2009-7-25 1
作业
18,20.
复习 P220—245
P236 习题 8.2
P241 习题 8.3
3,5,6,7,12,16.
第二十三讲常微分方程 （三）
二、常微分方程应用举例一、可降阶微分方程
2009-7-25 3
型（一） )('' xfy?
逐次积分一,高阶可降阶微分方程积分一次
1)( Cdxxfy
再积分一次
21))(( CxCdxdxxfy
2009-7-25 4
)( xppy令
py
变量替换原方程变形成为
y不显含未知函数型（二） ),( yxfy
),( pxfp
一阶
2009-7-25 5
1]1[ 2 yxyx求解例特点是：不显含 y[解 ]
)( xppy令 12 xpp
2
11
xpxp
xxxCp ln11
xxxCy ln11 积分,得通解
2
2
1 ln2
1ln CxxCy
2009-7-25 6
[解 2] 注意到方程的特殊性
12 yxyx 1)( yyxx
)''( xy
1)''(?xyx
xxy
1)''(?
1ln' Cxxy
x
xx
Cy ln11
积分,得通解
2
2
1 ln2
1ln CxxCy
2009-7-25 7
x不显含自变量型（三） ),( yyfy
)( yppy令
dy
dpp
dx
dy
dy
dp
dx
dp
dx
yd 2
2
),( pyf
dy
dpp? 一阶变量替换原方程变形成为
2009-7-25 8
01]2[ 2 yyy求解例特点是：不显含 x[解 ]
)( yppy令方程化为 01 2 ppyp
分离变量
y
dy
p
pdp
21
积分
1
2 ln
2
1ln)1l n (
2
1 Cyp
2009-7-25 9
122 )1( Cyp
y
yC
p
2
1
y
yC
dx
dy 21即分离变量解得 1222 )( CyCx
2009-7-25 10
列方程的常用方法
(1) 利用物理定律列方程
(2) 利用导数的几何意义列方程
(3) 利用微元分析法列方程二、常微分方程应用举例
2009-7-25 11
30
,.60
,,20
,20,100]1[
C
C
CC
降为物体的温度才能问还需经过多长时间知其已降为测量物体的温度分钟后经过的房间内放在的物体有一个例
[解 ] 取时间 t为自变量，物体的温度 T(t)为 未知函数,
由牛顿冷却定律知
),0()20( 比例常数 kTkdtdT
初始条件
1 0 0)0(?T
2009-7-25 12
另外还有一个条件,60)20(?T
可用来确定比例常数 k
分离变量，得 k d t
T
dT
)20(
两边积分，得
1)20l n ( CktT
ktCeT 20 ktCeT 20
1 0 0)0(?T 代入上式，得 80?C
kteT 8020
60)20(?T 代入，得 2ln
20
1?k
2009-7-25 13
teT )2ln( 2018020
将 T=30 代入，解出 60?t
即，还需再经过
)(402060 分钟
物体的温度即可降为 C?30
2009-7-25 14
[例 2] 已知曲线上任一点 P(x,y)处的切线在
x轴上的截距等于点 P的横坐标的一半,
且过定点 (2,1),求此曲线的方程,
[解 ] )( xyy?设曲线方程为方程为处的切线则该曲线上任一点 ),( yxP
)( xXyyY
轴上的截距为得切线在令 xY,0?
y
y
xx A
2009-7-25 15
由题意得
2
x
y
yx?
又已知曲线过点 (2,1),于是得到定解问题
1)2(
02
y
yyx
分离变量求得通解 2Cxy?
4
1,1)2( Cy 得由
2
4
1 xy?所求曲线方程为
2009-7-25 16
[例 3] 试设计一反光镜,使它能将点光源发出的光反射成为平行光
[解 ]
轴绕设反光镜镜面由曲线 xxyy )(?
旋转而成的点光原位于坐标原点 O,由点 O发出的光线经反射都成为平行于 x轴的平行光
o
y
x
由光的反射定律
),( yxM
T
A
2009-7-25 17
于是有
xAO
ytg
OMAO?
xOM
y
22
yxx
y
根据导数的几何意义?tgy
得到微分方程
22 yxx
yy
一阶齐次变形为
)1(1)( 2
22
y
x
y
x
y
yxx
dy
dx
2009-7-25 18
uyxu
y
x 即令,
分离变量
dy
duyu
dy
dx
代入 (1)式，得
12 u
dy
duy
y
dy
u
du?
12
2009-7-25 19
yCuu 12
22 )(1 uyCu
)(21 22 yuCyC xCyC 222
)1(
2
1 2
C
Cyx
Cyuu lnln)1l n ( 2
积分，得取指数
2009-7-25 20
.
,
,
,
2,10
,1 0 0]4[
的规律变化试求容器内盐量随时间是均匀的一时刻都假设容器中的溶液在每流出并以同样的速度使盐水净水注入容器升的均匀速度把今以每分钟公斤其中含盐升盐水一容器内盛有例升2
升2
2009-7-25 21
[解 ] 列方程，确定初始条件已知，在任何一段时间内容器内含盐改变量 =流进盐量 –流出盐量若溶液的浓度不变，则流出盐量 =浓度?流出的溶液量问题中，溶液的浓度始终在变，如何解决?
考虑微小时间间隔 dt 内的变化情况设时刻 t 时溶液的含盐量为 )( tQQ?
2009-7-25 22
当时间从 t 变到 t+dt 时，容器内的含盐量由 Q 变到 Q+dQ，因而容器内含盐改变量为
dQ
从容器内流出的溶液量为 2dt
在时间 dt 内盐水的浓度近似看作不变，
看作是 t 时刻的盐水浓度
100
)( tQ
所以流出的盐量为
dttQ 2
100
)(?
2009-7-25 23
于是有
dttQtdQ 2
1 0 0
)()(
初始条件
10)( 0ttQ
分离变量
50
dt
Q
dQ
50
tCeQ
5010
teQ
通解特解
28
2009-7-25 24
o
h
dhh?
h
10
r
,,5.0
,60
10,]5[
2
多少时间需要问水全部流完的小孔为漏斗下面有一个截面积顶角为高为斗有一盛满水的圆锥形漏例
cmS
cm
[解 ] 此问题涉及水面高度随时间的变化规律根据水利学定律，流出速度
)/(26.0 scmghv?
2009-7-25 25
考虑任意时刻 t,任取时间区间 [t,t+dt]
在 dt 时间内，水面高度的改变为 dh
dhrdV 2
3
30
h
tghr
取时间 t 为自变量，水面高度 h(t) 为未知函数，并取坐标系如图漏斗内水的体积改变量为
dhhdh
h
dV 22
3
)
3
(
2009-7-25 26
下落水的体积 = 流出水的体积于是列出微分方程
dtghdhh 23.0
3
2
初始条件 10)0(?h
另方面,时间 dt 内从小孔流出水的体积等于以 S 为底，以 (vdt) 为高的小圆柱体积
dthgdtgh 23.0)26.0(5.0?
2009-7-25 27
经整理得
dhh
g
dt 2
3
29.0
解得
Ch
g
t 2
5
5
2
29.0
2
5
100314.0,10)0( Ch 得由
Ch 2
5
0314.0
)10(0314.0 2
5
2
5
ht
当水流完时,h = 0
)(10100314.0 2
5
st
2009-7-25 28
平面上单参数曲线族是设 0),,(,0),,( 21 cyxGcyxF
则称两条曲线正交互相垂直如果在交点处切线是两条曲线设
,
,,21 LL
,0),,(
0),,(
2
1
所有曲线正交都与曲线族中的每条曲线如果曲线族
CyxG
CyxF
.则称两曲线族互相正交正交轨线问题
2009-7-25 29
.
0]7[ 22
曲线族的正交求曲线族例 cxyx
则有正交在其交点和设曲线
,
)()( xgyxfy
)(
1)(
xf
xg
两个曲线族表示上述和用 ),(),( cxgycxfy
思路：
2009-7-25 30
C消去常数
Cxyx 22
x
yxC 22
xy
xy
dx
dy
2
22?
方程这是已知曲线族的微分
:),( 的切线斜率首先计算 cxfy?
y
xC
dx
dy
2
2
2009-7-25 31
:方程是从而正交曲线族的微分
22
2
xy
xy
dx
dy
022 cyyx
这就是正交曲线族！
通解
2009-7-25 32
xo
y
022 cyyx
022 cxyx
39
2009-7-25 33
,:1 0 下落的物体以初速质量等于练习 vm
假设空气阻力 ;)1( 与速度成正比
.)2( 与速度平方成正比
.试求物体运动规律
:定律列方程用 N ew t o n
[解 ]
0)0(
)1(
vv
kvmg
dt
dv
m
0
2
2
)0(,0)0( vSS
dt
dS
kmg
dt
Sd
m或者
2009-7-25 34
0
2
)0(
)2(
vv
kvmg
dt
dv
m
0
2
2
2
)0(,0)0(
)(
vSS
dt
dS
kmg
dt
Sd
m或者
2009-7-25 35
%.102,50
,
:2
小时后损失克已知初始质量等于现存数量成正比度与其某放射性物质的衰变速练习;4)1( 小时后该物质的质量求
.)2( 一半的时间该物质衰变到原有质量列方程
km
dt
dm
0 km
dt
dm即
)( 半衰期
[解 ]
2009-7-25 36
ktCetm)(
初值条件 50)0(?m 50?C
45
10
)0()0()2( mmm
0 5 3.09.0ln
2
1k
T?设半衰期
tetm 053.050)(
2550)( 0 5 3.0 TeTm则
T由此确定通解
作业
18,20.
复习 P220—245
P236 习题 8.2
P241 习题 8.3
3,5,6,7,12,16.
第二十三讲常微分方程 （三）
二、常微分方程应用举例一、可降阶微分方程
2009-7-25 3
型（一） )('' xfy?
逐次积分一,高阶可降阶微分方程积分一次
1)( Cdxxfy
再积分一次
21))(( CxCdxdxxfy
2009-7-25 4
)( xppy令
py
变量替换原方程变形成为
y不显含未知函数型（二） ),( yxfy
),( pxfp
一阶
2009-7-25 5
1]1[ 2 yxyx求解例特点是：不显含 y[解 ]
)( xppy令 12 xpp
2
11
xpxp
xxxCp ln11
xxxCy ln11 积分,得通解
2
2
1 ln2
1ln CxxCy
2009-7-25 6
[解 2] 注意到方程的特殊性
12 yxyx 1)( yyxx
)''( xy
1)''(?xyx
xxy
1)''(?
1ln' Cxxy
x
xx
Cy ln11
积分,得通解
2
2
1 ln2
1ln CxxCy
2009-7-25 7
x不显含自变量型（三） ),( yyfy
)( yppy令
dy
dpp
dx
dy
dy
dp
dx
dp
dx
yd 2
2
),( pyf
dy
dpp? 一阶变量替换原方程变形成为
2009-7-25 8
01]2[ 2 yyy求解例特点是：不显含 x[解 ]
)( yppy令方程化为 01 2 ppyp
分离变量
y
dy
p
pdp
21
积分
1
2 ln
2
1ln)1l n (
2
1 Cyp
2009-7-25 9
122 )1( Cyp
y
yC
p
2
1
y
yC
dx
dy 21即分离变量解得 1222 )( CyCx
2009-7-25 10
列方程的常用方法
(1) 利用物理定律列方程
(2) 利用导数的几何意义列方程
(3) 利用微元分析法列方程二、常微分方程应用举例
2009-7-25 11
30
,.60
,,20
,20,100]1[
C
C
CC
降为物体的温度才能问还需经过多长时间知其已降为测量物体的温度分钟后经过的房间内放在的物体有一个例
[解 ] 取时间 t为自变量，物体的温度 T(t)为 未知函数,
由牛顿冷却定律知
),0()20( 比例常数 kTkdtdT
初始条件
1 0 0)0(?T
2009-7-25 12
另外还有一个条件,60)20(?T
可用来确定比例常数 k
分离变量，得 k d t
T
dT
)20(
两边积分，得
1)20l n ( CktT
ktCeT 20 ktCeT 20
1 0 0)0(?T 代入上式，得 80?C
kteT 8020
60)20(?T 代入，得 2ln
20
1?k
2009-7-25 13
teT )2ln( 2018020
将 T=30 代入，解出 60?t
即，还需再经过
)(402060 分钟
物体的温度即可降为 C?30
2009-7-25 14
[例 2] 已知曲线上任一点 P(x,y)处的切线在
x轴上的截距等于点 P的横坐标的一半,
且过定点 (2,1),求此曲线的方程,
[解 ] )( xyy?设曲线方程为方程为处的切线则该曲线上任一点 ),( yxP
)( xXyyY
轴上的截距为得切线在令 xY,0?
y
y
xx A
2009-7-25 15
由题意得
2
x
y
yx?
又已知曲线过点 (2,1),于是得到定解问题
1)2(
02
y
yyx
分离变量求得通解 2Cxy?
4
1,1)2( Cy 得由
2
4
1 xy?所求曲线方程为
2009-7-25 16
[例 3] 试设计一反光镜,使它能将点光源发出的光反射成为平行光
[解 ]
轴绕设反光镜镜面由曲线 xxyy )(?
旋转而成的点光原位于坐标原点 O,由点 O发出的光线经反射都成为平行于 x轴的平行光
o
y
x
由光的反射定律
),( yxM
T
A
2009-7-25 17
于是有
xAO
ytg
OMAO?
xOM
y
22
yxx
y
根据导数的几何意义?tgy
得到微分方程
22 yxx
yy
一阶齐次变形为
)1(1)( 2
22
y
x
y
x
y
yxx
dy
dx
2009-7-25 18
uyxu
y
x 即令,
分离变量
dy
duyu
dy
dx
代入 (1)式，得
12 u
dy
duy
y
dy
u
du?
12
2009-7-25 19
yCuu 12
22 )(1 uyCu
)(21 22 yuCyC xCyC 222
)1(
2
1 2
C
Cyx
Cyuu lnln)1l n ( 2
积分，得取指数
2009-7-25 20
.
,
,
,
2,10
,1 0 0]4[
的规律变化试求容器内盐量随时间是均匀的一时刻都假设容器中的溶液在每流出并以同样的速度使盐水净水注入容器升的均匀速度把今以每分钟公斤其中含盐升盐水一容器内盛有例升2
升2
2009-7-25 21
[解 ] 列方程，确定初始条件已知，在任何一段时间内容器内含盐改变量 =流进盐量 –流出盐量若溶液的浓度不变，则流出盐量 =浓度?流出的溶液量问题中，溶液的浓度始终在变，如何解决?
考虑微小时间间隔 dt 内的变化情况设时刻 t 时溶液的含盐量为 )( tQQ?
2009-7-25 22
当时间从 t 变到 t+dt 时，容器内的含盐量由 Q 变到 Q+dQ，因而容器内含盐改变量为
dQ
从容器内流出的溶液量为 2dt
在时间 dt 内盐水的浓度近似看作不变，
看作是 t 时刻的盐水浓度
100
)( tQ
所以流出的盐量为
dttQ 2
100
)(?
2009-7-25 23
于是有
dttQtdQ 2
1 0 0
)()(
初始条件
10)( 0ttQ
分离变量
50
dt
Q
dQ
50
tCeQ
5010
teQ
通解特解
28
2009-7-25 24
o
h
dhh?
h
10
r
,,5.0
,60
10,]5[
2
多少时间需要问水全部流完的小孔为漏斗下面有一个截面积顶角为高为斗有一盛满水的圆锥形漏例
cmS
cm
[解 ] 此问题涉及水面高度随时间的变化规律根据水利学定律，流出速度
)/(26.0 scmghv?
2009-7-25 25
考虑任意时刻 t,任取时间区间 [t,t+dt]
在 dt 时间内，水面高度的改变为 dh
dhrdV 2
3
30
h
tghr
取时间 t 为自变量，水面高度 h(t) 为未知函数，并取坐标系如图漏斗内水的体积改变量为
dhhdh
h
dV 22
3
)
3
(
2009-7-25 26
下落水的体积 = 流出水的体积于是列出微分方程
dtghdhh 23.0
3
2
初始条件 10)0(?h
另方面,时间 dt 内从小孔流出水的体积等于以 S 为底，以 (vdt) 为高的小圆柱体积
dthgdtgh 23.0)26.0(5.0?
2009-7-25 27
经整理得
dhh
g
dt 2
3
29.0
解得
Ch
g
t 2
5
5
2
29.0
2
5
100314.0,10)0( Ch 得由
Ch 2
5
0314.0
)10(0314.0 2
5
2
5
ht
当水流完时,h = 0
)(10100314.0 2
5
st
2009-7-25 28
平面上单参数曲线族是设 0),,(,0),,( 21 cyxGcyxF
则称两条曲线正交互相垂直如果在交点处切线是两条曲线设
,
,,21 LL
,0),,(
0),,(
2
1
所有曲线正交都与曲线族中的每条曲线如果曲线族
CyxG
CyxF
.则称两曲线族互相正交正交轨线问题
2009-7-25 29
.
0]7[ 22
曲线族的正交求曲线族例 cxyx
则有正交在其交点和设曲线
,
)()( xgyxfy
)(
1)(
xf
xg
两个曲线族表示上述和用 ),(),( cxgycxfy
思路：
2009-7-25 30
C消去常数
Cxyx 22
x
yxC 22
xy
xy
dx
dy
2
22?
方程这是已知曲线族的微分
:),( 的切线斜率首先计算 cxfy?
y
xC
dx
dy
2
2
2009-7-25 31
:方程是从而正交曲线族的微分
22
2
xy
xy
dx
dy
022 cyyx
这就是正交曲线族！
通解
2009-7-25 32
xo
y
022 cyyx
022 cxyx
39
2009-7-25 33
,:1 0 下落的物体以初速质量等于练习 vm
假设空气阻力 ;)1( 与速度成正比
.)2( 与速度平方成正比
.试求物体运动规律
:定律列方程用 N ew t o n
[解 ]
0)0(
)1(
vv
kvmg
dt
dv
m
0
2
2
)0(,0)0( vSS
dt
dS
kmg
dt
Sd
m或者
2009-7-25 34
0
2
)0(
)2(
vv
kvmg
dt
dv
m
0
2
2
2
)0(,0)0(
)(
vSS
dt
dS
kmg
dt
Sd
m或者
2009-7-25 35
%.102,50
,
:2
小时后损失克已知初始质量等于现存数量成正比度与其某放射性物质的衰变速练习;4)1( 小时后该物质的质量求
.)2( 一半的时间该物质衰变到原有质量列方程
km
dt
dm
0 km
dt
dm即
)( 半衰期
[解 ]
2009-7-25 36
ktCetm)(
初值条件 50)0(?m 50?C
45
10
)0()0()2( mmm
0 5 3.09.0ln
2
1k
T?设半衰期
tetm 053.050)(
2550)( 0 5 3.0 TeTm则
T由此确定通解
