2009-7-25 1
P95 习题 4.2
7(4) (5) (6) (10) (11) (12).
8(2) (4) (5) (8) (11) (12),9(错 ),
作业预习,P96— 111
2009-7-25 2
第九讲 洛必达法则一、未定型极限二,型未定式的洛必达法则
”,00
三,型未定式的洛必达法则
”,
四、其它未定型极限
2009-7-25 3
回忆极限的四则运算法则,
0 )(lim,)(lim BBxgAxf 且如果
B
A
xg
xf?
)(
)(lim则不存在则如果
)(
)(l i m,0,0
xg
xfAB
0 AB如果四则运算法则不能用！
一、未定型极限
2009-7-25 4
称为未定型极限
)(
)(l i m
xg
xf
x
型”“
0
0
0)(l i m,0)(l i m)1( xgxf如果
)(l i m,)(l i m)2( xgxf如果称为未定型极限
)(
)(l i m
xg
xf
x
型”“
”未定型, )]()([lim xgxfx
”未定型, 0)]()([lim xgxfx
”未定型“”“”,00)( 01)]([lim
xg
x
xf

2009-7-25 5
且满足条件：内有定义邻域的某空心在点和设函数
,),(
)()(
0?aU
axgxf
则有或 ),(
)(
)(l i m)3(
A
xg
xf
ax
)(
)(
)(lim
)(
)(lim


或A
xg
xf
xg
xf
axax;0)(,)()(,),()2( 0 xgxgxfaU 且存在和内在?;0)(lim,0)(lim)1(

xgxf
axax
定理 1：
二,型未定式的洛必达法则”“
0
0
2009-7-25 6
A
xg
xf
ax
)(
)(lim首先证明：
时当时当
ax
axxf
xF
0
)(
)(
时当时当
ax
axxg
xG
0
)(
)(
].,[
,),[
xa
xaa
闭区间考虑内任取一点在区间
[证 ]
利用柯西定理证明,引入辅助函数
2009-7-25 7
使得内至少存在一点于是在件上满足柯西定理条在和
,),(,
],[)()(
xa
xaxGxF
aax?
)(
)(
)(
)()(
)()( xa
G
F
aGxG
aFxF


于是有时又当因为
),()(),()(
,,0)(,0)(
xgxGxfxF
axaGaF


)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)( xa
g
f
G
F
xG
xF
xg
xf


2009-7-25 8
得取极限在上式两边则令
,
,, aax?
A
g
f
xg
xf
aax
)(
)(
lim
)(
)(
lim
A
xg
xf
ax
)(
)(
l i m
同理可证
A
xg
xf
xg
xf
axax
)(
)(
l i m
)(
)(
l i m于是证明了
2009-7-25 9
的证明
)(
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
axax
只需证
G
xg
xf?
)(
)(就有
,0,0,0 GG axG 只要
G
xg
xf
)(
)(
就有

)(
)(l i m
xg
xf
ax
,||0,0,0 GG axG 只要
2009-7-25 10
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
g
f
aGxG
aFxF
xG
xF
xg
xf

利用柯西定理，有之间与介于 ax? G
g
f
)(
)(
于是有时又当因为
),()(),()(
,,0)(,0)(
xgxGxfxF
axaGaF


G
xg
xf?
)(
)(就有
,0,0,0,GG axG 只要于是证毕
2009-7-25 11
且满足条件：不妨设定义内有在和设函数
),0(
),()()(

c
cxgxf;0)(lim,0)(lim)1(

xgxf
xx
则有或 ),(
)(
)(
lim)3(

A
xg
xf
x
)(
)(
)(lim
)(
)(lim

或A
xg
xf
xg
xf
xx;0)(,)()(,),()2( xgxgxfc 且存在和内在定理 2：
2009-7-25 12
且满足条件：内有定义邻域的某空心在点和设函数
,),(
)()(
0?aU
axgxf
则有或 ),(
)(
)(l i m)3(
A
xg
xf
ax
)(
)(
)(lim
)(
)(lim

或A
xg
xf
xg
xf
axax;0)(,)()(,),()2( 0 xgxgxfaU 且存在和内在?;)(l i m,)(l i m)1( xgxf axax
定理 3：
三,型未定式的洛必达法则”“
2009-7-25 13
”“”,0)1(
”“”“”,0001)2(
”型”或“化为“
0
0
”型”或“化为“取对数
0
0
,
四、其他未定型极限
2009-7-25 14
x
ee xx
x c o s1
2
l i m]1[
0?

求极限例
x
ee
x
ee xx
x
xx
x s i n
lim
c o s1
2
lim
00

”型“
0
0
x
ee xx
x c o s
lim
0
2?
[解 ]
2009-7-25 15
x
x
x
1
2 a r c t a nl i m]2[?

求极限例
”型这是“
0
0

x
x
x
1
2 a r c t a nlim
1
1
l i m
2
2
x
x
x
2
2
1
1
1
l i m
x
x
x?

[解 ]
2009-7-25 16
)(l i m]3[ Nn
e
x
x
n
x

求极限例,“
x
n
x e
x
l i m
x
n
x e
nx 1
l i m

x
n
x e
xnn 2)1(
lim

0lim
xx e
n ！
.
,
,][
无穷小量更高阶的是比的无穷大量更高阶是比时：当小结
nx
nx
xe
xex


[解 ]
2009-7-25 17
)0(lnlim]4[?


x
x
x
求极限例
x
x
x
ln
l i m 1
1
l i m?
x
x
x
0
1
lim
xx
.ln
)0(,][
更高阶的无穷大量是比时：当小结
x
xx
[解 ]
2009-7-25 18
依次升高下列无穷大量的阶时：当小结,][x
,ln x ),0(x )1(?aa x
2009-7-25 19
)1(lim]5[ 22
0
xc t g
xx
求极限例
xx
xxxxc tg
x xx 22
222
0
2
20 s i n
c o ss i nl i m)1(l i m

xx
xxx
x
xxx
xx s i n
c o ss i nlim
s i n
c o ss i nlim
200


[解 ]
等价代换
30
c o ss i nlim2
x
xxx
x

2020 3
s i nlim2
3
s i nc o sc o slim2
x
xx
x
xxxx
xx

3
2
3
lim2 2
2
0

x
x
x
2009-7-25 20
x
x
x ln1
2
0
)( s i nl i m]6[?

求极限例,型“
00
得取对数令,,)( s i n ln1
2
xxy?
)l n ( s i n
ln1
2l i mlnl i m
00
x
x
y
xx?


[解 ]
2c o sl i m
s i n
l i m2
00


x
x
x
xx
x
x
x
x 1
s i n
c o s
0
lim2


2ln1
2
0
)( s i nlim

ex x
x
x
x
x ln1
)l n ( s i nlim2
0?


”,
2009-7-25 21
)]11l n ([lim]7[ 2
x
xx
x


求极限例,,
x
x
x
xx x
xx
1
1
2 )1l n (1l i m)]11l n ([l i m

tx?1令
20
)1l n (l i m
t
tt
t

t
t
t 2
1
l i m 1
1
0
2
1
)1(2
1
lim
0
tt
[解 ]
2009-7-25 22
x
x
n
xx
x
n
n
aaa
aaa
1
21
0
21
)(l i m
,,,,]8[

求极限为正常数设例
x
naaa
n
aaa
x
n
xx
x
x
x
n
xx
x
ln)ln(
lim
)ln(lim
21
0
1
21
0


x
n
xx
n
x
n
xx
x aaa
aaaaaa



21
2211
0
lnlnln
lim
[解 ]
2009-7-25 23
n
n
n
x
aaa
n
aaa
1
21
21
0
)l n (
lnlnln
lim

n
n
x
x
n
xx
x
aaa
n
aaa
21
1
21
0
)(lim

故
2009-7-25 24
然后再用洛必达法则。类型之一两种其他未定型要先化成这法则型才可直接使用洛必达或：注意
,
,
0
0
1
A
xg
xf
A
xg
xf

)(
)(
lim,
)(
)(
lim
2
时当
：洛必达法则只说明注意
2009-7-25 25
.
.
)(
)(
lim
,
)(
)(
lim
使用洛必达法则只能说明这时不能不存在并不能断定不存在时当
xg
xf
xg
xf

不存在！而 )c o s1(l i ms i nl i m x
x
xx
xx


1)s i n1(l i ms i nl i m
x
x
x
xx
xx
例如
2009-7-25 26
1
1
c o slim][
0
x
x
x
显然有例
0
1
s i nl i m
)1(
)( c o sl i m
1
c o sl i m
000



x
x
x
x
x
xxx
这显然是一个错误的结果 !
注意 3：只有未定式极限才能使用罗必达法则；非未定式极限使用极限运算法则处理,有些未定式极限,使用多次罗必达法则之后,已经成为非未定式极限,就不能再使用罗必达法则了,
2009-7-25 27
)1
s i n
1(l i m]9[
220 xxx例
[解 ]
)1
s i n
1(lim
220 xxx xx
xx
x 22
22
0 s i n
s i nlim

通分
0
0
4
22
0
s i nlim
x
xx
x

x
xx
x
xx
x
s i ns i nl i m
30

等价代换
30
s i nl i m2
x
xx
x

极限等于 2
20 3
c o s1lim2
x
x
x

3
1?

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思考题：下列极限是否存在？
是否可用洛必达法则？
为什麽？若有极限，
求出其极限值。
x
x
x
x s i n
s i n
l i m
12
0?