2009-7-25 1
微积分（一）考试时间,2002年 11月 15日 晚,7:20— 9:20
地点,(1) 明理楼 214
生物系、附中 2、其他选修的同学
(2) 明理楼 321
物理系答疑,2002年 11月 15日（五），在上课的时间地点 。
2009-7-25 2
微积分 (一 )小结 （续）
2009-7-25 3
六,不定积分
(一 )基本概念
1.原函数上的一个原函数。在区间是
，则称上若在区间
Ixf
xFxfxFI
)(
)()()('?
2.不定积分
CxFdxxf
xf
CCxFxf
)()(
)(
)()(
记作在区间上的不定积分，任意常数）称为为，（的全体原函数
2009-7-25 4
(二 )基本性质
CxFdxxF )()('.1
)()')((.2 xfdxxf
dxxfdxxfd )()))((.3
0,)()(.4 kdxxfkdxxkf
dxxgdxxfdxxgxf )()())()((.5
2009-7-25 5
(三 )基本公式
)1(1 1.1 1 Cxdxx
Cxdxx ln1.2
Cedxe xx.3
Cxx d x c o ss i n.5
Cxx d x s i nc o s.6
)1,0(ln 1.4 aaCaadxa xx
2009-7-25 6
Cxxdx t a ns e c.7 2
Cxx d x c o tc s c.8 2
Cxdxx a r c t a n1 1.9 2
Cxdx
x
a r c s i n
1
1.10
2
Cxxdxx s e cs e ct a n.11
Cxxdxx c s cc s cc o t.12
2009-7-25 7
)0(a r c t a n11.13 22 aCaxadxxa
)0(a r c s i n1.14
22
aC
a
xdx
xa
Cxxxdx s e ct a nlns e c.15
Cxxx d x c s cc o tlnc s c.16
C
xa
xa
a
dx
xa
ln
2
11.17
22
2009-7-25 8
Cxaxdx
xa
)ln(1.18 22
22
Cc hxs hx d x.19
Cs hxc hx d x.20
(四 )计算方法利用基本公式.1
2009-7-25 9
CxFCtF
dtttfdxxf
tx
))(()(
)('))(()(
.3
1
)(
令变量置换法
v d uuvu d v
分部积分法.4
)())(()('))(()(
.2
xdxgdxxxgdxxf
凑微分法
2009-7-25 10
七,定积分
(一 )基本概念
1.定义则称此极存在如果极限令及划分的任意对上有定义在设
,)(lim
)(m a x),,,2,1(
,),,2,1(],[
:}{
],[,],[)(
1
0
1
1
1
2100
k
n
k
k
k
nk
kkk
kkk
n
n
kk
xf
xnkxxx
nkxx
bxxxxax
babaxf
2009-7-25 11
.],[)(
)(lim)(
],[)(
1
0
上可积在此时称上的定积分，记作在限值为
baxf
xfdxxf
baxf
n
k
kk
b
a
2.定积分的几何意义
.
,)()(
之间所围面积的代数和轴及直线与表示
bx
axxxfdxxf
b
a
2009-7-25 12
(二 )函数的可积性
.
],[)(],[)(.1
上有界在上可积，则在 baxfbaxf
.
],[)(],[)(.2
可积上在，则若 baxfbaCxf?
.],[)(
],[)(.3
上可积在间断点，则上有界，只有有限个在若
baxf
baxf
.],[
)(],[)(.4
上可积在上单调有界，则在若
ba
xfbaxf
2009-7-25 13
(三 )定积分的性质
.,)()(1 为常数） kdxxfkdxxkf b
a
b
a
bababa dxxgdxxfdxxgxf )()())()((2 ）
abba dxxfdxxf )()(4）
0)(3 dxxfa
a
）
bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(5 ）
2009-7-25 14
.)()(
)()(],,[)()(;)()(
,],[,)()(6
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxf
xgxfbaCxgxf
dxxgdxxf
baxxgxf
则
、若则）若
dxxfdxxf b
a
b
a
)()(7 ）
)()()(
,)(
8
abMdxxfabm
Mxfm
b
a
则若
）估值定理
2009-7-25 15
).)(()(
,],[,],[)(
9
abfdxxf
babaCxf
b
a
使得则存在若
）中值定理
.)()()()(
,],[,
],[],[)(],,[)(
10
b
a
b
a
dxxgfdxxgxf
ba
babaRxgbaCxf
使得则存在上不变号且在若
）广义中值定理
2009-7-25 16
(四 )变上限定积分称为变上限定积分。
设
)(],,[
)()(,],[)(
xFbax
dxxfxFbaRxf
x
a
.],[
)()(,],[)(1
上连续在则）若
ba
dxxfxFbaRxf
x
a?
).()('),(
)()(,],[)(2
xfxFba
dxxfxFbaCxf
x
a
且，内可导在则）若
2009-7-25 17
(五 )牛顿 -莱布尼兹公式
)()()()(
)()(,],[)(
aFbFxFdxxf
xfxFbaCxf
b
a
b
a
则，原函数的一个是设
(六 )定积分计算
dtttfdxxf
tbtab
atxbaCxf
b
a
)('))(()(
)(',)(),(
),()(],,[)(
.1
连续，则满足设变量置换法
2009-7-25 18
b
a
b
a
b
a xduxvxvxuxdvxu )()()()()()(
.2 分部积分法
3.特殊函数的积分性质
为奇函数，
为偶函数则）设
)(0
)(,)(2
)(
,],[)(1
0
xf
xfdxxf
dxxf
baCxf
a
a
a
.,)()(
,,)(2
0
Radxxfdxxf
Txf
TTa
a
则周期为为连续的周期函数）设
2009-7-25 19
为奇数为偶数
）
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
xdxxdx
nn
1
3
2
2
31
22
1
2
31
c o ss i n3
2
0
2
0
区间上的符号。
在积分）要注意被积函数中的,4
2009-7-25 20
(七） 定积分应用可加性。
对区间具有所求量依赖于区间，并
）积分求结果（
）分小取微分（
量求出其微分通过分析未知函数的增
2
1
微元分析法解决问题的方法：
：定积分应用问题的特征
2009-7-25 21
应用问题平面图形的面积?
间体体积平行截面面积已知的空?
旋转体体积?
平面曲线的弧长?
旋转面的面积?
重心? 质量?
引力? 变力作功?
2009-7-25 22
要求
1.掌握定积分的概念及性质
2.了解定积分存在的条件与可积函数类
3.能利用定积分性质对问题进行分析与证明
4.掌握变上限积分求导
5.掌握牛顿莱布尼兹公式
6.掌握定积分的变量置换法与分部积分法
8.会用定积分解决几何与物理的简单问题
7.掌握弧长的微分与曲率的计算
2009-7-25 23
八、常微分方程要求
1.掌握微分方程的基本概念
2.会用基本积分法解简单的一阶方程
3.会对可降阶方程做降阶处理
4.能利用物理定律、导数的几何意义列方程
微积分（一）考试时间,2002年 11月 15日 晚,7:20— 9:20
地点,(1) 明理楼 214
生物系、附中 2、其他选修的同学
(2) 明理楼 321
物理系答疑,2002年 11月 15日（五），在上课的时间地点 。
2009-7-25 2
微积分 (一 )小结 （续）
2009-7-25 3
六,不定积分
(一 )基本概念
1.原函数上的一个原函数。在区间是
，则称上若在区间
Ixf
xFxfxFI
)(
)()()('?
2.不定积分
CxFdxxf
xf
CCxFxf
)()(
)(
)()(
记作在区间上的不定积分，任意常数）称为为，（的全体原函数
2009-7-25 4
(二 )基本性质
CxFdxxF )()('.1
)()')((.2 xfdxxf
dxxfdxxfd )()))((.3
0,)()(.4 kdxxfkdxxkf
dxxgdxxfdxxgxf )()())()((.5
2009-7-25 5
(三 )基本公式
)1(1 1.1 1 Cxdxx
Cxdxx ln1.2
Cedxe xx.3
Cxx d x c o ss i n.5
Cxx d x s i nc o s.6
)1,0(ln 1.4 aaCaadxa xx
2009-7-25 6
Cxxdx t a ns e c.7 2
Cxx d x c o tc s c.8 2
Cxdxx a r c t a n1 1.9 2
Cxdx
x
a r c s i n
1
1.10
2
Cxxdxx s e cs e ct a n.11
Cxxdxx c s cc s cc o t.12
2009-7-25 7
)0(a r c t a n11.13 22 aCaxadxxa
)0(a r c s i n1.14
22
aC
a
xdx
xa
Cxxxdx s e ct a nlns e c.15
Cxxx d x c s cc o tlnc s c.16
C
xa
xa
a
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ln
2
11.17
22
2009-7-25 8
Cxaxdx
xa
)ln(1.18 22
22
Cc hxs hx d x.19
Cs hxc hx d x.20
(四 )计算方法利用基本公式.1
2009-7-25 9
CxFCtF
dtttfdxxf
tx
))(()(
)('))(()(
.3
1
)(
令变量置换法
v d uuvu d v
分部积分法.4
)())(()('))(()(
.2
xdxgdxxxgdxxf
凑微分法
2009-7-25 10
七,定积分
(一 )基本概念
1.定义则称此极存在如果极限令及划分的任意对上有定义在设
,)(lim
)(m a x),,,2,1(
,),,2,1(],[
:}{
],[,],[)(
1
0
1
1
1
2100
k
n
k
k
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kkk
kkk
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nkxx
bxxxxax
babaxf
2009-7-25 11
.],[)(
)(lim)(
],[)(
1
0
上可积在此时称上的定积分，记作在限值为
baxf
xfdxxf
baxf
n
k
kk
b
a
2.定积分的几何意义
.
,)()(
之间所围面积的代数和轴及直线与表示
bx
axxxfdxxf
b
a
2009-7-25 12
(二 )函数的可积性
.
],[)(],[)(.1
上有界在上可积，则在 baxfbaxf
.
],[)(],[)(.2
可积上在，则若 baxfbaCxf?
.],[)(
],[)(.3
上可积在间断点，则上有界，只有有限个在若
baxf
baxf
.],[
)(],[)(.4
上可积在上单调有界，则在若
ba
xfbaxf
2009-7-25 13
(三 )定积分的性质
.,)()(1 为常数） kdxxfkdxxkf b
a
b
a
bababa dxxgdxxfdxxgxf )()())()((2 ）
abba dxxfdxxf )()(4）
0)(3 dxxfa
a
）
bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(5 ）
2009-7-25 14
.)()(
)()(],,[)()(;)()(
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b
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dxxgdxxf
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、若则）若
dxxfdxxf b
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a
)()(7 ）
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,)(
8
abMdxxfabm
Mxfm
b
a
则若
）估值定理
2009-7-25 15
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,],[,],[)(
9
abfdxxf
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a
使得则存在若
）中值定理
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10
b
a
b
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dxxgfdxxgxf
ba
babaRxgbaCxf
使得则存在上不变号且在若
）广义中值定理
2009-7-25 16
(四 )变上限定积分称为变上限定积分。
设
)(],,[
)()(,],[)(
xFbax
dxxfxFbaRxf
x
a
.],[
)()(,],[)(1
上连续在则）若
ba
dxxfxFbaRxf
x
a?
).()('),(
)()(,],[)(2
xfxFba
dxxfxFbaCxf
x
a
且，内可导在则）若
2009-7-25 17
(五 )牛顿 -莱布尼兹公式
)()()()(
)()(,],[)(
aFbFxFdxxf
xfxFbaCxf
b
a
b
a
则，原函数的一个是设
(六 )定积分计算
dtttfdxxf
tbtab
atxbaCxf
b
a
)('))(()(
)(',)(),(
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.1
连续，则满足设变量置换法
2009-7-25 18
b
a
b
a
b
a xduxvxvxuxdvxu )()()()()()(
.2 分部积分法
3.特殊函数的积分性质
为奇函数，
为偶函数则）设
)(0
)(,)(2
)(
,],[)(1
0
xf
xfdxxf
dxxf
baCxf
a
a
a
.,)()(
,,)(2
0
Radxxfdxxf
Txf
TTa
a
则周期为为连续的周期函数）设
2009-7-25 19
为奇数为偶数
）
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
xdxxdx
nn
1
3
2
2
31
22
1
2
31
c o ss i n3
2
0
2
0
区间上的符号。
在积分）要注意被积函数中的,4
2009-7-25 20
(七） 定积分应用可加性。
对区间具有所求量依赖于区间，并
）积分求结果（
）分小取微分（
量求出其微分通过分析未知函数的增
2
1
微元分析法解决问题的方法：
：定积分应用问题的特征
2009-7-25 21
应用问题平面图形的面积?
间体体积平行截面面积已知的空?
旋转体体积?
平面曲线的弧长?
旋转面的面积?
重心? 质量?
引力? 变力作功?
2009-7-25 22
要求
1.掌握定积分的概念及性质
2.了解定积分存在的条件与可积函数类
3.能利用定积分性质对问题进行分析与证明
4.掌握变上限积分求导
5.掌握牛顿莱布尼兹公式
6.掌握定积分的变量置换法与分部积分法
8.会用定积分解决几何与物理的简单问题
7.掌握弧长的微分与曲率的计算
2009-7-25 23
八、常微分方程要求
1.掌握微分方程的基本概念
2.会用基本积分法解简单的一阶方程
3.会对可降阶方程做降阶处理
4.能利用物理定律、导数的几何意义列方程
