2009-7-25 1
欢迎你！
清华园的新主人
2009-7-25 2
2009-7-25 3
微积分
E-mail,
xylu@math.tsinghua.edu.cn
讲课教师 陆小援
Tel,62782327
2009-7-25 4
参考书目：
1.,高等数学教程,施学瑜清华大学出版社
3.,一元微积分,萧树铁 主编高教出版社
4.,微积分和数学分析引论,
第一卷第一、二分册 柯朗 科学出版社
2.,高等数学,同济大学数学教研室主编（第四版）
高教出版社
2009-7-25 5
作业
P11习题 1.2
2,4.
P24习题 1.3
1,3,4,8,10.
复习,P1— 37
预习,P38— 46
2009-7-25 6
答疑时间 地点,
理科楼 数学系 1111
交作业时间,星期一星期五 课后
2009-7-25 7
一元函数微积分 无穷级数多元函数微积分 常微分方程
2009-7-25 8
引言
（一）上大学学什麽？
珍惜时光
三个方面
学会自学尝试研究性的学习方法：
提出问题、研究问题、解决问题注重持续性学习：
有计划地安排学习做人之道,治学之方,健身之术学会向书本、老师、周围学
2009-7-25 9
（二）学数学学什麽？
数学的基本特征抽象性演绎性广泛性
（研究对象）
（论证方法）
（应用）
假设 结论logic
理性思维
2009-7-25 10
关于学习数学的要求
1) 搞清概念，侧重思路。
2) 适当做题，掌握基本。
3) 广泛联想，多方应用。
2009-7-25 11
（三）这个学期学什麽？
一元函数微分学：
利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质极限及其理论导数与微分及其理论微分学应用
一元函数积分学：
不定积分定积分概念及其理论积分学应用? 数项级数
2009-7-25 12
第一讲 实数与函数一、实数的重要性质二、函数
2009-7-25 13
因此了解掌握实数的基本性质对于学习微积分是必要的基础,
一、实数的重要性质连续模型 建立在实数基础之上
（一）实数集的有序性
（二）有理数的稠密性
（四）实数集的界与确界
（三）实数集的连续性
2009-7-25 14
予备知识
1.实数集数的全体实数集：有理数、无理有理数到实数数、整数、人类对数的认识由自然
N自然数集
Q有理数集
Z整数集
R实数集常用集合符号：
2009-7-25 15
2,邻域
0,0Rx设
0x0x0x
O
x
),(}{),( 0000 xxxxxxU
000 xxxxx
).,(
}{
0
00
xU
xxxx
记作邻域的称为点数集
邻域的空心点称为数集
0
00 ),(}0{
x
xNxxx
}{),( 000 xxx
2009-7-25 16
(一 ) 实数集的有序性
abbabaRba,,,,对任意即有且仅有一个式子成立,
在做加法和乘法运算时,保持下列关系,
dbcadcba,
cabacba,0
从数轴上看,实数是从小到大依序自左至右排列的
O
x
4? 1? 2 5
2009-7-25 17
（二）有理数的稠密性有理数集是实数集的一个子集有理数在实数集中是稠密的即在任意两个不同的实数之间,都有无穷多个有理数有理点含有无穷多个或任意非空开区间 ),( ba
这一点具有非常重要的意义
2009-7-25 18
x
P
0 1
O
x
Rx? 数轴上的点 P
（三）实数域的连续性
—— 实数域 R 布满数轴有空档！
一一对应问：有理数域布满数轴了吗？
2121,,rrQrr设
nrr 10
2
1取这是一个无理数
21,rrrn有足够大时当
2009-7-25 19
..
,,
,.
的一个上界是并且称有上界则称集合有使得如果是一个数集设
Sb
SbxSx
RbS
定义：
(四 )实数集的界与确界
.
.
,,,
下界的一个是并且称有下界则称集合有使得如果
SaS
axSxRa
1,有界集 存在对任意一个
2009-7-25 20
例如：
（ 1）自然数集合
},,,3,2,1{ nN?
.1 的一个下界是 N
.,1 的下界都是任意一个 Na?
.无上界N
（ 2）真分数集
.1,0 是一个上界是一个下界
,,0 下界都是任意一个?a
.,1 上界都是任意一个?b
2009-7-25 21
定义：
S
S
s u p
.
记为的最小上界称为上确界数集
S
S
i n f
.
记为的最大下界称为下确界数集例如：
}3,2,1s u p {)1( 3
}3,2,1i n f { 1
)2,1s u p [)2( 2
)2,1i n f [ 1
}3,2,1m a x {?
}3,2,1m i n {?
没有最大值！
)2,1m i n [?
2,集合的确界注意确界和最大值的区别
2009-7-25 22
3,实数的连续性刻画 —— 确界公理
（ 1）如果非空实数集合有上界,则必有上确界,
（ 2）如果非空实数集合有下界,则必有下确界,
[定理 ]
bxSx
bxSxSb
**,,0)2(
,)1(s u p
使得有
axSx
axSxSa
**,,0)2(
,)1(i n f
使得有
2009-7-25 23
:][ 充分性证
.,cxbc
b
且不是最小上界，则有反证法：假设
,0,0 cbcb取?
. bc则
.,是上界矛盾与 ccx
,,,0 bxSx 使?
S u p Sb
成立）、（ )2(1 S u p Sb
,,,bxSxSb 有的上界是?
,0是最小上界，b
又因为的上不是 Sb
., bxSx 使界，
S u p Sb)2()1(,
:必要性
2009-7-25 24
有理数集与实数集性质的区别
}2,|{ 21 xRxxS
2s u p 1?S在实数范围中的上确界但是,在有理数范围中实数集是连续的,有理数集不是连续的
（ 1）如果实数集的子集有上（下）界,
则必有上（下）确界,
但是,有理数集的子集有界,则未必有确界,
[例如 ]
}2,|{ 22 xQxxS
没有上确界
2S
1S
2009-7-25 25
(2) 想象一个点在实数轴上作连续运动在每一个时刻这个点所处的位置都是一个实数,但不一定是有理数
x
O
2009-7-25 26
二、函数
(一 ) 函数概念定义,.为非空数集设 RD?
.
).(,
!,,
上的一个函数在为定义则称记作与之对应实数按确定的规则如果
D
fxfyy
fDx
RDf?:或记
.,,定义域—因变量—自变量— Dyx
存在唯一值域—}),(,{ DxxfyRyy )(Df
)( fR或
2009-7-25 27
函数的两个要素：
2.定义域 D
1.对应规则 f
x
xyxy 2, 与例
12)( 2 xxf例：
表示对应规则 f 12)( 2f
112)1( 2f
1)12(2)12( 2 ttf
1)1(2)1( 2
xx
f
表示的是不同的函数定义域不同，
2009-7-25 28
（二） 函数的代数属性
1,奇函数与偶函数称为奇函数),()(,xfxfDx
称为偶函数),()(,xfxfDx
2,单调函数
)(
),)()((
)()(,,
21
212121
单调非减函数为单调增函数称 fxfxf
xfxfxxDxx
)(
),)()((
)()(,,
21
212121
单调非增函数为单调减函数称 fxfxf
xfxfxxDxx
2009-7-25 29
3,周期函数为周期函数称 f
xfTxfDxT )()(,0
的周期是则称有最小周期若 fTTf,
[注意 ] 并不是所有的函数都有最小周期例如：考察狄里克雷函数
为无理数当为有理数当
x
x
x
,0
,1
)(?
2009-7-25 30
4,有界函数定义：
使得对如果存在一个实数,)1( M
,)(,MxfDx 成立每一个
.上是有上界的在则称函数 Df
使得对如果存在一个实数,)2( N
NxfDx )(,成立每一个
.上是有下界的在则称函数 Df
2009-7-25 31
.
,)3(
数有界函称为数既有上界又有下界的函使得对于即存在一个正数,0?M
.)(,MxfDx 成立每一个
[例 4] ),( xeyey xx 和
00),,( xx eex 和有因为
.,
,),(,
无上界有下界上在和所以 xx eyey
2009-7-25 32
[问题 ] 如何定义无界函数？
.,)(
,,0
*
*
上无界在则称函数使得总存在如果对任意的正数
DfMxf
DxM
[例 ]
.),0()0,(1 上是无界的在
x
y
.
),[],(,0
有界的上是在对任意的
则有取对任意的,
2
1,0 *
M
xM
MM
x xx
21
*
11?
x
2009-7-25 33
（三） 复合函数与反函数定义：
这时在集合的交集非空定义域的与的值域并且和假定给了两个函数
,)(
)(),(
)(
fD
fgRgxgu
ufy
,)}()(),({ 上且 fDxggDxxD
.
)),((
构成的复合函数与这个函数为由则称可以确定一个函数
gf
xgfy?
1,复合函数
2009-7-25 34
例,s i n)(,)()1( xxgueufy u
则有
xexgf s i n))((? ),(x
,)(,)()2( 2xxguuufy
则有
xxxgf 2))(( ),(x
gf?记作
))((:)( xgfxgf即
2009-7-25 35
,1)(,ln)()4( 2 xxguuufy
则有 ),1l n ())(( 2 xxgf
).,1()1,(x
.1)(,a r cs i n)()3( xexguuf
所以,不能构成复合函数 ) ),(( xgf
],1,1[)(fD ),,1()(gR
.)()(gRfD?
因为
2009-7-25 36
2,反函数在函数定义中，要求函数是单值的，即
)()( 2121 xfxfxx
)()(,,2121 xfxfxx 不一定有但是
)()( 2121 xfxfxx如果之间就有如下关系与值域则在定义域 )( DfD
)(,!),( xfyDxDfy 使得
.)(
,)(
的反函数称为函数新的对应关系到个由这是一
xfy
DDf
)()(1 Dfyyfx记作
2009-7-25 37
.
)(
1
1
Dff
Dff
f
的定义域的值域是；的值域的定义域是函数反函数由定义可以知道：
2009-7-25 38
[例 2]
xxfy s i n)(设严格单调则 ]1,1[]
2
,
2
[,f
]1,1[a r c s i n)(1 yyyfx
有反函数
[例 3] ),0(),( xey
是严格单调函数习惯上,记 ),0(ln xxy
),0(ln)(1 yyyfx
有反函数
2009-7-25 39
（四） 初等函数基本初等函数
（ 2）幂函数
（ 5）三角函数
（ 3）指数函数
（ 6）反三角函数
（ 4）对数函数
（ 1）常量函数
xy?
)0( aay x xey?
)( 常数cy?
xy al o g? xxy el o g:ln
e是无理数
xxxx c o t,t a n,c o s,s i n
xa r cxxx c o t,a r c t a n,a r c c o s,a r c s i n
都是周期函数
2009-7-25 40
初等函数基本初等函数经过 有限次 的四则运算及复合运算所得到的函数,称为初等函数,
双曲函数双曲正弦
)(
2
1s i n h xx eex
双曲余弦
)(
2
1c o s h xx eex
双曲正切
xx
xx
ee
ee
x
xx
c o s h
s i n ht a n h
),(x
2009-7-25 41
反双曲正弦 )1l n (a r c s i n 2xxhx
反双曲余弦 )1l n (a r c c o s 2 xxhx
反双曲正切
x
xhx
1
1ln
2
1a r c t a n
),(x
),1[x
)1,1(x
2009-7-25 42
非初等函数的例子
（ 1）符号函数
.0,1
,0,0
,0,1
s g n
x
x
x
xy
O
y
x
1
1?
xxx s g n?
[注意 ]
2009-7-25 43
（ 2）取整函数
),1(,Zkkxkkxy
25.2?[例如 ] 35.2
O
y
x
1
1?
2 3 4
2?3?
1
2
3
1?
2?
3?
[注意 ]
)(1 Rxxxx
2009-7-25 44
函数表示的其他分类：
（ 1）显函数
（ 2）隐函数
（ 3）参数式函数
)( xfy?
确定的函数由方程 0),(?yxF
确定的函数由参数方程
)(
)(
tyy
txx
欢迎你！
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2009-7-25 2
2009-7-25 3
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参考书目：
1.,高等数学教程,施学瑜清华大学出版社
3.,一元微积分,萧树铁 主编高教出版社
4.,微积分和数学分析引论,
第一卷第一、二分册 柯朗 科学出版社
2.,高等数学,同济大学数学教研室主编（第四版）
高教出版社
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作业
P11习题 1.2
2,4.
P24习题 1.3
1,3,4,8,10.
复习,P1— 37
预习,P38— 46
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交作业时间,星期一星期五 课后
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一元函数微积分 无穷级数多元函数微积分 常微分方程
2009-7-25 8
引言
（一）上大学学什麽？
珍惜时光
三个方面
学会自学尝试研究性的学习方法：
提出问题、研究问题、解决问题注重持续性学习：
有计划地安排学习做人之道,治学之方,健身之术学会向书本、老师、周围学
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（二）学数学学什麽？
数学的基本特征抽象性演绎性广泛性
（研究对象）
（论证方法）
（应用）
假设 结论logic
理性思维
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关于学习数学的要求
1) 搞清概念，侧重思路。
2) 适当做题，掌握基本。
3) 广泛联想，多方应用。
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（三）这个学期学什麽？
一元函数微分学：
利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质极限及其理论导数与微分及其理论微分学应用
一元函数积分学：
不定积分定积分概念及其理论积分学应用? 数项级数
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第一讲 实数与函数一、实数的重要性质二、函数
2009-7-25 13
因此了解掌握实数的基本性质对于学习微积分是必要的基础,
一、实数的重要性质连续模型 建立在实数基础之上
（一）实数集的有序性
（二）有理数的稠密性
（四）实数集的界与确界
（三）实数集的连续性
2009-7-25 14
予备知识
1.实数集数的全体实数集：有理数、无理有理数到实数数、整数、人类对数的认识由自然
N自然数集
Q有理数集
Z整数集
R实数集常用集合符号：
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2,邻域
0,0Rx设
0x0x0x
O
x
),(}{),( 0000 xxxxxxU
000 xxxxx
).,(
}{
0
00
xU
xxxx
记作邻域的称为点数集
邻域的空心点称为数集
0
00 ),(}0{
x
xNxxx
}{),( 000 xxx
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(一 ) 实数集的有序性
abbabaRba,,,,对任意即有且仅有一个式子成立,
在做加法和乘法运算时,保持下列关系,
dbcadcba,
cabacba,0
从数轴上看,实数是从小到大依序自左至右排列的
O
x
4? 1? 2 5
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（二）有理数的稠密性有理数集是实数集的一个子集有理数在实数集中是稠密的即在任意两个不同的实数之间,都有无穷多个有理数有理点含有无穷多个或任意非空开区间 ),( ba
这一点具有非常重要的意义
2009-7-25 18
x
P
0 1
O
x
Rx? 数轴上的点 P
（三）实数域的连续性
—— 实数域 R 布满数轴有空档！
一一对应问：有理数域布满数轴了吗？
2121,,rrQrr设
nrr 10
2
1取这是一个无理数
21,rrrn有足够大时当
2009-7-25 19
..
,,
,.
的一个上界是并且称有上界则称集合有使得如果是一个数集设
Sb
SbxSx
RbS
定义：
(四 )实数集的界与确界
.
.
,,,
下界的一个是并且称有下界则称集合有使得如果
SaS
axSxRa
1,有界集 存在对任意一个
2009-7-25 20
例如：
（ 1）自然数集合
},,,3,2,1{ nN?
.1 的一个下界是 N
.,1 的下界都是任意一个 Na?
.无上界N
（ 2）真分数集
.1,0 是一个上界是一个下界
,,0 下界都是任意一个?a
.,1 上界都是任意一个?b
2009-7-25 21
定义：
S
S
s u p
.
记为的最小上界称为上确界数集
S
S
i n f
.
记为的最大下界称为下确界数集例如：
}3,2,1s u p {)1( 3
}3,2,1i n f { 1
)2,1s u p [)2( 2
)2,1i n f [ 1
}3,2,1m a x {?
}3,2,1m i n {?
没有最大值！
)2,1m i n [?
2,集合的确界注意确界和最大值的区别
2009-7-25 22
3,实数的连续性刻画 —— 确界公理
（ 1）如果非空实数集合有上界,则必有上确界,
（ 2）如果非空实数集合有下界,则必有下确界,
[定理 ]
bxSx
bxSxSb
**,,0)2(
,)1(s u p
使得有
axSx
axSxSa
**,,0)2(
,)1(i n f
使得有
2009-7-25 23
:][ 充分性证
.,cxbc
b
且不是最小上界，则有反证法：假设
,0,0 cbcb取?
. bc则
.,是上界矛盾与 ccx
,,,0 bxSx 使?
S u p Sb
成立）、（ )2(1 S u p Sb
,,,bxSxSb 有的上界是?
,0是最小上界，b
又因为的上不是 Sb
., bxSx 使界，
S u p Sb)2()1(,
:必要性
2009-7-25 24
有理数集与实数集性质的区别
}2,|{ 21 xRxxS
2s u p 1?S在实数范围中的上确界但是,在有理数范围中实数集是连续的,有理数集不是连续的
（ 1）如果实数集的子集有上（下）界,
则必有上（下）确界,
但是,有理数集的子集有界,则未必有确界,
[例如 ]
}2,|{ 22 xQxxS
没有上确界
2S
1S
2009-7-25 25
(2) 想象一个点在实数轴上作连续运动在每一个时刻这个点所处的位置都是一个实数,但不一定是有理数
x
O
2009-7-25 26
二、函数
(一 ) 函数概念定义,.为非空数集设 RD?
.
).(,
!,,
上的一个函数在为定义则称记作与之对应实数按确定的规则如果
D
fxfyy
fDx
RDf?:或记
.,,定义域—因变量—自变量— Dyx
存在唯一值域—}),(,{ DxxfyRyy )(Df
)( fR或
2009-7-25 27
函数的两个要素：
2.定义域 D
1.对应规则 f
x
xyxy 2, 与例
12)( 2 xxf例：
表示对应规则 f 12)( 2f
112)1( 2f
1)12(2)12( 2 ttf
1)1(2)1( 2
xx
f
表示的是不同的函数定义域不同，
2009-7-25 28
（二） 函数的代数属性
1,奇函数与偶函数称为奇函数),()(,xfxfDx
称为偶函数),()(,xfxfDx
2,单调函数
)(
),)()((
)()(,,
21
212121
单调非减函数为单调增函数称 fxfxf
xfxfxxDxx
)(
),)()((
)()(,,
21
212121
单调非增函数为单调减函数称 fxfxf
xfxfxxDxx
2009-7-25 29
3,周期函数为周期函数称 f
xfTxfDxT )()(,0
的周期是则称有最小周期若 fTTf,
[注意 ] 并不是所有的函数都有最小周期例如：考察狄里克雷函数
为无理数当为有理数当
x
x
x
,0
,1
)(?
2009-7-25 30
4,有界函数定义：
使得对如果存在一个实数,)1( M
,)(,MxfDx 成立每一个
.上是有上界的在则称函数 Df
使得对如果存在一个实数,)2( N
NxfDx )(,成立每一个
.上是有下界的在则称函数 Df
2009-7-25 31
.
,)3(
数有界函称为数既有上界又有下界的函使得对于即存在一个正数,0?M
.)(,MxfDx 成立每一个
[例 4] ),( xeyey xx 和
00),,( xx eex 和有因为
.,
,),(,
无上界有下界上在和所以 xx eyey
2009-7-25 32
[问题 ] 如何定义无界函数？
.,)(
,,0
*
*
上无界在则称函数使得总存在如果对任意的正数
DfMxf
DxM
[例 ]
.),0()0,(1 上是无界的在
x
y
.
),[],(,0
有界的上是在对任意的
则有取对任意的,
2
1,0 *
M
xM
MM
x xx
21
*
11?
x
2009-7-25 33
（三） 复合函数与反函数定义：
这时在集合的交集非空定义域的与的值域并且和假定给了两个函数
,)(
)(),(
)(
fD
fgRgxgu
ufy
,)}()(),({ 上且 fDxggDxxD
.
)),((
构成的复合函数与这个函数为由则称可以确定一个函数
gf
xgfy?
1,复合函数
2009-7-25 34
例,s i n)(,)()1( xxgueufy u
则有
xexgf s i n))((? ),(x
,)(,)()2( 2xxguuufy
则有
xxxgf 2))(( ),(x
gf?记作
))((:)( xgfxgf即
2009-7-25 35
,1)(,ln)()4( 2 xxguuufy
则有 ),1l n ())(( 2 xxgf
).,1()1,(x
.1)(,a r cs i n)()3( xexguuf
所以,不能构成复合函数 ) ),(( xgf
],1,1[)(fD ),,1()(gR
.)()(gRfD?
因为
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2,反函数在函数定义中，要求函数是单值的，即
)()( 2121 xfxfxx
)()(,,2121 xfxfxx 不一定有但是
)()( 2121 xfxfxx如果之间就有如下关系与值域则在定义域 )( DfD
)(,!),( xfyDxDfy 使得
.)(
,)(
的反函数称为函数新的对应关系到个由这是一
xfy
DDf
)()(1 Dfyyfx记作
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.
)(
1
1
Dff
Dff
f
的定义域的值域是；的值域的定义域是函数反函数由定义可以知道：
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[例 2]
xxfy s i n)(设严格单调则 ]1,1[]
2
,
2
[,f
]1,1[a r c s i n)(1 yyyfx
有反函数
[例 3] ),0(),( xey
是严格单调函数习惯上,记 ),0(ln xxy
),0(ln)(1 yyyfx
有反函数
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（四） 初等函数基本初等函数
（ 2）幂函数
（ 5）三角函数
（ 3）指数函数
（ 6）反三角函数
（ 4）对数函数
（ 1）常量函数
xy?
)0( aay x xey?
)( 常数cy?
xy al o g? xxy el o g:ln
e是无理数
xxxx c o t,t a n,c o s,s i n
xa r cxxx c o t,a r c t a n,a r c c o s,a r c s i n
都是周期函数
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初等函数基本初等函数经过 有限次 的四则运算及复合运算所得到的函数,称为初等函数,
双曲函数双曲正弦
)(
2
1s i n h xx eex
双曲余弦
)(
2
1c o s h xx eex
双曲正切
xx
xx
ee
ee
x
xx
c o s h
s i n ht a n h
),(x
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反双曲正弦 )1l n (a r c s i n 2xxhx
反双曲余弦 )1l n (a r c c o s 2 xxhx
反双曲正切
x
xhx
1
1ln
2
1a r c t a n
),(x
),1[x
)1,1(x
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非初等函数的例子
（ 1）符号函数
.0,1
,0,0
,0,1
s g n
x
x
x
xy
O
y
x
1
1?
xxx s g n?
[注意 ]
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（ 2）取整函数
),1(,Zkkxkkxy
25.2?[例如 ] 35.2
O
y
x
1
1?
2 3 4
2?3?
1
2
3
1?
2?
3?
[注意 ]
)(1 Rxxxx
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函数表示的其他分类：
（ 1）显函数
（ 2）隐函数
（ 3）参数式函数
)( xfy?
确定的函数由方程 0),(?yxF
确定的函数由参数方程
)(
)(
tyy
txx
