2009-7-25 1
作业
P34习题 2.1
3(2)(3),
P39习题 2.2
1(2)(3),
2(2)(6)(9)(13),3(1)
预习,P40— 49
2009-7-25 2
第二讲 函数极限一、函数极限二、函数极限的性质三、函数极限的运算法则四、两个重要极限五、无穷小量与无穷大量
2009-7-25 3
极限的重要性
（ 1） 极限是一种思想方法
（ 2）极限是一种概念
（ 3） 极限是一种计算方法
从认识有限到把握无限
从了解离散到理解连续
微积分中许多概念是 用极限定义的
许多 物理、几何量需要用极限来求
2009-7-25 4
函数极限问题是研究当自变量一、函数的极限
x 趋向于 0x
)x(f
的变化趋势或趋向于无穷大时，函数
（ 两种基本变化趋势）
0x
趋向于一点 x
O
(一 )自变量的变化
x?x?
，0xx?,
0xx
0xx
趋向于无穷
，x,xx
2009-7-25 5
,)x(f
,xxAA
)x(f
xx.
x)x(f
的极限函数时趋于是当，则称的常数定“无限趋于”一个确应的函数值时，其对“无限趋于”如果当有定义的某空心邻域在点设函数
0
0
0
A)x(fl im
xx
0
记作定义 1：
（二）函数极限的定义
1,函数在一点的极限
)xx(A)x(f 0或
2009-7-25 6
[注意 ]
考虑空心邻域，是什麽意思？
考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，
但是，在附近必须要有定义。
[例 1]
11l i m 2
1
x
x
x
1
1lim
1
1lim
121?
xx
x
xx 2
1?
2009-7-25 7
[例 2]
0,1
0,
1
s i n
)(
x
x
x
x
xf
0lim
0
)x(f
x
2009-7-25 8
定义 2,（左、右极限）
记作处的左极限在是则称无限趋于确定值时当内有定义在（）若（
,x)x(f
A,A)x(f,xx
.x,x)x(f
0
0
00
)1
记作处的右极限在是则称无限趋于确定值时当内有定义在（）若（
,x)x(f
A,A)x(f,xx
.x,x)x(f
0
0
00
)2
A)x(f
xx
0
l i m
A)x(f
xx
0
l i m
2009-7-25 9
一点极限与单侧极限有什麽关系？
[例 ]
的情况，研究设 01a r c t a n x
x
y
观察图形
2
1a r c t a nlim
0
xx
不存在！x
x
1a r c t a nlim
0?
-20 -10 10 20
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
1a r c t a nlim
0
xx
xx xx
1a r c t a nl i m1a r c t a nl i m
00
问题：
2009-7-25 10
2,函数在无穷远的极限
，有极限时常数，则称当无限趋于某一无限变大时，若有定义在区间设函数
A)x(f,x
)x(fx
),a()x(f
A)x(fl i m
x
记作定义 3：
类似的可定义
A)x(flim
x
A)x(flim
x
或
2009-7-25 11
-20 -10 10 20
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
例如
x
xf 1a r c t a n)(?
0)(l i m?
xf
x
0)(l i m?
xf
x
0)(l i m?
xf
x
2009-7-25 12
.)(,
,)(,
)(,
0
,0,0,.
)(
0
0
0
0
Axfxx
Axfxx
Axfx
xx
RA
xxf
趋向于时或称当有极限时则称当都有动点的使得所有满足不等式如果有定义的某空心邻域在点设函数
)()()(lim 0
0
xxAxfAxf
xx
或记作定义 4：
3,函数极限的精确定义定义
2009-7-25 13
二、函数极限的性质性质 2:（有界性）
.)(,,)(lim 0
0
有界时当则存在设 xfxxxf
xx
.)(
,0,00 0
Mxf
xxM
就有时使当和即存在
函数极限如果存在，则函数一定有界,
性质 1:（唯一性）
函数极限如果存在，则一定是唯一的,
xy
1?
.)(,,)(lim 有界时当则存在设 xfxxf
x
.)(
,,00
Mxf
NxNM
就有时使当和即存在
2009-7-25 14
性质 3:（保号性）
存在设 Axf
xx
)(l im
0
.0)(,0
,0,0)1(
0
xfxx
A
就有时使当则如果
.0,0)(
,0,0)2( 0
Axf
xx
则有有时使当如果
性质 4
存在的充分必要条件是)(l i m
0
xfxx?
.)(lim)(lim
00
都存在且相等与 xfxf
xxxx
2009-7-25 15
（一）四则运算定理
)0,0)((
)(
)(
lim)4(
)]()([lim)3(
)]()([lim)2(
)]([lim)1(
,)(lim,)(lim
Bxg
B
A
xg
xf
BAxgxf
BAxgxf
Acxfc
BxgAxf
x
x
x
x
xx
则有设注,x 表示 x 的任一种趋向,
三、极限的运算法则
2009-7-25 16
.))((lim,)(,
.)(lim,)(lim
0
00
00
0
Atgfxtgtt
Axfxtg
tt
xxtt
则时当且设
（二）复合函数的极限定理
[注意 ] 不能少！”时“条件
00 )(,,xtgtt
例如：
t
ttg
x
x
xf
1
s i n)(,
0,0
0,1
)(?
0)(l i m,1)(l i m 00 tgxf tx
,0时?t 0)]([)}({ nn tgftg,各项均为零
1)]([)}({ nn tgftg,各项均不为零不存在！所以 )]([lim 0 tgfx?
2009-7-25 17
Axg
Axhxf
xhxgxfxNx
xx
xxxx
)(l i m
)(l i m)(l i m
)()()(),(
0
00
0
则且有
（三）夹逼定理,
（四） 初等函数的极限
)()(lim
)(
)(
0
0
0
xfxf
xf
xxf
xx
的定义区间内，则属于是初等函数，且若
2009-7-25 18
证明利用夹逼定理和极限 e
n
n
n
)11(lim
e
x
x
x
)11(l i m
四、两个重要极限
1.
1s i nl i m
0
x
x
x
2.
2009-7-25 19
利用夹逼定理考虑不等式的面积的面积扇形的面积 A O CA O BA O B
)
2
,0(t a n
2
1
2
1s i n
2
1 xxxx
即
[证明 ]
亦即
)1()
2
,0(t a ns i n
xxxx
2009-7-25 20
)
2
,0(,)0,
2
(
xx 时当
)2()0,
2
(t a ns i n
xxxx
)3()
2
0(t a ns i n
xxxx
将（ 1）式与（ 2）式结合起来，得到有
xx
x
c o s
1
s i n
1
得）式去除（
用时注意到当
,3
s i n,0s i n,0 xxx
2009-7-25 21
)
2
0(1
s i n
c o s
x
x
x
x
时因为当
2
0
x
0
s i n
,0c o sc o s
x
x
xx
)
2
0(1s i nc o s x
x
xx即由夹逼定理得到令,0?x
1
s i n
lim
0
x
x
x
2009-7-25 22
定义 1,在某个变化过程中,极限为零的函数,称为在此变化过程中的无穷小量（无穷小） 。
五、无穷小量与无穷大量
（一）定义例如：
.0
s i nt a n,c o s1,t a n,s i n,2
时的无穷小量都是?
x
xxxxxx
.
a r c t a n
2
,,
1
2
时的无穷小量都是
x
xe
x
x?
[注意 ]：无穷小量是极限 为零的函数！
无穷小量不是绝对值很小的数！
2009-7-25 23
定义 2,在某个变化过程中,绝对值无限变大的函数,称为在此变化过程中的无穷大量（无穷大） 。
)(lim.
)(,)(
,0,0,0
0
0
0
xf
xxxfGxf
xxG
xx
记作无穷大时为当则称有时使当
)(lim.
)(,)(
,0,0,0
0
0
0
xf
xxxfGxf
xxG
xx
记作正无穷大时为当则称有时使当
2009-7-25 24
o
xy
1?
o
2
1
x
y?
[例 ]
xx
1l i m
0
xx
1lim
0
xx
1lim
0
20
1lim
xx
2009-7-25 25
（二）无穷小与无穷大的性质性质 1：
.)()(
)()(),()(,
,)()(
,
都是无穷小和为常数过程中则在此变化都是无穷小和化过程中若在自变量的同一个变
xgxf
xgxfcxcf
xgxf
注意,性质 1只可以推广到有限个函数
)21(li m 222
n
n
nnn
[例 ]
2
1
2
)1(1l i m
2?
nn
nn
0?
2009-7-25 26
性质 3：
.)()(,
,)(,)(
,
是无穷小此变化过程中则在是有界函数是无穷小化过程中若在自变量的某一个变
xgxf
xgxf
性质 2：
.
)()()0()(,
,)()(
,
都是无穷大和常数过程中则在此变化都是无穷大和化过程中若在自变量的同一个变
xgxfcxcf
xgxf
2009-7-25 27
[例 ]
[例 ]
s i nl i m?
x
x
x
是有界函数1
1
s i n0
x
x
0
1
s i nlim
0
x
x
x
1s i n,01lim
x
x
x
x
0)( s i n)1(l i ms i nl i m
x
xx
x
xx
1
s i nl i m
0
x
x
x
2009-7-25 28
1.（无穷小与无穷大）
.
)(
1
,,)(
,
是无穷小则在这个变化过程中是无穷大化过程中若在自变量的某一个变
xf
xf
.)(
),()()(lim
时的无穷小是当其中
xx
xAxfAxf
x
2.（极限与无穷小）
（三）三个重要关系
2009-7-25 29
3.无穷大与无界函数无界。反之不一定。则是无穷大化过程中若在自变量的某一个变
)(,
)(,
xf
xf
问题：
两个无穷小量的商是否为无穷小量？
xxxxf,s i n)(][ 例
作业
P34习题 2.1
3(2)(3),
P39习题 2.2
1(2)(3),
2(2)(6)(9)(13),3(1)
预习,P40— 49
2009-7-25 2
第二讲 函数极限一、函数极限二、函数极限的性质三、函数极限的运算法则四、两个重要极限五、无穷小量与无穷大量
2009-7-25 3
极限的重要性
（ 1） 极限是一种思想方法
（ 2）极限是一种概念
（ 3） 极限是一种计算方法
从认识有限到把握无限
从了解离散到理解连续
微积分中许多概念是 用极限定义的
许多 物理、几何量需要用极限来求
2009-7-25 4
函数极限问题是研究当自变量一、函数的极限
x 趋向于 0x
)x(f
的变化趋势或趋向于无穷大时，函数
（ 两种基本变化趋势）
0x
趋向于一点 x
O
(一 )自变量的变化
x?x?
，0xx?,
0xx
0xx
趋向于无穷
，x,xx
2009-7-25 5
,)x(f
,xxAA
)x(f
xx.
x)x(f
的极限函数时趋于是当，则称的常数定“无限趋于”一个确应的函数值时，其对“无限趋于”如果当有定义的某空心邻域在点设函数
0
0
0
A)x(fl im
xx
0
记作定义 1：
（二）函数极限的定义
1,函数在一点的极限
)xx(A)x(f 0或
2009-7-25 6
[注意 ]
考虑空心邻域，是什麽意思？
考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，
但是，在附近必须要有定义。
[例 1]
11l i m 2
1
x
x
x
1
1lim
1
1lim
121?
xx
x
xx 2
1?
2009-7-25 7
[例 2]
0,1
0,
1
s i n
)(
x
x
x
x
xf
0lim
0
)x(f
x
2009-7-25 8
定义 2,（左、右极限）
记作处的左极限在是则称无限趋于确定值时当内有定义在（）若（
,x)x(f
A,A)x(f,xx
.x,x)x(f
0
0
00
)1
记作处的右极限在是则称无限趋于确定值时当内有定义在（）若（
,x)x(f
A,A)x(f,xx
.x,x)x(f
0
0
00
)2
A)x(f
xx
0
l i m
A)x(f
xx
0
l i m
2009-7-25 9
一点极限与单侧极限有什麽关系？
[例 ]
的情况，研究设 01a r c t a n x
x
y
观察图形
2
1a r c t a nlim
0
xx
不存在！x
x
1a r c t a nlim
0?
-20 -10 10 20
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
1a r c t a nlim
0
xx
xx xx
1a r c t a nl i m1a r c t a nl i m
00
问题：
2009-7-25 10
2,函数在无穷远的极限
，有极限时常数，则称当无限趋于某一无限变大时，若有定义在区间设函数
A)x(f,x
)x(fx
),a()x(f
A)x(fl i m
x
记作定义 3：
类似的可定义
A)x(flim
x
A)x(flim
x
或
2009-7-25 11
-20 -10 10 20
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
例如
x
xf 1a r c t a n)(?
0)(l i m?
xf
x
0)(l i m?
xf
x
0)(l i m?
xf
x
2009-7-25 12
.)(,
,)(,
)(,
0
,0,0,.
)(
0
0
0
0
Axfxx
Axfxx
Axfx
xx
RA
xxf
趋向于时或称当有极限时则称当都有动点的使得所有满足不等式如果有定义的某空心邻域在点设函数
)()()(lim 0
0
xxAxfAxf
xx
或记作定义 4：
3,函数极限的精确定义定义
2009-7-25 13
二、函数极限的性质性质 2:（有界性）
.)(,,)(lim 0
0
有界时当则存在设 xfxxxf
xx
.)(
,0,00 0
Mxf
xxM
就有时使当和即存在
函数极限如果存在，则函数一定有界,
性质 1:（唯一性）
函数极限如果存在，则一定是唯一的,
xy
1?
.)(,,)(lim 有界时当则存在设 xfxxf
x
.)(
,,00
Mxf
NxNM
就有时使当和即存在
2009-7-25 14
性质 3:（保号性）
存在设 Axf
xx
)(l im
0
.0)(,0
,0,0)1(
0
xfxx
A
就有时使当则如果
.0,0)(
,0,0)2( 0
Axf
xx
则有有时使当如果
性质 4
存在的充分必要条件是)(l i m
0
xfxx?
.)(lim)(lim
00
都存在且相等与 xfxf
xxxx
2009-7-25 15
（一）四则运算定理
)0,0)((
)(
)(
lim)4(
)]()([lim)3(
)]()([lim)2(
)]([lim)1(
,)(lim,)(lim
Bxg
B
A
xg
xf
BAxgxf
BAxgxf
Acxfc
BxgAxf
x
x
x
x
xx
则有设注,x 表示 x 的任一种趋向,
三、极限的运算法则
2009-7-25 16
.))((lim,)(,
.)(lim,)(lim
0
00
00
0
Atgfxtgtt
Axfxtg
tt
xxtt
则时当且设
（二）复合函数的极限定理
[注意 ] 不能少！”时“条件
00 )(,,xtgtt
例如：
t
ttg
x
x
xf
1
s i n)(,
0,0
0,1
)(?
0)(l i m,1)(l i m 00 tgxf tx
,0时?t 0)]([)}({ nn tgftg,各项均为零
1)]([)}({ nn tgftg,各项均不为零不存在！所以 )]([lim 0 tgfx?
2009-7-25 17
Axg
Axhxf
xhxgxfxNx
xx
xxxx
)(l i m
)(l i m)(l i m
)()()(),(
0
00
0
则且有
（三）夹逼定理,
（四） 初等函数的极限
)()(lim
)(
)(
0
0
0
xfxf
xf
xxf
xx
的定义区间内，则属于是初等函数，且若
2009-7-25 18
证明利用夹逼定理和极限 e
n
n
n
)11(lim
e
x
x
x
)11(l i m
四、两个重要极限
1.
1s i nl i m
0
x
x
x
2.
2009-7-25 19
利用夹逼定理考虑不等式的面积的面积扇形的面积 A O CA O BA O B
)
2
,0(t a n
2
1
2
1s i n
2
1 xxxx
即
[证明 ]
亦即
)1()
2
,0(t a ns i n
xxxx
2009-7-25 20
)
2
,0(,)0,
2
(
xx 时当
)2()0,
2
(t a ns i n
xxxx
)3()
2
0(t a ns i n
xxxx
将（ 1）式与（ 2）式结合起来，得到有
xx
x
c o s
1
s i n
1
得）式去除（
用时注意到当
,3
s i n,0s i n,0 xxx
2009-7-25 21
)
2
0(1
s i n
c o s
x
x
x
x
时因为当
2
0
x
0
s i n
,0c o sc o s
x
x
xx
)
2
0(1s i nc o s x
x
xx即由夹逼定理得到令,0?x
1
s i n
lim
0
x
x
x
2009-7-25 22
定义 1,在某个变化过程中,极限为零的函数,称为在此变化过程中的无穷小量（无穷小） 。
五、无穷小量与无穷大量
（一）定义例如：
.0
s i nt a n,c o s1,t a n,s i n,2
时的无穷小量都是?
x
xxxxxx
.
a r c t a n
2
,,
1
2
时的无穷小量都是
x
xe
x
x?
[注意 ]：无穷小量是极限 为零的函数！
无穷小量不是绝对值很小的数！
2009-7-25 23
定义 2,在某个变化过程中,绝对值无限变大的函数,称为在此变化过程中的无穷大量（无穷大） 。
)(lim.
)(,)(
,0,0,0
0
0
0
xf
xxxfGxf
xxG
xx
记作无穷大时为当则称有时使当
)(lim.
)(,)(
,0,0,0
0
0
0
xf
xxxfGxf
xxG
xx
记作正无穷大时为当则称有时使当
2009-7-25 24
o
xy
1?
o
2
1
x
y?
[例 ]
xx
1l i m
0
xx
1lim
0
xx
1lim
0
20
1lim
xx
2009-7-25 25
（二）无穷小与无穷大的性质性质 1：
.)()(
)()(),()(,
,)()(
,
都是无穷小和为常数过程中则在此变化都是无穷小和化过程中若在自变量的同一个变
xgxf
xgxfcxcf
xgxf
注意,性质 1只可以推广到有限个函数
)21(li m 222
n
n
nnn
[例 ]
2
1
2
)1(1l i m
2?
nn
nn
0?
2009-7-25 26
性质 3：
.)()(,
,)(,)(
,
是无穷小此变化过程中则在是有界函数是无穷小化过程中若在自变量的某一个变
xgxf
xgxf
性质 2：
.
)()()0()(,
,)()(
,
都是无穷大和常数过程中则在此变化都是无穷大和化过程中若在自变量的同一个变
xgxfcxcf
xgxf
2009-7-25 27
[例 ]
[例 ]
s i nl i m?
x
x
x
是有界函数1
1
s i n0
x
x
0
1
s i nlim
0
x
x
x
1s i n,01lim
x
x
x
x
0)( s i n)1(l i ms i nl i m
x
xx
x
xx
1
s i nl i m
0
x
x
x
2009-7-25 28
1.（无穷小与无穷大）
.
)(
1
,,)(
,
是无穷小则在这个变化过程中是无穷大化过程中若在自变量的某一个变
xf
xf
.)(
),()()(lim
时的无穷小是当其中
xx
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2.（极限与无穷小）
（三）三个重要关系
2009-7-25 29
3.无穷大与无界函数无界。反之不一定。则是无穷大化过程中若在自变量的某一个变
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问题：
两个无穷小量的商是否为无穷小量？
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