2009-7-25 1
作业
P176 习题 6.3
16,19,20.
P182 习题 6.4
3(2)(6),5,7(3)(7),9,
P186 习题 6.5
4,5,25,
预习,P198— 210
2009-7-25 2
第十八讲 定积分 （三）
一、定积分的换元积分法
（例题）
二、定积分的分部积分法三、综合例题
2009-7-25 3
dtttfdxxf
ba
bta
Ct
txbaCxf
b
a
)()]([)(
,)(,)()3(;)()2(;],[)()1(
),(],,[)(
1
则有满足三个条件：
作变换设函数一、定积分的换元积分法定理 1,(定积分的换元积分法 )
2009-7-25 4
有为偶函数时当则上连续在对称区间若例
,)()1(
,],[)(]1[
xf
aaxf?
aa a dxxfdxxf 0 )(2)(
0)(
a
a
dxxf
有为奇函数时当,)()2( xf
aaa a dxxfdxxfdxxf 00 )()()(
为偶函数知又由作变换对于右端第一项
)(
:,
xf
tx
[证 ](1)
)()()( tftfxf
2009-7-25 5
0 00 )()()( a aa dttfdttfdxxf
为什麽?
a dxxf0 )(
定积分与积分变量所用字母无关！
aaa a dxxfdxxfdxxf 00 )()()(
aaa dxxfdxxfdxxf 000 )(2)()(
0
2
1
2
1 2
2
1
a r c s i n dx
x
xx
［例如］,
从而由换元公式，得
2009-7-25 6
[例 2]
3
3
2
9
1)3( dxxx计算
2
2
2s i n1
c o ss i n?
dxx xx计算
2
3
3
2
9
1)3( dxxx
[例 3]
[解 ]
[解 ]
3
3
2
9
13 dxx
3 3 29 dxx
20 2s i n1 c o s2
dxxx?
2
2
2s i n1
c o ss i n?
dxx xx
2
9
2009-7-25 7
可以证明：利用定积分的换元法,
TTa
a
dxxfdxxf
a
Txf
0
)()(
,,
)(
有则对任意的实数函数为周期的连续是一个以若
[证 ]
Ta
T
T
a
Ta
a
dxxfdxxfdxxf
dxxf
)()()(
)(
0
0
（ 1） （ 2） （ 3） 证 (1)+(3)=0
2009-7-25 8
20 220 2 s i n4s i n x d xx d x
)()()(
00
为正整数ndxxfndxxf
TnT
aTaT dtTtfdxxf 0 )()(
000 )()()( aaa dxxfdxxfdttf
dtdxTtx,作变换
TTaa dxxfdxxf 0 )()(
所以例如
2009-7-25 9
分部积分公式则有有连续的一阶导数上在区间设函数
),(),(
],[)(),(
xvxu
baxvxu
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxu
dxxvxu
)()()()(
)()(
|
二、定积分的分部积分法定理 2,(定积分的分部积分法 )
2009-7-25 10
)()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu
得公式利用是连续函数从而左端函数由条件上式右端是连续
,.])()([
,
LNxvxu
|)()(])()([ baba xvxudxxvxu
b
a
b
a
b
a
dxxvxudxxvxu
dxxvxuxvxu
)()()()(
)]()()()([
而右端的积分为
[证 ] 利用牛顿 — 莱布尼兹公式
2009-7-25 11
|)()(
)()()()(
b
a
b
a
b
a
xvxu
dxxvxudxxvxu
于是得到
b
a
b
a
b
a
dxxvxuxvxu
dxxvxu
)()()()(
)()(
|
])([)()()()]([)( | b
a
b
a
b
a
xudxvxvxuxvdxu
成分部积分公式也可以写注意 ][
即
2009-7-25 12
411 lnln
4
1
dx
x
xdx
x
x原式
4
4
1
ln
]1[ dx
x
x
计算例
)2ln2(
11
4
1
4
1|?
dx
x
xxx
|| 411
4
1 )4ln2()4ln2( xxxxxx
22ln6
)2ln2(
4
1
4
1|?
dx
x
xxx
[解 ]
2009-7-25 13
dxxx n1
0
2 )1(]2[ 计算例
dxxx
n
xx
n
dxxx
nn
n
1
0
1
1
0
21
1
0
2
)1(
1
2
)1(
1
1
)1(
|
dxx
nn
xx
nn
n
n
1
0
2
1
0
2
)1(
)2)(1(
2
)1(
)2)(1(
2
|
[解 ]
)3)(2)(1(
2)1(
)3)(2)(1(
2 | 1
0
3
nnnxnnn
n
2009-7-25 14
)(s i n]3[ 2
0
NndxxI nn
计算：例
21
2
00
dxI 1c o ss i n | 2
0
2
01
xdxxI
[解 ]
20 1 )c o s(s i n
xxdI nn
dxxxn n2
0
22 c o ss i n)1(
20 1201 )( s i n)c o s(s i n)c o s( |
xdxxx nn
dxxxn n2
0
22 )s i n1(s i n)1(
nnn InInI )1()1( 2
2009-7-25 15
得到时当,2 kn?
2!!)2(
!!)12(s i n2
0
2
2
k
kdxxI k
k
)2(1 2 nI
n
nI
nn
得到时当,12 kn
1
!!)12(
!!)22(s i n2
0
12
12
k
kdxxI k
k
2009-7-25 16
例如：
32
5
2246
135s i n2
0
6
dxx
35
161
357
246s i n2
0
7
dxx?
)(s i nc o s 2
0
2
0
Nndxxdxx nn
可以证明
dxx? 4
0
8 2c o s
tx?2令
dtt? 2
0
8c o s
2
1?
1 5 3 610522468 135721
2009-7-25 17
三、综合例题并作出几何解释。证明
，且上二阶可导非负在设
),
2
()(
0)(,],0[)(
0
a
afdxxf
xfaxf
a
[证明 ]
处展成泰勒公式在将
2
)( axxf?
)2,0(,)2(!2 )()2)(2()2()( 2 aaxfaxafafxf
,0)( xf? )2)(2()2()( axafafxf
两边积分
dxaxafafdxxf aa )]2)(2()2([)(
00
[例 1]
2009-7-25 18
)2()2)(2(21)2(
0
2 aafaxafaaf
a
dxxfa
0
)(
几何解释：
下凸，)(,0)( xfxf
,
)
2
)(
2
()
2
(
2
)(
在曲线的下方处的切线在
a
x
a
f
a
fY
a
xf
梯形面积曲边梯形的面积时当
,]),0[(0 axY
即
2009-7-25 19
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
baCxgxf
)()(])()([
],,[)(),(]2[
222
证明设例柯西 -许瓦兹不等式
[证 ]
为参变量研究 txtgxf,)]()([ 2?
0)()()(2)( 222 xgtxgxtfxf
两边积分
0)()()(2)( 222 b
a
b
a
b
a
dxxfdxxgxftdxxgt
关于 t 的二次三项式的判别式,0? 即
bababa dxxgdxxfdxxgxf )()(])()([ 222
2009-7-25 20
xx u
duufuxdudttf
xf
00 0
)()())((
,)(]3[ 证明连续设例
][证 分析：右边是一次积分，左边是两次积分，
左边算出一次。
x uu
x
dttfuddttfu
0 00 0
))(()(左右 x duufux
0
)()(
xx duuufdttfx 00 )()(
2009-7-25 21
].,[
)1(
bax
A
的某个区间自变量依赖于不均匀变化的整体量
n
i
iAA
1
,.)2(?即具有可加性
iii
i
xfA
A
)(
)3(
求得近似值可“以不变代变”部分量可以应用定积分计算的量有如下特点,
1、微元分析法四、定积分应用
2009-7-25 22
x
)(xA
xx
A?
x
y
a b
)( xfy?
o
xa dttfxA )()(
dxxfAd )(?
)()( xfxA
],[)( baCxf?
dxxfAdA )(
)0()()( xxodxxfA
关键是部分量的近似
)()( bAdttfb
a
2009-7-25 23
局部量的近似值写出“不变代变”的小区间取具有代表性第一步：分割区间
,],,[
],,[
xxx
ba
xxfA )(
得定积分就是整体量无限积累上微元在区间第二步：令
,
],[,0 bax
ba dxxfA )(
微分近似
)()( xxxfA要求：
微元分析法
2009-7-25 24
2,几何应用
（一）平面图形的面积
1,直角坐标系下平面图形面积的计算
Axfy
xbxax
所围曲边梯形的面积曲线轴和连续及由直线
)(
,)1(
根据定积分的定义和几何意义知
ba dxxfA )(
2009-7-25 25
],[)()(,baxxfxg先看
Abxax
xgyxfy
所围成的面积和直线由曲线
,
)(),()2(
ba dxxgxfA )]()([
面积微元
x
dxx?
dxxgxfdA )]()([
ba dxxgxfA )()(
xa b
y
o
)( xfy?
)( xgy?
2009-7-25 26
x
y
xy?
1?xy
2?x
o
2
1
)1,1(
.
2,1]1[
A
xxyxy
所围成的面积及直线求由曲线例
xy
yx 1
解方程组
1
1
2
1
x
x
[解 ]
21 )1( dxxxA
2ln
2
3)ln
2
( |
2
1
2
xx
2009-7-25 27
满足设连续函数 )(),( yy
],[)()(0 dcyyy
Adycy
yxyx
所围成的面积和直线求由曲线
,
),(),(
面积公式：
d
c
dyyyA )]()([
x
)( yx
c
d
)( yx
y
o
y
dyy?
2009-7-25 28
.
1,5]2[ 22
A
yxyx
的面积所围成求由曲线例
2
2
1
5
yx
yx
2
1
2
1
2
1
y
y
解方程组
[解 ]
o x
y
21 yx
25yx?
2
1
0
22
1 )51(22 dyyyAA
3
2)
3
4(2 | 21
0
3 yy
21
1A
2
1
0
2 )41(2 dyy
2009-7-25 29
面积微元：小圆扇形 ddA )(
2
1 2?
d
面积微元
)(
o
2,极坐标系下平面图形面积的计算
.
,
)(
所围成的面积及射线求曲线
dA )(
2
1 2
2009-7-25 30
.
)c o s1(]3[
A
a
的面积所围成求心脏线例
利用对称性 12 AA?
0
42
2
c o s4 da
o
20 42 c o s8
td ta
[解 ]
0 2)]c o s1([ da
2
2
3 a
0 2 )(212 d
2009-7-25 31
所围面积。
求星形线：例 ]2,0[
s i n
c o s
]4[
3
3
t
tay
tax
a
3.参数方程下求图形面积
2009-7-25 32
[解 ]利用对称性
14 AA a y d x
0
4
dtttata )s i n(c o s3s i n4 2
0
2
3
20 242 )s i n1(s i n12
dxtta
)
22
1
4
3
6
5
22
1
4
3(12 2 a
2
8
3 a
作业
P176 习题 6.3
16,19,20.
P182 习题 6.4
3(2)(6),5,7(3)(7),9,
P186 习题 6.5
4,5,25,
预习,P198— 210
2009-7-25 2
第十八讲 定积分 （三）
一、定积分的换元积分法
（例题）
二、定积分的分部积分法三、综合例题
2009-7-25 3
dtttfdxxf
ba
bta
Ct
txbaCxf
b
a
)()]([)(
,)(,)()3(;)()2(;],[)()1(
),(],,[)(
1
则有满足三个条件：
作变换设函数一、定积分的换元积分法定理 1,(定积分的换元积分法 )
2009-7-25 4
有为偶函数时当则上连续在对称区间若例
,)()1(
,],[)(]1[
xf
aaxf?
aa a dxxfdxxf 0 )(2)(
0)(
a
a
dxxf
有为奇函数时当,)()2( xf
aaa a dxxfdxxfdxxf 00 )()()(
为偶函数知又由作变换对于右端第一项
)(
:,
xf
tx
[证 ](1)
)()()( tftfxf
2009-7-25 5
0 00 )()()( a aa dttfdttfdxxf
为什麽?
a dxxf0 )(
定积分与积分变量所用字母无关！
aaa a dxxfdxxfdxxf 00 )()()(
aaa dxxfdxxfdxxf 000 )(2)()(
0
2
1
2
1 2
2
1
a r c s i n dx
x
xx
［例如］,
从而由换元公式，得
2009-7-25 6
[例 2]
3
3
2
9
1)3( dxxx计算
2
2
2s i n1
c o ss i n?
dxx xx计算
2
3
3
2
9
1)3( dxxx
[例 3]
[解 ]
[解 ]
3
3
2
9
13 dxx
3 3 29 dxx
20 2s i n1 c o s2
dxxx?
2
2
2s i n1
c o ss i n?
dxx xx
2
9
2009-7-25 7
可以证明：利用定积分的换元法,
TTa
a
dxxfdxxf
a
Txf
0
)()(
,,
)(
有则对任意的实数函数为周期的连续是一个以若
[证 ]
Ta
T
T
a
Ta
a
dxxfdxxfdxxf
dxxf
)()()(
)(
0
0
（ 1） （ 2） （ 3） 证 (1)+(3)=0
2009-7-25 8
20 220 2 s i n4s i n x d xx d x
)()()(
00
为正整数ndxxfndxxf
TnT
aTaT dtTtfdxxf 0 )()(
000 )()()( aaa dxxfdxxfdttf
dtdxTtx,作变换
TTaa dxxfdxxf 0 )()(
所以例如
2009-7-25 9
分部积分公式则有有连续的一阶导数上在区间设函数
),(),(
],[)(),(
xvxu
baxvxu
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxu
dxxvxu
)()()()(
)()(
|
二、定积分的分部积分法定理 2,(定积分的分部积分法 )
2009-7-25 10
)()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu
得公式利用是连续函数从而左端函数由条件上式右端是连续
,.])()([
,
LNxvxu
|)()(])()([ baba xvxudxxvxu
b
a
b
a
b
a
dxxvxudxxvxu
dxxvxuxvxu
)()()()(
)]()()()([
而右端的积分为
[证 ] 利用牛顿 — 莱布尼兹公式
2009-7-25 11
|)()(
)()()()(
b
a
b
a
b
a
xvxu
dxxvxudxxvxu
于是得到
b
a
b
a
b
a
dxxvxuxvxu
dxxvxu
)()()()(
)()(
|
])([)()()()]([)( | b
a
b
a
b
a
xudxvxvxuxvdxu
成分部积分公式也可以写注意 ][
即
2009-7-25 12
411 lnln
4
1
dx
x
xdx
x
x原式
4
4
1
ln
]1[ dx
x
x
计算例
)2ln2(
11
4
1
4
1|?
dx
x
xxx
|| 411
4
1 )4ln2()4ln2( xxxxxx
22ln6
)2ln2(
4
1
4
1|?
dx
x
xxx
[解 ]
2009-7-25 13
dxxx n1
0
2 )1(]2[ 计算例
dxxx
n
xx
n
dxxx
nn
n
1
0
1
1
0
21
1
0
2
)1(
1
2
)1(
1
1
)1(
|
dxx
nn
xx
nn
n
n
1
0
2
1
0
2
)1(
)2)(1(
2
)1(
)2)(1(
2
|
[解 ]
)3)(2)(1(
2)1(
)3)(2)(1(
2 | 1
0
3
nnnxnnn
n
2009-7-25 14
)(s i n]3[ 2
0
NndxxI nn
计算：例
21
2
00
dxI 1c o ss i n | 2
0
2
01
xdxxI
[解 ]
20 1 )c o s(s i n
xxdI nn
dxxxn n2
0
22 c o ss i n)1(
20 1201 )( s i n)c o s(s i n)c o s( |
xdxxx nn
dxxxn n2
0
22 )s i n1(s i n)1(
nnn InInI )1()1( 2
2009-7-25 15
得到时当,2 kn?
2!!)2(
!!)12(s i n2
0
2
2
k
kdxxI k
k
)2(1 2 nI
n
nI
nn
得到时当,12 kn
1
!!)12(
!!)22(s i n2
0
12
12
k
kdxxI k
k
2009-7-25 16
例如：
32
5
2246
135s i n2
0
6
dxx
35
161
357
246s i n2
0
7
dxx?
)(s i nc o s 2
0
2
0
Nndxxdxx nn
可以证明
dxx? 4
0
8 2c o s
tx?2令
dtt? 2
0
8c o s
2
1?
1 5 3 610522468 135721
2009-7-25 17
三、综合例题并作出几何解释。证明
，且上二阶可导非负在设
),
2
()(
0)(,],0[)(
0
a
afdxxf
xfaxf
a
[证明 ]
处展成泰勒公式在将
2
)( axxf?
)2,0(,)2(!2 )()2)(2()2()( 2 aaxfaxafafxf
,0)( xf? )2)(2()2()( axafafxf
两边积分
dxaxafafdxxf aa )]2)(2()2([)(
00
[例 1]
2009-7-25 18
)2()2)(2(21)2(
0
2 aafaxafaaf
a
dxxfa
0
)(
几何解释：
下凸，)(,0)( xfxf
,
)
2
)(
2
()
2
(
2
)(
在曲线的下方处的切线在
a
x
a
f
a
fY
a
xf
梯形面积曲边梯形的面积时当
,]),0[(0 axY
即
2009-7-25 19
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
baCxgxf
)()(])()([
],,[)(),(]2[
222
证明设例柯西 -许瓦兹不等式
[证 ]
为参变量研究 txtgxf,)]()([ 2?
0)()()(2)( 222 xgtxgxtfxf
两边积分
0)()()(2)( 222 b
a
b
a
b
a
dxxfdxxgxftdxxgt
关于 t 的二次三项式的判别式,0? 即
bababa dxxgdxxfdxxgxf )()(])()([ 222
2009-7-25 20
xx u
duufuxdudttf
xf
00 0
)()())((
,)(]3[ 证明连续设例
][证 分析：右边是一次积分，左边是两次积分，
左边算出一次。
x uu
x
dttfuddttfu
0 00 0
))(()(左右 x duufux
0
)()(
xx duuufdttfx 00 )()(
2009-7-25 21
].,[
)1(
bax
A
的某个区间自变量依赖于不均匀变化的整体量
n
i
iAA
1
,.)2(?即具有可加性
iii
i
xfA
A
)(
)3(
求得近似值可“以不变代变”部分量可以应用定积分计算的量有如下特点,
1、微元分析法四、定积分应用
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x
)(xA
xx
A?
x
y
a b
)( xfy?
o
xa dttfxA )()(
dxxfAd )(?
)()( xfxA
],[)( baCxf?
dxxfAdA )(
)0()()( xxodxxfA
关键是部分量的近似
)()( bAdttfb
a
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局部量的近似值写出“不变代变”的小区间取具有代表性第一步：分割区间
,],,[
],,[
xxx
ba
xxfA )(
得定积分就是整体量无限积累上微元在区间第二步：令
,
],[,0 bax
ba dxxfA )(
微分近似
)()( xxxfA要求：
微元分析法
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2,几何应用
（一）平面图形的面积
1,直角坐标系下平面图形面积的计算
Axfy
xbxax
所围曲边梯形的面积曲线轴和连续及由直线
)(
,)1(
根据定积分的定义和几何意义知
ba dxxfA )(
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],[)()(,baxxfxg先看
Abxax
xgyxfy
所围成的面积和直线由曲线
,
)(),()2(
ba dxxgxfA )]()([
面积微元
x
dxx?
dxxgxfdA )]()([
ba dxxgxfA )()(
xa b
y
o
)( xfy?
)( xgy?
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x
y
xy?
1?xy
2?x
o
2
1
)1,1(
.
2,1]1[
A
xxyxy
所围成的面积及直线求由曲线例
xy
yx 1
解方程组
1
1
2
1
x
x
[解 ]
21 )1( dxxxA
2ln
2
3)ln
2
( |
2
1
2
xx
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满足设连续函数 )(),( yy
],[)()(0 dcyyy
Adycy
yxyx
所围成的面积和直线求由曲线
,
),(),(
面积公式：
d
c
dyyyA )]()([
x
)( yx
c
d
)( yx
y
o
y
dyy?
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.
1,5]2[ 22
A
yxyx
的面积所围成求由曲线例
2
2
1
5
yx
yx
2
1
2
1
2
1
y
y
解方程组
[解 ]
o x
y
21 yx
25yx?
2
1
0
22
1 )51(22 dyyyAA
3
2)
3
4(2 | 21
0
3 yy
21
1A
2
1
0
2 )41(2 dyy
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面积微元：小圆扇形 ddA )(
2
1 2?
d
面积微元
)(
o
2,极坐标系下平面图形面积的计算
.
,
)(
所围成的面积及射线求曲线
dA )(
2
1 2
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.
)c o s1(]3[
A
a
的面积所围成求心脏线例
利用对称性 12 AA?
0
42
2
c o s4 da
o
20 42 c o s8
td ta
[解 ]
0 2)]c o s1([ da
2
2
3 a
0 2 )(212 d
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所围面积。
求星形线：例 ]2,0[
s i n
c o s
]4[
3
3
t
tay
tax
a
3.参数方程下求图形面积
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[解 ]利用对称性
14 AA a y d x
0
4
dtttata )s i n(c o s3s i n4 2
0
2
3
20 242 )s i n1(s i n12
dxtta
)
22
1
4
3
6
5
22
1
4
3(12 2 a
2
8
3 a
