2009-7-25 1
作 业
P218 综合题
6,7,13,16,
复习,P198— 218
预习,P220— 235
2009-7-25 2
第二十讲定积分的应用 （二）
一、几何应用 (续 )
二、物理应用
2009-7-25 3
x dxx?
M
T
xa b
y
o
)( xfy?
（五）旋转体的侧面积用切线 MT绕 x轴旋转所得圆台的侧面积近似
2009-7-25 4
dldyy d l
dldyyy



2
)]([圆台侧面积得侧面积微元：
略去！时当 ),(,0 dxodldydx
dxyyy d ldS 2122

b
a
dxyyS 212?
侧面积
2009-7-25 5
)0(.)()(
)(]8[ 222
baS
xabyx


面积表的环体旋转体轴旋转所得绕求圆例
x
y
a? ao
b
上半圆方程 221 xaby
下半圆方程 22
2 xaby
22
2
22
2
2
1 xa
xyyy

22
21
xa
a
y

[解 ]
2009-7-25 6
故侧面积之和轴旋转的绕所求面积为上、下半圆
,
x
aa dxyydxyySS 0 2220 2111 14142
dx
xa
axabxaba
220
2222 ])()[(4


a
xa
dx
ab
0 22
8?
ab
a
xab a 2
0
4a r c s i n8 |
2009-7-25 7遵循万有引力定律两质点之间的引力,2
21
r
mmkf
二、物理应用
（一）引力问题
.
.
,,
.,2,]1[
F
a
m
Ml
引力求细杆对质点的与杆的近端的距离为位于细杆所在直线上的质点一质量为另有质量为长为设有一均匀细杆例
a al?2o
m M x
x dxx?[解 ]
2009-7-25 8
]2,[ laa?分割区间
dx
l
Mdxxx
2
:,],,[ 质量视为质点取小区间?
dx
xl
k m M
x
dxmkdF lM
22
2 1
2
)(
得到细杆对质点的引力求积分到从,2 laa?
laa dxxlk m MF 2 212
| 2)1(2 laaxlk m M )2( laa k m M
2009-7-25 9
.
.,
.1]2[
F
a
求细杆对质点的引力距杆的中心为的垂直平分线上质点位于细杆细杆、质点同例例
x
y
o
ll?
a
dF
向量加法 xdF
ydF
x dxx?
[解 ]
13
b●
2009-7-25 10
},{ yx FFF?设引力
.,0,
,
yx FF 只须求故对称性有质点关于细杆的位置具由于细杆均匀
],[ ll?分割区间
dx
l
Mdxxx
2
:,],,[ 质量视为质点取小区间?
dx
axl
kmM
ax
dxmkFd lM
2222
2 1
2
)(


c o sFddF y dx
axl
k m M a
2
322
)(
1
2?

2009-7-25 11


l
ly
dx
axl
k m M aF
2
322
)(
1
2 22 ala
k m M


22
,0
ala
k m M
F
线并指向细杆方向沿细杆的垂直平分引力大小为
22
ala
kmM
F
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a b
x
x dxx?
dxxfdW )(?
ba dxxfW )(
所做的功变力移到求物体从问题 )(,xfbxax
（二）变力做功问题功的微元
2009-7-25 13
],[ ba分割区间视为常力做功取小区间 ],,[ dyyy?
功的微元 dyyFdW y )(


b
a
b
a y yly
dy
k m MdyyFW
22
)(
]ln[ l n
2222
a
lla
b
llb
l
k m M
[解 ]
.
.
2]3[
W
ba
引力所做的功求克服处处移至距杆的中心为中心为由距杆的中的质点沿垂直平分线将例例
9
知由例 2
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1A
3A nA
iA
2A
ix
iy
x
y
o
)( im
iii ymxA 轴的静力矩对质点
iii xmyA 轴的静力矩对质点
（三）静力矩和质心
1,质点系的质心
2009-7-25 15
n
i
iix ymMx
1
轴的静力矩：质点系对
n
i
imM
1
质点系总质量：
n
i
iiy xmMy
1
轴的静力矩：质点系对
),( yx设质心为：
xMMyMM yx,由静力矩定律知
M
xm
M
M
x
n
i
ii
y
1
M
ym
M
M
y
n
i
ii
x
1
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)( 质量均匀分布常数设线密度
dl
y
y
x
xo
],0[ L分割弧长区间任取一小区间
),( yx视为质点：
],[ dlll?
dldM
A
B
质量微元
2,平面曲线的质心
2009-7-25 17
静力矩微元,dlxdMdlydM
yx,
于是得
,
00
LLx y d ldlyM
LdldlM LL
00
LLy dlxdlxM 00
质心坐标
L
xdl
L
xdl
M
M
x
LL
y 00
L
y d l
L
y d l
M
M
y
LL
x 00
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x dxx?
x
y
o
)( xfy?
a b
常数设面密度
2
y?
3,平面薄板的质心
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静力矩：
,
2
1 2

b
ax
dxyM b
ay
x y d xM?

b
a
y d xM?
质量：
质心坐标：
,
b
a
b
a
y d x
x y d x
x
b
a
b
a
y d x
dxy
y
2
2
1
2009-7-25 20
.
2
3
]
2
3
,[s i n]1[
图形的重心坐标所夹区域轴、直线部分与上的在区间求曲线例

xx
xy
xy s i n?
x
y
o?
23
[解 ]
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2
3
)s i n(
dxxxM y
1s i n2
3

xdxM
2
3
2
3
co sco s |
xdxxx 1
2
3
2s i n
2
1?
x d xM x 2
3
)2c o s1(
4
1?
dxx
8
)2s i n
2
1(
4
1 | 23
xx
2009-7-25 22
1
M
M
x y
8

M
M
y x
重心坐标：
)
8
,1(
2009-7-25 23
.
)c o s1(]2[
图形的重心坐标所围区域求心脏线例 a


0
22 )c o s1(
2
12 daM
20 42 c o s8
td ta

0
42
2
c o s4 da
2
2
3
a
由对称性知 0?y
[解 ]
2009-7-25 24
c o s)(
3
2?x
x
y
2009-7-25 25


0
33 c o s)c o s1(
3
2 daM
y

da )c o sc o s3c o s3( c o s
3
2 4
0
323
3
4
5 a
a
M
M
x y
6
5

于是重心极坐标
)
6
5
,0( a
重心直角坐标
)0,
6
5( yax