2009-7-25 1
作业
P227 习题 8.1
1(2)(4)(6)(8),4,
P236 习题 8.2
1(2)(4)(6),
2009-7-25 2
第二十一讲简单常微分方程 (一 )
一、微分方程的基本概念二、一阶常微分方程
2009-7-25 3
十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量 需要寻求函数关系 的问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要根据具体问题的条件和某些物理定律，首先得到一个或几个含有未知函数的导数的关系式，即 微分方程,然后由微分方程和某些已知条件把未知函数求出来。
一、微分方程的基本概念
2009-7-25 4
.
.,
.,
,,]1[
求小球的运动规律松手使小球摆动小球拉开一个小角度将线的长度等于线的另一端系在墙上系在线的一端的小球一个质量为例
l
m
o
重力切向分力
[解 ] ).( tv?设小球线速度为
s i n,1 mgF?切向分力
vF2:阻力
2009-7-25 5
根据牛顿第二定律,得到
s inmgv
dt
dvm
td
dltv)(注意到从而有
0s i n2
2
l
g
dt
d
mdt
d
所以有时当,s i n,1
02
2
l
g
dt
d
mdt
d
,)( 00tt 1
0
tdt
d
微分方程初始条件定解条件定解问题
2009-7-25 6
定义 1,含有未知函数的导数 的方程称为 微分方程,
未知函数是 一元函数,含有未知函数的 导数的微分方程称为 常微分方程,
未知函数是 多元函数,含有未知函数的偏导数 的微分方程称为 偏微分方程,
02
2
lgdtdmdtd
例如
2009-7-25 7
阶微分方程的一般形式n
)1(0),,,,(?n
n
dx
yd
dx
dyyxF?
例如 0
2
2
l
g
dt
d
mdt
d 二阶未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶,
定义 2,( 微分方程的阶 )
2009-7-25 8
般形式阶线性常微分方程的一n
1
1
10 )()( n
n
n
n
dx
ydxa
dx
ydxa
)()()(1 xfyxadxdyxa nn
未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分方程称为 线性微分方程,
定义 3,( 线性与非线性 )
不是线性方程的称为是一阶非线性微分方程例如 ydxdy 2?
非线性微分方程
2009-7-25 9
任意常数的解个独立的的包含阶常微分方程 nn )1(
),,,( 1 nCCxfy
.)1(
)(,
)1()(
的一个解是微分方程则称函数使方程成为恒等式后代入方程如果把函数
xyy
xyy
定义 4,( 微分方程的 解 )
称为微分方程的 通解,
微分方程的 通解：
2009-7-25 10
Aku
dt
du一阶微分方程例如,
是一个解函数 kte
k
Atu)(
单参数函数族对于任意常数,C
kte
k
Atu C)(
是微分方程的通解
)( AC k eAC k eku
dt
du ktkt
2009-7-25 11
微分方程的 特解：
一个常微分方程的 满足定解条件的解 称为微分方程的 特解通解有时也写成 隐式形式
0],,,),(,[ 21?nCCCxyx
称为微分方程的 通积分
2009-7-25 12
1)0(
:
u
Aku
dt
du
一阶微分方程定解问题例如
kte
k
Atu C)(通解
1C)0( kAu kA1C
kte
k
A
k
Atu )(1)(特解
2009-7-25 13
11
1
1
0
0
0
0
0),,,,(
n
xx
n
n
xx
xx
n
n
y
dx
yd
y
dx
dy
yy
dx
yd
dx
dy
yxF
阶微分方程的定解问题n
有 n个定解条件
2009-7-25 14
定义 5,( 积分曲线 与积分曲线族 )
.
),(
0)()(
方程的一条积分曲线它的图形称为该常微分隐式解或是一元函数都是一个常微分方程的每一个解
yx,Fxfy
积分曲线族
.
),(
称为积分曲线族平面上的一族曲线，
对应于通解
xy
Cxfy?
2009-7-25 15
二,一阶常微分方程的初等积分法
所谓初等解法,就是用不定积分的方法求解常微分方程,
初等解法只适用于若干非常简单的一阶常微分方程,以及某些特殊类型的二阶常微分方程,
2009-7-25 16
(一 ) 变量可分离型
(三 ) 一阶线性方程
)()( ygxf
dx
dy?
dyygdxxf )()(?或
)()( xqyxp
dx
dy
(二 ) 可化为 可分离变量
(五 ) 全微分方程 0),(),( dyyxNdxyxM
(四 ) 伯努利 (Bernoulli)方程
(六 ) 积分因子
2009-7-25 17
解方程例 ]1[
dx
dyyxy 22 31)2(
dxxfdyyg )()(?
两边积分
dxxfdyyg )()( 通解分离变量
xy
dx
dy 2)1(?
)()( yxf
dx
dy
这两个方程的共同特点是变量可分离型
(一 ) 分离变量法
2009-7-25 18
dxxdy
y
2
1
(1) [解 ]
dxxdyy 2
1
1
2ln Cxy
xy
dx
dy 2?
两边积分分离变量
1
2
1
2 CxCx eeey
21,0 xC eeyy 时当
21,0 xC eeyy 时当即
2009-7-25 19
则有记,C 1Ce
)0(2 CCey x
!0 也是方程的解注意,?y
(分离变量时,这个解被丢掉了 !)
也可以等于零故 C
于是得到方程通解
)(2 RCCey x
xy
dx
dy 2?
2009-7-25 20
22 3
1 x
dx
y
dyy
C
x
y
3
112
2
1 2
(2) [解 ]
分离变量两端积分,得
C
x
y
3
1
1 2
通解
dx
dyyxy 22 31
!1,12 也是方程的解即注意：
yy
奇异解
2009-7-25 21
(二 ) 可化为 可分离变量
x
y
x
y
dx
dy t a n]2[例
yx
yx
dx
dy
]3[ 例这两个方程的共同特点是 什麽?
)(
x
y
g
dx
dy
可化为 齐次型方程
x
y
x
y
dx
dy
1
1
2009-7-25 22
求解方法
x
y
u?令
x
uug
dx
du?
)(
dx
duxu
dx
dy 代入得到这是什麽方程？
可分离变量方程！
)(
x
y
g
dx
dy
齐次型方程
xuy?即
2009-7-25 23
:]2[ 的解例
x
y
u?令
uu
dx
du
xu t a n
分离变量
x
dx
duu?c o t
两端积分
1||ln|s i n|ln Cxu
代入得到则,
dx
duxu
dx
dy
x
y
x
y
dx
dy
t a n
2009-7-25 24
取指数并且脱去绝对值
)0(s i n 1 CCxxeu C
由此又得到
)0()a r c s i n ( CCxxy
0
,0:
C
y
所以可以有也是原方程的一个解注意通解 )R()a r c s i n ( CCxxy
2009-7-25 25
yx
yx
dx
dy
]3[ 例
][解
,
x
y
u?令
u
u
xuu
1
1
'则
'',xuuyuxy
u
uu
xu
1
21
'
2
即
dx
x
du
uu
u 1
21
1
2
凑微分
2009-7-25 26
dx
xuu
uud
1
21
)12(
2
1
2
2
两端积分
1
2 lnln)12ln (
2
1
Cxuu
得
2
2 12
x
C
uu
通解
Cxxyy 22 2
2009-7-25 27
的通解。求例 )co s (']4[ yxy
][解,uyx令 ''1 uy
uu c o s1'则 dxu
du?
c o s1
dxu
du
c o s1
dx
u
du
2
s i n2
2
Cx
yx
2
c o t通解
2009-7-25 28
)1()()(
)()( 1)1(1)(
xfyxa
yxayxay
n
n
nn
阶线性微分方程n
)2(0)(
)()( 1)1(1)(
yxa
yxayxay
n
n
nn?
非齐次齐次
(三 ) 一阶线性微分方程
2009-7-25 29
线性方程的性质一 )(
则它们的任意线性组合的解是线性齐次方程与如果
,
)2()()( 21 xyxy
.,,)2( 21 为任意常数其中的解都是方程 CC
)()( 2211 xyCxyCy
性质 1：
必有零解。线性齐次方程 )2(
性质 2：
。为任意常数的解亦是则的解是线性齐次方程若
)(( 2 ))(
,)2()(
CxCyy
xyy
性质 3：
2009-7-25 30
.)2()()(
,)1()(),(
21
21
的解是齐次方程则的解是非齐次方程如果
xyxy
xyxy
.)1()()(
,)2()(
)1()(
*
*
的解是非齐次方程则的一个解是齐次方程的一个解，是非齐次方程如果
xyxy
xy
xy
性质 4：
性质 5：
2009-7-25 31
0)()()( xcyxb
dx
dyxa
0)( yxp
dx
dy)()( xqyxp
dx
dy
(1) 如何解齐次方程？
非齐次齐次可分离型！
0)( yxp
dx
dy
标准形式：
什麽类型？
一阶线性微分方程
2009-7-25 32
分离变量
dxxp
y
dy
)(
dxxpcey )(
是 p(x)一个原函数不是不定积分！
齐次通解解得注意：
齐次通解的结构：
)(,
0)(')(
1
1
xCyy
yxpyxy
则通解零解一个非的是设
2009-7-25 33
)1()()( xqyxp
dx
dy
(2)用常数变异法解非齐次方程假定 (1)的解具有形式
)()( 1 xyxCy?
将这个解代入 (1),经计算得到
)2(0)( yxp
dx
dy
齐次方程的对应于 )1(
)()2( 1)( xCyCey dxxp的通解为
2009-7-25 34
）的解，（是 2)(1 xy?
0)()()()(')( 11 xyxCxpxyxC
)(')()()( 11 xyxCxyxC
)()()()( 1 xqxyxCxp
化简得到
)()()( 1 xqxyxC
dxxpexqxC )()()(即
2009-7-25 35
积分
CexqxC
dxxp
)(
)()(
从而得到非齐次方程 (1)的通解
))((
)()(
dxexqCey
dxxpdxxp
非齐次通解
))((
0
00
)()(
x
x
dxxpdxxp
dxexqCey
x
x
x
x
或
2009-7-25 36
非齐次通解的结构：
的通解为则的一个解是通解的是设
)1(
,)1()()(')(
,)2(0)('
xqyxpyxy
yxpyy
)()( xyyxy
000 )( yCyxy 得给特解
))((
0
00
)(
0
)(
x
x
dxxpdxxp
dxexqyey
x
x
x
x
非齐次特解
2009-7-25 37
的通解。求例 )1(1']5[ yy
][解 的一个解易知 )2(0' yy
.)1(1)( 的一个解是观察出 xy
1)()1( xCexy的通解
,)(1 xexy
.)2( xCey 的通解
2009-7-25 38
dyeyyd xxdy y2]6[例这是线性方程吗？
是关于函数 x=x(y) 的一阶线性方程！
[解 ]
变形为：
yye
y
x
dy
dx
第一步,先求解齐次方程
0
y
x
dy
dx
齐次方程通解是
)R( CCyx
ydyCex
y
dy
x
dx?
2009-7-25 39
第二步,用常数变异法解非齐次方程假设非齐次方程的解为 yyCx )(?
代入方程并计算化简
yyeyCyCyCy )()()(
yeyC )(
积分得
CedyeyC yy)(
通解 yyeCyx
作业
P227 习题 8.1
1(2)(4)(6)(8),4,
P236 习题 8.2
1(2)(4)(6),
2009-7-25 2
第二十一讲简单常微分方程 (一 )
一、微分方程的基本概念二、一阶常微分方程
2009-7-25 3
十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量 需要寻求函数关系 的问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要根据具体问题的条件和某些物理定律，首先得到一个或几个含有未知函数的导数的关系式，即 微分方程,然后由微分方程和某些已知条件把未知函数求出来。
一、微分方程的基本概念
2009-7-25 4
.
.,
.,
,,]1[
求小球的运动规律松手使小球摆动小球拉开一个小角度将线的长度等于线的另一端系在墙上系在线的一端的小球一个质量为例
l
m
o
重力切向分力
[解 ] ).( tv?设小球线速度为
s i n,1 mgF?切向分力
vF2:阻力
2009-7-25 5
根据牛顿第二定律,得到
s inmgv
dt
dvm
td
dltv)(注意到从而有
0s i n2
2
l
g
dt
d
mdt
d
所以有时当,s i n,1
02
2
l
g
dt
d
mdt
d
,)( 00tt 1
0
tdt
d
微分方程初始条件定解条件定解问题
2009-7-25 6
定义 1,含有未知函数的导数 的方程称为 微分方程,
未知函数是 一元函数,含有未知函数的 导数的微分方程称为 常微分方程,
未知函数是 多元函数,含有未知函数的偏导数 的微分方程称为 偏微分方程,
02
2
lgdtdmdtd
例如
2009-7-25 7
阶微分方程的一般形式n
)1(0),,,,(?n
n
dx
yd
dx
dyyxF?
例如 0
2
2
l
g
dt
d
mdt
d 二阶未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶,
定义 2,( 微分方程的阶 )
2009-7-25 8
般形式阶线性常微分方程的一n
1
1
10 )()( n
n
n
n
dx
ydxa
dx
ydxa
)()()(1 xfyxadxdyxa nn
未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分方程称为 线性微分方程,
定义 3,( 线性与非线性 )
不是线性方程的称为是一阶非线性微分方程例如 ydxdy 2?
非线性微分方程
2009-7-25 9
任意常数的解个独立的的包含阶常微分方程 nn )1(
),,,( 1 nCCxfy
.)1(
)(,
)1()(
的一个解是微分方程则称函数使方程成为恒等式后代入方程如果把函数
xyy
xyy
定义 4,( 微分方程的 解 )
称为微分方程的 通解,
微分方程的 通解：
2009-7-25 10
Aku
dt
du一阶微分方程例如,
是一个解函数 kte
k
Atu)(
单参数函数族对于任意常数,C
kte
k
Atu C)(
是微分方程的通解
)( AC k eAC k eku
dt
du ktkt
2009-7-25 11
微分方程的 特解：
一个常微分方程的 满足定解条件的解 称为微分方程的 特解通解有时也写成 隐式形式
0],,,),(,[ 21?nCCCxyx
称为微分方程的 通积分
2009-7-25 12
1)0(
:
u
Aku
dt
du
一阶微分方程定解问题例如
kte
k
Atu C)(通解
1C)0( kAu kA1C
kte
k
A
k
Atu )(1)(特解
2009-7-25 13
11
1
1
0
0
0
0
0),,,,(
n
xx
n
n
xx
xx
n
n
y
dx
yd
y
dx
dy
yy
dx
yd
dx
dy
yxF
阶微分方程的定解问题n
有 n个定解条件
2009-7-25 14
定义 5,( 积分曲线 与积分曲线族 )
.
),(
0)()(
方程的一条积分曲线它的图形称为该常微分隐式解或是一元函数都是一个常微分方程的每一个解
yx,Fxfy
积分曲线族
.
),(
称为积分曲线族平面上的一族曲线，
对应于通解
xy
Cxfy?
2009-7-25 15
二,一阶常微分方程的初等积分法
所谓初等解法,就是用不定积分的方法求解常微分方程,
初等解法只适用于若干非常简单的一阶常微分方程,以及某些特殊类型的二阶常微分方程,
2009-7-25 16
(一 ) 变量可分离型
(三 ) 一阶线性方程
)()( ygxf
dx
dy?
dyygdxxf )()(?或
)()( xqyxp
dx
dy
(二 ) 可化为 可分离变量
(五 ) 全微分方程 0),(),( dyyxNdxyxM
(四 ) 伯努利 (Bernoulli)方程
(六 ) 积分因子
2009-7-25 17
解方程例 ]1[
dx
dyyxy 22 31)2(
dxxfdyyg )()(?
两边积分
dxxfdyyg )()( 通解分离变量
xy
dx
dy 2)1(?
)()( yxf
dx
dy
这两个方程的共同特点是变量可分离型
(一 ) 分离变量法
2009-7-25 18
dxxdy
y
2
1
(1) [解 ]
dxxdyy 2
1
1
2ln Cxy
xy
dx
dy 2?
两边积分分离变量
1
2
1
2 CxCx eeey
21,0 xC eeyy 时当
21,0 xC eeyy 时当即
2009-7-25 19
则有记,C 1Ce
)0(2 CCey x
!0 也是方程的解注意,?y
(分离变量时,这个解被丢掉了 !)
也可以等于零故 C
于是得到方程通解
)(2 RCCey x
xy
dx
dy 2?
2009-7-25 20
22 3
1 x
dx
y
dyy
C
x
y
3
112
2
1 2
(2) [解 ]
分离变量两端积分,得
C
x
y
3
1
1 2
通解
dx
dyyxy 22 31
!1,12 也是方程的解即注意：
yy
奇异解
2009-7-25 21
(二 ) 可化为 可分离变量
x
y
x
y
dx
dy t a n]2[例
yx
yx
dx
dy
]3[ 例这两个方程的共同特点是 什麽?
)(
x
y
g
dx
dy
可化为 齐次型方程
x
y
x
y
dx
dy
1
1
2009-7-25 22
求解方法
x
y
u?令
x
uug
dx
du?
)(
dx
duxu
dx
dy 代入得到这是什麽方程？
可分离变量方程！
)(
x
y
g
dx
dy
齐次型方程
xuy?即
2009-7-25 23
:]2[ 的解例
x
y
u?令
uu
dx
du
xu t a n
分离变量
x
dx
duu?c o t
两端积分
1||ln|s i n|ln Cxu
代入得到则,
dx
duxu
dx
dy
x
y
x
y
dx
dy
t a n
2009-7-25 24
取指数并且脱去绝对值
)0(s i n 1 CCxxeu C
由此又得到
)0()a r c s i n ( CCxxy
0
,0:
C
y
所以可以有也是原方程的一个解注意通解 )R()a r c s i n ( CCxxy
2009-7-25 25
yx
yx
dx
dy
]3[ 例
][解
,
x
y
u?令
u
u
xuu
1
1
'则
'',xuuyuxy
u
uu
xu
1
21
'
2
即
dx
x
du
uu
u 1
21
1
2
凑微分
2009-7-25 26
dx
xuu
uud
1
21
)12(
2
1
2
2
两端积分
1
2 lnln)12ln (
2
1
Cxuu
得
2
2 12
x
C
uu
通解
Cxxyy 22 2
2009-7-25 27
的通解。求例 )co s (']4[ yxy
][解,uyx令 ''1 uy
uu c o s1'则 dxu
du?
c o s1
dxu
du
c o s1
dx
u
du
2
s i n2
2
Cx
yx
2
c o t通解
2009-7-25 28
)1()()(
)()( 1)1(1)(
xfyxa
yxayxay
n
n
nn
阶线性微分方程n
)2(0)(
)()( 1)1(1)(
yxa
yxayxay
n
n
nn?
非齐次齐次
(三 ) 一阶线性微分方程
2009-7-25 29
线性方程的性质一 )(
则它们的任意线性组合的解是线性齐次方程与如果
,
)2()()( 21 xyxy
.,,)2( 21 为任意常数其中的解都是方程 CC
)()( 2211 xyCxyCy
性质 1：
必有零解。线性齐次方程 )2(
性质 2：
。为任意常数的解亦是则的解是线性齐次方程若
)(( 2 ))(
,)2()(
CxCyy
xyy
性质 3：
2009-7-25 30
.)2()()(
,)1()(),(
21
21
的解是齐次方程则的解是非齐次方程如果
xyxy
xyxy
.)1()()(
,)2()(
)1()(
*
*
的解是非齐次方程则的一个解是齐次方程的一个解，是非齐次方程如果
xyxy
xy
xy
性质 4：
性质 5：
2009-7-25 31
0)()()( xcyxb
dx
dyxa
0)( yxp
dx
dy)()( xqyxp
dx
dy
(1) 如何解齐次方程？
非齐次齐次可分离型！
0)( yxp
dx
dy
标准形式：
什麽类型？
一阶线性微分方程
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分离变量
dxxp
y
dy
)(
dxxpcey )(
是 p(x)一个原函数不是不定积分！
齐次通解解得注意：
齐次通解的结构：
)(,
0)(')(
1
1
xCyy
yxpyxy
则通解零解一个非的是设
2009-7-25 33
)1()()( xqyxp
dx
dy
(2)用常数变异法解非齐次方程假定 (1)的解具有形式
)()( 1 xyxCy?
将这个解代入 (1),经计算得到
)2(0)( yxp
dx
dy
齐次方程的对应于 )1(
)()2( 1)( xCyCey dxxp的通解为
2009-7-25 34
）的解，（是 2)(1 xy?
0)()()()(')( 11 xyxCxpxyxC
)(')()()( 11 xyxCxyxC
)()()()( 1 xqxyxCxp
化简得到
)()()( 1 xqxyxC
dxxpexqxC )()()(即
2009-7-25 35
积分
CexqxC
dxxp
)(
)()(
从而得到非齐次方程 (1)的通解
))((
)()(
dxexqCey
dxxpdxxp
非齐次通解
))((
0
00
)()(
x
x
dxxpdxxp
dxexqCey
x
x
x
x
或
2009-7-25 36
非齐次通解的结构：
的通解为则的一个解是通解的是设
)1(
,)1()()(')(
,)2(0)('
xqyxpyxy
yxpyy
)()( xyyxy
000 )( yCyxy 得给特解
))((
0
00
)(
0
)(
x
x
dxxpdxxp
dxexqyey
x
x
x
x
非齐次特解
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的通解。求例 )1(1']5[ yy
][解 的一个解易知 )2(0' yy
.)1(1)( 的一个解是观察出 xy
1)()1( xCexy的通解
,)(1 xexy
.)2( xCey 的通解
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dyeyyd xxdy y2]6[例这是线性方程吗？
是关于函数 x=x(y) 的一阶线性方程！
[解 ]
变形为：
yye
y
x
dy
dx
第一步,先求解齐次方程
0
y
x
dy
dx
齐次方程通解是
)R( CCyx
ydyCex
y
dy
x
dx?
2009-7-25 39
第二步,用常数变异法解非齐次方程假设非齐次方程的解为 yyCx )(?
代入方程并计算化简
yyeyCyCyCy )()()(
yeyC )(
积分得
CedyeyC yy)(
通解 yyeCyx
