2009-7-25 1
作业
P68 习题 3.2
13(5),14(6),15(2),16(3),
P73 习题 3.3
4(1),5(5),7(4),9.
P78 习题,
5(5) (6) (8),6(3),7,8.
复习 P60— P78
2009-7-25 2
二、高阶导数第七讲 导数与微分 (三 )
一、导数与微分的运算法则
（续）
2009-7-25 3
一、导数与微分运算法则
1,四则运算求导法则
2,复合函数求导法则
3,反函数求导法
4,隐函数求导法
5,参数方程求导法
6,对数微分法
2009-7-25 4
5,参数方程求导法参数方程)1(
]2,0[
s i n
c o s
]1[
t
tby
tax
椭圆：例
0,
)c o s1(
)s i n(
]2[?
a
tay
ttax
摆线：例
a?
a?2
2009-7-25 5
]2,0[
s i n
c o s
]3[
3
3
t
tay
tax
星形线：例
a
内旋轮线
0,3
2
3
2
3
2
aayx隐函数方程：
2009-7-25 6
0 1 20
(2) 参数方程求导法
dx
dy如何求
).()(
,0)(,)(),(
1 xttx
ttt
存在可导的反函数且都存在设确定由参数方程：设函数
)(
)(
)(
ty
tx
xfy
2009-7-25 7
的复合函数成为通过 xty?
)( ty
分析函数关系,
)()( 1 xttx
)]([ 1 xy
利用复合函数和反函数微分法,得
)(
)(
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
2009-7-25 8
]2,0[
s i n
c o s
]9[
t
tby
tax
求椭圆：例
,
24
c o s,
4
aaxt 时当
.
4
处的切线方程在t
24
s i n bby
)
2
,
2
(,0
aa
M切点?
[解 ]
4
t a n, t
dx
dyk切线斜率
2009-7-25 9
t
a
b
ta
tb
t
t
dx
dy
c o t
s i n
c o s
)(
)(
a
b
a
b
dx
dy
k t
4
4
s i n
c o s
4?
:切线方程? )
2
(
2
a
x
a
bb
y
bx
a
b
y 2即
2009-7-25 10
的导数求幂指函数 )()()( xvxuxf?
)(ln)()( xuxvexf?
再应用复合函数微分法（链式法则）
方法二,利用对数微分法方法一,
)(
)( ])([ l n
xf
xfxf
6,对数微分法
])() [ l n()( xfxfxf
2009-7-25 11
yxy x 的导数求幂指函数例 c o s)( s i n]1[
得到求导两边对,x
x
x
xxxy
y s i n
c o s
c o s)l n ( s i n)s i n(
1
[解 ] 两边取对数,得得解出,y?
)]l n ( s i ns i n
s i n
c o s[)( s i n 2c o s xx
x
xxy x
对数微分法
)l n ( s i nc o sln xxy
2009-7-25 12
y
xx
xx
y?
求设例,
)4)(3(
)2)(1(
]2[ 3
)]4ln()3ln()2ln()1[ l n (
3
1ln xxxxy
]
4
1
3
1
2
1
1
1
[
3
1
xxxxy
y
[解 ]
)
4
1
3
1
2
1
1
1
(
)4)(3(
)2)(1(
3
1
)( l n
3
xxxxxx
xx
yyy
2009-7-25 13
[例 3]
[解 ] 求切线斜率
(x,y)处切线方程：
。间的线段长度等于常数两坐标轴之上任一点处的切线介于证明星形线 3
2
3
2
3
2
ayx
0
3
2
3
2
3
1
3
1
yyx
3
3
x
y
y
)(
3
3
xX
x
y
yY
2009-7-25 14
化为截距式线段长度：
常数
3
2
3
2
3
2 3333 )( axyyxxyyXxY
1
3 23 2
ya
Y
xa
X
aayaxal 223 223 2 )()(
2009-7-25 15
近似计算—微分的简单应用
xxfxfxxf
dyyx
)()()(
,1
000
即有时当
)()()()(
)()()(
000
000
xxxfxfxf
xxfxfxxf
或
xffxf
x
)0()0()(
,00 有时当
2009-7-25 16
例 的近似值求 2160c o s
)
18060
12
3
c o s (2160c o s
3
,c o s)( 0 xxxf令
)
1 0 8 0 0
12
3
c o s (
[解 ]
1 0 8 0 0
12
0
xxx
2009-7-25 17
则有
3
s i n)(,
3
c o s)( 00 xfxf
得由近似公式
)()()()(
000
xxxfxfxf
4970.0
1 0 8 0 0
12
2
3
2
1
1 0 8 0 0
12
3
s i n
3
c o s2160c o s
2009-7-25 18
xxxx
xa r c t g xxx
xxxx
xxxe
xffxfx
x
2
1
11,1)1(
,a r c s i n
t a n,s i n
)1l n (,1
)0()0()(,1
可得下列近似公式：
利用时当
2009-7-25 19
2
2
),(),(
,)(
,)()(
dx
yd
xyxf
xxf
xxfxf
或或记作的二阶导数在称为函数的导数在的导函数函数
二、高阶导数
x
xfxxf
xf
x?
)()(
l i m)(
0
即
（一）高阶导数定义
2009-7-25 20
3
3
),(),(
,)(,
)()(
dx
yd
xyxf
xxf
xxfxf
或或记作的三阶导数在称为函数导数的在的二阶导函数函数
x
xfxxfxf nn
x
n
)()(l i m)( )1()1(
0
)(
即
n
n
nn
dx
yd
xyxf
nxxf
xnxf
或或记作阶导数的在称为函数的导数阶导函数在的函数
),(),(
,)(
,)1()(
)()(
2009-7-25 21
)( tss?变速直线运动：
瞬时速度—
一阶导数：
)()( tvts
瞬时加速度—
二阶导数：
)()( tats
二阶导数的物理意义
2009-7-25 22
)(),,2,1(]1[ nn ynxy 求例
1 nnxy
2)1( nxnny
!)( ny n?
[解 ]
用数学归纳法可以证明
2009-7-25 23
aay x ln
)(),1,0(]2[ nx yaaay 求例
2)( l n aay x
nxn aay )( l n)(?
xnx ee?)()(特例：
用数学归纳法可以证明
[解 ]
2009-7-25 24
.s i n]3[ 阶导数的求例 nx
)
2
s i n ()( s i n )( nxx n
)
2
s i n (c o s)( s i n xxx
xxx ])2[ s i n ()( s i n
)
2
2s i n ()
2
c o s ( xx
[解 ]
xxx ])22[ s i n ()( s i n
)
2
3s i n ()
2
2c o s ( xx
用数学归纳法
2009-7-25 25
).0(,3/)0(,
01c o s22)(]4[
yy
yexfy x
求且确定由方程函数例
求导方程两边对 x
)1(0s i n22 yye x
得代入将 ),1(,3/)0(,0 yx
3
2)0(y
[解 ]
得求导式两边再对,)1( x
得代入将 ),2(,3/2)0(,3/)0(,0 yyx?
9
310)0(y
)2(0s i nco s 2 yyyye x
2009-7-25 26
).(,
c o ss i n
c o sln
)(]5[
xy
ttty
tx
xfy
求确定由参数方程设函数例
tt
tt
tttt
tx
tyxy c o s
c o s/s i n
s i nc o sc o s
)(
)()(
[解 ]
xxydx
dxy ))(()(
ttxy
tx
xy
c o s)(
c o sln
)( 由参数方程确定
2009-7-25 27
xxyxy ])([)(
t
t
t
tt
)c o s( l n
)c o s(
tttxy )co s()(:][注意
tt
ttt
c o s/s i n
s i nc o s
t
tttt
s i n
c o ss i nc o s 2
)(
])([
tx
xy t
2009-7-25 28
则阶导数有设函数,)(),( nxvxu
)()()()()1( nnn vuvu
)()()()2( nn ucuc
)()(
0
)()()3( kkn
n
k
k
n
n vuCvu
),,( )0()0( vvuu其中式称为莱布尼兹公式)3(
（二）高阶导数性质
2009-7-25 29
)(32,]15[ nx yexy 求设例
则令,,23 xveu x
,2,2 vxv
由莱布尼兹公式得
),,2,1(3 3)( nkeu xkk
0)()4( nvvv?
)()(
!2
)1(
)()()()(
2)2(3
2)1(32)(3)(23)(
xe
nn
xenxexey
nx
nxnxnxn
)]1(69[3 232 nnnxxe xn
[解 ]
2009-7-25 30
vuvuvu )(
xux uyy
乘、除四则计算法则特别注意)1(
复合求导法则)2(
2)( v
vuvu
v
u
函数关系注意分析清楚
[小结 1] 导数计算要求反函数求导公式
)('
1
)]'([)3(
1
xf
yf?
0)( xf
2009-7-25 31
)(
])([
))(()(
tx
xy
xyxy tx
求二阶导数注意怎样参数方程求导时要特别)5(
txyxy ))(()(
.
,,)4(
复合求导问题有两边求导时隐函数求导法则数或幂指函数。
子乘除的函对数微分法适用于多因)6(
2009-7-25 32
[小结 2],几个概念之间的关系连续可微可微可导连续极限存在
)(1 ICf?
作业
P68 习题 3.2
13(5),14(6),15(2),16(3),
P73 习题 3.3
4(1),5(5),7(4),9.
P78 习题,
5(5) (6) (8),6(3),7,8.
复习 P60— P78
2009-7-25 2
二、高阶导数第七讲 导数与微分 (三 )
一、导数与微分的运算法则
（续）
2009-7-25 3
一、导数与微分运算法则
1,四则运算求导法则
2,复合函数求导法则
3,反函数求导法
4,隐函数求导法
5,参数方程求导法
6,对数微分法
2009-7-25 4
5,参数方程求导法参数方程)1(
]2,0[
s i n
c o s
]1[
t
tby
tax
椭圆：例
0,
)c o s1(
)s i n(
]2[?
a
tay
ttax
摆线：例
a?
a?2
2009-7-25 5
]2,0[
s i n
c o s
]3[
3
3
t
tay
tax
星形线：例
a
内旋轮线
0,3
2
3
2
3
2
aayx隐函数方程：
2009-7-25 6
0 1 20
(2) 参数方程求导法
dx
dy如何求
).()(
,0)(,)(),(
1 xttx
ttt
存在可导的反函数且都存在设确定由参数方程：设函数
)(
)(
)(
ty
tx
xfy
2009-7-25 7
的复合函数成为通过 xty?
)( ty
分析函数关系,
)()( 1 xttx
)]([ 1 xy
利用复合函数和反函数微分法,得
)(
)(
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
2009-7-25 8
]2,0[
s i n
c o s
]9[
t
tby
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求椭圆：例
,
24
c o s,
4
aaxt 时当
.
4
处的切线方程在t
24
s i n bby
)
2
,
2
(,0
aa
M切点?
[解 ]
4
t a n, t
dx
dyk切线斜率
2009-7-25 9
t
a
b
ta
tb
t
t
dx
dy
c o t
s i n
c o s
)(
)(
a
b
a
b
dx
dy
k t
4
4
s i n
c o s
4?
:切线方程? )
2
(
2
a
x
a
bb
y
bx
a
b
y 2即
2009-7-25 10
的导数求幂指函数 )()()( xvxuxf?
)(ln)()( xuxvexf?
再应用复合函数微分法（链式法则）
方法二,利用对数微分法方法一,
)(
)( ])([ l n
xf
xfxf
6,对数微分法
])() [ l n()( xfxfxf
2009-7-25 11
yxy x 的导数求幂指函数例 c o s)( s i n]1[
得到求导两边对,x
x
x
xxxy
y s i n
c o s
c o s)l n ( s i n)s i n(
1
[解 ] 两边取对数,得得解出,y?
)]l n ( s i ns i n
s i n
c o s[)( s i n 2c o s xx
x
xxy x
对数微分法
)l n ( s i nc o sln xxy
2009-7-25 12
y
xx
xx
y?
求设例,
)4)(3(
)2)(1(
]2[ 3
)]4ln()3ln()2ln()1[ l n (
3
1ln xxxxy
]
4
1
3
1
2
1
1
1
[
3
1
xxxxy
y
[解 ]
)
4
1
3
1
2
1
1
1
(
)4)(3(
)2)(1(
3
1
)( l n
3
xxxxxx
xx
yyy
2009-7-25 13
[例 3]
[解 ] 求切线斜率
(x,y)处切线方程：
。间的线段长度等于常数两坐标轴之上任一点处的切线介于证明星形线 3
2
3
2
3
2
ayx
0
3
2
3
2
3
1
3
1
yyx
3
3
x
y
y
)(
3
3
xX
x
y
yY
2009-7-25 14
化为截距式线段长度：
常数
3
2
3
2
3
2 3333 )( axyyxxyyXxY
1
3 23 2
ya
Y
xa
X
aayaxal 223 223 2 )()(
2009-7-25 15
近似计算—微分的简单应用
xxfxfxxf
dyyx
)()()(
,1
000
即有时当
)()()()(
)()()(
000
000
xxxfxfxf
xxfxfxxf
或
xffxf
x
)0()0()(
,00 有时当
2009-7-25 16
例 的近似值求 2160c o s
)
18060
12
3
c o s (2160c o s
3
,c o s)( 0 xxxf令
)
1 0 8 0 0
12
3
c o s (
[解 ]
1 0 8 0 0
12
0
xxx
2009-7-25 17
则有
3
s i n)(,
3
c o s)( 00 xfxf
得由近似公式
)()()()(
000
xxxfxfxf
4970.0
1 0 8 0 0
12
2
3
2
1
1 0 8 0 0
12
3
s i n
3
c o s2160c o s
2009-7-25 18
xxxx
xa r c t g xxx
xxxx
xxxe
xffxfx
x
2
1
11,1)1(
,a r c s i n
t a n,s i n
)1l n (,1
)0()0()(,1
可得下列近似公式：
利用时当
2009-7-25 19
2
2
),(),(
,)(
,)()(
dx
yd
xyxf
xxf
xxfxf
或或记作的二阶导数在称为函数的导数在的导函数函数
二、高阶导数
x
xfxxf
xf
x?
)()(
l i m)(
0
即
（一）高阶导数定义
2009-7-25 20
3
3
),(),(
,)(,
)()(
dx
yd
xyxf
xxf
xxfxf
或或记作的三阶导数在称为函数导数的在的二阶导函数函数
x
xfxxfxf nn
x
n
)()(l i m)( )1()1(
0
)(
即
n
n
nn
dx
yd
xyxf
nxxf
xnxf
或或记作阶导数的在称为函数的导数阶导函数在的函数
),(),(
,)(
,)1()(
)()(
2009-7-25 21
)( tss?变速直线运动：
瞬时速度—
一阶导数：
)()( tvts
瞬时加速度—
二阶导数：
)()( tats
二阶导数的物理意义
2009-7-25 22
)(),,2,1(]1[ nn ynxy 求例
1 nnxy
2)1( nxnny
!)( ny n?
[解 ]
用数学归纳法可以证明
2009-7-25 23
aay x ln
)(),1,0(]2[ nx yaaay 求例
2)( l n aay x
nxn aay )( l n)(?
xnx ee?)()(特例：
用数学归纳法可以证明
[解 ]
2009-7-25 24
.s i n]3[ 阶导数的求例 nx
)
2
s i n ()( s i n )( nxx n
)
2
s i n (c o s)( s i n xxx
xxx ])2[ s i n ()( s i n
)
2
2s i n ()
2
c o s ( xx
[解 ]
xxx ])22[ s i n ()( s i n
)
2
3s i n ()
2
2c o s ( xx
用数学归纳法
2009-7-25 25
).0(,3/)0(,
01c o s22)(]4[
yy
yexfy x
求且确定由方程函数例
求导方程两边对 x
)1(0s i n22 yye x
得代入将 ),1(,3/)0(,0 yx
3
2)0(y
[解 ]
得求导式两边再对,)1( x
得代入将 ),2(,3/2)0(,3/)0(,0 yyx?
9
310)0(y
)2(0s i nco s 2 yyyye x
2009-7-25 26
).(,
c o ss i n
c o sln
)(]5[
xy
ttty
tx
xfy
求确定由参数方程设函数例
tt
tt
tttt
tx
tyxy c o s
c o s/s i n
s i nc o sc o s
)(
)()(
[解 ]
xxydx
dxy ))(()(
ttxy
tx
xy
c o s)(
c o sln
)( 由参数方程确定
2009-7-25 27
xxyxy ])([)(
t
t
t
tt
)c o s( l n
)c o s(
tttxy )co s()(:][注意
tt
ttt
c o s/s i n
s i nc o s
t
tttt
s i n
c o ss i nc o s 2
)(
])([
tx
xy t
2009-7-25 28
则阶导数有设函数,)(),( nxvxu
)()()()()1( nnn vuvu
)()()()2( nn ucuc
)()(
0
)()()3( kkn
n
k
k
n
n vuCvu
),,( )0()0( vvuu其中式称为莱布尼兹公式)3(
（二）高阶导数性质
2009-7-25 29
)(32,]15[ nx yexy 求设例
则令,,23 xveu x
,2,2 vxv
由莱布尼兹公式得
),,2,1(3 3)( nkeu xkk
0)()4( nvvv?
)()(
!2
)1(
)()()()(
2)2(3
2)1(32)(3)(23)(
xe
nn
xenxexey
nx
nxnxnxn
)]1(69[3 232 nnnxxe xn
[解 ]
2009-7-25 30
vuvuvu )(
xux uyy
乘、除四则计算法则特别注意)1(
复合求导法则)2(
2)( v
vuvu
v
u
函数关系注意分析清楚
[小结 1] 导数计算要求反函数求导公式
)('
1
)]'([)3(
1
xf
yf?
0)( xf
2009-7-25 31
)(
])([
))(()(
tx
xy
xyxy tx
求二阶导数注意怎样参数方程求导时要特别)5(
txyxy ))(()(
.
,,)4(
复合求导问题有两边求导时隐函数求导法则数或幂指函数。
子乘除的函对数微分法适用于多因)6(
2009-7-25 32
[小结 2],几个概念之间的关系连续可微可微可导连续极限存在
)(1 ICf?
