2009-7-25 1
P174习题 6.3
1(3)(4),2(2),4,5.
7(3)(5)(11),8(1)(3).
复习,P168— 186
作业
2009-7-25 2
第十七讲 定积分 （二）
二、牛顿 -莱布尼兹公式一、变上限定积分三、定积分的换元积分法四、定积分的分部积分法
2009-7-25 3
.],[)(
],[,],[)(
上也可积在则上可积在若
xaxf
baxbaxf
上限变量积分变量的函数是上限 x
xa dttf )(?)( xF记作 )( bxa
)( xF或? x
a
dxxf )( )( bxa
一、变上限定积分
2009-7-25 4
定理：
],[)()(
],[)(],,[)()2(;],[)(],,[)()1(
baxxfxF
baDxFbaCxf
baCxFbaRxf
且则若则若
)())(( xfdxxfdxd x
a
走过路程在时刻开始作直线运动从时刻质点以速度
t
atv,)(
ta dvts )()(
连续时就有当 )( tv )(])([)( tvdv
dt
dts t
a
[注意 ] 连续函数一定存在原函数 ！
路程函数是速度函数的原函数
2009-7-25 5
[证 ] (1) 用连续定义证明
],[],,[ baxxbax任取
x
a
xx
a
dttfdttfxFxxF )()()()(
a
x
xx
a
dttfdttf )()(
xx
x
dttf
)(
],[)(,0],[ baxMxfMbaRf
xx
x
xx
x
dttfdttfxFxxF
)()()()(0
xM )0(0 x?
2009-7-25 6
x
xFxxFxF
x?
)()(lim)(),1(
0
有由
xx
x
x
dttf
x
)(1l i m
0
[证 ] (2) 用导数定义证明
],[],,[ baxxbax任取利用积分中值定理得到],,[)( baCxf?
)(lim)(1lim)(
00
fdttf
x
xF
x
xx
x
x?
)( xf?
xx
xxx
0
之间与介于
2009-7-25 7
2
11
)2(;)1(]1[
x tx t
dte
dx
ddte
dx
d求例所以有是连续函数因为,xe
xx t edte
dx
d?
1
)1(
2
1
)2(
x t
dte
dx
d
222 xu xexe
dx
dudte
du
d u t ][
1
[解 ]
2xu?令
2009-7-25 8
2
3]2[
x
x
t dte
dx
d求例
2
3
2
3 1
1 x t
x
tx
x
t dtedtedte
32 )3(2 2 xx exxe
322
3 11
x tx tx
x
t dte
dx
ddte
dx
ddte
dx
d
32 232 xx exxe
32
11
x tx t dtedte
[解 ]
2009-7-25 9
.),(
0s i n]3[
0
2
0
2
dx
dy
xyy
dttdte
x
y
t
求能确定隐函数设由方程例
得到求导方程两边对,x
0s i n 22 x
dx
dye y
得解出,
dx
dy 2s i n2 xe
dx
dy y?
[解 ]
[注意 ] 变上限定积分给出一种表示函数的方法，对这种函数也可以讨论各种性态。
2009-7-25 10
.,),(
c o s,s i n]4[
2
2
0
0
dx
yd
dx
dy
xyy
dydx
t
t
求确定函数设参数方程例
)(
)(
tx
ty
dx
dy
)(
)(
2
2
txdx
yd tdxdy
t
t
t c o t
s i n
c o s
t
t t
s i n
)c o t(
t3s i n
1
[解 ]
2009-7-25 11
2
5
0
2
0
)c o s1(
l i m]5[
x
dtt
x
x
求极限例利用洛比达法则”“,
0
0
2
3
2
5
2
5
2
1
0
0
2
0
)c o s1(
lim
)c o s1(
lim
x
x
x
dtt
x
x
x
x
20 5
)c o s1(lim
x
x
x
10
1
5
l i m 2
2
2
1
0
x
x
x
[解 ]
2009-7-25 12
恒有具有什麽性质的函数试问例,:]6[ f
]),[()()( baxCdttfdxxf
x
a
]),[()()(
],,[
baxCdttfdxxf
baCf
x
a
则有若
2009-7-25 13
思考题：
1.有原函数的函数是否一定连续？
2.有原函数的函数是否一定黎曼可积？
3.黎曼可积的函数是否一定存在原函数？
2009-7-25 14
则有上的任意一个原函数在是设
,
],[)()(],,[)( baxfxFbaCxf?
b
a
b
a
xFaFbFdxxf )()()()(
二、牛顿 — 莱布尼兹公式定理 2：
定积分变上限知故由定理因为,1],,[)( baCxf?
[证 ]
xa dttfxG )()(
.0)(,],[)(?aGbaxf 且上的一个原函数在是
)1()()()()( aGbGdttfbG b
a
2009-7-25 15
CxGxF )()(
故有一个原函数上的任意在是又已知
,
],[)()( baxfxF
)()()()(,aFbFaGbG于是有
)()()( aFbFdxxfb
a
便得到式代入,( 1 )
2009-7-25 16
dx
x
1
0 1
1]1[ 计算例
| 1010 )1l n (1 1 xdxx
2ln
1ln2ln
[解 ]
牛顿 — 莱布尼兹公式将定积分的计算问题转化为求被积函数的一个原函数的问题,
2009-7-25 17
dxx
0
s i n1]2[ 计算例
dxdxx xx
0 220
c o ss i n21s i n1
dxxx0 222 )c o s( s i n
dxxx
0 2
c o s
2
s i n
dxxxdxxx
2
2 )
2c o s2( s i n)2s i n2( c o s0
||
2
2 )
2s i n22c o s2()2c o s22s i n2( 0
xxxx
)12(4
[解 ]
2009-7-25 18
的大小。与试比较设
21
2
0
2
2
0
1,)c o s ( s i n,)s i n ( s i n
II
dxxIdxxI
[例 3]
[解 ] 利用估值定理
,s in,]
2
,0[ xxx 有时当?
,]
2
,0[ 时且当x
),c o s ( s i nc o s,s i n)s i ns i n ( xxxx
因而有
,co s,s i n xx
2009-7-25 19
1,c o ss i n)s i n ( s i n 2
0
2
0
2
0
xxdxdxx
1,s i nc o s)c o s ( s i n 2
0
2
0
2
0
xxdxdxx
2020 )c o s ( s i n)s i n ( s i n
dxxdxx
所以即
21 II?
因此
2009-7-25 20
dtttfdxxf
ba
bta
Ct
txbaCxf
b
a
)()]([)(
,)(,)()3(;)()2(;],[)()1(
),(],,[)(
1
则有满足三个条件：
作变换设函数三、定积分的换元积分法定理 1,(定积分的换元积分法 )
2009-7-25 21
t
x
o
a
b
)(tx
t
x
o
a
b
)(tx
[证 ] 的一个原函数是设 )()( xfxF
)()]([)()()()()]([ ttftxftxFdt tdF
)]([)]([)()]([ FFdtttf
ba dxxfaFbF )()()(
2009-7-25 22
)0(]1[
0
22 adxxaa求定积分例
)
2
0(s i n ttax令
2
,;0,0 taxtx 时当时则当
dttadxtaxa c o sc o s22
dttadxxaa 2
0
2
0
22 c o s2
4)2s i n2
1(
2)2c o s1(2
2
0
2
0
2
| 22 attadtta
[解 ]
于是由换元公式
2009-7-25 23
dxe x2ln
0
1]2[ 求定积分例
te x 1令 )1l n ( 2 tx即
dt
t
tdxe x
1
0 2
22ln
0 1
21
2
2)a r c t a n(2)
1
11(2 | 1
0
1
0 2
ttdt
t
[解 ]
于是由换元公式得
2009-7-25 24
有为偶函数时当则上连续在对称区间若例
,)()1(
,],[)(]3[
xf
aaxf?
aa a dxxfdxxf 0 )(2)(
0)(
a
a
dxxf
有为奇函数时当,)()2( xf
aaa a dxxfdxxfdxxf 00 )()()(
为偶函数知又由作变换对于右端第一项
)(
:,
xf
tx
[证 ](1)
)()()( tftfxf
2009-7-25 25
0 00 )()()( a aa dttfdttfdxxf
为什麽?
a dxxf0 )(
定积分与积分变量所用字母无关！
aaa a dxxfdxxfdxxf 00 )()()(
aaa dxxfdxxfdxxf 000 )(2)()(
0
2
1
2
1 2
2
1
a r c s i n dx
x
xx
［例如］,
从而由换元公式
2009-7-25 26
[例 ]
3
3
2
9
1)3( dxxx计算
2
2
2s i n1
c o ss i n?
dxx xx计算
2
3
3
2
9
1)3( dxxx
[例 ]
[解 ]
[解 ]
3
3
2
9
13 dxx
3 3 29 dxx
20 2s i n1 c o s2
dxxx?
2
2
2s i n1
c o ss i n?
dxx xx
2
9
2009-7-25 27
可以证明：利用定积分的换元法,
TTa
a
dxxfdxxf
a
Txf
0
)()(
,,
)(
有则对任意的实数函数为周期的连续是一个以若
20 220 2 s i n4s i n
x d xx d x
)()()(
00
为正整数ndxxfndxxf
TnT
2009-7-25 28
分部积分公式则有有连续的一阶导数上在区间设函数
),(),(
],[)(),(
xvxu
baxvxu
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxu
dxxvxu
)()()()(
)()(
|
四、定积分的分部积分法定理 2,(定积分的分部积分法 )
2009-7-25 29
)()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu
得公式利用是连续函数从而左端函数由条件上式右端是连续
,.])()([
,
LNxvxu
|)()(])()([ baba xvxudxxvxu
b
a
b
a
b
a
dxxvxudxxvxu
dxxvxuxvxu
)()()()(
)]()()()([
而右端的积分为
[证 ] 利用牛顿 — 莱布尼兹公式
2009-7-25 30
|)()(
)()()()(
b
a
b
a
b
a
xvxu
dxxvxudxxvxu
于是得到
b
a
b
a
b
a
dxxvxuxvxu
dxxvxu
)()()()(
)()(
|
])([)()()()]([)( |
b
a
b
a
b
a
xudxvxvxuxvdxu
成分部积分公式也可以写注意 ][
即
2009-7-25 31
411 lnln
4
1
dx
x
xdx
x
x原式
4
4
1
ln
]1[ dx
x
x
计算例
)2ln2(
11
4
1
4
1|?
dx
x
xxx
|| 411
4
1 )4ln2()4ln2( xxxxxx
22ln6
)2ln2(
4
1
4
1|?
dx
x
xxx
[解 ]
2009-7-25 32
dxxx n1
0
2 )1(]2[ 计算例
dxxx
n
xx
n
dxxx
nn
n
1
0
1
1
0
21
1
0
2
)1(
1
2
)1(
1
1
)1(
|
dxx
nn
xx
nn
n
n
1
0
2
1
0
2
)1(
)2)(1(
2
)1(
)2)(1(
2
|
[解 ]
)3)(2)(1(
2)1(
)3)(2)(1(
2 | 1
0
3
nnnxnnn
n
2009-7-25 33
)(s i n]3[ 2
0
NndxxI nn
计算：例
21
2
00
dxI 1c o ss i n | 2
0
2
01
xdxxI
[解 ]
20 1 )c o s(s i n
xxdI nn
dxxxn n2
0
22 c o ss i n)1(
20 1201 )( s i n)c o s(s i n)c o s( |
xdxxx nn
dxxxn n2
0
22 )s i n1(s i n)1(
nnn InInI )1()1( 2
2009-7-25 34
得到时当,2 kn?
2!!)2(
!!)12(s i n2
0
2
2
k
kdxxI k
k
)2(1 2 nI
n
nI
nn
得到时当,12 kn
1
!!)12(
!!)22(s i n2
0
12
12
k
kdxxI k
k
2009-7-25 35
例如：
32
5
2246
135
s i n2
0
6
dxx
35
16
1
357
246
s i n2
0
7
dxx
)(s i nc o s 2
0
2
0
Nndxxdxx nn
可以证明
dxx? 4
0
8 2c o s
tx?2令
dtt? 2
0
8c o s
2
1?
1 5 3 6
105
22468
1357
2
1
P174习题 6.3
1(3)(4),2(2),4,5.
7(3)(5)(11),8(1)(3).
复习,P168— 186
作业
2009-7-25 2
第十七讲 定积分 （二）
二、牛顿 -莱布尼兹公式一、变上限定积分三、定积分的换元积分法四、定积分的分部积分法
2009-7-25 3
.],[)(
],[,],[)(
上也可积在则上可积在若
xaxf
baxbaxf
上限变量积分变量的函数是上限 x
xa dttf )(?)( xF记作 )( bxa
)( xF或? x
a
dxxf )( )( bxa
一、变上限定积分
2009-7-25 4
定理：
],[)()(
],[)(],,[)()2(;],[)(],,[)()1(
baxxfxF
baDxFbaCxf
baCxFbaRxf
且则若则若
)())(( xfdxxfdxd x
a
走过路程在时刻开始作直线运动从时刻质点以速度
t
atv,)(
ta dvts )()(
连续时就有当 )( tv )(])([)( tvdv
dt
dts t
a
[注意 ] 连续函数一定存在原函数 ！
路程函数是速度函数的原函数
2009-7-25 5
[证 ] (1) 用连续定义证明
],[],,[ baxxbax任取
x
a
xx
a
dttfdttfxFxxF )()()()(
a
x
xx
a
dttfdttf )()(
xx
x
dttf
)(
],[)(,0],[ baxMxfMbaRf
xx
x
xx
x
dttfdttfxFxxF
)()()()(0
xM )0(0 x?
2009-7-25 6
x
xFxxFxF
x?
)()(lim)(),1(
0
有由
xx
x
x
dttf
x
)(1l i m
0
[证 ] (2) 用导数定义证明
],[],,[ baxxbax任取利用积分中值定理得到],,[)( baCxf?
)(lim)(1lim)(
00
fdttf
x
xF
x
xx
x
x?
)( xf?
xx
xxx
0
之间与介于
2009-7-25 7
2
11
)2(;)1(]1[
x tx t
dte
dx
ddte
dx
d求例所以有是连续函数因为,xe
xx t edte
dx
d?
1
)1(
2
1
)2(
x t
dte
dx
d
222 xu xexe
dx
dudte
du
d u t ][
1
[解 ]
2xu?令
2009-7-25 8
2
3]2[
x
x
t dte
dx
d求例
2
3
2
3 1
1 x t
x
tx
x
t dtedtedte
32 )3(2 2 xx exxe
322
3 11
x tx tx
x
t dte
dx
ddte
dx
ddte
dx
d
32 232 xx exxe
32
11
x tx t dtedte
[解 ]
2009-7-25 9
.),(
0s i n]3[
0
2
0
2
dx
dy
xyy
dttdte
x
y
t
求能确定隐函数设由方程例
得到求导方程两边对,x
0s i n 22 x
dx
dye y
得解出,
dx
dy 2s i n2 xe
dx
dy y?
[解 ]
[注意 ] 变上限定积分给出一种表示函数的方法，对这种函数也可以讨论各种性态。
2009-7-25 10
.,),(
c o s,s i n]4[
2
2
0
0
dx
yd
dx
dy
xyy
dydx
t
t
求确定函数设参数方程例
)(
)(
tx
ty
dx
dy
)(
)(
2
2
txdx
yd tdxdy
t
t
t c o t
s i n
c o s
t
t t
s i n
)c o t(
t3s i n
1
[解 ]
2009-7-25 11
2
5
0
2
0
)c o s1(
l i m]5[
x
dtt
x
x
求极限例利用洛比达法则”“,
0
0
2
3
2
5
2
5
2
1
0
0
2
0
)c o s1(
lim
)c o s1(
lim
x
x
x
dtt
x
x
x
x
20 5
)c o s1(lim
x
x
x
10
1
5
l i m 2
2
2
1
0
x
x
x
[解 ]
2009-7-25 12
恒有具有什麽性质的函数试问例,:]6[ f
]),[()()( baxCdttfdxxf
x
a
]),[()()(
],,[
baxCdttfdxxf
baCf
x
a
则有若
2009-7-25 13
思考题：
1.有原函数的函数是否一定连续？
2.有原函数的函数是否一定黎曼可积？
3.黎曼可积的函数是否一定存在原函数？
2009-7-25 14
则有上的任意一个原函数在是设
,
],[)()(],,[)( baxfxFbaCxf?
b
a
b
a
xFaFbFdxxf )()()()(
二、牛顿 — 莱布尼兹公式定理 2：
定积分变上限知故由定理因为,1],,[)( baCxf?
[证 ]
xa dttfxG )()(
.0)(,],[)(?aGbaxf 且上的一个原函数在是
)1()()()()( aGbGdttfbG b
a
2009-7-25 15
CxGxF )()(
故有一个原函数上的任意在是又已知
,
],[)()( baxfxF
)()()()(,aFbFaGbG于是有
)()()( aFbFdxxfb
a
便得到式代入,( 1 )
2009-7-25 16
dx
x
1
0 1
1]1[ 计算例
| 1010 )1l n (1 1 xdxx
2ln
1ln2ln
[解 ]
牛顿 — 莱布尼兹公式将定积分的计算问题转化为求被积函数的一个原函数的问题,
2009-7-25 17
dxx
0
s i n1]2[ 计算例
dxdxx xx
0 220
c o ss i n21s i n1
dxxx0 222 )c o s( s i n
dxxx
0 2
c o s
2
s i n
dxxxdxxx
2
2 )
2c o s2( s i n)2s i n2( c o s0
||
2
2 )
2s i n22c o s2()2c o s22s i n2( 0
xxxx
)12(4
[解 ]
2009-7-25 18
的大小。与试比较设
21
2
0
2
2
0
1,)c o s ( s i n,)s i n ( s i n
II
dxxIdxxI
[例 3]
[解 ] 利用估值定理
,s in,]
2
,0[ xxx 有时当?
,]
2
,0[ 时且当x
),c o s ( s i nc o s,s i n)s i ns i n ( xxxx
因而有
,co s,s i n xx
2009-7-25 19
1,c o ss i n)s i n ( s i n 2
0
2
0
2
0
xxdxdxx
1,s i nc o s)c o s ( s i n 2
0
2
0
2
0
xxdxdxx
2020 )c o s ( s i n)s i n ( s i n
dxxdxx
所以即
21 II?
因此
2009-7-25 20
dtttfdxxf
ba
bta
Ct
txbaCxf
b
a
)()]([)(
,)(,)()3(;)()2(;],[)()1(
),(],,[)(
1
则有满足三个条件：
作变换设函数三、定积分的换元积分法定理 1,(定积分的换元积分法 )
2009-7-25 21
t
x
o
a
b
)(tx
t
x
o
a
b
)(tx
[证 ] 的一个原函数是设 )()( xfxF
)()]([)()()()()]([ ttftxftxFdt tdF
)]([)]([)()]([ FFdtttf
ba dxxfaFbF )()()(
2009-7-25 22
)0(]1[
0
22 adxxaa求定积分例
)
2
0(s i n ttax令
2
,;0,0 taxtx 时当时则当
dttadxtaxa c o sc o s22
dttadxxaa 2
0
2
0
22 c o s2
4)2s i n2
1(
2)2c o s1(2
2
0
2
0
2
| 22 attadtta
[解 ]
于是由换元公式
2009-7-25 23
dxe x2ln
0
1]2[ 求定积分例
te x 1令 )1l n ( 2 tx即
dt
t
tdxe x
1
0 2
22ln
0 1
21
2
2)a r c t a n(2)
1
11(2 | 1
0
1
0 2
ttdt
t
[解 ]
于是由换元公式得
2009-7-25 24
有为偶函数时当则上连续在对称区间若例
,)()1(
,],[)(]3[
xf
aaxf?
aa a dxxfdxxf 0 )(2)(
0)(
a
a
dxxf
有为奇函数时当,)()2( xf
aaa a dxxfdxxfdxxf 00 )()()(
为偶函数知又由作变换对于右端第一项
)(
:,
xf
tx
[证 ](1)
)()()( tftfxf
2009-7-25 25
0 00 )()()( a aa dttfdttfdxxf
为什麽?
a dxxf0 )(
定积分与积分变量所用字母无关！
aaa a dxxfdxxfdxxf 00 )()()(
aaa dxxfdxxfdxxf 000 )(2)()(
0
2
1
2
1 2
2
1
a r c s i n dx
x
xx
［例如］,
从而由换元公式
2009-7-25 26
[例 ]
3
3
2
9
1)3( dxxx计算
2
2
2s i n1
c o ss i n?
dxx xx计算
2
3
3
2
9
1)3( dxxx
[例 ]
[解 ]
[解 ]
3
3
2
9
13 dxx
3 3 29 dxx
20 2s i n1 c o s2
dxxx?
2
2
2s i n1
c o ss i n?
dxx xx
2
9
2009-7-25 27
可以证明：利用定积分的换元法,
TTa
a
dxxfdxxf
a
Txf
0
)()(
,,
)(
有则对任意的实数函数为周期的连续是一个以若
20 220 2 s i n4s i n
x d xx d x
)()()(
00
为正整数ndxxfndxxf
TnT
2009-7-25 28
分部积分公式则有有连续的一阶导数上在区间设函数
),(),(
],[)(),(
xvxu
baxvxu
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxu
dxxvxu
)()()()(
)()(
|
四、定积分的分部积分法定理 2,(定积分的分部积分法 )
2009-7-25 29
)()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu
得公式利用是连续函数从而左端函数由条件上式右端是连续
,.])()([
,
LNxvxu
|)()(])()([ baba xvxudxxvxu
b
a
b
a
b
a
dxxvxudxxvxu
dxxvxuxvxu
)()()()(
)]()()()([
而右端的积分为
[证 ] 利用牛顿 — 莱布尼兹公式
2009-7-25 30
|)()(
)()()()(
b
a
b
a
b
a
xvxu
dxxvxudxxvxu
于是得到
b
a
b
a
b
a
dxxvxuxvxu
dxxvxu
)()()()(
)()(
|
])([)()()()]([)( |
b
a
b
a
b
a
xudxvxvxuxvdxu
成分部积分公式也可以写注意 ][
即
2009-7-25 31
411 lnln
4
1
dx
x
xdx
x
x原式
4
4
1
ln
]1[ dx
x
x
计算例
)2ln2(
11
4
1
4
1|?
dx
x
xxx
|| 411
4
1 )4ln2()4ln2( xxxxxx
22ln6
)2ln2(
4
1
4
1|?
dx
x
xxx
[解 ]
2009-7-25 32
dxxx n1
0
2 )1(]2[ 计算例
dxxx
n
xx
n
dxxx
nn
n
1
0
1
1
0
21
1
0
2
)1(
1
2
)1(
1
1
)1(
|
dxx
nn
xx
nn
n
n
1
0
2
1
0
2
)1(
)2)(1(
2
)1(
)2)(1(
2
|
[解 ]
)3)(2)(1(
2)1(
)3)(2)(1(
2 | 1
0
3
nnnxnnn
n
2009-7-25 33
)(s i n]3[ 2
0
NndxxI nn
计算：例
21
2
00
dxI 1c o ss i n | 2
0
2
01
xdxxI
[解 ]
20 1 )c o s(s i n
xxdI nn
dxxxn n2
0
22 c o ss i n)1(
20 1201 )( s i n)c o s(s i n)c o s( |
xdxxx nn
dxxxn n2
0
22 )s i n1(s i n)1(
nnn InInI )1()1( 2
2009-7-25 34
得到时当,2 kn?
2!!)2(
!!)12(s i n2
0
2
2
k
kdxxI k
k
)2(1 2 nI
n
nI
nn
得到时当,12 kn
1
!!)12(
!!)22(s i n2
0
12
12
k
kdxxI k
k
2009-7-25 35
例如：
32
5
2246
135
s i n2
0
6
dxx
35
16
1
357
246
s i n2
0
7
dxx
)(s i nc o s 2
0
2
0
Nndxxdxx nn
可以证明
dxx? 4
0
8 2c o s
tx?2令
dtt? 2
0
8c o s
2
1?
1 5 3 6
105
22468
1357
2
1
