2009-7-25 1
微积分期末考试时间,2002年 1月 5日 下午,2:30— 4:30
地点,(1) 二教 401
结 11、结 12、水工 13学号 279— 288
(2) 二教 402 水工 11、水工 12、
水工 13学号 289— 298
(3) 二教 403 结 13、结 14、文 9、
水工 13学号 299— 308、其他
2009-7-25 2
期末考试答疑时间,2002年 1月 3日下午、
1月 4日上、下午上午,8:30 ~ 11:30
下午,2:30 ~ 5:30
地点：三教 1109
2009-7-25 3
微积分 (一 )期末小结
2009-7-25 4
一,函数
1.基本初等函数
2.初等函数
3.非初等函数
*分段 函数
*参数方程表示的 函数
*变限定积分
*隐函数方程
4.函数的初等性质
2009-7-25 5
二,极限定义极限的,.1 N
极限的性质.2
极限的有关定理.3
求极限的方法.4
基本公式?
等价无穷小替换?
罗必达法则?
泰勒公式?
2009-7-25 6
三,连续函数
1.连续的基本概念
2.闭区间上连续函数的性质有界性?
零点定理?
介值定理?
最值定理?
一致连续性?
2009-7-25 7
四,导数与微分
0
0
0
0
)()(
lim)('
)()(
:.1
0 xx
xfxf
xf
xxfxfy
xx?
点的导数：在，设定义
dxxfdy
xdxxfy
xxf
)('
)()('
)(
0
0
0
微分为点可微：在
2009-7-25 8
导数与微分的计算.2
基本公式?
四则运算法则?
复合函数求导法?
隐函数求导法?
反函数求导法?
对数微分法?
参数方程求导法?
2009-7-25 9
五,导数应用
(一 )微分学基本定理罗尔定理?
拉格朗日定理?
柯西定理?
(二 )函数性态的研究增减性、极值?
凸性、拐点?
渐近线?
(三 )不等式的证明
2009-7-25 10
(五 )泰勒公式
1.皮亚诺型余项的泰勒公式有时则当阶导数，到存在在点假设函数
,
1)(
0
0
xx
nxxf
])[())((
!
1
))((''
!2
1
))((')()(
000
)(
2
00000
nnn
xxoxxxf
n
xxxfxxxfxfxf
(四 )罗必达法则
2009-7-25 11
2.拉格朗日 型余项的泰勒公式之间的某个点。与是介于其中有数，则阶导到有在点假设函数
xx
xxf
n
xxxf
n
xxxfxxxfxfxf
bax
nbaxxf
nn
nn
0
1
0
)1(
00
)(
2
00000
0
))((
)!1(
1
))((
!
1
))((''
!2
1
))((')()(
),,(
11),()(
2009-7-25 12
3.常用的麦克劳林公式
)(
!
1
!2
11)1 2 nnx xox
n
xxe
)(
)!12(
)1(
!5!3
s i n)2 2
12
1
53
k
k
k xo
k
xxxxx?
)(
)!2(
)1(
!4!2
1c o s)3 2
242
k
k
k xo
k
xxxx
)0( 0,皮亚诺型余项?x
2009-7-25 13
)(
!
)1()1()1(
!2
)1(
1)1()5
2
nn
xox
n
n
xxx
)(
!
)1(
32
)1ln()4 1
32
n
n
n xo
n
xxxxx
)(1
1
1)6 2 nn xoxxx
x
2009-7-25 14
4.利用泰勒公式证明不等式
5.利用泰勒公式作近似计算要求
1.掌握函数在一点的泰勒公式
2.会用直接展开或间接展开的方法求函数的泰勒公式
3.能利用泰勒公式求某些函数的极限
6.利用泰勒公式进行级数判敛
2009-7-25 15
六,不定积分
(一 )基本概念
1.原函数上的一个原函数。在区间是
，则称上若在区间
Ixf
xFxfxFI
)(
)()()('?
2.不定积分
CxFdxxf
xf
CCxFxf
)()(
)(
)()(
记作在区间上的不定积分，任意常数）称为为，（的全体原函数
2009-7-25 16
(二 )基本性质
CxFdxxF )()('.1
)()')((.2 xfdxxf
dxxfdxxfd )()))((.3
0,)()(.4 kdxxfkdxxkf
dxxgdxxfdxxgxf )()())()((.5
2009-7-25 17
(三 )基本公式
)1(1 1.1 1 Cxdxx
Cxdxx ln1.2
Cedxe xx.3
Cxx d x c o ss i n.5
Cxx d x s i nc o s.6
)1,0(ln 1.4 aaCaadxa xx
2009-7-25 18
Cxxdx t a ns e c.7 2
Cxx d x c o tc s c.8 2
Cxdxx a r c t a n1 1.9 2
Cxdx
x
a r c s i n
1
1.10
2
Cxxdxx s e cs e ct a n.11
Cxxdxx c s cc s cc o t.12
2009-7-25 19
)0(a r c t a n11.13 22 aCaxadxxa
)0(a r c s i n1.14
22
aC
a
xdx
xa
Cxxxdx s e ct a nlns e c.15
Cxxx d x c s cc o tlnc s c.16
C
xa
xa
a
dx
xa
ln
2
11.17
22
2009-7-25 20
Cxaxdx
xa
)ln(1.18 22
22
Cc hxs hx d x.19
Cs hxc hx d x.20
(四 )计算方法利用基本公式.1
2009-7-25 21
CxFCtF
dtttfdxxf
tx
))(()(
)('))(()(
.3
1
)(
令变量置换法
v d uuvu d v
分部积分法.4
)())(()('))(()(
.2
xdxgdxxxgdxxf
凑微分法
2009-7-25 22
七,定积分
(一 )基本概念
1.定义则称此极存在如果极限令及划分的任意对上有定义在设
,)(lim
)(m a x),,,2,1(
,),,2,1(],[
:}{
],[,],[)(
1
0
1
1
1
2100
k
n
k
k
k
nk
kkk
kkk
n
n
kk
xf
xnkxxx
nkxx
bxxxxax
babaxf
2009-7-25 23
.],[)(
)(lim)(
],[)(
1
0
上可积在此时称上的定积分，记作在限值为
baxf
xfdxxf
baxf
n
k
kk
b
a
2.定积分的几何意义
.
,)()(
之间所围面积的代数和轴及直线与表示
bx
axxxfdxxf
b
a
2009-7-25 24
(二 )函数的可积性
.
],[)(],[)(.1
上有界在上可积，则在 baxfbaxf
.
],[)(],[)(.2
可积上在，则若 baxfbaCxf?
.],[)(
],[)(.3
上可积在间断点，则上有界，只有有限个在若
baxf
baxf
2009-7-25 25
.],[
)(],[)(.4
上可积在上单调有界，则在若
ba
xfbaxf
.)(i n f,)(s u p
,,
,limlim,}{
],[],[)(.5
1
1
11
00
0
xfmxfM
xmsxMS
Ssx
babaxf
kk
kk
xxx
k
xxx
k
n
k
kk
n
k
kk
n
kk
其中有划分的任意对上可积在
2009-7-25 26
(三 )定积分的性质
.,)()(1 为常数） kdxxfkdxxkf b
a
b
a
bababa dxxgdxxfdxxgxf )()())()((2 ）
abba dxxfdxxf )()(4）
0)(3 dxxfa
a
）
bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(5 ）
2009-7-25 27
.)()(
)()(],,[)()(;)()(
,],[,)()(6
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxf
xgxfbaCxgxf
dxxgdxxf
baxxgxf
则
、若则）若
dxxfdxxf b
a
b
a
)()(7 ）
)()()(
,)(
8
abMdxxfabm
Mxfm
b
a
则若
）估值定理
2009-7-25 28
).)(()(
,],[,],[)(
9
abfdxxf
babaCxf
b
a
使得则存在若
）中值定理
.)()()()(
,],[,
],[],[)(],,[)(
10
b
a
b
a
dxxgfdxxgxf
ba
babaRxgbaCxf
使得则存在上不变号且在若
）广义中值定理
2009-7-25 29
(四 )变上限定积分称为变上限定积分。
设
)(],,[
)()(,],[)(
xFbax
dxxfxFbaRxf
x
a
.],[
)()(,],[)(1
上连续在则）若
ba
dxxfxFbaRxf
x
a?
).()('),(
)()(,],[)(2
xfxFba
dxxfxFbaCxf
x
a
且，内可导在则）若
2009-7-25 30
(五 )牛顿 -莱布尼兹公式
)()()()(
)()(,],[)(
aFbFxFdxxf
xfxFbaCxf
b
a
b
a
则，原函数的一个是设
(六 )定积分计算
dtttfdxxf
tbtab
atxbaCxf
b
a
)('))(()(
)(',)(),(
),()(],,[)(
.1
连续，则满足设变量置换法
2009-7-25 31
b
a
b
a
b
a xduxvxvxuxdvxu )()()()()()(
.2 分部积分法
3.特殊函数的积分性质
为奇函数，
为偶函数则）设
)(0
)(,)(2
)(
,],[)(1
0
xf
xfdxxf
dxxf
baCxf
a
a
a
.,)()(
,,)(2
0
Radxxfdxxf
Txf
TTa
a
则周期为为连续的周期函数）设
2009-7-25 32
为奇数为偶数
）
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
xdxxdx
nn
1
3
2
2
31
22
1
2
31
c o ss i n3
2
0
2
0
区间上的符号。
在积分）要注意被积函数中的,4
2009-7-25 33
(七） 定积分应用可加性。
对区间具有所求量依赖于区间，并
）积分求结果（
）分小取微分（
量求出其微分通过分析未知函数的增
2
1
微元分析法解决问题的方法：
：定积分应用问题的特征
2009-7-25 34
应用问题平面图形的面积?
间体体积平行截面面积已知的空?
旋转体体积?
平面曲线的弧长?
旋转面的面积?
重心? 质量?
引力? 转动惯量?
动能?
变力作功?
2009-7-25 35
(八 )广义积分
1.无穷区间上的广义积分
(1)定义否则发散。此时称广义积分收敛，
记作上的广义积分在则称此极限为存在若设
.)(lim)(
,),[)(
,)(lim),,[)(
axa
B
aB
dxxfdxxf
axf
dxxfaCxf
2009-7-25 36
(2)判敛法则比较判敛法? 比阶判敛法?
绝对值判敛法? 柯西判敛准则?
2.无界函数的广义积分
b
a
b
a
b
abx
dxxfdxxf
baxf
dxxfxf
baCxf
)(l i m)(
,],[)(
,)(l i m,)(l i m
),0(],[)(:)1(
0
0
记作上的广义积分在此极限为则称存在若设定义
2009-7-25 37
(2)判敛法则比较判敛法? 比阶判敛法?
柯西判敛准则? 绝对值判敛法?
3.两个重要的例发散。收敛,11),0(1)1( ppadxx
a p
发散。收敛,11,
)(
1)2(
ppdx
ax
b
a p
2009-7-25 38
要求
1.掌握定积分的概念及性质
2.了解定积分存在的条件与可积函数类
3.能利用定积分性质对问题进行分析与证明
4.掌握变上限积分求导
5.掌握牛顿莱布尼兹公式
2009-7-25 39
6.掌握定积分的变量置换法与分部积分法
8.会用定积分解决几何与物理的简单问题
9.掌握广义积分的概念及判敛法则
7.掌握弧长的微分与曲率的计算
2009-7-25 40
八,无穷级数
(一 )数项级数的概念发散。称级数不收敛若即且和为收敛则称级数存在极限部分和。若数列项称为级数的记设级数
1
11
11
,}{
.lim,,
,}{
,
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
k
kn
n
n
uS
SSuSu
SS
nuSu
2009-7-25 41
(二 )级数的基本性质
.0l i m.1
1
nn
n
n uu 收敛，则若
1
2
1
1
1
21
11
)(
,.2
n
n
nn
nn
n
n
n
n
vkukvkuk
vu
n
收敛，则设数的敛散性。
，不改变级级数去掉或加上有限项.3
2009-7-25 42
且其和不变。组成的新级数仍收敛，
收敛，则任意加括号后若?
1
.4
n
nu
(三 )柯西收敛准则
mnn
n
n
uuu
NnmNu
21
1
,,0,0
有收敛
2009-7-25 43
2.比阶判敛法
3.达朗贝尔判敛法
4.柯西根式判敛法
5.柯西积分判敛法
(四 )正项级数的判敛法则
1.比较判敛法
2009-7-25 44
条件收敛。则称收敛，而发散绝对收敛；若
1
11
,
n
n
n
n
n
n
u
uu
2.绝对收敛、条件收敛收敛则称级数若任意项级数
11
,
n
n
n
n uu
(五 )任意项级数的判敛法则
1.交错级数的莱布尼兹判敛法
2009-7-25 45
(六 )重要级数发散。收敛 1,1,.1
1
rrr
n
n
发散。收敛 1,1,
1
.2
1
pp
nn p
2009-7-25 46
要求
1,掌握级数的概念和性质
2,掌握正项级数的 比较,比阶,
比值 和根值判定准则
3,掌握任意项级数的 绝对收敛 和条件收敛
4,交错级数的 莱布尼茨判定准则
微积分期末考试时间,2002年 1月 5日 下午,2:30— 4:30
地点,(1) 二教 401
结 11、结 12、水工 13学号 279— 288
(2) 二教 402 水工 11、水工 12、
水工 13学号 289— 298
(3) 二教 403 结 13、结 14、文 9、
水工 13学号 299— 308、其他
2009-7-25 2
期末考试答疑时间,2002年 1月 3日下午、
1月 4日上、下午上午,8:30 ~ 11:30
下午,2:30 ~ 5:30
地点：三教 1109
2009-7-25 3
微积分 (一 )期末小结
2009-7-25 4
一,函数
1.基本初等函数
2.初等函数
3.非初等函数
*分段 函数
*参数方程表示的 函数
*变限定积分
*隐函数方程
4.函数的初等性质
2009-7-25 5
二,极限定义极限的,.1 N
极限的性质.2
极限的有关定理.3
求极限的方法.4
基本公式?
等价无穷小替换?
罗必达法则?
泰勒公式?
2009-7-25 6
三,连续函数
1.连续的基本概念
2.闭区间上连续函数的性质有界性?
零点定理?
介值定理?
最值定理?
一致连续性?
2009-7-25 7
四,导数与微分
0
0
0
0
)()(
lim)('
)()(
:.1
0 xx
xfxf
xf
xxfxfy
xx?
点的导数：在，设定义
dxxfdy
xdxxfy
xxf
)('
)()('
)(
0
0
0
微分为点可微：在
2009-7-25 8
导数与微分的计算.2
基本公式?
四则运算法则?
复合函数求导法?
隐函数求导法?
反函数求导法?
对数微分法?
参数方程求导法?
2009-7-25 9
五,导数应用
(一 )微分学基本定理罗尔定理?
拉格朗日定理?
柯西定理?
(二 )函数性态的研究增减性、极值?
凸性、拐点?
渐近线?
(三 )不等式的证明
2009-7-25 10
(五 )泰勒公式
1.皮亚诺型余项的泰勒公式有时则当阶导数，到存在在点假设函数
,
1)(
0
0
xx
nxxf
])[())((
!
1
))((''
!2
1
))((')()(
000
)(
2
00000
nnn
xxoxxxf
n
xxxfxxxfxfxf
(四 )罗必达法则
2009-7-25 11
2.拉格朗日 型余项的泰勒公式之间的某个点。与是介于其中有数，则阶导到有在点假设函数
xx
xxf
n
xxxf
n
xxxfxxxfxfxf
bax
nbaxxf
nn
nn
0
1
0
)1(
00
)(
2
00000
0
))((
)!1(
1
))((
!
1
))((''
!2
1
))((')()(
),,(
11),()(
2009-7-25 12
3.常用的麦克劳林公式
)(
!
1
!2
11)1 2 nnx xox
n
xxe
)(
)!12(
)1(
!5!3
s i n)2 2
12
1
53
k
k
k xo
k
xxxxx?
)(
)!2(
)1(
!4!2
1c o s)3 2
242
k
k
k xo
k
xxxx
)0( 0,皮亚诺型余项?x
2009-7-25 13
)(
!
)1()1()1(
!2
)1(
1)1()5
2
nn
xox
n
n
xxx
)(
!
)1(
32
)1ln()4 1
32
n
n
n xo
n
xxxxx
)(1
1
1)6 2 nn xoxxx
x
2009-7-25 14
4.利用泰勒公式证明不等式
5.利用泰勒公式作近似计算要求
1.掌握函数在一点的泰勒公式
2.会用直接展开或间接展开的方法求函数的泰勒公式
3.能利用泰勒公式求某些函数的极限
6.利用泰勒公式进行级数判敛
2009-7-25 15
六,不定积分
(一 )基本概念
1.原函数上的一个原函数。在区间是
，则称上若在区间
Ixf
xFxfxFI
)(
)()()('?
2.不定积分
CxFdxxf
xf
CCxFxf
)()(
)(
)()(
记作在区间上的不定积分，任意常数）称为为，（的全体原函数
2009-7-25 16
(二 )基本性质
CxFdxxF )()('.1
)()')((.2 xfdxxf
dxxfdxxfd )()))((.3
0,)()(.4 kdxxfkdxxkf
dxxgdxxfdxxgxf )()())()((.5
2009-7-25 17
(三 )基本公式
)1(1 1.1 1 Cxdxx
Cxdxx ln1.2
Cedxe xx.3
Cxx d x c o ss i n.5
Cxx d x s i nc o s.6
)1,0(ln 1.4 aaCaadxa xx
2009-7-25 18
Cxxdx t a ns e c.7 2
Cxx d x c o tc s c.8 2
Cxdxx a r c t a n1 1.9 2
Cxdx
x
a r c s i n
1
1.10
2
Cxxdxx s e cs e ct a n.11
Cxxdxx c s cc s cc o t.12
2009-7-25 19
)0(a r c t a n11.13 22 aCaxadxxa
)0(a r c s i n1.14
22
aC
a
xdx
xa
Cxxxdx s e ct a nlns e c.15
Cxxx d x c s cc o tlnc s c.16
C
xa
xa
a
dx
xa
ln
2
11.17
22
2009-7-25 20
Cxaxdx
xa
)ln(1.18 22
22
Cc hxs hx d x.19
Cs hxc hx d x.20
(四 )计算方法利用基本公式.1
2009-7-25 21
CxFCtF
dtttfdxxf
tx
))(()(
)('))(()(
.3
1
)(
令变量置换法
v d uuvu d v
分部积分法.4
)())(()('))(()(
.2
xdxgdxxxgdxxf
凑微分法
2009-7-25 22
七,定积分
(一 )基本概念
1.定义则称此极存在如果极限令及划分的任意对上有定义在设
,)(lim
)(m a x),,,2,1(
,),,2,1(],[
:}{
],[,],[)(
1
0
1
1
1
2100
k
n
k
k
k
nk
kkk
kkk
n
n
kk
xf
xnkxxx
nkxx
bxxxxax
babaxf
2009-7-25 23
.],[)(
)(lim)(
],[)(
1
0
上可积在此时称上的定积分，记作在限值为
baxf
xfdxxf
baxf
n
k
kk
b
a
2.定积分的几何意义
.
,)()(
之间所围面积的代数和轴及直线与表示
bx
axxxfdxxf
b
a
2009-7-25 24
(二 )函数的可积性
.
],[)(],[)(.1
上有界在上可积，则在 baxfbaxf
.
],[)(],[)(.2
可积上在，则若 baxfbaCxf?
.],[)(
],[)(.3
上可积在间断点，则上有界，只有有限个在若
baxf
baxf
2009-7-25 25
.],[
)(],[)(.4
上可积在上单调有界，则在若
ba
xfbaxf
.)(i n f,)(s u p
,,
,limlim,}{
],[],[)(.5
1
1
11
00
0
xfmxfM
xmsxMS
Ssx
babaxf
kk
kk
xxx
k
xxx
k
n
k
kk
n
k
kk
n
kk
其中有划分的任意对上可积在
2009-7-25 26
(三 )定积分的性质
.,)()(1 为常数） kdxxfkdxxkf b
a
b
a
bababa dxxgdxxfdxxgxf )()())()((2 ）
abba dxxfdxxf )()(4）
0)(3 dxxfa
a
）
bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(5 ）
2009-7-25 27
.)()(
)()(],,[)()(;)()(
,],[,)()(6
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxf
xgxfbaCxgxf
dxxgdxxf
baxxgxf
则
、若则）若
dxxfdxxf b
a
b
a
)()(7 ）
)()()(
,)(
8
abMdxxfabm
Mxfm
b
a
则若
）估值定理
2009-7-25 28
).)(()(
,],[,],[)(
9
abfdxxf
babaCxf
b
a
使得则存在若
）中值定理
.)()()()(
,],[,
],[],[)(],,[)(
10
b
a
b
a
dxxgfdxxgxf
ba
babaRxgbaCxf
使得则存在上不变号且在若
）广义中值定理
2009-7-25 29
(四 )变上限定积分称为变上限定积分。
设
)(],,[
)()(,],[)(
xFbax
dxxfxFbaRxf
x
a
.],[
)()(,],[)(1
上连续在则）若
ba
dxxfxFbaRxf
x
a?
).()('),(
)()(,],[)(2
xfxFba
dxxfxFbaCxf
x
a
且，内可导在则）若
2009-7-25 30
(五 )牛顿 -莱布尼兹公式
)()()()(
)()(,],[)(
aFbFxFdxxf
xfxFbaCxf
b
a
b
a
则，原函数的一个是设
(六 )定积分计算
dtttfdxxf
tbtab
atxbaCxf
b
a
)('))(()(
)(',)(),(
),()(],,[)(
.1
连续，则满足设变量置换法
2009-7-25 31
b
a
b
a
b
a xduxvxvxuxdvxu )()()()()()(
.2 分部积分法
3.特殊函数的积分性质
为奇函数，
为偶函数则）设
)(0
)(,)(2
)(
,],[)(1
0
xf
xfdxxf
dxxf
baCxf
a
a
a
.,)()(
,,)(2
0
Radxxfdxxf
Txf
TTa
a
则周期为为连续的周期函数）设
2009-7-25 32
为奇数为偶数
）
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
xdxxdx
nn
1
3
2
2
31
22
1
2
31
c o ss i n3
2
0
2
0
区间上的符号。
在积分）要注意被积函数中的,4
2009-7-25 33
(七） 定积分应用可加性。
对区间具有所求量依赖于区间，并
）积分求结果（
）分小取微分（
量求出其微分通过分析未知函数的增
2
1
微元分析法解决问题的方法：
：定积分应用问题的特征
2009-7-25 34
应用问题平面图形的面积?
间体体积平行截面面积已知的空?
旋转体体积?
平面曲线的弧长?
旋转面的面积?
重心? 质量?
引力? 转动惯量?
动能?
变力作功?
2009-7-25 35
(八 )广义积分
1.无穷区间上的广义积分
(1)定义否则发散。此时称广义积分收敛，
记作上的广义积分在则称此极限为存在若设
.)(lim)(
,),[)(
,)(lim),,[)(
axa
B
aB
dxxfdxxf
axf
dxxfaCxf
2009-7-25 36
(2)判敛法则比较判敛法? 比阶判敛法?
绝对值判敛法? 柯西判敛准则?
2.无界函数的广义积分
b
a
b
a
b
abx
dxxfdxxf
baxf
dxxfxf
baCxf
)(l i m)(
,],[)(
,)(l i m,)(l i m
),0(],[)(:)1(
0
0
记作上的广义积分在此极限为则称存在若设定义
2009-7-25 37
(2)判敛法则比较判敛法? 比阶判敛法?
柯西判敛准则? 绝对值判敛法?
3.两个重要的例发散。收敛,11),0(1)1( ppadxx
a p
发散。收敛,11,
)(
1)2(
ppdx
ax
b
a p
2009-7-25 38
要求
1.掌握定积分的概念及性质
2.了解定积分存在的条件与可积函数类
3.能利用定积分性质对问题进行分析与证明
4.掌握变上限积分求导
5.掌握牛顿莱布尼兹公式
2009-7-25 39
6.掌握定积分的变量置换法与分部积分法
8.会用定积分解决几何与物理的简单问题
9.掌握广义积分的概念及判敛法则
7.掌握弧长的微分与曲率的计算
2009-7-25 40
八,无穷级数
(一 )数项级数的概念发散。称级数不收敛若即且和为收敛则称级数存在极限部分和。若数列项称为级数的记设级数
1
11
11
,}{
.lim,,
,}{
,
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
k
kn
n
n
uS
SSuSu
SS
nuSu
2009-7-25 41
(二 )级数的基本性质
.0l i m.1
1
nn
n
n uu 收敛，则若
1
2
1
1
1
21
11
)(
,.2
n
n
nn
nn
n
n
n
n
vkukvkuk
vu
n
收敛，则设数的敛散性。
，不改变级级数去掉或加上有限项.3
2009-7-25 42
且其和不变。组成的新级数仍收敛，
收敛，则任意加括号后若?
1
.4
n
nu
(三 )柯西收敛准则
mnn
n
n
uuu
NnmNu
21
1
,,0,0
有收敛
2009-7-25 43
2.比阶判敛法
3.达朗贝尔判敛法
4.柯西根式判敛法
5.柯西积分判敛法
(四 )正项级数的判敛法则
1.比较判敛法
2009-7-25 44
条件收敛。则称收敛，而发散绝对收敛；若
1
11
,
n
n
n
n
n
n
u
uu
2.绝对收敛、条件收敛收敛则称级数若任意项级数
11
,
n
n
n
n uu
(五 )任意项级数的判敛法则
1.交错级数的莱布尼兹判敛法
2009-7-25 45
(六 )重要级数发散。收敛 1,1,.1
1
rrr
n
n
发散。收敛 1,1,
1
.2
1
pp
nn p
2009-7-25 46
要求
1,掌握级数的概念和性质
2,掌握正项级数的 比较,比阶,
比值 和根值判定准则
3,掌握任意项级数的 绝对收敛 和条件收敛
4,交错级数的 莱布尼茨判定准则
