2009-7-25 1
P59 习题 3.1
作 业预习 P60 — 67,P70 — 78
8,9 (3)(6),11(2)(6),
12,13,
2009-7-25 2
第五讲 导数与微分（一）
二、导数定义与性质五、基本导数（微分）公式一、引言三、函数的微分四、可导、可微与连续的关系
2009-7-25 3
一、引言两个典型背景示例
[例 1] 运动物体的瞬时速度设汽车 沿 t轴作直线运动,若己知其运动规律 (路程与时间的函数关系 )为求在时刻 的瞬时速度,
)( txx?
0t
0t ttt 0
t
2009-7-25 4
[解 ]
的平均速度到求时段 ttt00)1(
t
txttx
ttv
)()(
),( 000
速度平均速度的极限是瞬时)2(
t
txttx
tv
t?
)()(
l i m)( 00
00
如果极限 存在,这个极限值就是质点的瞬时速度,
2009-7-25 5
[例 2] 曲线的切线斜率问题
)).(,(
),(),,(
].,[)(
)()(,
00
0000
xfy
yxMLbax
baCxf
bxaxfyL
其中的切线在点求曲线其方程为设曲线什麽是曲线的切线？
2009-7-25 6
x
y
o
0M
N
0x xx0
T
)(,xfyL?
的极限位置就是切线割线时当,0MN?
割线切线
2009-7-25 7
x
xfxxf
xk
x?
)()(
l i m)( 00
00
x
xfxxfxxk
)()(),( 00
0
的割线斜率到求区间 xxx00)1(
斜率割线斜率的极限是切线)2(
))(()( 000 xxxkxfy
的切线方程在点曲线 ),()3( 000 yxML
2009-7-25 8 00
,),(
.
,,
)()(
limlim
.
)(
0
0
0
00
00
0
xxxx
xx
dx
dy
dx
df
xf
xf
xf
x
xfxxf
x
y
xxfy
记作的导数在极限值为函数并称此可导在则称函数存在如果极限某邻域有定义的在点设函数
二、导数定义与性质
1,导数定义：
2009-7-25 9
[注意 1] 导数的等价定义：
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
0
0
0
)()(
lim)(
0 xx
xfxf
xf
xx?
x
xfxxf
xf
x?
)()(
lim)( 00
00
2009-7-25 10
)()( 00 tstv瞬时速度：
)()( 00 xfxk切线斜率：
.))(,(
)()(
000
0
处切线的斜率在点是曲线导数
xfxM
xfyxf
)()( xmx线密度：
[注意 2] 导数的意义：
物理意义几何意义导数是函数在一点的变化率
2009-7-25 11
例,线密度问题
.
,
处细杆的线密度求在断面成的细杆设有一根由某种物质做
M
AB
A BM
x xo
)( xmAM 的质量是设
N
xx
)()( xmxxmMN的质量为平均线密度
x
xmxxm
)()(
x
xmxxmx
x?
)()(l i m)(
0
2009-7-25 12
)(
)()(
lim 000
0
xf
x
xfxxf
x
左导数
)(
)()(
lim 000
0
xf
x
xfxxf
x
右导数
2,单侧导数定义：
)()()(
,
000
00
xfxfxf
xfxf
存在即等左、右导数都存在且相的在可导在点函数定理：
左可导在 0xf
右可导在 0xf
2009-7-25 13
3,导函数定义：
.),(,
),(
上可导在开区间则称可导上处处在开区间若函数
baf
baf?
.],[
,,
,),(
上可导在闭区间则称左可导在点右可导且在点上可导在开区间若函数
ba
fba
baf?
.
),(
,
的导函数称为上定义了一个新的函数则在区间上可导在区间若函数
fxfI
If
2009-7-25 14
三、函数的微分导数是从函数对自变量变化的速度来研究 ;而微分则是直接研究函数的增量，
这有许多方便之处。
（一）函数的微分的定义
.
)()()(
)(
.)(
0
00
0
0
可微在点则称函数的增量可表示成在点如果的某邻域有定义在点设函数
xf
xoxxAxf
xxf
xxf
.0 的微分在点称为函数线性函数 xfxA
2009-7-25 15
.
)(,]1[
0
00
的线性函数是微分时当确定点注意
xxx
xdfx
.
)()(
,)(
)(,]2[
00
0
0
的高阶无穷小是其误差的近似值增量可作为微分很小时当注意
x
xdfxf
xf
xdfx
部”微分是增量的“线性主
xAdyxAxdf xx
0
)( 0 或记作
2009-7-25 16
xxfxdf
xfxAx
xxf
)()(
)()(,
,)()1(
00
000
0
即且必可微点则它在处可导在点函数四、可导、可微与连续的关系定理 1,函数可微与可导是等价的
)()(,
,)()2(
000
0
xAxfx
xxf
且必可导点则它在处可微在点函数
2009-7-25 17
即可导在点设,)( 0xxf
)(
)(
l i m 00
0
xf
x
xf
x
量的关系知由有极限函数与无穷小
)1()(
)(
0
0 oxf
x
xf
)()()( 00 xoxxfxf
[证 ] (1)
)()(,)( 000 xfxAxxf且可微在点即
2009-7-25 18
可微在点设函数 0)( xxf
)0()()()( 00 xxoxxAxf
)(
)()(
lim
)(
lim)(
0
0
0
0
0
0
xA
x
xoxxA
x
xf
xf
x
x
[证 ] (2)
)()(,)( 000 xAxfxxf且可导在点即
2009-7-25 19
.,00 连续在则可导在若函数 xfxf
定理 2：
[证 ]
)(lim 0
00
xf
x
y
xf
x
可导在
xxxxfy )()( 0
0l i m
0
y
x
连续在 0xf?
[注意 ] 可导必连续,连续不一定可导！
)()( 0 xoxxf
2009-7-25 20
.
0][
与可导性处的连续性在点研究函数例 xxy
得到一个改变量给,00 xx
1limlim)0(
00
x
x
x
yf
xx?
1limlim)0(
00
x
x
x
y
f
xx?
不可导在 0 xxy
xxy 00
[解 ]
连续 )0(0 xy
2009-7-25 21
o x
xy?
尖点
2009-7-25 22
的可导性在研究例 0)(][ 31 xxxf
3
2
3
1
)(
1)()0()0(
xx
x
x
fxf
x
y
3
2
)(
1
l i ml i m
00 xx
y
xx
[解 ]
不可导在 0)( 31 xxxf
x
31xy?
O
y有铅垂切线
2009-7-25 23
)0(,
0,0
0,
1
s i n
][ y
x
x
x
x
y?
求例
xx
x
x
y
xx?
1
s i nl i m
0
1
s i n
l i m)0(
00
[解 ]
振荡不存在 ！)0(y?
2009-7-25 24
0,0
0,
1
s i n
2
x
x
x
x
y若
0
1
s i nl i m
0
1
s i n
l i m)0(
0
2
0
x
x
x
x
x
y
x
x
则
2009-7-25 25
x
y
o
0M
N
Q
)( xfy?
dy
y?
0x xx0
x?
T
P
dyxfxtgQMPQ )( 00?
微分的几何意义微分三角形
2009-7-25 26
.
))(,(
)(
0000
0
的纵坐标增量处的切线在点就是曲线微分
TMxfxM
xfydy
xx
.
,
,
0
“以直代曲”—曲线用切线近似代替附近在点即很小时当
x
dyyx
2009-7-25 27
0)()1(C 1)()2( xx
xx s i n)( c o s)8(xx c o s)( s i n)7(
ax
xa
ln
1)( l o g)6(
x
x 1)( ln)5(
aaa xx ln)()4(
xx ee)()3(
五、基本导数（微分）公式
x
xx 22
c o s
1s e c)( t a n)9(
x
xx 22
s in
1c s c)( c o t)10(
2009-7-25 28
xxx t a ns e c)( s e c)11(
xxx c o tc s c)( c s c)12(
21
1
)( a r c s i n)13(
x
x
21
1
)( a r c c o s)14(
x
x
21
1)( a r c t a n)15(
x
x
21
1)c o t()16(
x
xa r c
2009-7-25 29
)67(
.
,)()(
P
xxfxdf
见讲义：
微分基本公式得到由导数基本公式便可以故根据
微分基本公式
2009-7-25 30
.)()(]1[ 的导数在为常数求例 xCCxfy
得到以增量给,)1( xx?
0)()( CCxfxxfy
求增量比)2(
00
xx
y
取极限得令,0)3(?x? 0l i m
0
x
y
x?
5,利用定义求导的例子
[解 ]
0)(C公式
2009-7-25 31
2
s i n)
2
s i n (2c o s)c o s ( xxxxxxy
x
x
x
x
y
x
x
xx
s i n
s i n
)
2
s i n (limlim
2
2
00
.co s)(]2[ 的导数在求例 xxxf?
[解 ]
2
2s i n)
2
s i n ( x
xx
x
x
y
xx s i n)( co s公式
xx c o s)s i n(公式
2009-7-25 32
)1l n (ln)l n (
x
xxxxy
x
x 1)( l n公式
.ln)(]3[ 的导数在求例 xxxf?
[解 ]
x
x
x
x
x
x
x
xx
y
)1l n (
)1l n (
1
xx
y
x
1l i m
0
ax
xa
ln
1)( l o g公式
2009-7-25 33
)1( xxxxx aaaay
xx ee)(公式
.)(]5[ 的导数在求例 xaxf x?
[解 ]
x
a
a
x
y xx
1?
aa
x
a
a
x
y xx
x
x
x
ln
1
l i ml i m
00
aaa xx ln)(公式
2009-7-25 34
问题：如何求其他函数的导数？
基本导数公式导数运算法则其他基本初等函数初等函数 四则复合反函数隐函数参数方程对数微分法
P59 习题 3.1
作 业预习 P60 — 67,P70 — 78
8,9 (3)(6),11(2)(6),
12,13,
2009-7-25 2
第五讲 导数与微分（一）
二、导数定义与性质五、基本导数（微分）公式一、引言三、函数的微分四、可导、可微与连续的关系
2009-7-25 3
一、引言两个典型背景示例
[例 1] 运动物体的瞬时速度设汽车 沿 t轴作直线运动,若己知其运动规律 (路程与时间的函数关系 )为求在时刻 的瞬时速度,
)( txx?
0t
0t ttt 0
t
2009-7-25 4
[解 ]
的平均速度到求时段 ttt00)1(
t
txttx
ttv
)()(
),( 000
速度平均速度的极限是瞬时)2(
t
txttx
tv
t?
)()(
l i m)( 00
00
如果极限 存在,这个极限值就是质点的瞬时速度,
2009-7-25 5
[例 2] 曲线的切线斜率问题
)).(,(
),(),,(
].,[)(
)()(,
00
0000
xfy
yxMLbax
baCxf
bxaxfyL
其中的切线在点求曲线其方程为设曲线什麽是曲线的切线？
2009-7-25 6
x
y
o
0M
N
0x xx0
T
)(,xfyL?
的极限位置就是切线割线时当,0MN?
割线切线
2009-7-25 7
x
xfxxf
xk
x?
)()(
l i m)( 00
00
x
xfxxfxxk
)()(),( 00
0
的割线斜率到求区间 xxx00)1(
斜率割线斜率的极限是切线)2(
))(()( 000 xxxkxfy
的切线方程在点曲线 ),()3( 000 yxML
2009-7-25 8 00
,),(
.
,,
)()(
limlim
.
)(
0
0
0
00
00
0
xxxx
xx
dx
dy
dx
df
xf
xf
xf
x
xfxxf
x
y
xxfy
记作的导数在极限值为函数并称此可导在则称函数存在如果极限某邻域有定义的在点设函数
二、导数定义与性质
1,导数定义：
2009-7-25 9
[注意 1] 导数的等价定义：
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
0
0
0
)()(
lim)(
0 xx
xfxf
xf
xx?
x
xfxxf
xf
x?
)()(
lim)( 00
00
2009-7-25 10
)()( 00 tstv瞬时速度：
)()( 00 xfxk切线斜率：
.))(,(
)()(
000
0
处切线的斜率在点是曲线导数
xfxM
xfyxf
)()( xmx线密度：
[注意 2] 导数的意义：
物理意义几何意义导数是函数在一点的变化率
2009-7-25 11
例,线密度问题
.
,
处细杆的线密度求在断面成的细杆设有一根由某种物质做
M
AB
A BM
x xo
)( xmAM 的质量是设
N
xx
)()( xmxxmMN的质量为平均线密度
x
xmxxm
)()(
x
xmxxmx
x?
)()(l i m)(
0
2009-7-25 12
)(
)()(
lim 000
0
xf
x
xfxxf
x
左导数
)(
)()(
lim 000
0
xf
x
xfxxf
x
右导数
2,单侧导数定义：
)()()(
,
000
00
xfxfxf
xfxf
存在即等左、右导数都存在且相的在可导在点函数定理：
左可导在 0xf
右可导在 0xf
2009-7-25 13
3,导函数定义：
.),(,
),(
上可导在开区间则称可导上处处在开区间若函数
baf
baf?
.],[
,,
,),(
上可导在闭区间则称左可导在点右可导且在点上可导在开区间若函数
ba
fba
baf?
.
),(
,
的导函数称为上定义了一个新的函数则在区间上可导在区间若函数
fxfI
If
2009-7-25 14
三、函数的微分导数是从函数对自变量变化的速度来研究 ;而微分则是直接研究函数的增量，
这有许多方便之处。
（一）函数的微分的定义
.
)()()(
)(
.)(
0
00
0
0
可微在点则称函数的增量可表示成在点如果的某邻域有定义在点设函数
xf
xoxxAxf
xxf
xxf
.0 的微分在点称为函数线性函数 xfxA
2009-7-25 15
.
)(,]1[
0
00
的线性函数是微分时当确定点注意
xxx
xdfx
.
)()(
,)(
)(,]2[
00
0
0
的高阶无穷小是其误差的近似值增量可作为微分很小时当注意
x
xdfxf
xf
xdfx
部”微分是增量的“线性主
xAdyxAxdf xx
0
)( 0 或记作
2009-7-25 16
xxfxdf
xfxAx
xxf
)()(
)()(,
,)()1(
00
000
0
即且必可微点则它在处可导在点函数四、可导、可微与连续的关系定理 1,函数可微与可导是等价的
)()(,
,)()2(
000
0
xAxfx
xxf
且必可导点则它在处可微在点函数
2009-7-25 17
即可导在点设,)( 0xxf
)(
)(
l i m 00
0
xf
x
xf
x
量的关系知由有极限函数与无穷小
)1()(
)(
0
0 oxf
x
xf
)()()( 00 xoxxfxf
[证 ] (1)
)()(,)( 000 xfxAxxf且可微在点即
2009-7-25 18
可微在点设函数 0)( xxf
)0()()()( 00 xxoxxAxf
)(
)()(
lim
)(
lim)(
0
0
0
0
0
0
xA
x
xoxxA
x
xf
xf
x
x
[证 ] (2)
)()(,)( 000 xAxfxxf且可导在点即
2009-7-25 19
.,00 连续在则可导在若函数 xfxf
定理 2：
[证 ]
)(lim 0
00
xf
x
y
xf
x
可导在
xxxxfy )()( 0
0l i m
0
y
x
连续在 0xf?
[注意 ] 可导必连续,连续不一定可导！
)()( 0 xoxxf
2009-7-25 20
.
0][
与可导性处的连续性在点研究函数例 xxy
得到一个改变量给,00 xx
1limlim)0(
00
x
x
x
yf
xx?
1limlim)0(
00
x
x
x
y
f
xx?
不可导在 0 xxy
xxy 00
[解 ]
连续 )0(0 xy
2009-7-25 21
o x
xy?
尖点
2009-7-25 22
的可导性在研究例 0)(][ 31 xxxf
3
2
3
1
)(
1)()0()0(
xx
x
x
fxf
x
y
3
2
)(
1
l i ml i m
00 xx
y
xx
[解 ]
不可导在 0)( 31 xxxf
x
31xy?
O
y有铅垂切线
2009-7-25 23
)0(,
0,0
0,
1
s i n
][ y
x
x
x
x
y?
求例
xx
x
x
y
xx?
1
s i nl i m
0
1
s i n
l i m)0(
00
[解 ]
振荡不存在 ！)0(y?
2009-7-25 24
0,0
0,
1
s i n
2
x
x
x
x
y若
0
1
s i nl i m
0
1
s i n
l i m)0(
0
2
0
x
x
x
x
x
y
x
x
则
2009-7-25 25
x
y
o
0M
N
Q
)( xfy?
dy
y?
0x xx0
x?
T
P
dyxfxtgQMPQ )( 00?
微分的几何意义微分三角形
2009-7-25 26
.
))(,(
)(
0000
0
的纵坐标增量处的切线在点就是曲线微分
TMxfxM
xfydy
xx
.
,
,
0
“以直代曲”—曲线用切线近似代替附近在点即很小时当
x
dyyx
2009-7-25 27
0)()1(C 1)()2( xx
xx s i n)( c o s)8(xx c o s)( s i n)7(
ax
xa
ln
1)( l o g)6(
x
x 1)( ln)5(
aaa xx ln)()4(
xx ee)()3(
五、基本导数（微分）公式
x
xx 22
c o s
1s e c)( t a n)9(
x
xx 22
s in
1c s c)( c o t)10(
2009-7-25 28
xxx t a ns e c)( s e c)11(
xxx c o tc s c)( c s c)12(
21
1
)( a r c s i n)13(
x
x
21
1
)( a r c c o s)14(
x
x
21
1)( a r c t a n)15(
x
x
21
1)c o t()16(
x
xa r c
2009-7-25 29
)67(
.
,)()(
P
xxfxdf
见讲义：
微分基本公式得到由导数基本公式便可以故根据
微分基本公式
2009-7-25 30
.)()(]1[ 的导数在为常数求例 xCCxfy
得到以增量给,)1( xx?
0)()( CCxfxxfy
求增量比)2(
00
xx
y
取极限得令,0)3(?x? 0l i m
0
x
y
x?
5,利用定义求导的例子
[解 ]
0)(C公式
2009-7-25 31
2
s i n)
2
s i n (2c o s)c o s ( xxxxxxy
x
x
x
x
y
x
x
xx
s i n
s i n
)
2
s i n (limlim
2
2
00
.co s)(]2[ 的导数在求例 xxxf?
[解 ]
2
2s i n)
2
s i n ( x
xx
x
x
y
xx s i n)( co s公式
xx c o s)s i n(公式
2009-7-25 32
)1l n (ln)l n (
x
xxxxy
x
x 1)( l n公式
.ln)(]3[ 的导数在求例 xxxf?
[解 ]
x
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1)( l o g公式
2009-7-25 33
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.)(]5[ 的导数在求例 xaxf x?
[解 ]
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aaa xx ln)(公式
2009-7-25 34
问题：如何求其他函数的导数？
基本导数公式导数运算法则其他基本初等函数初等函数 四则复合反函数隐函数参数方程对数微分法
