2009-7-25 1
作业 P43 习题 2.3
10,12(3)(4)(7)(10).
P49 习题 2.4
9(1)(4)(6),
练习 P43 习题 2.3 4,5,8.
P49 习题 2.4 1,2,5.
2009-7-25 2
第三讲 (一 ) 无穷小量 (续 )
(二 )连续函数一、三个重要关系二,无穷小量的比较三,求极限举例四,函数连续性的定义
2009-7-25 3
1.（无穷小与无穷大）
.
)(
1
,,)(
,
是无穷小则在这个变化过程中是无穷大化过程中若在自变量的某一个变
xf
xf
.)(
),()()(lim
时的无穷小是当其中
xx
xAxfAxf
x
2.（极限与无穷小）
一、三个重要关系
2009-7-25 4
3.无穷大与无界函数无界。反之不一定。则是无穷大化过程中若在自变量的某一个变
)(,
)(,
xf
xf
问题：
两个无穷小量的商是否为无穷小量？
xxxxf,s i n)(][ 例
2009-7-25 5
二、无穷小量的比较
.)()(
,,1
)(
)(
l i m,;)()(
,,0
)(
)(
l i m)1(
.)()(
,
是等价无穷小与时称当时当特别是同阶无穷小与时则称当若都是无穷小与过程中设在自变量的同一变化
xgxf
x
xg
xf
xgxf
xA
xg
xf
xgxf
x
x
定义：
)()(~)(xxgxf记作
2009-7-25 6
).())(()(
.)()(
,,0
)(
)(
lim)2(
xxgxf
xgxf
x
xg
xf
x
记作相比是高阶无穷小与时则称当若
.)()(
,,0
)]([
)(
lim)3(
阶无穷小相比是与时则称当若
kxgxf
xA
xg
xf
k
ax
2009-7-25 7
).(
))(()(
)(
)(
,)(,0)2(
0
0
*
xx
xgOxfM
xg
xf
xNxM
则记成有时使当若
))(()(,
)(
)(lim
0
xgOxfA
xg
xf
xx
则有若
))(()(,0
)(
)(
lim)1(
0
xgxf
xg
xf
xx
则记若
”“”与“符号 O?
2009-7-25 8
几个常用的等价无穷小量
)0(?x
xxxx
axaxe
xxxx
xxxx
xx
2
1
~11~)1l n (
ln~1~1
~a r c t a n~a r c s i n
~t a n~s i n
2009-7-25 9
等价无穷小量的性质
)(,s i n,1
)(s i n
~s i n,0][
xxxx
xxx
xxx
误差是时当时当例
))(()()(
))(()()(
)(~)(,
)(),(,
xgxgxf
xfxgxf
xgxf
xgxfx
或则无穷小均为时设当性质 1：
2009-7-25 10
)(
)(l i m
)(
)(l i m
)(
)(l i m
)(
)(l i m 1
1
1
1 xg
xg
xg
xf
xf
xf
xg
xf
xxxx
存在，
且有均为无穷小时若当
)(
)(
lim),(~)(
),(~)(,)(
),(),(),(,
1
1
1
11
1
xg
xf
xgxg
xfxfxg
xfxgxfx
x
性质 2：
)(
)(lim
)(
)(lim
1
1
xg
xf
xg
xf
xx
则有等价代换
)(
)(l i m
)(
)(l i m
1
1
00 xg
xf
xg
xf
xx
2009-7-25 11
[解 ]
5
4
)12(
)2(
lim
)2)(12(
)2)(2(
lim
232
4
lim
2
2
2
2
2
x
x
xx
xx
xx
x
x
xx
)232(
5
4
~)4(;
)232()4(,2
22
22
xxx
xxxx
同阶无穷小是与时当
232
4lim
2
2
2
xx
x
x
[例 1]
三、求极限举例
2009-7-25 12
c o s1
lim 2
0
x
x
x
2
2
2
2
02
2
2
2
0 )(
)( s i n
lim
2
1
4)(
)( s i n2
lim
x
x
xx
x
x
2
2
2
020
s i n2
l i m
c o s1
l i m
xx
x x
xx
2
1s i n
lim
s i n
lim
2
1
2
2
0
2
2
0
x
x
xx
x
x
[例 2]
[解 ]
2009-7-25 13
)()(co s1 2 同阶xOx
)()(c o s1 高阶xx
)(
2
1
~c o s1 2 等价xx?
阶无穷小量的是 2c o s1 xx?
2
1c o s1
lim 2
0 x
x
x
1
c o s1
lim 2
2
10
x
x
x
2009-7-25 14
x
xx
x 30 s i n
s i nt a n
lim
2
1
lim 2
2
2
1
0
x
x
x
s i n
s i nt a n
lim 3
0
x
xx
x
[例 3]
[解 ]
x
x
x 20 s i n
c o s1
l i m
xx
x
x c o s
1
s i n
c o s1
l i m 2
0
2009-7-25 15
)(s i nt a n 3xOxx
2
~s i nt a n
3x
xx?)(s i nt a n
2xxx
是 x 的 3 阶无穷小
0lim
s i n
s i nt a n
lim 3
030
x
xx
x
xx
xx
xxxxx ~s i n,~t a n,0 时当?
讨论：
代数和不能代换！
2009-7-25 16
)1l n (
l i m
0
x
x
x
[解 ]
x
xx
x
x
x 1
00
)1l n (lim
)1l n (
lim
1lnlim)1(lim
1
0
uex
eu
x
x
因为
1
)1l n (
l i m
0
x
x
x
所以
[例 4]
2009-7-25 17
1
l i m
0
x
a x
x
x
e
x
a ax
x
x
x
1
l i m
1
l i m
ln
00
a
x
ax
x
ln
ln
l i m
0
)0(ln~1 xaxa x
))0(~1( xxe x因为
[解 ]
[例 5]
2009-7-25 18
t a n
3)s i n23(
lim 2
0
x
x xx
x
[解 ]
[例 6]
x
x xx
x 20 t a n
3)s i n23(
lim
2
3
2
0
1)s i n1(
3lim
x
x xx
x
2
)s i n1l n (
0
1
l i m
3
2
x
e xx
x
2
3
2
0
)s i n1ln(
l i m
x
xx
x
3
2s i nlim 32
0
x
x
x
2009-7-25 19
)s i n (
c o s21
lim
33
x
x
x
,
3
ux作变换 ux
3
则
0,
3
, ux 时当并且?
[解 ]
)
3
c o s (21c o s21 ux又
[例 7]
)s in
3
s inc o s
3
( c o s21 uu
uu s i n3co s1
2009-7-25 20
3
s i n
c o s1
lim
s i n
s i n3c o s1
lim
)
3
s i n (
c o s21
lim
0
0
3
u
u
u
uu
x
x
u
ux?
从而
3
2
c o s
2
s i n2
2
s i n2
lim
2
0
uu
u
u
33
2
c o s
1
l i m
2
s i nl i m
00
u
u
uu
3l i m
2
2
1
0
u
u
u
3?
或者
2009-7-25 21
连 续 函 数
2009-7-25 22
函数连续性的定义函数的连续性描述函数的渐变性态,
在通常意义下，对函数连续性有三种描述：
当自变量有微小变化时，因变量的变化也是微小的；
自变量的微小变化不会引起因变量的跳变；
连续函数的图形可以一笔画成,不断开,
2009-7-25 23
2xy?
xy ta n?
例如：
上连续在 ),(
上连续在 )
2
,
2
(
xy s i n?
2009-7-25 24
处间断在点 0?x
0,2
,0,1
)(
x
x
xfy
x
y
O
1
2
2009-7-25 25
处间断在点 0?x
x
y
O
.0,1
,0,0
,0,1
)(
xx
x
xx
xgy
2009-7-25 26
处间断在点 0?x
2009-7-25 27
.
,;
,
)()(lim
,)(
0
0
0
0
0
0
0
的一个间断点是函数称处间断在点否则称函数的一个连续点是函数称处连续在点则称函数如果的某邻域内有定义在设
fx
xf
fx
xf
xfxf
xxf
xx
定义 1：
以上描述实质上是同意的反复,数学上要确切地刻画函数连续性,必须用 极限 作定量地描述,
（一）定义
2009-7-25 28
缺一不可三个条件处连续蕴涵以下在点函数
,
0xf
[注意 1];)1( 0 的某邻域内有定义在点 xf
以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性,
)()lim()(lim 0
00
xfxfxf
xxxx
.
0
换顺序运算与函数运算可以交处连续意味着极限在点函数 xf
[注意 2];)(lim)2(
0
存在极限 xf
xx?
.)()(lim)3( 0
0
相等与函数值极限 xfxf
xx?
2009-7-25 29;)(
)()(lim
,],()(
0
0
0
0
处左连续在则称且上有定义在设函数
xxf
xfxf
xaxf
xx
定义 2：;)(
)()(lim
,),[)(
0
0
0
0
处右连续在则称且上有定义在设函数
xxf
xfxf
bxxf
xx
（函数在一点的单侧连续性）
2009-7-25 30
),(.),(
)(,
),()()1(
baCfba
xf
baxf
记作内连续在开区间则称每一点处都连续的在开区间若函数
],[.],[
)(,,
,),()()2(
baCfba
xfba
baxf
记作上连续在闭区间则称左连续在点右连续且在点内连续在开区间若函数定义 3,（ 函数在区间上的连续性）
2009-7-25 31
（二）间断点的分类根据间断点的不同情况，可以分为三类：
1,可去型间断点
)(,)(lim 0
0
xfxf
xx
但是不等于存在
可去型间断不是本质性的间断,可以重新定义,使其连续,
)(l im)(
0
0 xfxf xx令
2009-7-25 32
没有定义在点 0s i n)( x
x
xxf[例如 ]
是可去型间断点故但是 01s i nlim
0
x
x
x
x
0,1
0,
s i n
)(
1
x
x
x
x
xf若令的一个连续点就成为则 )(0 1 xfx?
2009-7-25 33
2,第一类间断点但是不相等都存在和,)(lim)(lim
00
xfxf
xxxx
))(l i m)(l i m),(0()0(
,)(
00
00
0
xfxfxfxf
xxf
xxxx
跃度等于处发生跳跃在点函数
.0,1
,0,0
,0,1
s g n
时当时当时当
x
x
x
xy
[例 ] 符号函数是第一类间断点0?x
2009-7-25 34
至少一个不存在和 )(lim)(lim
00
xfxf
xxxx
3,第二类间断点
x
y 1?
是第二类间断点0?x
x
y 1s i n?
[例 ]
2009-7-25 35
五、函数连续性的基本性质
（一）连续性定义的等价形式：
下列命题等价则的某邻域内有定义在设,)( 0xxf
)()(lim)1( 0
0
xfxf
xx
)()()()2( 0 xxfxf
)0)(li m(
0
x
xx
其中
2009-7-25 36
)()()(,
0)(lim)4(
000
0
0
xfxfxfxxx
xf
x
既左连续又右连续在点）（ 03 xf
)()(lim)(lim 0
00
xfxfxf
xxxx
（二）连续函数的有界性：
)(
,
0
00
有界在点简称某邻域上有界的在则连续在点若函数
xf
xfxf
2009-7-25 37
.)()(
),(,0
.
,0)(,
0
00
0
00
同号与上使在即的某邻域上保号在点则且连续在点若函数
xfxf
xx
xf
xfxf
（三）连续函数的保号性：
2009-7-25 38
连续也在 0 )2( xgf?
则连续都在点若,,0xgf
连续也在函数对任意常数
0
,,)1(
x
gf
连续也在则若 00,0)()3( x
g
fxg?
（四）连续函数的运算性质：
.
)]([),(
,)(,)()4(
000
00
连续在则复合函数且连续在连续在若
ttgftgx
xxfttgx
2009-7-25 39
（六）初等函数的连续性初等函数在其定义区间上是连续的。
（五） 关于反函数的连续性
.
)])(),([()](),([
)(,
],[)(
1
严格单调且连续上也或区间在闭则其反函数单调且连续上严格在闭区间若函数
afbfbfaf
yfx
baxfy
.,2
1c o s)(
Znnx
xxf
定义域为离散点是初等函数。例：
2009-7-25 40
的连续性。研究函数例 nn
nn
n xx
xxxf
2l i m)(][
[解 ] 的表达式先求 )( xf
1,
,1,0
,10,1
1
1
lim)(
2
2
22
xx
x
x
x
x
xf
n
n
n
.,)(,
),1(),1,0(),0,1(),1,(
所以连续是初等函数上在
xf
非初等函数连续性问题举例
2009-7-25 41
1)(l i m,1)(l i m
11
xfxf
xx
1)(l i m,1)(l i m
11
xfxf
xx
1)(lim
0
xf
x
可去型间断点0 x
间断点1,0 xx
第一类间断点1x
2009-7-25 42
时当时当时当讨论下列函数的连续性例
0,
,0,
2
1
,0,
11
)(
][
1
xe
x
x
x
x
xf
x
.,
11
)(,0
在定义区间上连续初等函数时当
x
x
xfx
[解 ]
2009-7-25 43
.,
)(,0
1
在定义区间上连续也是初等函数时当 xexfx
)0(
2
111l i m)(l i m
00
f
x
xxf
xx
xexf
xx
1
00
lim)(lim
).)(:(
)(0.0
,0)(,
0
处右连续在注意第二类间断点的是点处不连续在点处都是连续的在综上所述
xxf
xfxx
xxf
作业 P43 习题 2.3
10,12(3)(4)(7)(10).
P49 习题 2.4
9(1)(4)(6),
练习 P43 习题 2.3 4,5,8.
P49 习题 2.4 1,2,5.
2009-7-25 2
第三讲 (一 ) 无穷小量 (续 )
(二 )连续函数一、三个重要关系二,无穷小量的比较三,求极限举例四,函数连续性的定义
2009-7-25 3
1.（无穷小与无穷大）
.
)(
1
,,)(
,
是无穷小则在这个变化过程中是无穷大化过程中若在自变量的某一个变
xf
xf
.)(
),()()(lim
时的无穷小是当其中
xx
xAxfAxf
x
2.（极限与无穷小）
一、三个重要关系
2009-7-25 4
3.无穷大与无界函数无界。反之不一定。则是无穷大化过程中若在自变量的某一个变
)(,
)(,
xf
xf
问题：
两个无穷小量的商是否为无穷小量？
xxxxf,s i n)(][ 例
2009-7-25 5
二、无穷小量的比较
.)()(
,,1
)(
)(
l i m,;)()(
,,0
)(
)(
l i m)1(
.)()(
,
是等价无穷小与时称当时当特别是同阶无穷小与时则称当若都是无穷小与过程中设在自变量的同一变化
xgxf
x
xg
xf
xgxf
xA
xg
xf
xgxf
x
x
定义：
)()(~)(xxgxf记作
2009-7-25 6
).())(()(
.)()(
,,0
)(
)(
lim)2(
xxgxf
xgxf
x
xg
xf
x
记作相比是高阶无穷小与时则称当若
.)()(
,,0
)]([
)(
lim)3(
阶无穷小相比是与时则称当若
kxgxf
xA
xg
xf
k
ax
2009-7-25 7
).(
))(()(
)(
)(
,)(,0)2(
0
0
*
xx
xgOxfM
xg
xf
xNxM
则记成有时使当若
))(()(,
)(
)(lim
0
xgOxfA
xg
xf
xx
则有若
))(()(,0
)(
)(
lim)1(
0
xgxf
xg
xf
xx
则记若
”“”与“符号 O?
2009-7-25 8
几个常用的等价无穷小量
)0(?x
xxxx
axaxe
xxxx
xxxx
xx
2
1
~11~)1l n (
ln~1~1
~a r c t a n~a r c s i n
~t a n~s i n
2009-7-25 9
等价无穷小量的性质
)(,s i n,1
)(s i n
~s i n,0][
xxxx
xxx
xxx
误差是时当时当例
))(()()(
))(()()(
)(~)(,
)(),(,
xgxgxf
xfxgxf
xgxf
xgxfx
或则无穷小均为时设当性质 1：
2009-7-25 10
)(
)(l i m
)(
)(l i m
)(
)(l i m
)(
)(l i m 1
1
1
1 xg
xg
xg
xf
xf
xf
xg
xf
xxxx
存在，
且有均为无穷小时若当
)(
)(
lim),(~)(
),(~)(,)(
),(),(),(,
1
1
1
11
1
xg
xf
xgxg
xfxfxg
xfxgxfx
x
性质 2：
)(
)(lim
)(
)(lim
1
1
xg
xf
xg
xf
xx
则有等价代换
)(
)(l i m
)(
)(l i m
1
1
00 xg
xf
xg
xf
xx
2009-7-25 11
[解 ]
5
4
)12(
)2(
lim
)2)(12(
)2)(2(
lim
232
4
lim
2
2
2
2
2
x
x
xx
xx
xx
x
x
xx
)232(
5
4
~)4(;
)232()4(,2
22
22
xxx
xxxx
同阶无穷小是与时当
232
4lim
2
2
2
xx
x
x
[例 1]
三、求极限举例
2009-7-25 12
c o s1
lim 2
0
x
x
x
2
2
2
2
02
2
2
2
0 )(
)( s i n
lim
2
1
4)(
)( s i n2
lim
x
x
xx
x
x
2
2
2
020
s i n2
l i m
c o s1
l i m
xx
x x
xx
2
1s i n
lim
s i n
lim
2
1
2
2
0
2
2
0
x
x
xx
x
x
[例 2]
[解 ]
2009-7-25 13
)()(co s1 2 同阶xOx
)()(c o s1 高阶xx
)(
2
1
~c o s1 2 等价xx?
阶无穷小量的是 2c o s1 xx?
2
1c o s1
lim 2
0 x
x
x
1
c o s1
lim 2
2
10
x
x
x
2009-7-25 14
x
xx
x 30 s i n
s i nt a n
lim
2
1
lim 2
2
2
1
0
x
x
x
s i n
s i nt a n
lim 3
0
x
xx
x
[例 3]
[解 ]
x
x
x 20 s i n
c o s1
l i m
xx
x
x c o s
1
s i n
c o s1
l i m 2
0
2009-7-25 15
)(s i nt a n 3xOxx
2
~s i nt a n
3x
xx?)(s i nt a n
2xxx
是 x 的 3 阶无穷小
0lim
s i n
s i nt a n
lim 3
030
x
xx
x
xx
xx
xxxxx ~s i n,~t a n,0 时当?
讨论：
代数和不能代换！
2009-7-25 16
)1l n (
l i m
0
x
x
x
[解 ]
x
xx
x
x
x 1
00
)1l n (lim
)1l n (
lim
1lnlim)1(lim
1
0
uex
eu
x
x
因为
1
)1l n (
l i m
0
x
x
x
所以
[例 4]
2009-7-25 17
1
l i m
0
x
a x
x
x
e
x
a ax
x
x
x
1
l i m
1
l i m
ln
00
a
x
ax
x
ln
ln
l i m
0
)0(ln~1 xaxa x
))0(~1( xxe x因为
[解 ]
[例 5]
2009-7-25 18
t a n
3)s i n23(
lim 2
0
x
x xx
x
[解 ]
[例 6]
x
x xx
x 20 t a n
3)s i n23(
lim
2
3
2
0
1)s i n1(
3lim
x
x xx
x
2
)s i n1l n (
0
1
l i m
3
2
x
e xx
x
2
3
2
0
)s i n1ln(
l i m
x
xx
x
3
2s i nlim 32
0
x
x
x
2009-7-25 19
)s i n (
c o s21
lim
33
x
x
x
,
3
ux作变换 ux
3
则
0,
3
, ux 时当并且?
[解 ]
)
3
c o s (21c o s21 ux又
[例 7]
)s in
3
s inc o s
3
( c o s21 uu
uu s i n3co s1
2009-7-25 20
3
s i n
c o s1
lim
s i n
s i n3c o s1
lim
)
3
s i n (
c o s21
lim
0
0
3
u
u
u
uu
x
x
u
ux?
从而
3
2
c o s
2
s i n2
2
s i n2
lim
2
0
uu
u
u
33
2
c o s
1
l i m
2
s i nl i m
00
u
u
uu
3l i m
2
2
1
0
u
u
u
3?
或者
2009-7-25 21
连 续 函 数
2009-7-25 22
函数连续性的定义函数的连续性描述函数的渐变性态,
在通常意义下，对函数连续性有三种描述：
当自变量有微小变化时，因变量的变化也是微小的；
自变量的微小变化不会引起因变量的跳变；
连续函数的图形可以一笔画成,不断开,
2009-7-25 23
2xy?
xy ta n?
例如：
上连续在 ),(
上连续在 )
2
,
2
(
xy s i n?
2009-7-25 24
处间断在点 0?x
0,2
,0,1
)(
x
x
xfy
x
y
O
1
2
2009-7-25 25
处间断在点 0?x
x
y
O
.0,1
,0,0
,0,1
)(
xx
x
xx
xgy
2009-7-25 26
处间断在点 0?x
2009-7-25 27
.
,;
,
)()(lim
,)(
0
0
0
0
0
0
0
的一个间断点是函数称处间断在点否则称函数的一个连续点是函数称处连续在点则称函数如果的某邻域内有定义在设
fx
xf
fx
xf
xfxf
xxf
xx
定义 1：
以上描述实质上是同意的反复,数学上要确切地刻画函数连续性,必须用 极限 作定量地描述,
（一）定义
2009-7-25 28
缺一不可三个条件处连续蕴涵以下在点函数
,
0xf
[注意 1];)1( 0 的某邻域内有定义在点 xf
以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性,
)()lim()(lim 0
00
xfxfxf
xxxx
.
0
换顺序运算与函数运算可以交处连续意味着极限在点函数 xf
[注意 2];)(lim)2(
0
存在极限 xf
xx?
.)()(lim)3( 0
0
相等与函数值极限 xfxf
xx?
2009-7-25 29;)(
)()(lim
,],()(
0
0
0
0
处左连续在则称且上有定义在设函数
xxf
xfxf
xaxf
xx
定义 2：;)(
)()(lim
,),[)(
0
0
0
0
处右连续在则称且上有定义在设函数
xxf
xfxf
bxxf
xx
（函数在一点的单侧连续性）
2009-7-25 30
),(.),(
)(,
),()()1(
baCfba
xf
baxf
记作内连续在开区间则称每一点处都连续的在开区间若函数
],[.],[
)(,,
,),()()2(
baCfba
xfba
baxf
记作上连续在闭区间则称左连续在点右连续且在点内连续在开区间若函数定义 3,（ 函数在区间上的连续性）
2009-7-25 31
（二）间断点的分类根据间断点的不同情况，可以分为三类：
1,可去型间断点
)(,)(lim 0
0
xfxf
xx
但是不等于存在
可去型间断不是本质性的间断,可以重新定义,使其连续,
)(l im)(
0
0 xfxf xx令
2009-7-25 32
没有定义在点 0s i n)( x
x
xxf[例如 ]
是可去型间断点故但是 01s i nlim
0
x
x
x
x
0,1
0,
s i n
)(
1
x
x
x
x
xf若令的一个连续点就成为则 )(0 1 xfx?
2009-7-25 33
2,第一类间断点但是不相等都存在和,)(lim)(lim
00
xfxf
xxxx
))(l i m)(l i m),(0()0(
,)(
00
00
0
xfxfxfxf
xxf
xxxx
跃度等于处发生跳跃在点函数
.0,1
,0,0
,0,1
s g n
时当时当时当
x
x
x
xy
[例 ] 符号函数是第一类间断点0?x
2009-7-25 34
至少一个不存在和 )(lim)(lim
00
xfxf
xxxx
3,第二类间断点
x
y 1?
是第二类间断点0?x
x
y 1s i n?
[例 ]
2009-7-25 35
五、函数连续性的基本性质
（一）连续性定义的等价形式：
下列命题等价则的某邻域内有定义在设,)( 0xxf
)()(lim)1( 0
0
xfxf
xx
)()()()2( 0 xxfxf
)0)(li m(
0
x
xx
其中
2009-7-25 36
)()()(,
0)(lim)4(
000
0
0
xfxfxfxxx
xf
x
既左连续又右连续在点）（ 03 xf
)()(lim)(lim 0
00
xfxfxf
xxxx
（二）连续函数的有界性：
)(
,
0
00
有界在点简称某邻域上有界的在则连续在点若函数
xf
xfxf
2009-7-25 37
.)()(
),(,0
.
,0)(,
0
00
0
00
同号与上使在即的某邻域上保号在点则且连续在点若函数
xfxf
xx
xf
xfxf
（三）连续函数的保号性：
2009-7-25 38
连续也在 0 )2( xgf?
则连续都在点若,,0xgf
连续也在函数对任意常数
0
,,)1(
x
gf
连续也在则若 00,0)()3( x
g
fxg?
（四）连续函数的运算性质：
.
)]([),(
,)(,)()4(
000
00
连续在则复合函数且连续在连续在若
ttgftgx
xxfttgx
2009-7-25 39
（六）初等函数的连续性初等函数在其定义区间上是连续的。
（五） 关于反函数的连续性
.
)])(),([()](),([
)(,
],[)(
1
严格单调且连续上也或区间在闭则其反函数单调且连续上严格在闭区间若函数
afbfbfaf
yfx
baxfy
.,2
1c o s)(
Znnx
xxf
定义域为离散点是初等函数。例：
2009-7-25 40
的连续性。研究函数例 nn
nn
n xx
xxxf
2l i m)(][
[解 ] 的表达式先求 )( xf
1,
,1,0
,10,1
1
1
lim)(
2
2
22
xx
x
x
x
x
xf
n
n
n
.,)(,
),1(),1,0(),0,1(),1,(
所以连续是初等函数上在
xf
非初等函数连续性问题举例
2009-7-25 41
1)(l i m,1)(l i m
11
xfxf
xx
1)(l i m,1)(l i m
11
xfxf
xx
1)(lim
0
xf
x
可去型间断点0 x
间断点1,0 xx
第一类间断点1x
2009-7-25 42
时当时当时当讨论下列函数的连续性例
0,
,0,
2
1
,0,
11
)(
][
1
xe
x
x
x
x
xf
x
.,
11
)(,0
在定义区间上连续初等函数时当
x
x
xfx
[解 ]
2009-7-25 43
.,
)(,0
1
在定义区间上连续也是初等函数时当 xexfx
)0(
2
111l i m)(l i m
00
f
x
xxf
xx
xexf
xx
1
00
lim)(lim
).)(:(
)(0.0
,0)(,
0
处右连续在注意第二类间断点的是点处不连续在点处都是连续的在综上所述
xxf
xfxx
xxf
