2009-7-25 1
P166 习题 6.2
1(1)(5),2(2),3(1)(3).
4(4)(5),5(1).
复习,P158— 166
作业预习,P168— 174
2009-7-25 2
第十六讲 定积分 （一）
二、定积分的概念三、可积性条件与可积类一、两个典型例子四、定积分的基本性质
2009-7-25 3
[例 1] 曲边形的面积问题
a d x
y
o
)( xfy?
i? i
x1?ix
一、两个典型例子曲边梯形
2009-7-25 4
),,2,1(],[],[ 1 nkxxnba kk个子区间分成将
bxxxxxa nii 110
11,],,[ kkkkkk xxxxx 记任取
(1) 细分,
:],[ 区间任意插入分点在 ba
形面积近似个曲边梯形的面积用矩将第 k
kkk xfA )(
个小曲边梯形将曲边梯形分成 n
(2) 取近似：
2009-7-25 5
(4) 取极限,
0m a x,1 knk x即无限细分存在如果极限?
n
k
kk xf
10
)(lim
的面积越接近曲边梯形分点越“密”?
n
k
kk xf
1
)(,
Axf
n
k
kk
10
)(lim
则
n
k
kk
n
k
k xfAA
11
)(
(3)求和,
2009-7-25 6
.
],[),(
s
batvv
所走过的路程内求在时间间隔已知速度?
bttttta nkk 110
[例 2] 变速直线运动的路程问题
),,1()( nitvs kkk
n
k
kk
n
k
k tvss
11
)(
n
k
kk tvs
10
)(l i m
(1)细分：,],[ 区间任意插入分点在 ba
),,2,1(],[],[ 1 nkttnba kk个子区间分成将
(4) 取极限,
以匀速近似变速 ],[
1 kkk tt任取
(2)取 近似：
(3)求和,
2009-7-25 7
二、定积分的概念
（一）黎曼积分定义：
,m a x,)(:
],,[;
),,1(],[
:],[,
],[,],[:
1
1
11
1
110
k
nk
n
k
kk
kkkkkk
kk
nkk
xxf
xxxxx
nkxxk
bxxxxxa
ba
baRbaf
记构造和式任取长度为的个小区间记第中插入一组分点即在作任意划分对区间设函数
2009-7-25 8
.],[)(
];,[,],[
,)(lim
1
0
上的定积分在称此极限值为并且记上可积在称则存在如果和式极限
baxf
baRfbaf
xf
n
k
kk
k
n
k
k
b
a
xfdxxf
)(l i m)(
10
记作,
积分上限积分下限
],[ ba 称为 积分区间定积分是,
积分和式的极限
ba dxxfA )(
ba dttvs )(
[例 1]曲边梯形的面积
[例 2]变速直线运动的路程
2009-7-25 9
面积定积分表示曲边梯形的即则若,)(,0)()1( Adxxfxf
b
a
面积的负值定积分表示曲边梯形的即则若,)(,0)()2( Adxxfxf
b
a
（二）定积分的几何意义
x
y
a b1?ix ixi?
)( if?
)( xfy?
o
iii xfA )(
2009-7-25 10
上可积在证明例 ],[)(]1[ baCxf?
[证 ]
),,1(],[
],[
1
0
nkxx
xba
kkk
n
kk
任取的一个划分任给
n
k
k
n
k
kk xCxf
11
)(
)(
1
abCxC
n
k
k
)()( abCdxCdxxf baba即
)()(lim
10
abCxf
n
k
kk
2009-7-25 11
上不可积在为无理数为有理数函数证明例
]1,0[
0
1
)(
]2[
x
x
xD
D i r i c h l e t
[证 ] n
kkx 0]1,0[?的一个划分任给
),,1(],[ 1 nkxx kkk 是有理数任取?
),,1(],[ 1 nkxx kkk 是无理数另取?
1)(
11
n
k
k
n
k
kk xxD
0)(
1
n
k
kk xD
1)(l i m
10
n
k
kk xD
0)(lim
10
n
k
kk xD
上不可积函数在故 ]1,0[D i r i ch l et
2009-7-25 12
定理 1：
三、可积性条件与可积函数类
.],[
)(],[)(
上有界在上可积，则在若
ba
xfbaxf
证明思路,反证法。假设 f(x) 在 [a,b]上无界，
则至少在一个子区间上无界，所以黎曼和式无界，与和式极限存在相矛盾,
定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研究定积分，实际上是不可行的,另一途径是先研究其存在性，得到有关可积性的理论。
2009-7-25 13
定理 3：
.],[)(,
],[)(
上可积在则有限个间断点上只有在若有界函数
baxf
baxf
.],[)(
,],[)(
上可积在则上单调在若函数
baxf
baxf
定理 4：
定理 2：
.],[)(
,],[)(
上可积在则上连续在若函数
baxf
baxf
2009-7-25 14
四、定积分的基本性质定积分是一种极限，因此其性质与极限性质密切相关性质一,线性性质有则对任意常数若,,],,[,baRgf?
bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
性质二,关于区间的可加性
bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(
并且有则若
],,[
],,[),,(],,[
bcRf
caRfbacbaRf
2009-7-25 15
bababa duufdttfdxxf )()()(
[注意 1] 定积分的值只依赖于被积函数和积分的上、
下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即
[注意 2] 定积分的定义中，下限 a小于上限 b，否则，
做如下规定,
abba dxxfdxxfba )()(:,规定时当关于区间可加性的推广有则若 ],[,,],,[ babaRf
dxxfdxxfdxxf )()()(
2009-7-25 16
性质三,积分的不等式性质则有且若函数
),()(],,[
],,[)(],,[)(
xgxfbax
baRxgbaRxf
baba dxxgdxxf )()(
（证明：利用极限的保序性质）
性质四,积分的保号性则有且若函数
,0)(
],,[],,[)(
xf
baxbaRxf
0)( b
a
dxxf
2009-7-25 17
性质五,积分的不等式性质且则若函数 ],,[)(],,[)( baRxfbaRxf
baba dxxfdxxf )()([注意 ]
],[)(],,[)( baRxfbaRxf 得不出由
是无理数是有理数例
x
x
xf
,1
,1
)(][
性质六,积分的估值性质则且若函数,)(],,[)( MxfmbaRxf
)()()( abMdxxfabm b
a
2009-7-25 18
性质七,积分中值定理使存在一点上至少则在若函数
,
],[],,[)(
babaCxf?
))(()( abfdxxfb
a
性质八,广义积分中值定理使上至少存在一点则在不变号且若函数
,],[,
,],[)(],,[)(
ba
baRxgbaCxf
baba dxxgfdxxgxf )()()()(?
2009-7-25 19
x
y
o
)(?f
)( xfy?
a b?
ba dxxfabf )(1)(?
平均高度函数平均值
2009-7-25 20
)(0)( bxaxg不妨设
)()()()(,0)( xMgxgxfxmgxg由于
[证 ]
)(,)( ],[],[ xfM i nmxfM a xM baxbax
],[)( baCxf?
Mxfmbax )(],,[
bababa dxxgMdxxgxfdxxgm )()()()(
由假设条件，可以证明 ],[)()( baRxgxf?
.0)(,0)( ba dxxgxg 所以因为
2009-7-25 21
0)()(0)( baba dxxgxfdxxg
性质成立],,[ ba
0)(b
a
dxxg M
dxxg
dxxgxf
m b
a
b
a?
)(
)()(
.)(,
],[,),(
),(],,[)(:
],[
],[
f
baMmxfM inm
xfM a xMbaCxf
bax
bax
使存在一点至少则在闭区间若函数介值性定理使上至少存在一点在,],[?ba?
b
a
b
a
dxxg
dxxgxf
f
)(
)()(
)(
b
a
b
a dxxgfdxxgxf )()()()(?即
2009-7-25 22
为面积轴所围成的平面图形的及直线证明由曲线
xbx
axxfy
,
,)(
ba dxxfA )(
1S
2S
3S
x
y
o
a b1c 2c
[例 1]
2009-7-25 23
321 SSSA
线性可加性
bcccca dxxfdxxfdxxf
2
2
1
1 )]([)()]([
bcccca dxxfdxxfdxxf
2
2
1
1 )()()(
ba dxxf )(
bcccca dxxfdxxfdxxf
2
2
1
1 )()()(
1S
2S
3S
x
y
o
a b
1c 2c
[证 ]
2009-7-25 24
的值估计定积分例 dx
x
x? 2
4
s in]2[?
x
xxf s i n)(?设
Mm
xf
和最大值上的最小值在区间首先求出?
2
,
4
)(
22
c o s)t a n(s i nc o s)(
x
xxx
x
xxxxf
故时当,t a n,
2
,
4
xxx
[解 ]
2009-7-25 25
]2,4[0)( xxf
上严格单调减在?
2
,
4
)(xf
2)
2( fm?
22)
4
( fM
)42(22)42(2 2
4
dxxS i n x
2
2
2
1 2
4
dxxS in x即
2009-7-25 26
)
2
0(0s inl im]3[
0
adxx
a n
n
证明例
[证 ] 利用估值定理上单调增加在 ],0[s i n axn
ax nn s i ns i n0
aax d x na n s i ns i n0
0
1s i n0,20 aa
0s inlim ann
0s i nl i m
0
a n
n
xdx故根据夹逼定理得到
2009-7-25 27
22 00 1 s i ns i n0]4[
dxxdxx nn证明例
[证 ]
]
2
,0[s i n 1?Cxn ]
2
,0[,0s i n 1 xxn
0s i n],
2
,0[ 010 xx n使且?
0s i n2
0
1
dxxn
]
2
,0[0)s i n1(s i ns i ns i n 1 xxxxx nnn
使且 ],
2
,0[1 x
0)s i n1(s i ns i ns i n 11111 xxxx nnn
2009-7-25 28
0s i ns i n
)s i n( s i n
22
2
0
1
0
0
1
dxxdxx
dxxx
nn
nn
22 00 1 s i ns i n0
dxxdxx nn
P166 习题 6.2
1(1)(5),2(2),3(1)(3).
4(4)(5),5(1).
复习,P158— 166
作业预习,P168— 174
2009-7-25 2
第十六讲 定积分 （一）
二、定积分的概念三、可积性条件与可积类一、两个典型例子四、定积分的基本性质
2009-7-25 3
[例 1] 曲边形的面积问题
a d x
y
o
)( xfy?
i? i
x1?ix
一、两个典型例子曲边梯形
2009-7-25 4
),,2,1(],[],[ 1 nkxxnba kk个子区间分成将
bxxxxxa nii 110
11,],,[ kkkkkk xxxxx 记任取
(1) 细分,
:],[ 区间任意插入分点在 ba
形面积近似个曲边梯形的面积用矩将第 k
kkk xfA )(
个小曲边梯形将曲边梯形分成 n
(2) 取近似：
2009-7-25 5
(4) 取极限,
0m a x,1 knk x即无限细分存在如果极限?
n
k
kk xf
10
)(lim
的面积越接近曲边梯形分点越“密”?
n
k
kk xf
1
)(,
Axf
n
k
kk
10
)(lim
则
n
k
kk
n
k
k xfAA
11
)(
(3)求和,
2009-7-25 6
.
],[),(
s
batvv
所走过的路程内求在时间间隔已知速度?
bttttta nkk 110
[例 2] 变速直线运动的路程问题
),,1()( nitvs kkk
n
k
kk
n
k
k tvss
11
)(
n
k
kk tvs
10
)(l i m
(1)细分：,],[ 区间任意插入分点在 ba
),,2,1(],[],[ 1 nkttnba kk个子区间分成将
(4) 取极限,
以匀速近似变速 ],[
1 kkk tt任取
(2)取 近似：
(3)求和,
2009-7-25 7
二、定积分的概念
（一）黎曼积分定义：
,m a x,)(:
],,[;
),,1(],[
:],[,
],[,],[:
1
1
11
1
110
k
nk
n
k
kk
kkkkkk
kk
nkk
xxf
xxxxx
nkxxk
bxxxxxa
ba
baRbaf
记构造和式任取长度为的个小区间记第中插入一组分点即在作任意划分对区间设函数
2009-7-25 8
.],[)(
];,[,],[
,)(lim
1
0
上的定积分在称此极限值为并且记上可积在称则存在如果和式极限
baxf
baRfbaf
xf
n
k
kk
k
n
k
k
b
a
xfdxxf
)(l i m)(
10
记作,
积分上限积分下限
],[ ba 称为 积分区间定积分是,
积分和式的极限
ba dxxfA )(
ba dttvs )(
[例 1]曲边梯形的面积
[例 2]变速直线运动的路程
2009-7-25 9
面积定积分表示曲边梯形的即则若,)(,0)()1( Adxxfxf
b
a
面积的负值定积分表示曲边梯形的即则若,)(,0)()2( Adxxfxf
b
a
（二）定积分的几何意义
x
y
a b1?ix ixi?
)( if?
)( xfy?
o
iii xfA )(
2009-7-25 10
上可积在证明例 ],[)(]1[ baCxf?
[证 ]
),,1(],[
],[
1
0
nkxx
xba
kkk
n
kk
任取的一个划分任给
n
k
k
n
k
kk xCxf
11
)(
)(
1
abCxC
n
k
k
)()( abCdxCdxxf baba即
)()(lim
10
abCxf
n
k
kk
2009-7-25 11
上不可积在为无理数为有理数函数证明例
]1,0[
0
1
)(
]2[
x
x
xD
D i r i c h l e t
[证 ] n
kkx 0]1,0[?的一个划分任给
),,1(],[ 1 nkxx kkk 是有理数任取?
),,1(],[ 1 nkxx kkk 是无理数另取?
1)(
11
n
k
k
n
k
kk xxD
0)(
1
n
k
kk xD
1)(l i m
10
n
k
kk xD
0)(lim
10
n
k
kk xD
上不可积函数在故 ]1,0[D i r i ch l et
2009-7-25 12
定理 1：
三、可积性条件与可积函数类
.],[
)(],[)(
上有界在上可积，则在若
ba
xfbaxf
证明思路,反证法。假设 f(x) 在 [a,b]上无界，
则至少在一个子区间上无界，所以黎曼和式无界，与和式极限存在相矛盾,
定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研究定积分，实际上是不可行的,另一途径是先研究其存在性，得到有关可积性的理论。
2009-7-25 13
定理 3：
.],[)(,
],[)(
上可积在则有限个间断点上只有在若有界函数
baxf
baxf
.],[)(
,],[)(
上可积在则上单调在若函数
baxf
baxf
定理 4：
定理 2：
.],[)(
,],[)(
上可积在则上连续在若函数
baxf
baxf
2009-7-25 14
四、定积分的基本性质定积分是一种极限，因此其性质与极限性质密切相关性质一,线性性质有则对任意常数若,,],,[,baRgf?
bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
性质二,关于区间的可加性
bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(
并且有则若
],,[
],,[),,(],,[
bcRf
caRfbacbaRf
2009-7-25 15
bababa duufdttfdxxf )()()(
[注意 1] 定积分的值只依赖于被积函数和积分的上、
下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即
[注意 2] 定积分的定义中，下限 a小于上限 b，否则，
做如下规定,
abba dxxfdxxfba )()(:,规定时当关于区间可加性的推广有则若 ],[,,],,[ babaRf
dxxfdxxfdxxf )()()(
2009-7-25 16
性质三,积分的不等式性质则有且若函数
),()(],,[
],,[)(],,[)(
xgxfbax
baRxgbaRxf
baba dxxgdxxf )()(
（证明：利用极限的保序性质）
性质四,积分的保号性则有且若函数
,0)(
],,[],,[)(
xf
baxbaRxf
0)( b
a
dxxf
2009-7-25 17
性质五,积分的不等式性质且则若函数 ],,[)(],,[)( baRxfbaRxf
baba dxxfdxxf )()([注意 ]
],[)(],,[)( baRxfbaRxf 得不出由
是无理数是有理数例
x
x
xf
,1
,1
)(][
性质六,积分的估值性质则且若函数,)(],,[)( MxfmbaRxf
)()()( abMdxxfabm b
a
2009-7-25 18
性质七,积分中值定理使存在一点上至少则在若函数
,
],[],,[)(
babaCxf?
))(()( abfdxxfb
a
性质八,广义积分中值定理使上至少存在一点则在不变号且若函数
,],[,
,],[)(],,[)(
ba
baRxgbaCxf
baba dxxgfdxxgxf )()()()(?
2009-7-25 19
x
y
o
)(?f
)( xfy?
a b?
ba dxxfabf )(1)(?
平均高度函数平均值
2009-7-25 20
)(0)( bxaxg不妨设
)()()()(,0)( xMgxgxfxmgxg由于
[证 ]
)(,)( ],[],[ xfM i nmxfM a xM baxbax
],[)( baCxf?
Mxfmbax )(],,[
bababa dxxgMdxxgxfdxxgm )()()()(
由假设条件，可以证明 ],[)()( baRxgxf?
.0)(,0)( ba dxxgxg 所以因为
2009-7-25 21
0)()(0)( baba dxxgxfdxxg
性质成立],,[ ba
0)(b
a
dxxg M
dxxg
dxxgxf
m b
a
b
a?
)(
)()(
.)(,
],[,),(
),(],,[)(:
],[
],[
f
baMmxfM inm
xfM a xMbaCxf
bax
bax
使存在一点至少则在闭区间若函数介值性定理使上至少存在一点在,],[?ba?
b
a
b
a
dxxg
dxxgxf
f
)(
)()(
)(
b
a
b
a dxxgfdxxgxf )()()()(?即
2009-7-25 22
为面积轴所围成的平面图形的及直线证明由曲线
xbx
axxfy
,
,)(
ba dxxfA )(
1S
2S
3S
x
y
o
a b1c 2c
[例 1]
2009-7-25 23
321 SSSA
线性可加性
bcccca dxxfdxxfdxxf
2
2
1
1 )]([)()]([
bcccca dxxfdxxfdxxf
2
2
1
1 )()()(
ba dxxf )(
bcccca dxxfdxxfdxxf
2
2
1
1 )()()(
1S
2S
3S
x
y
o
a b
1c 2c
[证 ]
2009-7-25 24
的值估计定积分例 dx
x
x? 2
4
s in]2[?
x
xxf s i n)(?设
Mm
xf
和最大值上的最小值在区间首先求出?
2
,
4
)(
22
c o s)t a n(s i nc o s)(
x
xxx
x
xxxxf
故时当,t a n,
2
,
4
xxx
[解 ]
2009-7-25 25
]2,4[0)( xxf
上严格单调减在?
2
,
4
)(xf
2)
2( fm?
22)
4
( fM
)42(22)42(2 2
4
dxxS i n x
2
2
2
1 2
4
dxxS in x即
2009-7-25 26
)
2
0(0s inl im]3[
0
adxx
a n
n
证明例
[证 ] 利用估值定理上单调增加在 ],0[s i n axn
ax nn s i ns i n0
aax d x na n s i ns i n0
0
1s i n0,20 aa
0s inlim ann
0s i nl i m
0
a n
n
xdx故根据夹逼定理得到
2009-7-25 27
22 00 1 s i ns i n0]4[
dxxdxx nn证明例
[证 ]
]
2
,0[s i n 1?Cxn ]
2
,0[,0s i n 1 xxn
0s i n],
2
,0[ 010 xx n使且?
0s i n2
0
1
dxxn
]
2
,0[0)s i n1(s i ns i ns i n 1 xxxxx nnn
使且 ],
2
,0[1 x
0)s i n1(s i ns i ns i n 11111 xxxx nnn
2009-7-25 28
0s i ns i n
)s i n( s i n
22
2
0
1
0
0
1
dxxdxx
dxxx
nn
nn
22 00 1 s i ns i n0
dxxdxx nn
