2009-7-25 1
复习,P80— 121
预习,P124— 133
2009-7-25 2
二、泰勒公式应用举例第十二讲 泰勒公式的应用一、复习
2009-7-25 3
:)( 0 点的泰勒公式在 xxf
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()(
)()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxf
xRxPxf
n
n
n
nn
)(])[()( 00 xxxxxR nn
之间与介于 xxxx
n
fxR nn
n 0
1
0
)1(
)(
)!1(
)()(
一、复习
2009-7-25 4
)0(
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
1
)1()(
2
之间与在 xx
n
f
x
n
f
x
f
xffxf
n
n
n
n
[注意 ]
.
)(,00
幂展开的就用点的泰勒公式 xxx?
)()(
)!1(
)(
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
1
0
)1(
0
0
)(
2
0
0
000
之间与在 xxxx
n
f
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
n
00?x
2009-7-25 5
五个常用函数的 泰勒 公式（麦克劳林公式）
12
)!1(!
1
!2
11?
nnx x
n
ex
nxxe
122
12
1
53
!)12(
])12(s i n [
!)12(
)1(
!5!3
s i n
k
k
k
x
k
k
k
xxx
xx
)(!1!211 2 nnx xoxnxxe
)(!)12()1(!5!3s i n 2
12
1
53
k
k
k xo
k
xxxxx?
2009-7-25 6
22
242
!)22(
])1(s i n [
!)2(
)1(
!4!2
1c o s
k
k
k
x
k
k
k
xxx
x
)(!)2()1(!4!21c o s 12
242
k
k
k xo
k
xxxx?
n
xxxxx nn 132 )1(
32)1l n (
1
1
)1)(1()1(?
n
n
n
n
x
)()1(32)1ln( 1
32
n
n
n xo
n
xxxxx
2009-7-25 7
11
2
)1(
!)1(
)()1(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
nn
n
x
n
n
x
n
n
xxx
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
xox
n
n
xxx
2009-7-25 8
)()1(11 1 32 nnn xoxxxxx
1
)(!!)2( !!)32()1(2111
2
1 n
n
k
kk xox
k
kxx
2
1
)(!!)2( !!)12()1(211
1
1
2
n
n
k
kk xox
k
kx
x
2
1
2009-7-25 9
求未定型极限
确定无穷小量的阶二、泰勒公式应用举例
近似计算：近似值、近似公式
利用导数研究函数的性质
▼ 局部应用
▼ 区间 应用皮亚诺型余项拉格朗日型余项
2009-7-25 10
2
0
0
000 )(!2
)())(()()( xxxfxxxfxfxf
n
n
xx
n
xf )(
!
)(
0
0
)(
有时当,00?x
n
n
xnfxfxffxf ! )0(!2 )0()0()0()(
)(
2
两个公式的误差分别为时当,)()1( Mxf n
11
0 !)1()(!)1()(
nnnn x
n
MxRxx
n
MxR 和
（一）近似公式 弃去余项，得近似公式
2009-7-25 11
0)()1( 0 xexf x
nx x
n
xxe
!
1
!2
11 2
例如：
1
)!1(
)(?
nn x
n
exR?误差
!
1
!2
111
n
e
)!1(
3)(
n
xR n
误差
2009-7-25 12
!)12(
)1(
!5!3
s i n
12
1
53
k
xxxxx kk?
0s i n)()2( 0 xxxf
]
2
)12(s i n [
!)12(
)(
12
2
k
k
xxR k
k
误差
!)12(
)(
12
2
k
x
xR
k
k
例如,xx?sin
要使误差小于 0.001，问公式的适用范围？
101 8 1 7.00 0 1.0
6
3
xx
2009-7-25 13
.10,]1[ 4?使误差不超过的值近似计算数例 e
!)1(!
1
!2
1111
n
e
n
ex
令
.10? 4 nRn 才可以使误差问：取
[解 ]
nx x
n
xxe
!
1
!2
11 2
410
!)1(
3
n
R n 7,?n只需取经试算
!7
1
!2
111e
7182.27 1 8 2 5 4.20 0 0 1 9 8.00 0 1 3 8 9.0
0 0 8 3 3 3.00 4 1 6 6 7.01 6 6 6 6 7.05.2
多取两位！
2009-7-25 14
似上用一个三次多项式近在区间例 ]
4
1,0[]2[
31)1()( xxf令
)(
3
4
!2
1
3
11)1(
2
2
2
31 xRxxx
.,
13
并估计误差
x
x
)10(
)1(3!3
741)(
310
3
32
x
xxR
其中得取的展开式利用,
3
1,)1(x
[解 ]
2009-7-25 15
所以
32
3 9
2
3
1
1
xxx
x
x
]
4
1
,0[?x
误差为
310
4
32 )1(3!3
74
)(
x
x
xxR
3
4
3 1000068.04
1
3!3
74?
2009-7-25 16
利用四阶近似公式例 ]3[
6
s i n
3x
xx
,0 0 0 1.0,s i n
问公式的使用范围若要求精确到时近似计算 x
仍然从误差估计入手
0 0 0 1.0
120
1
!5
1
!5
)c o s ( 555
4 xxx
xR?
[解 ]
4 1 2 9.0?x解得利用四阶近似公式即,
6
s i n
3x
xx
.0 0 0 1.0
5.234 1 2 9.0,s i n
误差可小于限制角度时计算xx
2009-7-25 17
)s i n ()( c o s
11
lim]4[
2
2
2
0
2
2
xex
x
x
x
x?
求极限例
)(
42
1
2
111 4422 xoxxx?
[解 ]
（二）求未定型极限
)(
24
1
2
11c o s 442 xoxxx
)(
2
11 4422 xoxxe x
利用皮亚诺型余项泰勒公式
2009-7-25 18
)s i n ()( c o s
11
l i m
2
2
2
0
2
2
xex
x
x
x
x?
254
24
112
2
3
54
8
1
0 )]([
)(
lim
xxoxx
xox
x
)(
)(
l i m 54
2
3
54
8
1
0 xox
xox
x
25
2
25
242
5
822
0 ) ] }(1[)](1{[
)](1[1
l i m 442
422
xxoxxo
xo
xxx
xxx
x
12
1
2009-7-25 19
)1l n ()13(
)1(11l i m]5[ 3 2
0 x
exx
x
x
x
求极限例
)(3111 323 2 xoxx
[解 ]
)(1 xoxe x
利用皮亚诺型余项泰勒公式
2
3 2
0
3 2
0 )3( l n
)1(11lim
)1ln()13(
)1(11lim
x
exx
x
exx x
xx
x
x?
2
32
3
1
0
))(()(lim
3ln
1
x
xoxxxox
x
3ln3
2)(lim
3ln
1
2
22
3
2
0
x
xox
x
2009-7-25 20
)1l n ()13(
)1(11
l i m:][ 3
13 2
0 x
exx
x
x
x
将题目改为思考
2
3
13 2
0
3
13 2
0 )3( l n
)1(11
lim
)1ln()13(
)1(11
lim
x
exx
x
exx x
xx
x
x?
2
3
132
3
1
0
))(()(lim
3ln
1
x
xoxxxox
x
0)(l i m
3ln
1
2
2
0
x
xo
x
2009-7-25 21
3
3
13 2
0
)1(11l i m:][
x
exx x
x
将题目改为思考
3
3
13 2
0
)1(11l i m
x
exx x
x
3
2
03
3
132
3
1
0
)(l i m))(()(l i m
x
xo
x
xoxxxox
xx
做不出来了！
3
22
2
1
3
132
3
1
0
))(()(lim
x
xoxxxxox
x
6
1)(l i m
3
33
6
1
0
x
xox
x
2009-7-25 22
.3
1
1
)(
,0,,]6[
阶无穷小是对于时使当确定常数例
x
bx
ax
exf
xba
x
即要求根据题意,0)(lim
30 Ax
xf
x
[解 ]
时当 0?x
1)1)(1()( bxaxexf x
))(1)(1(
)(
!3
1
!2
1
1
33322
332
xxbxbbxax
xxxx
2009-7-25 23
22 )
2
1()1()( xbabxbaxf
0
2
1
01
2
bab
ba
)0
12
1)(lim(
2
1,
2
1
30 x
xfba
x
.)(,0
,
2
1
,
2
1
的三阶无穷小量为时当则所以取
xxfx
ba
)()61( 3332 xxbab
2009-7-25 24
[例 7] 证明不等式,
]2,0[s i n2 xxx
[证 ]
xxxf?2s i n)(研究函数余项泰勒公式展开成三阶带拉格朗日在 20x
0)2(f 2)2(f 1)
2(
f
0)2(f xxf s i n)()4(?
2009-7-25 25
42
)
2
(s i n
24
1
)
2
(
2
1
)
2
(
2
2
s i n)(
xxx
xxxf
42 )
2(s i n24
1)
2(2
1)
2(2 xxx
2)
2(2
1)
2(2 xx
0)2)(2(21 xx
]2,0[s i n2 xxx即
2009-7-25 26
)()(
)(
4
)(,
),(,0)()(
,],[)(]8[
2
afbf
ab
f
babfaf
baxf
使得一点内至少存在则在且上二阶可导在设例得勒公式拉格朗日余项的一阶泰处展开成带和分别在将
,
)( bxaxxf
[证 ]
)1()(!2 )())(()()( 21 axfaxafafxf
)2()(!2 )())(()()( 22 bxfbxbfbfxf
2009-7-25 27
得两式、代入取,)2()1(,2 bax
21 )
2(!2
)()
2)(()()2(
abfabafafbaf
)2,(1 baa
22 )
2(!2
)()
2)(()()2(
bafbabfbfbaf
),2(2 bba
2009-7-25 28
于是得由于,0)()( bfaf
21 )
2(!2
)()()
2(
abfafbaf
22 )
2(!2
)()()
2(
abfbfbaf
4
)(
2
)()()()( 221 abffafbf
4
)(
2
)()()()( 221 abffafbf
.)()(,
,)()(,
122
211
时当时当
ff
ff
4
)()( 2abf
2009-7-25 29
)()(
)(
4
)(
,),(,
2
afbf
ab
f
ba
使得内至少存在一点在即物理意义：
)./(
4
,
,
2
2
秒米间不小于加速度的绝对值在某瞬则汽车运动的米内走完了路程秒钟于汽车从某点开始行驶
T
S
S
T
复习,P80— 121
预习,P124— 133
2009-7-25 2
二、泰勒公式应用举例第十二讲 泰勒公式的应用一、复习
2009-7-25 3
:)( 0 点的泰勒公式在 xxf
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()(
)()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxf
xRxPxf
n
n
n
nn
)(])[()( 00 xxxxxR nn
之间与介于 xxxx
n
fxR nn
n 0
1
0
)1(
)(
)!1(
)()(
一、复习
2009-7-25 4
)0(
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
1
)1()(
2
之间与在 xx
n
f
x
n
f
x
f
xffxf
n
n
n
n
[注意 ]
.
)(,00
幂展开的就用点的泰勒公式 xxx?
)()(
)!1(
)(
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
1
0
)1(
0
0
)(
2
0
0
000
之间与在 xxxx
n
f
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
n
00?x
2009-7-25 5
五个常用函数的 泰勒 公式（麦克劳林公式）
12
)!1(!
1
!2
11?
nnx x
n
ex
nxxe
122
12
1
53
!)12(
])12(s i n [
!)12(
)1(
!5!3
s i n
k
k
k
x
k
k
k
xxx
xx
)(!1!211 2 nnx xoxnxxe
)(!)12()1(!5!3s i n 2
12
1
53
k
k
k xo
k
xxxxx?
2009-7-25 6
22
242
!)22(
])1(s i n [
!)2(
)1(
!4!2
1c o s
k
k
k
x
k
k
k
xxx
x
)(!)2()1(!4!21c o s 12
242
k
k
k xo
k
xxxx?
n
xxxxx nn 132 )1(
32)1l n (
1
1
)1)(1()1(?
n
n
n
n
x
)()1(32)1ln( 1
32
n
n
n xo
n
xxxxx
2009-7-25 7
11
2
)1(
!)1(
)()1(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
nn
n
x
n
n
x
n
n
xxx
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
xox
n
n
xxx
2009-7-25 8
)()1(11 1 32 nnn xoxxxxx
1
)(!!)2( !!)32()1(2111
2
1 n
n
k
kk xox
k
kxx
2
1
)(!!)2( !!)12()1(211
1
1
2
n
n
k
kk xox
k
kx
x
2
1
2009-7-25 9
求未定型极限
确定无穷小量的阶二、泰勒公式应用举例
近似计算：近似值、近似公式
利用导数研究函数的性质
▼ 局部应用
▼ 区间 应用皮亚诺型余项拉格朗日型余项
2009-7-25 10
2
0
0
000 )(!2
)())(()()( xxxfxxxfxfxf
n
n
xx
n
xf )(
!
)(
0
0
)(
有时当,00?x
n
n
xnfxfxffxf ! )0(!2 )0()0()0()(
)(
2
两个公式的误差分别为时当,)()1( Mxf n
11
0 !)1()(!)1()(
nnnn x
n
MxRxx
n
MxR 和
（一）近似公式 弃去余项，得近似公式
2009-7-25 11
0)()1( 0 xexf x
nx x
n
xxe
!
1
!2
11 2
例如：
1
)!1(
)(?
nn x
n
exR?误差
!
1
!2
111
n
e
)!1(
3)(
n
xR n
误差
2009-7-25 12
!)12(
)1(
!5!3
s i n
12
1
53
k
xxxxx kk?
0s i n)()2( 0 xxxf
]
2
)12(s i n [
!)12(
)(
12
2
k
k
xxR k
k
误差
!)12(
)(
12
2
k
x
xR
k
k
例如,xx?sin
要使误差小于 0.001，问公式的适用范围？
101 8 1 7.00 0 1.0
6
3
xx
2009-7-25 13
.10,]1[ 4?使误差不超过的值近似计算数例 e
!)1(!
1
!2
1111
n
e
n
ex
令
.10? 4 nRn 才可以使误差问：取
[解 ]
nx x
n
xxe
!
1
!2
11 2
410
!)1(
3
n
R n 7,?n只需取经试算
!7
1
!2
111e
7182.27 1 8 2 5 4.20 0 0 1 9 8.00 0 1 3 8 9.0
0 0 8 3 3 3.00 4 1 6 6 7.01 6 6 6 6 7.05.2
多取两位！
2009-7-25 14
似上用一个三次多项式近在区间例 ]
4
1,0[]2[
31)1()( xxf令
)(
3
4
!2
1
3
11)1(
2
2
2
31 xRxxx
.,
13
并估计误差
x
x
)10(
)1(3!3
741)(
310
3
32
x
xxR
其中得取的展开式利用,
3
1,)1(x
[解 ]
2009-7-25 15
所以
32
3 9
2
3
1
1
xxx
x
x
]
4
1
,0[?x
误差为
310
4
32 )1(3!3
74
)(
x
x
xxR
3
4
3 1000068.04
1
3!3
74?
2009-7-25 16
利用四阶近似公式例 ]3[
6
s i n
3x
xx
,0 0 0 1.0,s i n
问公式的使用范围若要求精确到时近似计算 x
仍然从误差估计入手
0 0 0 1.0
120
1
!5
1
!5
)c o s ( 555
4 xxx
xR?
[解 ]
4 1 2 9.0?x解得利用四阶近似公式即,
6
s i n
3x
xx
.0 0 0 1.0
5.234 1 2 9.0,s i n
误差可小于限制角度时计算xx
2009-7-25 17
)s i n ()( c o s
11
lim]4[
2
2
2
0
2
2
xex
x
x
x
x?
求极限例
)(
42
1
2
111 4422 xoxxx?
[解 ]
（二）求未定型极限
)(
24
1
2
11c o s 442 xoxxx
)(
2
11 4422 xoxxe x
利用皮亚诺型余项泰勒公式
2009-7-25 18
)s i n ()( c o s
11
l i m
2
2
2
0
2
2
xex
x
x
x
x?
254
24
112
2
3
54
8
1
0 )]([
)(
lim
xxoxx
xox
x
)(
)(
l i m 54
2
3
54
8
1
0 xox
xox
x
25
2
25
242
5
822
0 ) ] }(1[)](1{[
)](1[1
l i m 442
422
xxoxxo
xo
xxx
xxx
x
12
1
2009-7-25 19
)1l n ()13(
)1(11l i m]5[ 3 2
0 x
exx
x
x
x
求极限例
)(3111 323 2 xoxx
[解 ]
)(1 xoxe x
利用皮亚诺型余项泰勒公式
2
3 2
0
3 2
0 )3( l n
)1(11lim
)1ln()13(
)1(11lim
x
exx
x
exx x
xx
x
x?
2
32
3
1
0
))(()(lim
3ln
1
x
xoxxxox
x
3ln3
2)(lim
3ln
1
2
22
3
2
0
x
xox
x
2009-7-25 20
)1l n ()13(
)1(11
l i m:][ 3
13 2
0 x
exx
x
x
x
将题目改为思考
2
3
13 2
0
3
13 2
0 )3( l n
)1(11
lim
)1ln()13(
)1(11
lim
x
exx
x
exx x
xx
x
x?
2
3
132
3
1
0
))(()(lim
3ln
1
x
xoxxxox
x
0)(l i m
3ln
1
2
2
0
x
xo
x
2009-7-25 21
3
3
13 2
0
)1(11l i m:][
x
exx x
x
将题目改为思考
3
3
13 2
0
)1(11l i m
x
exx x
x
3
2
03
3
132
3
1
0
)(l i m))(()(l i m
x
xo
x
xoxxxox
xx
做不出来了！
3
22
2
1
3
132
3
1
0
))(()(lim
x
xoxxxxox
x
6
1)(l i m
3
33
6
1
0
x
xox
x
2009-7-25 22
.3
1
1
)(
,0,,]6[
阶无穷小是对于时使当确定常数例
x
bx
ax
exf
xba
x
即要求根据题意,0)(lim
30 Ax
xf
x
[解 ]
时当 0?x
1)1)(1()( bxaxexf x
))(1)(1(
)(
!3
1
!2
1
1
33322
332
xxbxbbxax
xxxx
2009-7-25 23
22 )
2
1()1()( xbabxbaxf
0
2
1
01
2
bab
ba
)0
12
1)(lim(
2
1,
2
1
30 x
xfba
x
.)(,0
,
2
1
,
2
1
的三阶无穷小量为时当则所以取
xxfx
ba
)()61( 3332 xxbab
2009-7-25 24
[例 7] 证明不等式,
]2,0[s i n2 xxx
[证 ]
xxxf?2s i n)(研究函数余项泰勒公式展开成三阶带拉格朗日在 20x
0)2(f 2)2(f 1)
2(
f
0)2(f xxf s i n)()4(?
2009-7-25 25
42
)
2
(s i n
24
1
)
2
(
2
1
)
2
(
2
2
s i n)(
xxx
xxxf
42 )
2(s i n24
1)
2(2
1)
2(2 xxx
2)
2(2
1)
2(2 xx
0)2)(2(21 xx
]2,0[s i n2 xxx即
2009-7-25 26
)()(
)(
4
)(,
),(,0)()(
,],[)(]8[
2
afbf
ab
f
babfaf
baxf
使得一点内至少存在则在且上二阶可导在设例得勒公式拉格朗日余项的一阶泰处展开成带和分别在将
,
)( bxaxxf
[证 ]
)1()(!2 )())(()()( 21 axfaxafafxf
)2()(!2 )())(()()( 22 bxfbxbfbfxf
2009-7-25 27
得两式、代入取,)2()1(,2 bax
21 )
2(!2
)()
2)(()()2(
abfabafafbaf
)2,(1 baa
22 )
2(!2
)()
2)(()()2(
bafbabfbfbaf
),2(2 bba
2009-7-25 28
于是得由于,0)()( bfaf
21 )
2(!2
)()()
2(
abfafbaf
22 )
2(!2
)()()
2(
abfbfbaf
4
)(
2
)()()()( 221 abffafbf
4
)(
2
)()()()( 221 abffafbf
.)()(,
,)()(,
122
211
时当时当
ff
ff
4
)()( 2abf
2009-7-25 29
)()(
)(
4
)(
,),(,
2
afbf
ab
f
ba
使得内至少存在一点在即物理意义：
)./(
4
,
,
2
2
秒米间不小于加速度的绝对值在某瞬则汽车运动的米内走完了路程秒钟于汽车从某点开始行驶
T
S
S
T
