2009-7-25 1
微积分 （一） 小结一,函数
1.定义
.
),(
!,,
,,
上的函数为定义在则称映，记作与其对确定的法则如果按照某种为非空集设
Xfxfy
YyXxf
RYX
2009-7-25 2
（ 1）有界性
2.函数的初等性质
（ 3）奇偶性
（ 4）周期性
.,fD 对映法则定义域函数的两个要素：
（ 2）单调性
2009-7-25 3
4.会分析复合函数中变量的关系，会求给定函数的反函数。
3.利用函数符号描述有关函数的性质；
要求
1.要熟练掌握基本初等函数的定义域、值域及图形；
2.利用给定条件或问题，找出函数关系及定义域；
2009-7-25 4
,)x(f
,xxAA
)x(f
xx.
x)x(f
的极限函数时趋于是当，则称的常数定“无限趋于”一个确应的函数值时，其对“无限趋于”如果当有定义的某空心邻域在点设函数
0
0
0
A)x(fl im
xx
0
记作
1.极限的定义
)xx(A)x(f 0或二、函数的极限
2009-7-25 5
2.极限的性质
（ 1）唯一性,
存在，则极限唯一。若 )(lim
0
xfxx?
（ 2）有界性,
的某邻域中有界。在
，则若
0
)()(l i m
0
x
xfAxf
xx
（ 3）保号性,
.0)(l i m
,)(l i m,0)(
)(0)(l i m
0
0
0
0
xf
xfxf
x
xfAxf
xx
xx
xx
则存在且若的某邻域中必恒为正，在
，则若
2009-7-25 6
3.极限的运算法则
（ 1）四则运算法则
（ 2）复合函数的极限法则
4.无穷小量的比较
.)(
)(1
)(
)(
lim1
0
是等价无穷小量与
，则称）若（
x
x
x
x
xx
,
)()( 0
无穷小量时的两个是及设 xxxx
（ 3）夹逼定理
2009-7-25 7
.)(
)(0
)(
)(
l i m2
0
的高阶无穷小量是
，则称）若（
x
x
x
x
xx
[注意 ] 并非所有无穷小量都可以进行比较例如
,01s i nl i m
0
x
x
x
而
xx
x
x
xx
1
s i nl i m
1
s i n
l i m
00
不存在
2009-7-25 8
搞清以下关系
.0)(lim),()(
)(lim1
0
0
xxAxf
Axf
xx
xx
）（
.
)(
1lim0)(lim)2(
00
x
x
xxxx?
（ 4）无穷大量与无界函数的关系,
) ),(())((
)()()(~)()3(
xx
xxxx
或?
2009-7-25 9
6.求未定型极限的方法
(1)利用基本公式,
,)11(lim1 e
x
x
x
）,)1(l i m2
1
0
ex x
x
）
，） 1s i nlim3
0
x
x
x
，） 1t a nl i m4
0
x
x
x
，） 1a r c s i nl i m5
0
x
x
x
，） 1a r c t a nli m6
0
x
x
x
，） 1)1ln (li m7
0
x
x
x
，） 11l i m8
0
x
e x
x
2009-7-25 10
，） 1
2
1
c o s1
l i m9
20
x
x
x;1
2
1
11
lim10
0
x
x
x
）
(2)利用等价无穷小替换；
(3)利用罗必达法则；
(4)利用夹逼定理；
(5)利用泰勒公式
2009-7-25 11
要求
(2)熟练掌握极限的性质，能够运用它们分析证明简单的问题,
(3)能够熟练的运用极限的各种运算法则、重要极限及定理求函数的极限。
(1)正确理解函数极限的概念。
2009-7-25 12
三,连续函数
1.定义点连续。在则称的邻域中有定义，且在若
00
0
)(),()(lim
)(
0
xxfxfxf
xxf
xx
要求
(1)能叙述两种函数在 连续的等价定义,
0x
(2)会确定间断点及其类型,
2009-7-25 13
2.连续函数的性质
(1)两个连续函数经有限次四则运算和复合得到的新函数仍是连续函数。
(2)若函数,则有以下重要定理：
1）有界定理
2）根值定理（零点定理）
],[)( baCxf?
3）介值定理
2009-7-25 14
4）最值定理
3.初等函数在其定义区间上是连续的要求
(2)掌握连续函数的性质，并能够运用它们分析证明简单的问题。
(1)会利用初等函数的连续性求函数的极限。
2009-7-25 15
四,导数与微分
1.基本概念
(1)导数定义设函数 在点 及其附近有定义，
如果极限存在，则称函数 在 可导，
在 的导数记作 。
)( xf
)( xf )( xf
0x
0x
0x
)(' 0xf
x
xfxxf
x?
)()(l i m 00
0
2009-7-25 16
(2)微分定义
。记作的微分在点为并称可微在点则称函数可以表示为函数的改变量为自变量的改变量，若的邻域中有定义，在设
xady
xxfyxa
xxfy
xxaxfxfy
y
xxx
xxfy
,)(
,)(
)()()(
)(
0
0
0
0
0
2009-7-25 17
(3)高阶导数的定义
.) ) '(()(
,)(
) ) '(()(
.)(''
)() ) '('(,
)(')(
)1()(
)1()1(
2
2
n
n
nn
nn
dx
yd
xfxf
nxf
xfxf
dx
yd
xf
xfxf
xfxfy
即阶导数的称为的导数一般地，
或阶导数，记作的二为则称它导数导仍然可的导数若
2009-7-25 18
.)('
)()(
0
00
dxxfdy
xxfxxf
可微，且在点可导在点
(4)可微与可导的关系
2.基本导数公式
xx
ee
Rxxx
CC
)'()3(
),0()'()2(
(0)'()1(
1
为常数）
连续在点可微在点 00 )()( xxfxxf?
(5)可微与连续的关系
2009-7-25 19
xxx
xxx
xx
xx
xx
xx
ax
x
a
c o tc s c)'( c s c)12(
t a ns e c)'( s e c)11(
c s c)'( c o t)10(
s e c)'( t a n)9(
s i n)'( c o s)8(
c o s)'( s i n)7(
ln
1
)'( l o g)6(
2
2
x
x 1)'( l n)5(?
)1,0((ln)'()4( aaaaa xx
2009-7-25 20
s h xc h x
c h xs h x
x
xa r c
x
x
x
x
x
x
)'()18(
)'()17(
1
1
)'c o t()16(
1
1
)'( a r c t a n)15(
1
1
)'( a r c c o s)14(
1
1
)'( a r c s i n)13(
2
2
2
2
2009-7-25 21
3.导数的运算法则
(1)导数的四则运算法则
(2)复合函数求导的链式法则
(3)隐函数求导法
(4)反函数求导法
(5)参数方程求导法
(6)对数微分法
(7)高阶导数的莱布尼兹公式
2009-7-25 22
4.导函数的性质
(1)导数的零点定理
.0)(),,(
,0)()(,],[)(
fba
bfafbaxfy
使得则可导在若
(2)导数的介值定理
.)(
),,(,)(
)(,],[)(
f
babf
afbaxfy
使得之间的值和则对介于可导在若
(3)导函数在定义区间内无第一类间断点。
2009-7-25 23
要求
(1)掌握导数概念、物理意义及几何意义，
会用定义求分段函数在分点处的导数。
(2)掌握微分概念和几何意义以及微分和导数的关系。
(3)熟记基本导数（微分）公式。
(4)熟练运用各种求导 (微分 )法则求初等函数的导数、微分。
2009-7-25 24
五,导数应用
1.微分学基本定理
(1)罗尔定理
(2)拉格朗日定理
(3)柯西定理
2.函数的增减性
。上单调增（或单调减）
在则）（或若内可导，上连续，在在设
],[
)(,0)('0)(')1(
),(],[)(
ba
xfxfxf
babaxf
2009-7-25 25
。或内则在上单调增（或单调减）在若
)0(0)(),(
,],[)()2(
xfba
baxf
3.函数的极值
(1)极值的概念,
。或极小值点值点的极大为，或极小值极大值取得在，则称或
，都有及其附近有定义，若在设
)(
)()(
)())()((
)()()(
)(
0
00
00
0
xfx
xxfxfxf
xfxfxUx
xxf
2009-7-25 26
(2)极值的必要条件（费马定理）
。则存在取得极值，且在点若
0)(',
)(')(
0
00
xf
xfxxf
(3)极值的充分条件取得极值。在则两侧异号在心邻域内可导，若的去的某邻域内连续，在在点设
0
0
00
)(
,)('
)()1
xxf
xxf
xxxf
的极值点。是存在且不为零，则若的某邻域内可导，且在点设
)()(''
,0)(')()2
00
00
xfxxf
xfxxf?
2009-7-25 27
4.函数的凸性凸函数。上上是下在则称或都有和的非负实数以及任意满足上有定义，若在定义：
)(],[)(
)()()()(
,
1],[,
],[)()1(
22112211
21
2121
baxf
xfxfxxf
baxx
baxf
(2)凸性的判别法
。非增内单调非减在凸函数上上为下在内可导，上连续，在在设
)(),(
)(')(],[)(
),(],[)()1
ba
xfbaxf
babaxf
2009-7-25 28
(3)拐点的定义与判别
1)定义
。凸函数上上为下在内二阶可导，在设
)0(0)('')(],[
)(),()()2
xfba
xfbaxf
。则的拐点是曲线且处有连续的二阶导数，在设
0)(''
,)())(,(
)()2
00
0
xf
xfxfx
xxf
曲线的上凸弧与下凸弧的分界点
2009-7-25 29
的拐点。是曲线则异号的两侧存在，若在的某邻域内二阶导数在设
)()(,(
,)(''
)()3
00
0
0
xfxfx
xfx
xxf
的一条水平渐近线。是则若水平渐近线
（或
)(
,)(lim:)1(
)
xfAy
Axf
x
x
5.曲线的渐近线
2009-7-25 30
的一条垂直渐近线。是则若垂直渐近线
（或
)(
,)(lim:)2(
0
)0
0
xfxx
xf
xx
xx
及若斜渐近线
（或
a
x
xf
x
x
)(lim:)3(
)
则或
,])([lim
)(
baxxf
x
x
的一条斜渐近线。是 )( xfbaxy
2009-7-25 31
且满足条件：内有定义的某空心邻域在点和设函数
,),(
)()(
0?aU
axgxf
则有或 ),(
)(
)(l i m)3(
A
xg
xf
ax
)(
)(
)(lim
)(
)(lim
或A
xg
xf
xg
xf
axax;0)(,)()(,),()2( 0 xgxgxfaU 且存在和内在?;0)(lim,0)(lim)1( xgxf axax
6.罗必达法则
2009-7-25 32
7.泰勒公式
（ 1）皮亚诺型余项的泰勒公式有时则当阶导数，到存在在点假设函数
,
1)(
0
0
xx
nxxf
])[())((
!
1
))((''
!2
1
))((')()(
000
)(
2
00000
nnn
xxoxxxf
n
xxxfxxxfxfxf
2009-7-25 33
2.拉格朗日 型余项的泰勒公式之间的某个点。与是介于其中有数，则阶导到有在点假设函数
xx
xxf
n
xxxf
n
xxxfxxxfxfxf
bax
nbaxxf
nn
nn
0
1
0
)1(
00
)(
2
00000
0
))((
)!1(
1
))((
!
1
))((''
!2
1
))((')()(
),,(
11),()(
2009-7-25 34
3.常用的麦克劳林公式
)(
!
1
!2
11)1 2 nnx xox
n
xxe
)(
)!12(
)1(
!5!3
s i n)2 2
12
1
53
k
k
k xo
k
xxxxx?
)(
)!2(
)1(
!4!2
1c o s)3 2
242
k
k
k xo
k
xxxx
)0( 0,皮亚诺型余项?x
2009-7-25 35
)(
!
)1()1()1(
!2
)1(
1)1()5
2
nn
xox
n
n
xxx
)()1(
32
)1ln()4 1
32
n
n
n xo
n
xxxxx
)(1
1
1)6 2 nn xoxxx
x
2009-7-25 36
要求方法。
、结论及证明定理和柯西定理的条件理、拉格朗日掌握费马定理、罗尔定)1(
用。
必达法则的应掌握求未定型极限的罗)2(
件。值的必要条件和充分条方法和函数极掌握函数增减性的判别)3(
2009-7-25 37
式。性证明某些简单的不等数增减性、凸会用拉格朗日定理、函)7(
点的判定方法。
函数凸性、拐掌握函数的凸性概念及)4(
。会求函数的渐近线方程)5(
函数作图。)6(
(9)利用泰勒公式求极限、证明不等式
(8)会用直接展开或间接展开的方法求函数的泰勒公式
2009-7-25 38
[例 1]
的取值范围指明有使得证明存在常数且
，满足设
AAxxfx
AffRx
exfxxfxxf
x
,)(,0
,,0)0()0(,
1)]([3)()(
2
2
[证 ]
2))((31)(0 xf
x
exfx x时，
.1,11
f
x
e x?
,)()( 2AxxfxF设 0)0(?F
2009-7-25 39
AAxfxF
FAxfxF
212)()(
0)0(,2)(
,
2
1,0)( 时即当 AxF
0)(,0)0(, xFFF?
从而
0)(,)( xFxF
所以
0,)(,
2
1 2 xAxxfA 时当
2009-7-25 40
[例 2]
内为增函数。在证明内可导且导数不为零在设
)()(,0)(
,)()(
00
0
xUxfxf
xUxf
[证 ]
,0)(,0)(,
),(,,0)(
2121
021
xfxfxx
xUxxxf?设? 则矛盾。与 0)(,0)(),,( 21 xffxx
内单调增。在保号。又因而
)()(,0)(
,0)()(
0
0
xUxfxf
xfxf
2009-7-25 41
[例 3]
。该曲线除切点外无交点处的切线与上一点线内曲证明在有对一切上二阶可导在设
))(,()(
),0(,0)(),0(
,),0[)(
00
xfxxfy
xfx
xf
[证 ] 反证法。设另有交点,
1x
则对函数
))(()()()( 000 xxxfxfxfxF
,,0)(,0)( 0110 xxxFxF有
,)( 0,)( 连续，可导在xF? 由罗尔定理
2009-7-25 42
0)()()(
,
0
10
xffF
xx
,使之间存在在
，之间存在，再由罗尔定理，在 10 x
矛盾。与使 0)(,0)()( 11 xffF
。与切线除切点外无交点所以 )( xf
微积分 （一） 小结一,函数
1.定义
.
),(
!,,
,,
上的函数为定义在则称映，记作与其对确定的法则如果按照某种为非空集设
Xfxfy
YyXxf
RYX
2009-7-25 2
（ 1）有界性
2.函数的初等性质
（ 3）奇偶性
（ 4）周期性
.,fD 对映法则定义域函数的两个要素：
（ 2）单调性
2009-7-25 3
4.会分析复合函数中变量的关系，会求给定函数的反函数。
3.利用函数符号描述有关函数的性质；
要求
1.要熟练掌握基本初等函数的定义域、值域及图形；
2.利用给定条件或问题，找出函数关系及定义域；
2009-7-25 4
,)x(f
,xxAA
)x(f
xx.
x)x(f
的极限函数时趋于是当，则称的常数定“无限趋于”一个确应的函数值时，其对“无限趋于”如果当有定义的某空心邻域在点设函数
0
0
0
A)x(fl im
xx
0
记作
1.极限的定义
)xx(A)x(f 0或二、函数的极限
2009-7-25 5
2.极限的性质
（ 1）唯一性,
存在，则极限唯一。若 )(lim
0
xfxx?
（ 2）有界性,
的某邻域中有界。在
，则若
0
)()(l i m
0
x
xfAxf
xx
（ 3）保号性,
.0)(l i m
,)(l i m,0)(
)(0)(l i m
0
0
0
0
xf
xfxf
x
xfAxf
xx
xx
xx
则存在且若的某邻域中必恒为正，在
，则若
2009-7-25 6
3.极限的运算法则
（ 1）四则运算法则
（ 2）复合函数的极限法则
4.无穷小量的比较
.)(
)(1
)(
)(
lim1
0
是等价无穷小量与
，则称）若（
x
x
x
x
xx
,
)()( 0
无穷小量时的两个是及设 xxxx
（ 3）夹逼定理
2009-7-25 7
.)(
)(0
)(
)(
l i m2
0
的高阶无穷小量是
，则称）若（
x
x
x
x
xx
[注意 ] 并非所有无穷小量都可以进行比较例如
,01s i nl i m
0
x
x
x
而
xx
x
x
xx
1
s i nl i m
1
s i n
l i m
00
不存在
2009-7-25 8
搞清以下关系
.0)(lim),()(
)(lim1
0
0
xxAxf
Axf
xx
xx
）（
.
)(
1lim0)(lim)2(
00
x
x
xxxx?
（ 4）无穷大量与无界函数的关系,
) ),(())((
)()()(~)()3(
xx
xxxx
或?
2009-7-25 9
6.求未定型极限的方法
(1)利用基本公式,
,)11(lim1 e
x
x
x
）,)1(l i m2
1
0
ex x
x
）
，） 1s i nlim3
0
x
x
x
，） 1t a nl i m4
0
x
x
x
，） 1a r c s i nl i m5
0
x
x
x
，） 1a r c t a nli m6
0
x
x
x
，） 1)1ln (li m7
0
x
x
x
，） 11l i m8
0
x
e x
x
2009-7-25 10
，） 1
2
1
c o s1
l i m9
20
x
x
x;1
2
1
11
lim10
0
x
x
x
）
(2)利用等价无穷小替换；
(3)利用罗必达法则；
(4)利用夹逼定理；
(5)利用泰勒公式
2009-7-25 11
要求
(2)熟练掌握极限的性质，能够运用它们分析证明简单的问题,
(3)能够熟练的运用极限的各种运算法则、重要极限及定理求函数的极限。
(1)正确理解函数极限的概念。
2009-7-25 12
三,连续函数
1.定义点连续。在则称的邻域中有定义，且在若
00
0
)(),()(lim
)(
0
xxfxfxf
xxf
xx
要求
(1)能叙述两种函数在 连续的等价定义,
0x
(2)会确定间断点及其类型,
2009-7-25 13
2.连续函数的性质
(1)两个连续函数经有限次四则运算和复合得到的新函数仍是连续函数。
(2)若函数,则有以下重要定理：
1）有界定理
2）根值定理（零点定理）
],[)( baCxf?
3）介值定理
2009-7-25 14
4）最值定理
3.初等函数在其定义区间上是连续的要求
(2)掌握连续函数的性质，并能够运用它们分析证明简单的问题。
(1)会利用初等函数的连续性求函数的极限。
2009-7-25 15
四,导数与微分
1.基本概念
(1)导数定义设函数 在点 及其附近有定义，
如果极限存在，则称函数 在 可导，
在 的导数记作 。
)( xf
)( xf )( xf
0x
0x
0x
)(' 0xf
x
xfxxf
x?
)()(l i m 00
0
2009-7-25 16
(2)微分定义
。记作的微分在点为并称可微在点则称函数可以表示为函数的改变量为自变量的改变量，若的邻域中有定义，在设
xady
xxfyxa
xxfy
xxaxfxfy
y
xxx
xxfy
,)(
,)(
)()()(
)(
0
0
0
0
0
2009-7-25 17
(3)高阶导数的定义
.) ) '(()(
,)(
) ) '(()(
.)(''
)() ) '('(,
)(')(
)1()(
)1()1(
2
2
n
n
nn
nn
dx
yd
xfxf
nxf
xfxf
dx
yd
xf
xfxf
xfxfy
即阶导数的称为的导数一般地，
或阶导数，记作的二为则称它导数导仍然可的导数若
2009-7-25 18
.)('
)()(
0
00
dxxfdy
xxfxxf
可微，且在点可导在点
(4)可微与可导的关系
2.基本导数公式
xx
ee
Rxxx
CC
)'()3(
),0()'()2(
(0)'()1(
1
为常数）
连续在点可微在点 00 )()( xxfxxf?
(5)可微与连续的关系
2009-7-25 19
xxx
xxx
xx
xx
xx
xx
ax
x
a
c o tc s c)'( c s c)12(
t a ns e c)'( s e c)11(
c s c)'( c o t)10(
s e c)'( t a n)9(
s i n)'( c o s)8(
c o s)'( s i n)7(
ln
1
)'( l o g)6(
2
2
x
x 1)'( l n)5(?
)1,0((ln)'()4( aaaaa xx
2009-7-25 20
s h xc h x
c h xs h x
x
xa r c
x
x
x
x
x
x
)'()18(
)'()17(
1
1
)'c o t()16(
1
1
)'( a r c t a n)15(
1
1
)'( a r c c o s)14(
1
1
)'( a r c s i n)13(
2
2
2
2
2009-7-25 21
3.导数的运算法则
(1)导数的四则运算法则
(2)复合函数求导的链式法则
(3)隐函数求导法
(4)反函数求导法
(5)参数方程求导法
(6)对数微分法
(7)高阶导数的莱布尼兹公式
2009-7-25 22
4.导函数的性质
(1)导数的零点定理
.0)(),,(
,0)()(,],[)(
fba
bfafbaxfy
使得则可导在若
(2)导数的介值定理
.)(
),,(,)(
)(,],[)(
f
babf
afbaxfy
使得之间的值和则对介于可导在若
(3)导函数在定义区间内无第一类间断点。
2009-7-25 23
要求
(1)掌握导数概念、物理意义及几何意义，
会用定义求分段函数在分点处的导数。
(2)掌握微分概念和几何意义以及微分和导数的关系。
(3)熟记基本导数（微分）公式。
(4)熟练运用各种求导 (微分 )法则求初等函数的导数、微分。
2009-7-25 24
五,导数应用
1.微分学基本定理
(1)罗尔定理
(2)拉格朗日定理
(3)柯西定理
2.函数的增减性
。上单调增（或单调减）
在则）（或若内可导，上连续，在在设
],[
)(,0)('0)(')1(
),(],[)(
ba
xfxfxf
babaxf
2009-7-25 25
。或内则在上单调增（或单调减）在若
)0(0)(),(
,],[)()2(
xfba
baxf
3.函数的极值
(1)极值的概念,
。或极小值点值点的极大为，或极小值极大值取得在，则称或
，都有及其附近有定义，若在设
)(
)()(
)())()((
)()()(
)(
0
00
00
0
xfx
xxfxfxf
xfxfxUx
xxf
2009-7-25 26
(2)极值的必要条件（费马定理）
。则存在取得极值，且在点若
0)(',
)(')(
0
00
xf
xfxxf
(3)极值的充分条件取得极值。在则两侧异号在心邻域内可导，若的去的某邻域内连续，在在点设
0
0
00
)(
,)('
)()1
xxf
xxf
xxxf
的极值点。是存在且不为零，则若的某邻域内可导，且在点设
)()(''
,0)(')()2
00
00
xfxxf
xfxxf?
2009-7-25 27
4.函数的凸性凸函数。上上是下在则称或都有和的非负实数以及任意满足上有定义，若在定义：
)(],[)(
)()()()(
,
1],[,
],[)()1(
22112211
21
2121
baxf
xfxfxxf
baxx
baxf
(2)凸性的判别法
。非增内单调非减在凸函数上上为下在内可导，上连续，在在设
)(),(
)(')(],[)(
),(],[)()1
ba
xfbaxf
babaxf
2009-7-25 28
(3)拐点的定义与判别
1)定义
。凸函数上上为下在内二阶可导，在设
)0(0)('')(],[
)(),()()2
xfba
xfbaxf
。则的拐点是曲线且处有连续的二阶导数，在设
0)(''
,)())(,(
)()2
00
0
xf
xfxfx
xxf
曲线的上凸弧与下凸弧的分界点
2009-7-25 29
的拐点。是曲线则异号的两侧存在，若在的某邻域内二阶导数在设
)()(,(
,)(''
)()3
00
0
0
xfxfx
xfx
xxf
的一条水平渐近线。是则若水平渐近线
（或
)(
,)(lim:)1(
)
xfAy
Axf
x
x
5.曲线的渐近线
2009-7-25 30
的一条垂直渐近线。是则若垂直渐近线
（或
)(
,)(lim:)2(
0
)0
0
xfxx
xf
xx
xx
及若斜渐近线
（或
a
x
xf
x
x
)(lim:)3(
)
则或
,])([lim
)(
baxxf
x
x
的一条斜渐近线。是 )( xfbaxy
2009-7-25 31
且满足条件：内有定义的某空心邻域在点和设函数
,),(
)()(
0?aU
axgxf
则有或 ),(
)(
)(l i m)3(
A
xg
xf
ax
)(
)(
)(lim
)(
)(lim
或A
xg
xf
xg
xf
axax;0)(,)()(,),()2( 0 xgxgxfaU 且存在和内在?;0)(lim,0)(lim)1( xgxf axax
6.罗必达法则
2009-7-25 32
7.泰勒公式
（ 1）皮亚诺型余项的泰勒公式有时则当阶导数，到存在在点假设函数
,
1)(
0
0
xx
nxxf
])[())((
!
1
))((''
!2
1
))((')()(
000
)(
2
00000
nnn
xxoxxxf
n
xxxfxxxfxfxf
2009-7-25 33
2.拉格朗日 型余项的泰勒公式之间的某个点。与是介于其中有数，则阶导到有在点假设函数
xx
xxf
n
xxxf
n
xxxfxxxfxfxf
bax
nbaxxf
nn
nn
0
1
0
)1(
00
)(
2
00000
0
))((
)!1(
1
))((
!
1
))((''
!2
1
))((')()(
),,(
11),()(
2009-7-25 34
3.常用的麦克劳林公式
)(
!
1
!2
11)1 2 nnx xox
n
xxe
)(
)!12(
)1(
!5!3
s i n)2 2
12
1
53
k
k
k xo
k
xxxxx?
)(
)!2(
)1(
!4!2
1c o s)3 2
242
k
k
k xo
k
xxxx
)0( 0,皮亚诺型余项?x
2009-7-25 35
)(
!
)1()1()1(
!2
)1(
1)1()5
2
nn
xox
n
n
xxx
)()1(
32
)1ln()4 1
32
n
n
n xo
n
xxxxx
)(1
1
1)6 2 nn xoxxx
x
2009-7-25 36
要求方法。
、结论及证明定理和柯西定理的条件理、拉格朗日掌握费马定理、罗尔定)1(
用。
必达法则的应掌握求未定型极限的罗)2(
件。值的必要条件和充分条方法和函数极掌握函数增减性的判别)3(
2009-7-25 37
式。性证明某些简单的不等数增减性、凸会用拉格朗日定理、函)7(
点的判定方法。
函数凸性、拐掌握函数的凸性概念及)4(
。会求函数的渐近线方程)5(
函数作图。)6(
(9)利用泰勒公式求极限、证明不等式
(8)会用直接展开或间接展开的方法求函数的泰勒公式
2009-7-25 38
[例 1]
的取值范围指明有使得证明存在常数且
，满足设
AAxxfx
AffRx
exfxxfxxf
x
,)(,0
,,0)0()0(,
1)]([3)()(
2
2
[证 ]
2))((31)(0 xf
x
exfx x时，
.1,11
f
x
e x?
,)()( 2AxxfxF设 0)0(?F
2009-7-25 39
AAxfxF
FAxfxF
212)()(
0)0(,2)(
,
2
1,0)( 时即当 AxF
0)(,0)0(, xFFF?
从而
0)(,)( xFxF
所以
0,)(,
2
1 2 xAxxfA 时当
2009-7-25 40
[例 2]
内为增函数。在证明内可导且导数不为零在设
)()(,0)(
,)()(
00
0
xUxfxf
xUxf
[证 ]
,0)(,0)(,
),(,,0)(
2121
021
xfxfxx
xUxxxf?设? 则矛盾。与 0)(,0)(),,( 21 xffxx
内单调增。在保号。又因而
)()(,0)(
,0)()(
0
0
xUxfxf
xfxf
2009-7-25 41
[例 3]
。该曲线除切点外无交点处的切线与上一点线内曲证明在有对一切上二阶可导在设
))(,()(
),0(,0)(),0(
,),0[)(
00
xfxxfy
xfx
xf
[证 ] 反证法。设另有交点,
1x
则对函数
))(()()()( 000 xxxfxfxfxF
,,0)(,0)( 0110 xxxFxF有
,)( 0,)( 连续，可导在xF? 由罗尔定理
2009-7-25 42
0)()()(
,
0
10
xffF
xx
,使之间存在在
，之间存在，再由罗尔定理，在 10 x
矛盾。与使 0)(,0)()( 11 xffF
。与切线除切点外无交点所以 )( xf
