2009-7-25 1
作业
P201 习题 7.1 1(5) 2,8(2),
预习,P211— 218
P210 习题 7.2 11(1),15(1)
P218 综合题 5,
P113 习题 4.3 15(2),
2009-7-25 2
第十九讲定积分的应用 （一）
二、几何应用一、微元分析法
2009-7-25 3
].,[
)1(
bax
A
的某个区间自变量依赖于不均匀变化的整体量
n
i
iAA
1
,.)2(?即具有可加性
iii
i
xfA
A
)(
)3(
求得近似值可“以不变代变”部分量可以应用定积分计算的量有如下特点,
一、微元分析法
2009-7-25 4
x
)(xA
xx
A?
x
y
a b
)( xfy?
o
xa dttfxA )()(
dxxfAd )(?
)()( xfxA
],[)( baCxf?
dxxfAdA )(
)0()()( xxodxxfA
关键是部分量的近似
)()( bAdttfb
a
2009-7-25 5
局部量的近似值写出“不变代变”的小区间取具有代表性第一步：分割区间
,],,[
],,[
xxx
ba
xxfA )(
得定积分就是整体量无限积累上微元在区间第二步：令
,
],[,0 bax
ba dxxfA )(
微分近似
)()( xxxfA要求：
微元分析法
2009-7-25 6
二,几何应用
（一）平面图形的面积
1,直角坐标系下平面图形面积的计算
Axfy
xbxax
所围曲边梯形的面积曲线轴和连续及由直线
)(
,)1(
根据定积分的定义和几何意义知
ba dxxfA )(
2009-7-25 7
],[)()(,baxxfxg先看
Abxax
xgyxfy
所围成的面积和直线由曲线
,
)(),()2(
ba dxxgxfA )]()([
面积微元
x
dxx?
dxxgxfdA )]()([
ba dxxgxfA )()(
xa b
y
o
)(xfy?
)(xgy?
2009-7-25 8
x
y
xy?
1?xy
2?x
o
2
1
)1,1(
.
2,1]1[
A
xxyxy
所围成的面积及直线求由曲线例
xy
yx 1
解方程组
1
1
2
1
x
x
[解 ]
21 )1( dxxxA
2ln
2
3)ln
2
( |
2
1
2
xx
2009-7-25 9
满足设连续函数 )(),( yy
],[)()(0 dcyyy
Adycy
yxyx
所围成的面积和直线求由曲线
,
),(),(
面积公式：
d
c
dyyyA )]()([
x
)( yx
c
d
)( yx
y
o
y
dyy?
2009-7-25 10
.
1,5]2[ 22
A
yxyx
的面积所围成求由曲线例
2
2
1
5
yx
yx
2
1
2
1
2
1
y
y
解方程组
[解 ]
o x
y
21 yx
25yx?
2
1
0
22
1 )51(22 dyyyAA
3
2)
3
4(2 | 21
0
3 yy
21
1A
2
1
0
2 )41(2 dyy
2009-7-25 11
面积微元：小圆扇形 ddA )(
2
1 2?
d
面积微元
)(
o
2,极坐标系下平面图形面积的计算
.
,
)(
所围成的面积及射线求曲线
dA )(
2
1 2
2009-7-25 12
.
)c o s1(]3[
A
a
的面积所围成求心脏线例
利用对称性 12 AA?
0
42
2
c o s4 da
o
20 42 c o s8
td ta
[解 ]
0 2)]c o s1([ da
2
2
3 a
0 2 )(212 d
2009-7-25 13
所围面积。
求星形线：例 ]2,0[
s i n
c o s
]4[
3
3
t
tay
tax
a
3.参数方程下求图形面积
2009-7-25 14
[解 ] 利用对称性
14 AA a y d x
0
4
dtttata )s i n(c o s3s i n4 2
0
2
3
20 242 )s i n1(s i n12
dxtta
)
22
1
4
3
6
5
22
1
4
3(12 2 a
2
8
3 a
2009-7-25 15体积 b
a
dxxAV )(
x
ba x dxx?
A(x)
（二）空间立体的体积
1,已知平行截面面积立体的体积
2009-7-25 16
x
a b
b
a
b
a
dxxfdxyV )(22
x dxx?
2,旋转体的体积
2)( yxA
o
)( xfy?
y
2009-7-25 17
x
o
)( yx
c
d
2)( xyA
dcdc dyydyxV )(22
y
yy+dy
2009-7-25 18
.
1]5[
2
2
2
2
V
x
b
y
a
x
旋转体的体积轴旋转所成绕求椭圆例
x
a
上半椭圆方程为
22 xa
a
by )( axa
o
得到利用对称性,
a dxyVV 0 21 22
a
dxxa
a
b
0
22
2
2
)(2?
| 0
3
2
2
2
)
3
(2
ax
xa
a
b
[解 ]
2
3
4 ab
y
2009-7-25 19
旋转体的体积？
轴旋转所成绕轴所围图形和直线怎样求由曲线例
yx
xxy
,
2,]6[
2o ]2,0[
.
的变化区间分即为积分变量取
y
y
20 22 22 dyxV
2
0
424 dyy
2
5
162
5
424
[解法一 ] y+dy
y
2009-7-25 20
]2,0[
.
的变化区间分即为积分变量取
x
x
体积微元是什麽？
x dxx?
2
o
薄壁圆桶
dxyxdV2
202 dxxxV?
为积分变量？何时选择为积分变量？何时选择思考：
y
x
[解法二 ]
2
5
16
5
22 | 2
0
2
5
x
2009-7-25 21
n
i
ii MM
1
1
iini MM 11m a x
0
lim
l
A
B
x
y
o ii xxix
（三）平面曲线的弧长何谓曲线的长？ — 内接折线长的极限
1M
1?iM
iM
0M?
nM?
2009-7-25 22
设曲线段方程为)1( )()( bxaxfy
上连续在即曲线是光滑的 ],[)(,baxf?
),,2,1()()( 221 niyxMM iiii
中值定理得到由 L a g r a n g e
iiiii xfxfxfy )()()( 1
)( 1 iii xx
),,2,1()]([1 21 nixfMM iiii
n
i
ii
n
i
ii xfMM
1
2
1
1 )]([1
2009-7-25 23
iini MM 11m a x记ini x 1m a x
iii MMx 1
从而得到有时当故,0,0,
b
a
n
i
ii
n
i
ii
dxxf
xf
MMl
2
1
2
0
1
1
0
)]([1
)]([1l i m
l i m
弧长, b
a
b
a
dxydxxfl 22 1)]([1
2009-7-25 24
出设曲线段由参数方程给)2(
)(
)(
tyy
txx )( t
且不同时为零],,[)(),(Ctytx
0,0,
,,;,
dldt
BtAt
有时当即对应终点对应起点
dttytxl )()( 22
弧长公式：
2009-7-25 25
给出设曲线段由极坐标方程)3(
)()(
上连续在 ],[)(
作为参数选?
)(
s i n)(
c o s)(
y
x
弧长公式,
dl )()( 22
2009-7-25 26
2009-7-25 27
则有的弧长为对应于变动区间设光滑曲线
),(],[
),()(
xlxa
bxaxfy
x
a
dx
dx
dyxl 2)(1)(
存在定理得到由原函数上连续在因为,],[)( baxf?
2)(1)(
dx
dy
dx
xdl
2009-7-25 28
dxxydl 2)]([1
弧微分公式：
从而有时当,0,0 dxdl
dx
dx
dy
dl 2)(1即
dttytxdl 22 )]([)]([
ddl 22 )]([)]([
2009-7-25 29
y
x
y
B
N
T
dx
M
A
dxx?xa
dy
b
2009-7-25 30
求悬链线例 ]7[
x
y
o aa?
)0()(
2
a
a
xa c heeay axax
laxax 一段的弧长到从
a
a
dx
a
x
sh
dxyl
0
2
0
2
)(12
12
)(12
22
1
00
|
eeaa s h
a
x
a s hdx
a
x
ch
aa
[解 ]
2009-7-25 31
求旋轮线例 ]8[
)0(
)c o s1(
)s i n(
a
tay
ttax
l第一拱的弧长
a?2o
t
[解 ]
)c o s1()( tatx
taty s i n)(
dttadttadttytxdl
2
s i n2)c o s1(2)()( 22
adttadttal 8
2
s i n2
2
s i n2
2
0
2
0
2009-7-25 32
（四）曲率与曲率半径曲率问题就是研究曲线的弯曲程度问题
0M
M
0T
T
lMM?之间的弧长为设,0
之间的为 MM
l
,0
处的曲率为曲线在则称存在定义：若
0
0
0
l i m
,l i m
M
l
k
l
l
l
平均曲率
2009-7-25 33
l
k
l?
0
l i m
dl
d
yt a n? y a r c t a n?
dxy
y
d
2
1
1? dxydl 21而
232 )1( y
yk
曲率公式二阶可导设曲线 )( xfy?
的曲率半径处在称为曲线 0)( Mxfy?k
R 1?
2009-7-25 34
x dxx?
M
T
xa b
y
o
)( xfy?
（五）旋转体的侧面积用切线 MT绕 x轴旋转所得圆台的侧面积近似
2009-7-25 35
dldyy d l
dldyyy
2
)]([圆台侧面积得侧面积微元：
略去！时当 ),(,0 dxodldydx
dxyyy d ldS 2122
b
a
dxyyS 212?
侧面积
2009-7-25 36
)0(.)()(
)(]9[ 222
baS
xabyx
面积表的环体旋转体轴旋转所得绕求圆例
x
y
a? ao
b
上半圆方程 221 xaby
下半圆方程 22
2 xaby
22
2
22
2
2
1 xa
xyyy
22
21
xa
a
y
[解 ]
2009-7-25 37
故侧面积之和轴旋转的绕所求面积为上、下半圆
,
x
aa dxyydxyySS 0 2220 2111 14142
dx
xa
a
xabxab
a
])()[(4
220
2222
a
xa
dx
ab
0 22
8?
ab
a
xab a 2
0
4a r c s i n8 |
作业
P201 习题 7.1 1(5) 2,8(2),
预习,P211— 218
P210 习题 7.2 11(1),15(1)
P218 综合题 5,
P113 习题 4.3 15(2),
2009-7-25 2
第十九讲定积分的应用 （一）
二、几何应用一、微元分析法
2009-7-25 3
].,[
)1(
bax
A
的某个区间自变量依赖于不均匀变化的整体量
n
i
iAA
1
,.)2(?即具有可加性
iii
i
xfA
A
)(
)3(
求得近似值可“以不变代变”部分量可以应用定积分计算的量有如下特点,
一、微元分析法
2009-7-25 4
x
)(xA
xx
A?
x
y
a b
)( xfy?
o
xa dttfxA )()(
dxxfAd )(?
)()( xfxA
],[)( baCxf?
dxxfAdA )(
)0()()( xxodxxfA
关键是部分量的近似
)()( bAdttfb
a
2009-7-25 5
局部量的近似值写出“不变代变”的小区间取具有代表性第一步：分割区间
,],,[
],,[
xxx
ba
xxfA )(
得定积分就是整体量无限积累上微元在区间第二步：令
,
],[,0 bax
ba dxxfA )(
微分近似
)()( xxxfA要求：
微元分析法
2009-7-25 6
二,几何应用
（一）平面图形的面积
1,直角坐标系下平面图形面积的计算
Axfy
xbxax
所围曲边梯形的面积曲线轴和连续及由直线
)(
,)1(
根据定积分的定义和几何意义知
ba dxxfA )(
2009-7-25 7
],[)()(,baxxfxg先看
Abxax
xgyxfy
所围成的面积和直线由曲线
,
)(),()2(
ba dxxgxfA )]()([
面积微元
x
dxx?
dxxgxfdA )]()([
ba dxxgxfA )()(
xa b
y
o
)(xfy?
)(xgy?
2009-7-25 8
x
y
xy?
1?xy
2?x
o
2
1
)1,1(
.
2,1]1[
A
xxyxy
所围成的面积及直线求由曲线例
xy
yx 1
解方程组
1
1
2
1
x
x
[解 ]
21 )1( dxxxA
2ln
2
3)ln
2
( |
2
1
2
xx
2009-7-25 9
满足设连续函数 )(),( yy
],[)()(0 dcyyy
Adycy
yxyx
所围成的面积和直线求由曲线
,
),(),(
面积公式：
d
c
dyyyA )]()([
x
)( yx
c
d
)( yx
y
o
y
dyy?
2009-7-25 10
.
1,5]2[ 22
A
yxyx
的面积所围成求由曲线例
2
2
1
5
yx
yx
2
1
2
1
2
1
y
y
解方程组
[解 ]
o x
y
21 yx
25yx?
2
1
0
22
1 )51(22 dyyyAA
3
2)
3
4(2 | 21
0
3 yy
21
1A
2
1
0
2 )41(2 dyy
2009-7-25 11
面积微元：小圆扇形 ddA )(
2
1 2?
d
面积微元
)(
o
2,极坐标系下平面图形面积的计算
.
,
)(
所围成的面积及射线求曲线
dA )(
2
1 2
2009-7-25 12
.
)c o s1(]3[
A
a
的面积所围成求心脏线例
利用对称性 12 AA?
0
42
2
c o s4 da
o
20 42 c o s8
td ta
[解 ]
0 2)]c o s1([ da
2
2
3 a
0 2 )(212 d
2009-7-25 13
所围面积。
求星形线：例 ]2,0[
s i n
c o s
]4[
3
3
t
tay
tax
a
3.参数方程下求图形面积
2009-7-25 14
[解 ] 利用对称性
14 AA a y d x
0
4
dtttata )s i n(c o s3s i n4 2
0
2
3
20 242 )s i n1(s i n12
dxtta
)
22
1
4
3
6
5
22
1
4
3(12 2 a
2
8
3 a
2009-7-25 15体积 b
a
dxxAV )(
x
ba x dxx?
A(x)
（二）空间立体的体积
1,已知平行截面面积立体的体积
2009-7-25 16
x
a b
b
a
b
a
dxxfdxyV )(22
x dxx?
2,旋转体的体积
2)( yxA
o
)( xfy?
y
2009-7-25 17
x
o
)( yx
c
d
2)( xyA
dcdc dyydyxV )(22
y
yy+dy
2009-7-25 18
.
1]5[
2
2
2
2
V
x
b
y
a
x
旋转体的体积轴旋转所成绕求椭圆例
x
a
上半椭圆方程为
22 xa
a
by )( axa
o
得到利用对称性,
a dxyVV 0 21 22
a
dxxa
a
b
0
22
2
2
)(2?
| 0
3
2
2
2
)
3
(2
ax
xa
a
b
[解 ]
2
3
4 ab
y
2009-7-25 19
旋转体的体积？
轴旋转所成绕轴所围图形和直线怎样求由曲线例
yx
xxy
,
2,]6[
2o ]2,0[
.
的变化区间分即为积分变量取
y
y
20 22 22 dyxV
2
0
424 dyy
2
5
162
5
424
[解法一 ] y+dy
y
2009-7-25 20
]2,0[
.
的变化区间分即为积分变量取
x
x
体积微元是什麽？
x dxx?
2
o
薄壁圆桶
dxyxdV2
202 dxxxV?
为积分变量？何时选择为积分变量？何时选择思考：
y
x
[解法二 ]
2
5
16
5
22 | 2
0
2
5
x
2009-7-25 21
n
i
ii MM
1
1
iini MM 11m a x
0
lim
l
A
B
x
y
o ii xxix
（三）平面曲线的弧长何谓曲线的长？ — 内接折线长的极限
1M
1?iM
iM
0M?
nM?
2009-7-25 22
设曲线段方程为)1( )()( bxaxfy
上连续在即曲线是光滑的 ],[)(,baxf?
),,2,1()()( 221 niyxMM iiii
中值定理得到由 L a g r a n g e
iiiii xfxfxfy )()()( 1
)( 1 iii xx
),,2,1()]([1 21 nixfMM iiii
n
i
ii
n
i
ii xfMM
1
2
1
1 )]([1
2009-7-25 23
iini MM 11m a x记ini x 1m a x
iii MMx 1
从而得到有时当故,0,0,
b
a
n
i
ii
n
i
ii
dxxf
xf
MMl
2
1
2
0
1
1
0
)]([1
)]([1l i m
l i m
弧长, b
a
b
a
dxydxxfl 22 1)]([1
2009-7-25 24
出设曲线段由参数方程给)2(
)(
)(
tyy
txx )( t
且不同时为零],,[)(),(Ctytx
0,0,
,,;,
dldt
BtAt
有时当即对应终点对应起点
dttytxl )()( 22
弧长公式：
2009-7-25 25
给出设曲线段由极坐标方程)3(
)()(
上连续在 ],[)(
作为参数选?
)(
s i n)(
c o s)(
y
x
弧长公式,
dl )()( 22
2009-7-25 26
2009-7-25 27
则有的弧长为对应于变动区间设光滑曲线
),(],[
),()(
xlxa
bxaxfy
x
a
dx
dx
dyxl 2)(1)(
存在定理得到由原函数上连续在因为,],[)( baxf?
2)(1)(
dx
dy
dx
xdl
2009-7-25 28
dxxydl 2)]([1
弧微分公式：
从而有时当,0,0 dxdl
dx
dx
dy
dl 2)(1即
dttytxdl 22 )]([)]([
ddl 22 )]([)]([
2009-7-25 29
y
x
y
B
N
T
dx
M
A
dxx?xa
dy
b
2009-7-25 30
求悬链线例 ]7[
x
y
o aa?
)0()(
2
a
a
xa c heeay axax
laxax 一段的弧长到从
a
a
dx
a
x
sh
dxyl
0
2
0
2
)(12
12
)(12
22
1
00
|
eeaa s h
a
x
a s hdx
a
x
ch
aa
[解 ]
2009-7-25 31
求旋轮线例 ]8[
)0(
)c o s1(
)s i n(
a
tay
ttax
l第一拱的弧长
a?2o
t
[解 ]
)c o s1()( tatx
taty s i n)(
dttadttadttytxdl
2
s i n2)c o s1(2)()( 22
adttadttal 8
2
s i n2
2
s i n2
2
0
2
0
2009-7-25 32
（四）曲率与曲率半径曲率问题就是研究曲线的弯曲程度问题
0M
M
0T
T
lMM?之间的弧长为设,0
之间的为 MM
l
,0
处的曲率为曲线在则称存在定义：若
0
0
0
l i m
,l i m
M
l
k
l
l
l
平均曲率
2009-7-25 33
l
k
l?
0
l i m
dl
d
yt a n? y a r c t a n?
dxy
y
d
2
1
1? dxydl 21而
232 )1( y
yk
曲率公式二阶可导设曲线 )( xfy?
的曲率半径处在称为曲线 0)( Mxfy?k
R 1?
2009-7-25 34
x dxx?
M
T
xa b
y
o
)( xfy?
（五）旋转体的侧面积用切线 MT绕 x轴旋转所得圆台的侧面积近似
2009-7-25 35
dldyy d l
dldyyy
2
)]([圆台侧面积得侧面积微元：
略去！时当 ),(,0 dxodldydx
dxyyy d ldS 2122
b
a
dxyyS 212?
侧面积
2009-7-25 36
)0(.)()(
)(]9[ 222
baS
xabyx
面积表的环体旋转体轴旋转所得绕求圆例
x
y
a? ao
b
上半圆方程 221 xaby
下半圆方程 22
2 xaby
22
2
22
2
2
1 xa
xyyy
22
21
xa
a
y
[解 ]
2009-7-25 37
故侧面积之和轴旋转的绕所求面积为上、下半圆
,
x
aa dxyydxyySS 0 2220 2111 14142
dx
xa
a
xabxab
a
])()[(4
220
2222
a
xa
dx
ab
0 22
8?
ab
a
xab a 2
0
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