2009-7-25 1
作 业
P50 综合题 1,4.
P49 习题 2.4 11,13,14.
预习,P51— 58
2009-7-25 2
连续函数的性质第四讲一、连续函数的基本性质二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质
2009-7-25 3
一、函数连续性的基本性质
（一）连续性定义的等价形式：
下列命题等价则的某邻域内有定义在设,)( 0xxf
)()(lim)1( 0
0
xfxf
xx
)()()()2( 0 xxfxf
)0)(li m(
0
x
xx
其中
2009-7-25 4
)()()(,
0)(lim)4(
000
0
0
xfxfxfxxx
xf
x
既左连续又右连续在点）（ 03 xf
)()(lim)(lim 0
00
xfxfxf
xxxx
（二）连续函数的有界性：
)(
,
0
00
有界在点简称某邻域上有界的在则连续在点若函数
xf
xfxf
2009-7-25 5
.)()(
),(,0
.
,0)(,
0
00
0
00
同号与上使在即的某邻域上保号在点则且连续在点若函数
xfxf
xx
xf
xfxf
（三）连续函数的保号性：
2009-7-25 6
连续也在 0 )2( xgf?
则连续都在点若,,0xgf
连续也在函数对任意常数
0
,,)1(
x
gf
连续也在则若 00,0)()3( x
g
fxg?
（四）连续函数的运算性质：
.
)]([),(
,)(,)()4(
000
00
连续在则复合函数且连续在连续在若
ttgftgx
xxfttgx
2009-7-25 7
（六）初等函数的连续性初等函数在其定义区间上是连续的。
（五） 关于反函数的连续性
.
)])(),([()](),([
)(,
],[)(
1
严格单调且连续上也或区间在闭则其反函数单调且连续上严格在闭区间若函数
afbfbfaf
yfx
baxfy
结论：
2009-7-25 8
1,基本初等函数的连续性
（ 1）由连续定义可验证基本初等函数：
的连续性常量函数 xexC x ln,,s i n,
0
0
l i m xx
xx
ee?
证明
0)1(l i m 0
0
xx
xx
e
0)1(l i m
0
x
x
e?
[例 ]
2009-7-25 9
（ 3）用连续函数四则运算性质证明基本初等函数,
的连续性
xxxx c s c,s e c,c o t,t a n
（ 2）用复合函数及反函数的连续性证明基本初等函数,
的连续性xxx
xxex
x
a r c t a n,a r c c o s,a r c s i n
),
2
s i n (c o s,
ln
2009-7-25 10
2,初等函数的连续性由基本初等函数的连续性,运用连续函数的四则运算、复合运算就推出所有初等函数在其定义 区间 上处处连续,
.,2
1c o s)(
Znnx
xxf
定义域为离散点是初等函数。例：
2009-7-25 11
的连续性。研究函数例 nn
nn
n xx
xxxf
2l i m)(][
[解 ] 的表达式先求 )( xf
1,
,1,0
,10,1
1
1
lim)(
2
2
22
xx
x
x
x
x
xf
n
n
n
.,)(,
),1(),1,0(),0,1(),1,(
所以连续是初等函数上在
xf
非初等函数连续性问题举例
2009-7-25 12
1)(l i m,1)(l i m
11
xfxf
xx
1)(l i m,1)(l i m
11
xfxf
xx
1)(lim
0
xf
x
可去型间断点0 x
间断点1,0 xx
第一类间断点1x
2009-7-25 13
时当时当时当讨论下列函数的连续性例
0,
,0,
2
1
,0,
11
)(
][
1
xe
x
x
x
x
xf
x
.,
11
)(,0
在定义区间上连续初等函数时当
x
x
xfx
[解 ]
2009-7-25 14
.,
)(,0
1
在定义区间上连续也是初等函数时当 xexfx
)0(
2
111l i m)(l i m
00
f
x
xxf
xx
xexf
xx
1
00
lim)(lim
).)(:(
)(0.0
,0)(,
0
处右连续在注意第二类间断点的是点处不连续在点处都是连续的在综上所述
xxf
xfxx
xxf
2009-7-25 15
1,有界性定理：
.
],[)(],,[
有界上在则设函数 baxfbaCf?
使得则存在两点设函数
],,[,
],,[
21 baxx
baCf
)(m a x)(),(m i n)( 21 xfxfxfxf
bxabxa
2,最大最小值定理：
三、闭区间上连续函数的性质
2009-7-25 16
3,零点定理：
.0)(),,(
,0)()(],,[
fba
bfafbaCf
使得则存在且设函数
o b
y
x
a
2009-7-25 17
4,介值定理：
)(
),,(,
)()(
),()(],,[
f
ba
bfaf
bfafbaCf
使得存在一点实数之间的任何一个与对于介于则设函数推论：
],[ baCf?设
)(m in ),(m a x
],[],[
xfmxfM
baxbax
使得则对任意 ),,(),,( baMm
)(f
2009-7-25 18
o b
y
x
a
M
m
f(x)
g(x)
2009-7-25 19
[证 ] 构造辅助函数
)()( xfxg令
0)()(],,[)( bgagbaCxg则使满足知存在运用零点定理 ),,(,ba
0)(g )(f
介值定理的证明
2009-7-25 20
).)((
)()1,0(
1)(0],1,0[)(][
的不动点点称为
，，使得试证：存在
，且满足设例
xf
f
xfCxf
,)()(][ xxfxg构造函数证明
],1,0[)( Cxg?
则有
,01)1()1(,0)0()0( fgfg
且结论。
即得上应用零点定理，在对,]10[)( xg
2009-7-25 21
的实根研究方程例 019:][ 3 xx
[解 ] 19)(
3 xxxf令试算 01)3(f 09)2(f
1)2,3( x内有一个根方程在
07)1(f 01)0(f
2)0,1( x有一个根方程在
01)3(f 027)4(f
3)4,3( x有一个根方程在?
根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根是方程的全部实根321,,xxx?
2009-7-25 22
.
)(
][
12
2
1
12
0
至少存在一个实根证明奇次多项式例
n
nn
axaxaxP?
[证 ] ),()( CxP
)()( 12 121012 nnn
x
a
x
aaxxP?
00?a不妨设
)(lim,)(lim xPxP xx
0)(,0)(,0 rPrPr 使
0)(),,(, cPrrc 使根据零点定理
2009-7-25 23
.
0
3
16
2
7
1
5
:][
至少有两个实根证明方程例?
xxx
3
16
2
7
1
5)(
xxx
xf设
[证 ]
内都连续和在开区间则 )3,2()2,1()( xf
)
3
16
2
7
1
5(l i m)(l i m
11 xxx
xf
xx
)
3
16
2
7
1
5(lim)(lim
22 xxx
xf
xx
2009-7-25 24
0)(,0)( bfaf
使闭区间存在以证明利用无穷大量的定义可
),2,1(],[
,
ba
.)2,1(],,[
0
3
16
2
7
1
5
:,
内至少有一个实根从而在在方程即
ba
xxx
0)(],,[,11 xfbax 使根据零点定理
.)3,2(
0
3
16
2
7
1
5
:,
内至少有一个实根在方程同法可证?
xxx
2009-7-25 25
.),[
,)(lim,),[][
能取到最小值在则且若函数例
baf
xfbaCf
bx
[证 ]
)(l i m xf
bx
Mxfbcxbcac )(),,(,,有
01),(m a x afM对于
],[()()(],,[
,],,[)(
00 caxxfxfcax
caCxf
使根据最大最小值定理因为
.),[,能取到最小值在综上所述 baf
2009-7-25 26
)
3
1
()(],1,0[
:),1()0(1 ],,0[][
000
xfxfx
ffCf
使证明且设函数例
[证 ]
)
3
1()()( xfxfxg令
]
3
2,0[)( Cxg
.,0)(],
3
2,0[
00 命题得证使若 xgx
0)(],
3
2,0[ xgx 有不妨设
0)(0)(,]
3
2,0[, xgxg 或必有上在否则
2009-7-25 27
0)
3
1()0()0( ffg
0)
3
2()
3
1()
3
1( ffg
0)1()
3
2()
3
2( ffg
)1()0( ff 矛盾！
.0)(],
3
2,0[
00 xgx 使故
)
3
1()(],1,0[
000 xfxfx 使即
2009-7-25 28
导数与微分
2009-7-25 29
一、引言两个典型背景示例
[例 1] 运动物体的瞬时速度设汽车 沿 t轴作直线运动,若己知其运动规律 (路程与时间的函数关系 )为求在时刻 的瞬时速度,
)( txx?
0t
0t ttt 0
t
2009-7-25 30
[解 ]
的平均速度到求时段 ttt00)1(
t
txttx
ttv
)()(
),( 000
速度平均速度的极限是瞬时)2(
t
txttx
tv
t?
)()(
l i m)( 00
00
如果极限 存在,这个极限值就是 汽车 的瞬时速度,
2009-7-25 31
[例 2] 曲线的切线斜率问题
)).(,(
),(),,(
].,[)(
)()(,
00
0000
xfy
yxMLbax
baCxf
bxaxfyL
其中的切线在点求曲线其方程为设曲线什麽是曲线的切线？
2009-7-25 32
x
y
o
0M
N
0x xx0
T
)(,xfyL?
的极限位置就是切线割线时当,0MN?
割线切线
2009-7-25 33
x
xfxxf
xk
x?
)()(
l i m)( 00
00
x
xfxxfxxk
)()(),( 00
0
的割线斜率到求区间 xxx00)1(
斜率割线斜率的极限是切线)2(
))(()( 000 xxxkxfy
的切线方程在点曲线 ),()3( 000 yxML
作 业
P50 综合题 1,4.
P49 习题 2.4 11,13,14.
预习,P51— 58
2009-7-25 2
连续函数的性质第四讲一、连续函数的基本性质二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质
2009-7-25 3
一、函数连续性的基本性质
（一）连续性定义的等价形式：
下列命题等价则的某邻域内有定义在设,)( 0xxf
)()(lim)1( 0
0
xfxf
xx
)()()()2( 0 xxfxf
)0)(li m(
0
x
xx
其中
2009-7-25 4
)()()(,
0)(lim)4(
000
0
0
xfxfxfxxx
xf
x
既左连续又右连续在点）（ 03 xf
)()(lim)(lim 0
00
xfxfxf
xxxx
（二）连续函数的有界性：
)(
,
0
00
有界在点简称某邻域上有界的在则连续在点若函数
xf
xfxf
2009-7-25 5
.)()(
),(,0
.
,0)(,
0
00
0
00
同号与上使在即的某邻域上保号在点则且连续在点若函数
xfxf
xx
xf
xfxf
（三）连续函数的保号性：
2009-7-25 6
连续也在 0 )2( xgf?
则连续都在点若,,0xgf
连续也在函数对任意常数
0
,,)1(
x
gf
连续也在则若 00,0)()3( x
g
fxg?
（四）连续函数的运算性质：
.
)]([),(
,)(,)()4(
000
00
连续在则复合函数且连续在连续在若
ttgftgx
xxfttgx
2009-7-25 7
（六）初等函数的连续性初等函数在其定义区间上是连续的。
（五） 关于反函数的连续性
.
)])(),([()](),([
)(,
],[)(
1
严格单调且连续上也或区间在闭则其反函数单调且连续上严格在闭区间若函数
afbfbfaf
yfx
baxfy
结论：
2009-7-25 8
1,基本初等函数的连续性
（ 1）由连续定义可验证基本初等函数：
的连续性常量函数 xexC x ln,,s i n,
0
0
l i m xx
xx
ee?
证明
0)1(l i m 0
0
xx
xx
e
0)1(l i m
0
x
x
e?
[例 ]
2009-7-25 9
（ 3）用连续函数四则运算性质证明基本初等函数,
的连续性
xxxx c s c,s e c,c o t,t a n
（ 2）用复合函数及反函数的连续性证明基本初等函数,
的连续性xxx
xxex
x
a r c t a n,a r c c o s,a r c s i n
),
2
s i n (c o s,
ln
2009-7-25 10
2,初等函数的连续性由基本初等函数的连续性,运用连续函数的四则运算、复合运算就推出所有初等函数在其定义 区间 上处处连续,
.,2
1c o s)(
Znnx
xxf
定义域为离散点是初等函数。例：
2009-7-25 11
的连续性。研究函数例 nn
nn
n xx
xxxf
2l i m)(][
[解 ] 的表达式先求 )( xf
1,
,1,0
,10,1
1
1
lim)(
2
2
22
xx
x
x
x
x
xf
n
n
n
.,)(,
),1(),1,0(),0,1(),1,(
所以连续是初等函数上在
xf
非初等函数连续性问题举例
2009-7-25 12
1)(l i m,1)(l i m
11
xfxf
xx
1)(l i m,1)(l i m
11
xfxf
xx
1)(lim
0
xf
x
可去型间断点0 x
间断点1,0 xx
第一类间断点1x
2009-7-25 13
时当时当时当讨论下列函数的连续性例
0,
,0,
2
1
,0,
11
)(
][
1
xe
x
x
x
x
xf
x
.,
11
)(,0
在定义区间上连续初等函数时当
x
x
xfx
[解 ]
2009-7-25 14
.,
)(,0
1
在定义区间上连续也是初等函数时当 xexfx
)0(
2
111l i m)(l i m
00
f
x
xxf
xx
xexf
xx
1
00
lim)(lim
).)(:(
)(0.0
,0)(,
0
处右连续在注意第二类间断点的是点处不连续在点处都是连续的在综上所述
xxf
xfxx
xxf
2009-7-25 15
1,有界性定理：
.
],[)(],,[
有界上在则设函数 baxfbaCf?
使得则存在两点设函数
],,[,
],,[
21 baxx
baCf
)(m a x)(),(m i n)( 21 xfxfxfxf
bxabxa
2,最大最小值定理：
三、闭区间上连续函数的性质
2009-7-25 16
3,零点定理：
.0)(),,(
,0)()(],,[
fba
bfafbaCf
使得则存在且设函数
o b
y
x
a
2009-7-25 17
4,介值定理：
)(
),,(,
)()(
),()(],,[
f
ba
bfaf
bfafbaCf
使得存在一点实数之间的任何一个与对于介于则设函数推论：
],[ baCf?设
)(m in ),(m a x
],[],[
xfmxfM
baxbax
使得则对任意 ),,(),,( baMm
)(f
2009-7-25 18
o b
y
x
a
M
m
f(x)
g(x)
2009-7-25 19
[证 ] 构造辅助函数
)()( xfxg令
0)()(],,[)( bgagbaCxg则使满足知存在运用零点定理 ),,(,ba
0)(g )(f
介值定理的证明
2009-7-25 20
).)((
)()1,0(
1)(0],1,0[)(][
的不动点点称为
，，使得试证：存在
，且满足设例
xf
f
xfCxf
,)()(][ xxfxg构造函数证明
],1,0[)( Cxg?
则有
,01)1()1(,0)0()0( fgfg
且结论。
即得上应用零点定理，在对,]10[)( xg
2009-7-25 21
的实根研究方程例 019:][ 3 xx
[解 ] 19)(
3 xxxf令试算 01)3(f 09)2(f
1)2,3( x内有一个根方程在
07)1(f 01)0(f
2)0,1( x有一个根方程在
01)3(f 027)4(f
3)4,3( x有一个根方程在?
根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根是方程的全部实根321,,xxx?
2009-7-25 22
.
)(
][
12
2
1
12
0
至少存在一个实根证明奇次多项式例
n
nn
axaxaxP?
[证 ] ),()( CxP
)()( 12 121012 nnn
x
a
x
aaxxP?
00?a不妨设
)(lim,)(lim xPxP xx
0)(,0)(,0 rPrPr 使
0)(),,(, cPrrc 使根据零点定理
2009-7-25 23
.
0
3
16
2
7
1
5
:][
至少有两个实根证明方程例?
xxx
3
16
2
7
1
5)(
xxx
xf设
[证 ]
内都连续和在开区间则 )3,2()2,1()( xf
)
3
16
2
7
1
5(l i m)(l i m
11 xxx
xf
xx
)
3
16
2
7
1
5(lim)(lim
22 xxx
xf
xx
2009-7-25 24
0)(,0)( bfaf
使闭区间存在以证明利用无穷大量的定义可
),2,1(],[
,
ba
.)2,1(],,[
0
3
16
2
7
1
5
:,
内至少有一个实根从而在在方程即
ba
xxx
0)(],,[,11 xfbax 使根据零点定理
.)3,2(
0
3
16
2
7
1
5
:,
内至少有一个实根在方程同法可证?
xxx
2009-7-25 25
.),[
,)(lim,),[][
能取到最小值在则且若函数例
baf
xfbaCf
bx
[证 ]
)(l i m xf
bx
Mxfbcxbcac )(),,(,,有
01),(m a x afM对于
],[()()(],,[
,],,[)(
00 caxxfxfcax
caCxf
使根据最大最小值定理因为
.),[,能取到最小值在综上所述 baf
2009-7-25 26
)
3
1
()(],1,0[
:),1()0(1 ],,0[][
000
xfxfx
ffCf
使证明且设函数例
[证 ]
)
3
1()()( xfxfxg令
]
3
2,0[)( Cxg
.,0)(],
3
2,0[
00 命题得证使若 xgx
0)(],
3
2,0[ xgx 有不妨设
0)(0)(,]
3
2,0[, xgxg 或必有上在否则
2009-7-25 27
0)
3
1()0()0( ffg
0)
3
2()
3
1()
3
1( ffg
0)1()
3
2()
3
2( ffg
)1()0( ff 矛盾！
.0)(],
3
2,0[
00 xgx 使故
)
3
1()(],1,0[
000 xfxfx 使即
2009-7-25 28
导数与微分
2009-7-25 29
一、引言两个典型背景示例
[例 1] 运动物体的瞬时速度设汽车 沿 t轴作直线运动,若己知其运动规律 (路程与时间的函数关系 )为求在时刻 的瞬时速度,
)( txx?
0t
0t ttt 0
t
2009-7-25 30
[解 ]
的平均速度到求时段 ttt00)1(
t
txttx
ttv
)()(
),( 000
速度平均速度的极限是瞬时)2(
t
txttx
tv
t?
)()(
l i m)( 00
00
如果极限 存在,这个极限值就是 汽车 的瞬时速度,
2009-7-25 31
[例 2] 曲线的切线斜率问题
)).(,(
),(),,(
].,[)(
)()(,
00
0000
xfy
yxMLbax
baCxf
bxaxfyL
其中的切线在点求曲线其方程为设曲线什麽是曲线的切线？
2009-7-25 32
x
y
o
0M
N
0x xx0
T
)(,xfyL?
的极限位置就是切线割线时当,0MN?
割线切线
2009-7-25 33
x
xfxxf
xk
x?
)()(
l i m)( 00
00
x
xfxxfxxk
)()(),( 00
0
的割线斜率到求区间 xxx00)1(
斜率割线斜率的极限是切线)2(
))(()( 000 xxxkxfy
的切线方程在点曲线 ),()3( 000 yxML
