2009-7-25 1
P112习题 4.3
13(3),20(3).
P121习题 4.4
3(2)(5),4,5(2),
P122综合题
10,12,15(2),17.
作业,
复习,P113— 121
预习,P124— 133
2009-7-25 2
第十三讲 泰勒公式二、带皮亚诺余项的泰勒公式三、带拉格朗日余项的泰勒公式四、五个常用函数的 泰勒 公式一、函数逼近、泰勒多项式五,泰勒 公式的应用
2009-7-25 3
（二）函数近似用 多项式 逼近函数,
逼近有两种看法：
（ 1）在一点附近近似这个函数好；
—— 泰勒公式
（ 2）在区间上整体逼近得好。
—— 傅立叶级数、正交多项式
))(()()( 00 xxfxfxf
)())(()()( 0000 xxoxxxfxfxf
（一） 比较一、函数逼近、泰勒多项式
2009-7-25 4
)())(()()(
,,
0000
00
xxoxxxfxfxf
xxxf
有时则当可微在点如果函数的一次多项式右端是 )( 0xx?
)(,00 xxxx误差是时当在讨论函数的微分时，已经得出,
:,10 有一阶近似公式时当 xx
))(()()( 000 xxxfxfxf
2009-7-25 5
)()()( xRxPxf nn
).(
,)(
0
0
xfx
xx
的附近可以近似表示使它在的高次多项式希望找一个关于?
)()( xPxf n?
如何提高近似公式的精度？
)(,xR n误差
n
nn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0
2
02010
（ 1）怎样确定系数？
（ 2）怎样确定误差？
2009-7-25 6
要求：
)()( 00 xfxP n
)()( 00 xfxP n
.........
)()( 0)(0)( xfxP nnn?
x
y
0x
o
)( xfy?
)( 0xf
)()( 00 xfxP n?
2009-7-25 7
n
nn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0
2
02010
1
0021 )()(2)(
n
nn xxnaxxaaxP?
20032 )()1()(232)( nnn xxannxxaaxP?
n
n
n annnxP 12)2)(1()(
)(
.........,........
代入上述条件得到
),( 00 xfa? ),( 01 xfa ),(2 02 xfa
..,)(!
0
)( xfan n
n?
2009-7-25 8
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
即
),( 00 xfa? ),( 01 xfa
,
!2
)( 0
2
xf
a
...
!
)(
,0
)(
n
xf
a
n
n?
于是阶泰勒多项式点的在 nxxf 0)(
2009-7-25 9
有时当则阶导数有在点若函数
,
,
0
0
xx
nxf
])[()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
00
0
)(
2
0
0
000
nn
n
xxoxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
)()(])[(,00 xxxRxx nn其中
)( 皮亚诺余项二、带皮亚诺余项的泰勒公式定理 1:
2009-7-25 10
有时当,00?x
阶麦克劳林公式n
)0()(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
xxx
n
f
x
f
xffxf
nn
n
2009-7-25 11
[证 ]
])(
!
)(
)(
!2
)(
))(()([)()(
0
0
)(
2
0
0
000
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxfxR
n
n
xx xx
xR
)(
)(lim
00?
1
0 )(
)(l i m
0
nn
xx xxn
xR
2
0 ))(1(
)(lim
0
nn
xx xxnn
xR
)(!
)(lim
0
)1(
0 xxn
xR nn
xx?
)](
)(
)()([lim
!
1
0
)(
0
0
)1()1(
0
xf
xx
xfxf
n
n
nn
xx
应用罗必达法则
0?
只须证明能否再用罗比达法则？
应用导数定义不能再用罗必达法则 ！
0)]()([
!
1
0
)(
0
)( xfxf
n
nn
2009-7-25 12
1
0
)1(
0
0
)(
2
0
0
000
)(
!)1(
)(
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
n
n
n
n
xx
n
f
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
1
0
)1(
)(
)!1(
)()(
n
n
n xxn
fxR?
)( 0 之间与在 xx?
拉格朗日余项有则导数阶的各阶到内有开区间在内的在某个包含点若函数
),,(,
)1(1),(
0
bax
nba
xf
三、带拉格朗日余项的泰勒公式定理 2:
2009-7-25 13
!)1(
)(
)(
)( )1(
1
0?
n
f
xx
xR n
n
n?
])(
!
)(
)(
!2
)(
))(()([)()(
0
0
)(
2
0
0
000
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxfxR
[证明思路分析 ]
带拉格朗日余项的泰勒公式变形为
)(,)1(nnR右端分子为
x
nnxx )1(1
0 ])[(:右端分母为应用柯西中值定理
2009-7-25 14
[证 ] 作辅助函数
])(
!
)(
)(
!2
)(
))(()([)()()(
0
0
)(
2
0
0
000
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxfxRxF
10 )()( nxxxG
,
0)(
0)(
0
0
xG
xF
,
0)(
0)(
0
0
xG
xF
0)(
0)(
0
)(
0
)(
xG
xF
n
n
2009-7-25 15
连续使用（ n+1）次柯西中值定理
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
1
1
0
0
1
0?
G
F
xGxG
xFxF
xG
xF
xx
xR
n
n
)()(
)()(
)(
)(
)()(
)()(
02
02
2
2
01
01
xGG
xFF
G
F
xGG
xFF
)()(
)()(
)(
)(
0
)()(
0
)()(
)(
)(
xGG
xFF
G
F
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
!)1(
)(
)(
)( )1(
)1(
)1(
n
f
G
F n
n
n?
证毕
2009-7-25 16
1
0
00
)1(
)(
)!1(
)]([)(
nn
n xxn
xxxfxR?)10(
[注意 1] 拉格朗日余项的其他形式
[注意 2] 拉格朗日中值定理可以看成是 0 阶拉格朗日余项泰勒公式。
[注意 3] 两种形式余项的泰勒公式，各自成立的条件不同。应用范围不同。
)()()()( 00 xxfxfxf
)( 0 之间与在 xx?
2009-7-25 17
)0(
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
1
)1()(
2
之间与在 xx
n
f
x
n
f
x
f
xffxf
n
n
n
n
[注意 4]
.
)(,00
幂展开的就用点的泰勒公式 xxx?
00?x
)10(
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
1
)1()(
2
n
n
n
n
x
n
xf
x
n
f
x
f
xffxf?
或者麦克劳林公式
2009-7-25 18
四、五个常用函数的麦克劳林公式
0)()1( 0 xexf x
12
)!1(!
1
!2
11?
nnx x
n
ex
n
xxe
xnxnx exfexfexf )(,)(,,)( )1()(?
1)0(,,1)0(,1)0( )( nfff?
ef n )()1(
xx,0 之间与在?
)0( 0 的泰勒公式?x
2009-7-25 19
0s i n)()2( 0 xxxf
,),
2
s i n (c o s)(,s i n)( xxxfxxf
1)0(,0)0(,1)0(,0)0( ffff
12,)1(
2,0
2
s i n)0(
1
)(
kn
knn
f
k
n?
),
2
s i n ()()( nxxf n ]
2
)1(s i n [)()1( nxxf n
]
2
)1(s i n [)()1( nnf n
),2,1(k
2009-7-25 20
)(
!)12(
)1(
!5!3
s i n 12
12
1
53
xR
k
xxxxx
k
k
k
)s i n (
!)2(
)(
2
12 kk
xxR k
k x
x 之间与在 0?
0co s)()3( 0 xxxf
)(
!)2(
)1(
!4!2
1c o s 2
242
xR
k
xxxx
k
k
k
)
2
12c o s (
!)12(
)(
12
2
k
k
xxR k
k x
x 之间与在 0?
2009-7-25 21
0)1l n ()()4( 0 xxxf
,
1
1)(
x
xf
,)1(
1)(
2xxf
,
)1(
2)1()(
3
2
x
xf
nnn xnxf )1( !)1()1()( 1)(
1
)1(
)1(
!)1()(
nnn
x
nxf
!2)0(,1)0(,1)0(,0)0( ffff
!)1()1()0( 1)( nf nn
1
)1(
)1(
!)1()(
nnn nf
2009-7-25 22
)()1(
32
)1ln( 1
32
xR
n
xxxxx
n
n
n
1
1
)1)(1(
)1()(?
n
n
n
n n
xxR
x
x
1
0 之间与在?
0)1()()5( 0 xxxf?
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
xRx
n
n
xxx
n
n
xx 1,0 之间与在? 27
2009-7-25 23
五个常用函数的麦克劳林公式
12
)!1(!
1
!2
11?
nnx x
n
ex
n
xxe
122
12
1
53
!)12(
])12(s i n [
!)12(
)1(
!5!3
s i n
k
k
k
x
k
k
k
xxx
xx
)(
!
1
!2
11 2 nnx xox
n
xxe
)(
!)12(
)1(
!5!3
s i n 2
12
1
53
k
k
k xo
k
xxxxx?
2009-7-25 24
22
242
!)22(
])1(s i n [
!)2(
)1(
!4!2
1c o s
k
k
k
x
k
k
k
xxx
x
)(
!)2(
)1(
!4!2
1c o s 12
242
k
k
k xo
k
xxxx?
n
xxxxx nn 132 )1(
32
)1l n (
1
1
)1)(1(
)1(?
n
n
n
n
x
)()1(
32
)1ln( 1
32
n
n
n xo
n
xxxxx
2009-7-25 25
11
2
)1(
!)1(
)()1(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
nn
n
x
n
n
x
n
n
xxx
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
xox
n
n
xxx
2009-7-25 26
)()1(11 1 32 nnn xoxxxxx
1
)(
!!)2(
!!)32()1(
2
111
2
1 n
n
k
kk xox
k
kxx
2
1
)(
!!)2(
!!)12()1(
2
11
1
1
2
n
n
k
kk xox
k
kx
x
2
1
2009-7-25 27
.
1ln)(]1[ 03
余项的四阶泰勒公式处带在写出函数例
L a g r a ng e
xxxxf
0)1(,ln)( 3 fxxxf
1)1(,ln3)( 22 fxxxxf
5)1(,5ln6)( fxxxxf
11)1(,11ln6)( fxxf
6)1(,6)( )4()4( f
x
xf
[解 ]
2009-7-25 28
2
)5(
2
)5( 6)(,6)(
f
x
xf
于是
5
2
4
323
)1(
!5
6
)1(
!4
6
)1(
!3
11
)1(
!2
5
)1(ln
xx
xxxxx
)1,( 之间与在其中 x?
2009-7-25 29
00
0ln
)(
3
x
xxx
xf若二阶四阶
0)2(1)1( 00 xx
]1[1)1( 0 例同?x
0)2( 0?x 0)0(?f
0lnl i mlnl i m)0( 2
0
3
0
xx
x
xxf
xx
)0(ln3)( 22 xxxxxf
0]ln3[limln3lim)0(
0
22
0
xxx
x
xxxf
xx
2009-7-25 30
)0(ln65)( xxxxxf
3
3
)(
!3
1
00
0ln
)( xf
x
xxx
xf
)0(ln611)( xxxf
3
3
!3
ln611
00
0ln
)( x
x
xxx
xf
三阶呢？
]ln65[l i mln65l i m)0(
00
x
x
xxxf
xx
不存在 ！
2009-7-25 31
.6
16421)(]2[ 0432
式次泰勒多项式和泰勒公的在写出例 xxxxxxf
661421)1(f
32 24382)( xxxxf
27268)( xxxf
xxf 1 4 46)(
144)()4(?xf
0)()5(?xf
21)1(f
70)1(f
150)1(f
144)1()4(?f
432 )1(6)1(25)1(35)1(216)( xxxxxf
[解 ]
P112习题 4.3
13(3),20(3).
P121习题 4.4
3(2)(5),4,5(2),
P122综合题
10,12,15(2),17.
作业,
复习,P113— 121
预习,P124— 133
2009-7-25 2
第十三讲 泰勒公式二、带皮亚诺余项的泰勒公式三、带拉格朗日余项的泰勒公式四、五个常用函数的 泰勒 公式一、函数逼近、泰勒多项式五,泰勒 公式的应用
2009-7-25 3
（二）函数近似用 多项式 逼近函数,
逼近有两种看法：
（ 1）在一点附近近似这个函数好；
—— 泰勒公式
（ 2）在区间上整体逼近得好。
—— 傅立叶级数、正交多项式
))(()()( 00 xxfxfxf
)())(()()( 0000 xxoxxxfxfxf
（一） 比较一、函数逼近、泰勒多项式
2009-7-25 4
)())(()()(
,,
0000
00
xxoxxxfxfxf
xxxf
有时则当可微在点如果函数的一次多项式右端是 )( 0xx?
)(,00 xxxx误差是时当在讨论函数的微分时，已经得出,
:,10 有一阶近似公式时当 xx
))(()()( 000 xxxfxfxf
2009-7-25 5
)()()( xRxPxf nn
).(
,)(
0
0
xfx
xx
的附近可以近似表示使它在的高次多项式希望找一个关于?
)()( xPxf n?
如何提高近似公式的精度？
)(,xR n误差
n
nn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0
2
02010
（ 1）怎样确定系数？
（ 2）怎样确定误差？
2009-7-25 6
要求：
)()( 00 xfxP n
)()( 00 xfxP n
.........
)()( 0)(0)( xfxP nnn?
x
y
0x
o
)( xfy?
)( 0xf
)()( 00 xfxP n?
2009-7-25 7
n
nn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0
2
02010
1
0021 )()(2)(
n
nn xxnaxxaaxP?
20032 )()1()(232)( nnn xxannxxaaxP?
n
n
n annnxP 12)2)(1()(
)(
.........,........
代入上述条件得到
),( 00 xfa? ),( 01 xfa ),(2 02 xfa
..,)(!
0
)( xfan n
n?
2009-7-25 8
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
即
),( 00 xfa? ),( 01 xfa
,
!2
)( 0
2
xf
a
...
!
)(
,0
)(
n
xf
a
n
n?
于是阶泰勒多项式点的在 nxxf 0)(
2009-7-25 9
有时当则阶导数有在点若函数
,
,
0
0
xx
nxf
])[()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
00
0
)(
2
0
0
000
nn
n
xxoxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
)()(])[(,00 xxxRxx nn其中
)( 皮亚诺余项二、带皮亚诺余项的泰勒公式定理 1:
2009-7-25 10
有时当,00?x
阶麦克劳林公式n
)0()(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
xxx
n
f
x
f
xffxf
nn
n
2009-7-25 11
[证 ]
])(
!
)(
)(
!2
)(
))(()([)()(
0
0
)(
2
0
0
000
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxfxR
n
n
xx xx
xR
)(
)(lim
00?
1
0 )(
)(l i m
0
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xx xxn
xR
2
0 ))(1(
)(lim
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xR
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0
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0 xxn
xR nn
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)](
)(
)()([lim
!
1
0
)(
0
0
)1()1(
0
xf
xx
xfxf
n
n
nn
xx
应用罗必达法则
0?
只须证明能否再用罗比达法则？
应用导数定义不能再用罗必达法则 ！
0)]()([
!
1
0
)(
0
)( xfxf
n
nn
2009-7-25 12
1
0
)1(
0
0
)(
2
0
0
000
)(
!)1(
)(
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
n
n
n
n
xx
n
f
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
1
0
)1(
)(
)!1(
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n
n
n xxn
fxR?
)( 0 之间与在 xx?
拉格朗日余项有则导数阶的各阶到内有开区间在内的在某个包含点若函数
),,(,
)1(1),(
0
bax
nba
xf
三、带拉格朗日余项的泰勒公式定理 2:
2009-7-25 13
!)1(
)(
)(
)( )1(
1
0?
n
f
xx
xR n
n
n?
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!
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)(
!2
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0
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2
0
0
000
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxfxR
[证明思路分析 ]
带拉格朗日余项的泰勒公式变形为
)(,)1(nnR右端分子为
x
nnxx )1(1
0 ])[(:右端分母为应用柯西中值定理
2009-7-25 14
[证 ] 作辅助函数
])(
!
)(
)(
!2
)(
))(()([)()()(
0
0
)(
2
0
0
000
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxfxRxF
10 )()( nxxxG
,
0)(
0)(
0
0
xG
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,
0)(
0)(
0
0
xG
xF
0)(
0)(
0
)(
0
)(
xG
xF
n
n
2009-7-25 15
连续使用（ n+1）次柯西中值定理
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
1
1
0
0
1
0?
G
F
xGxG
xFxF
xG
xF
xx
xR
n
n
)()(
)()(
)(
)(
)()(
)()(
02
02
2
2
01
01
xGG
xFF
G
F
xGG
xFF
)()(
)()(
)(
)(
0
)()(
0
)()(
)(
)(
xGG
xFF
G
F
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
!)1(
)(
)(
)( )1(
)1(
)1(
n
f
G
F n
n
n?
证毕
2009-7-25 16
1
0
00
)1(
)(
)!1(
)]([)(
nn
n xxn
xxxfxR?)10(
[注意 1] 拉格朗日余项的其他形式
[注意 2] 拉格朗日中值定理可以看成是 0 阶拉格朗日余项泰勒公式。
[注意 3] 两种形式余项的泰勒公式，各自成立的条件不同。应用范围不同。
)()()()( 00 xxfxfxf
)( 0 之间与在 xx?
2009-7-25 17
)0(
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
1
)1()(
2
之间与在 xx
n
f
x
n
f
x
f
xffxf
n
n
n
n
[注意 4]
.
)(,00
幂展开的就用点的泰勒公式 xxx?
00?x
)10(
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
1
)1()(
2
n
n
n
n
x
n
xf
x
n
f
x
f
xffxf?
或者麦克劳林公式
2009-7-25 18
四、五个常用函数的麦克劳林公式
0)()1( 0 xexf x
12
)!1(!
1
!2
11?
nnx x
n
ex
n
xxe
xnxnx exfexfexf )(,)(,,)( )1()(?
1)0(,,1)0(,1)0( )( nfff?
ef n )()1(
xx,0 之间与在?
)0( 0 的泰勒公式?x
2009-7-25 19
0s i n)()2( 0 xxxf
,),
2
s i n (c o s)(,s i n)( xxxfxxf
1)0(,0)0(,1)0(,0)0( ffff
12,)1(
2,0
2
s i n)0(
1
)(
kn
knn
f
k
n?
),
2
s i n ()()( nxxf n ]
2
)1(s i n [)()1( nxxf n
]
2
)1(s i n [)()1( nnf n
),2,1(k
2009-7-25 20
)(
!)12(
)1(
!5!3
s i n 12
12
1
53
xR
k
xxxxx
k
k
k
)s i n (
!)2(
)(
2
12 kk
xxR k
k x
x 之间与在 0?
0co s)()3( 0 xxxf
)(
!)2(
)1(
!4!2
1c o s 2
242
xR
k
xxxx
k
k
k
)
2
12c o s (
!)12(
)(
12
2
k
k
xxR k
k x
x 之间与在 0?
2009-7-25 21
0)1l n ()()4( 0 xxxf
,
1
1)(
x
xf
,)1(
1)(
2xxf
,
)1(
2)1()(
3
2
x
xf
nnn xnxf )1( !)1()1()( 1)(
1
)1(
)1(
!)1()(
nnn
x
nxf
!2)0(,1)0(,1)0(,0)0( ffff
!)1()1()0( 1)( nf nn
1
)1(
)1(
!)1()(
nnn nf
2009-7-25 22
)()1(
32
)1ln( 1
32
xR
n
xxxxx
n
n
n
1
1
)1)(1(
)1()(?
n
n
n
n n
xxR
x
x
1
0 之间与在?
0)1()()5( 0 xxxf?
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
xRx
n
n
xxx
n
n
xx 1,0 之间与在? 27
2009-7-25 23
五个常用函数的麦克劳林公式
12
)!1(!
1
!2
11?
nnx x
n
ex
n
xxe
122
12
1
53
!)12(
])12(s i n [
!)12(
)1(
!5!3
s i n
k
k
k
x
k
k
k
xxx
xx
)(
!
1
!2
11 2 nnx xox
n
xxe
)(
!)12(
)1(
!5!3
s i n 2
12
1
53
k
k
k xo
k
xxxxx?
2009-7-25 24
22
242
!)22(
])1(s i n [
!)2(
)1(
!4!2
1c o s
k
k
k
x
k
k
k
xxx
x
)(
!)2(
)1(
!4!2
1c o s 12
242
k
k
k xo
k
xxxx?
n
xxxxx nn 132 )1(
32
)1l n (
1
1
)1)(1(
)1(?
n
n
n
n
x
)()1(
32
)1ln( 1
32
n
n
n xo
n
xxxxx
2009-7-25 25
11
2
)1(
!)1(
)()1(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
nn
n
x
n
n
x
n
n
xxx
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
xox
n
n
xxx
2009-7-25 26
)()1(11 1 32 nnn xoxxxxx
1
)(
!!)2(
!!)32()1(
2
111
2
1 n
n
k
kk xox
k
kxx
2
1
)(
!!)2(
!!)12()1(
2
11
1
1
2
n
n
k
kk xox
k
kx
x
2
1
2009-7-25 27
.
1ln)(]1[ 03
余项的四阶泰勒公式处带在写出函数例
L a g r a ng e
xxxxf
0)1(,ln)( 3 fxxxf
1)1(,ln3)( 22 fxxxxf
5)1(,5ln6)( fxxxxf
11)1(,11ln6)( fxxf
6)1(,6)( )4()4( f
x
xf
[解 ]
2009-7-25 28
2
)5(
2
)5( 6)(,6)(
f
x
xf
于是
5
2
4
323
)1(
!5
6
)1(
!4
6
)1(
!3
11
)1(
!2
5
)1(ln
xx
xxxxx
)1,( 之间与在其中 x?
2009-7-25 29
00
0ln
)(
3
x
xxx
xf若二阶四阶
0)2(1)1( 00 xx
]1[1)1( 0 例同?x
0)2( 0?x 0)0(?f
0lnl i mlnl i m)0( 2
0
3
0
xx
x
xxf
xx
)0(ln3)( 22 xxxxxf
0]ln3[limln3lim)0(
0
22
0
xxx
x
xxxf
xx
2009-7-25 30
)0(ln65)( xxxxxf
3
3
)(
!3
1
00
0ln
)( xf
x
xxx
xf
)0(ln611)( xxxf
3
3
!3
ln611
00
0ln
)( x
x
xxx
xf
三阶呢？
]ln65[l i mln65l i m)0(
00
x
x
xxxf
xx
不存在 ！
2009-7-25 31
.6
16421)(]2[ 0432
式次泰勒多项式和泰勒公的在写出例 xxxxxxf
661421)1(f
32 24382)( xxxxf
27268)( xxxf
xxf 1 4 46)(
144)()4(?xf
0)()5(?xf
21)1(f
70)1(f
150)1(f
144)1()4(?f
432 )1(6)1(25)1(35)1(216)( xxxxxf
[解 ]
