnn I
an
n
ax
x
an
I
2?n例如：
2222222 2 12 1 ax dxaax xaI
得递推公式
C
a
x
aax
x
a

)a r c t a n1(
2
1
222
2009-7-25 27
a x d xxPa x d xxPdxexP nnaxn c o s)(s in)()(
[小结 ]：下列积分可以用分部积分法
xdxxPxdxxPxdxxP nnn a r c t a n)(a r c s in)(ln)(
x d xx d xx d x a r c t a na r c s inln
dxaxxdxax )l n ( 2222
dxxdxbxedxbxe axax 3s e cc o ss in
nnn ax
dx
xdxxdx
)(
c o ss i n 22
2009-7-25 28
dx
e
eI
x
x
a r c t a n]9[ 求例
dt
t
dxtxte x 1,ln 则令
)1(a r c t a n1a r c t a n ttddttt tI
)( a r c t a n1a r c t a n1 td
t
t
t?

dt
tt
t
t

)1(
1a r c t a n1
2
[解 ]
2009-7-25 29
dt
tt
ttt
t
I?

)1(
)1(a r c t a n1
2
22
d
t
tdt
t
t
t
2
1
1a r c t a n1
Cttt
t
)1l n (
2
1lna r c t a n1 2
Cexe
e
xx
x
21lna r c t a n1
2009-7-25 30
dx
x
ex x
2
2
)2(
]10[ 求例
[解 ]
)2
1
(
)2(
2
2
2
x
dexdx
x
ex xx
dxexxxxex xx )2(21)21( 22
dxxex ex x
x
2
2
cex
x
ex xx
)1(
2
2
35
2009-7-25 31
)(
)()(
xQ
xPxR
m
n?
mm
mm
m
nn
nn
n
bxbxbxbxQ
axaxaxaxP


1
1
10
1
1
10
)(
)(
其中真分式多项式代数有理函数
1
21
1
1
22
3



xx
x
xx
x例如：
三、有理函数的积分
（一）代数有理函数的积分假分式时当真分式时当,;,mnmn
2009-7-25 32
简分式的和真分式可分解为四类最?
ax
A
)1( nax
A
)()2(?
qpxx
CBx

2)3( nqpxx
CBx
)()4( 2
caxAdxax A ln)1(
c
axn
Adx
ax
A
nn 1))(1()()2(
四类最简分式的积分
2009-7-25 33
dxqpxx CBppxBdxqpxx CBx 2 2
1
2
1
2
)2()3(
qpxx dxCBpqpxxB 22 2 2ln21


)()(2
2
ln
2
1
4
2
2
2
2qp
qx
dxCBp
qpxxB
2009-7-25 34
dxqpxx CBppxBdxqpxx CBx nn )( )2()()4( 2 2
1
2
1
2
12 )(
1
)1(2
n
qpxxn
B

nqp qx
dxCBp
)]()[(2
2
4
2
2
2
2009-7-25 35
等函数下列积分不能表示为初




xk
dx
dxxk
dxxdxx
dx
x
x
dx
x
x
dxx
dxxdx
x
dxe
x
22
22
22
3
s i n1
,s i n1
c o s,s i n
c o s
,
s i n
,s i n
1,
ln
1
,
2
2009-7-25 36

dxxf
CxFdxxf
xfxf
dx
x
x
)(
)()(
,)(,)(2
)1l n (
1
1
1
求且是它的反函数单调连续设练习
2009-7-25 37
以下题目不用计算立即写出结果
dxe
x
x
1
2
1
.1
due u
dx
x
xar
2
3
1
)s i n(
.2
duu 3
dx
x
x
2
.3
2?
u
du
dxx
x
s i n
1
.4? u d us i n
2009-7-25 38
xx
dx
2c o st a n
.7 duu 2
1
dx
xx
x
1
a r c s i n
.8? udu
dxx
x2ln.6? duu
294
.5
x
xdx
u
du
2009-7-25 39
dx
x
x
lnln.9 xxx lnlnlnln
x d xxe x c o ss i n.10 2s i n? due
u