2009-7-25 1
作业
P88 习题 4.1
5(1),7,8(2)(4),9(1),10(3).
P122 综合题,
4,5.
复习,P80—— 88
预习,P89—— 95
2009-7-25 2
应用导数研究函数性态局部性态 — 未定型极限函数的局部近似整体性态 — 在某个区间上函数的单调性、函数的极值函数的凸性、渐近性、图形
2009-7-25 3
微分中值定理，包括：
罗尔定理、拉格朗中值定理、
柯西中值定理、泰勒中值定理微分中值定理是微分学的理论基础。是利用导数研究函数性质的理论依据。
微分中值定理的共同特点是：
在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质。
2009-7-25 4
第八讲 微分中值定理一、费尔马 ( Fermat )定理二、罗尔 ( Rolle )定理三、拉格朗日 (Lagrange )定理四、柯西 (Cauchy )定理
2009-7-25 5
).(
)(
))()(()()(
),(.
)()(
0
0
00
0
00
或极小值点的极大值点为并称或极小值取得极大值在则称函数或有若定义有的某邻域在点设函数
fx
xf
xfxfxfxf
xNx
xNxxf
一、费尔马 ( Fermat )定理
（一）极值的定义：
2009-7-25 6
0x 1x
x
y
o
)( xfy?
极大值)( 0xf
极小值)( 1xf
)( 极大值点 )( 极小值点极值的研究是微积分产生的主要动力之一
2009-7-25 7
0)(
,)(
,)(
0
0
0
xf
xxf
xxf
则必有可导在点并且取得极值在点设函数
（二）费尔马定理 (极值必要条件 )
.
.
0)(]2[
00
驻点这种点称为的一个极值点函数不一定是的点满足注意
f
xxf
.
0)(]1[ 0
必要条件是可导函数取得极值的注意 xf
2009-7-25 8
x
y
o
3xy?
0)0(
3 2
y
xy
不是极值点0?x
驻点未必是极值点！
2009-7-25 9
[证 ]
)0)(0)(:( 00 xfxf 且只须证明
.)( 0 处取得极大值在点不妨设 xxf
)()( 0xfxf?
有内的邻域在点即,),( 000 xxx
0
00 )()()(
xx
xfxf
x
xf
考察
0)()(
0
0
0
xx
xfxfxx
0)()(
0
0
0
xx
xfxfxx
2009-7-25 10
并且有都存在和所以存在因为
,
)()(,)( 000 xfxfxf
0)()(l i m)()(
0
0
00
0
xx
xfxfxfxf
xx
0)()(l i m)()(
0
0
00
0
xx
xfxfxfxf
xx
0)( 0 xf
2009-7-25 11
微分中值定理的引入
.
,.
,
平行的切线与弦在点使得曲线上至少存在一点那麽切线有连续不断且其上各点都平面曲线
ABCAB
CAB
AB
(
(
(
AB切线平行于弦
C
A
B
2009-7-25 12
x
y
C
轴切线平行于 x
o a b?
A B
0)(f
2009-7-25 13xo
AB切线平行于弦
C
A
B
)()()(?f
ab
afbf
y
a b?
2009-7-25 14xo
AB切线平行于弦
C
A
B
)(
)(
)()(
)()(
g
f
agbg
afbf
y
)(ag )(bg)(?g
)(
)(
)(
bta
tfy
tgx
:的参数方程AB
)(af
)(bf
)(?f
2009-7-25 15
使得内至少存在一点则在内可微在开区间上连续在闭区间满足条件：设函数
,),(
),()()3(;),()2(;],[)1(
)(
ba
bfaf
ba
ba
xf
)(0)( baf
二、罗尔 ( Rolle )定理
2009-7-25 16
怎样证明罗尔定理？ 先利用形象思维去找出一个 C点来！
想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！
C
x
y
o a b
A B
C
2009-7-25 17
.
],[)(,)1(
mM
baxf
和最小值最大值上达到在闭区间知由条件
].,[,)(,)1( baxMxfmM 则若
],[,0)()( baxxfxf 常数有内任取一点作为可在因此,),(,?ba
0)(f
,)2( mM?若
).(
,)()(
af
mMbfaf
不等于至少有一个和知由?
).( afM?不妨设罗尔定理的证明：
2009-7-25 18
)()( baMf
即处达到某点内部只能在最大值这就是说从而有因为
,
),(,
).(),()(
baM
bfMafbf
于是由费尔马定理知因而是极大值内部达到且在是函数的最大值又存在所以因为
.
,),(,
)(.)(),,(
ba
ffba
)(0)( baf
2009-7-25 19
使得内至少存在一点则在内可微在开区间上连续在闭区间满足条件：设函数
,),(
,),()2(;],[)1(
)(
ba
ba
ba
xf
)()(
)()(
baf
ab
afbf
三、拉格朗日 (Lagrange )定理
2009-7-25 20
怎样证明拉格朗日定理？
拉格朗日定理若添加条件,)()( bfaf?
则收缩为罗尔定理；
罗尔定理若放弃条件,)()( bfaf?
则推广为拉格朗日定理。
知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的 新问题 转化为已掌握的 老问题 。
因此想到利用罗尔定理！
2009-7-25 21xo
0)(, kakxafyAB 方程弦
C
A
B
ab
afbfk
)()(
y
a b?
满足罗尔定理条件弦线与 f(x)在端点处相等
kakxafxf )()(
设函数
2009-7-25 22
)()()()()()( ax
ab
afbfafxfxF?
).()(,
),(,],[)(:
bFaF
babaxF
且可导内在上连续在容易验证拉格朗日定理的证明：
构造辅助函数使得内至少存在一点在由罗尔定理知,),(,?ba
0)()()()(?
ab
afbffF
ab
afbff
)()()(? 拉格朗日中值公式
2009-7-25 23
ab
afbff
)()()(?
拉格朗日公式各种形式
)()()()( abfafbf
)()()()( 1212 xxfxfxf
xfxfxxf )()()( 00?
xxxfxfxxf )()()( 000?
),( ba
),( ba
),( 21 xx
),( 00 xxx
)10(
有限增量公式
2009-7-25 24
思考题：
有什麽区别？
限增量公式比较微小增量公式与有
)()()()( 000 xxxfxfxxf
xxxfxfxxf )()()( 000
2009-7-25 25
0],[ xba 上任意取定一点在
))(()()( 00 xxfxfxf
条件满足拉格朗日中值定理上或在 ],[],[)(],,[ 00 xxxxxfbax
.],[
,],[)(
上恒为常数在则上恒为零在若
ba
fbaxf?
推论 1：
[证 ]
有由拉格朗日中值定理,
0)()( 0 xfxf
之间与在 0xx?
0)(f已知常数 )()( 0xfxf
2009-7-25 26
)(
)()(],[
),()(],[
是常数其中有则有若
C
Cxgxfbax
xgxfbax
推论 2：
).(
],[),0)((
0)(],[
单调减少上单调增加在则有若
bafxf
xfbax
推论 3：
).(
],[),0)((
0)(],[
严格单调减上严格单调增在则有若
bafxf
xfbax
推论 4：
2009-7-25 27
使得内至少存在一点则在且内可微在开区间上连续在闭区间满足条件：设函数
,),(
.0)(
,),()2(;],[)1(
)(),(
ba
xg
ba
ba
xgxf
)(
)(
)(
)()(
)()( ba
g
f
agbg
afbf
四、柯西 (Cauchy )定理
2009-7-25 28
.0)()( agbg先证矛盾！这与假设条件使得存在一点由罗尔定理知
0)(,0)(
),,(,
xgcg
bac
用反证法
)()(,0)()( agbgagbg 即假设柯西中值定理的证明：
构造辅助函数
)]()([
)()(
)()()()()( agxg
agbg
afbfafxfxF?
即使得故存在满足罗尔定理条件
,0)(
),,(,)(
F
baxF
)(
)(
)()(
)()(
g
f
agbg
afbf
2009-7-25 29
辑关系：四个定理之间有如下逻费尔马定理 罗尔定理拉格朗日定理柯西定理
2009-7-25 30
]1[ 根讨论下列方程有几个实例
122 2 xxx
零点问题图形发现三个交点而且大体上能确定位置以下证明恰好有三个根
-3 -2 -1 1
1
2
3
4
2 4 6 8 10
20
40
60
80
100
120
12
2
2
xxy
y x
交点个数该方程实根个数就是两条曲线
2009-7-25 31
首先证明至少有三个根计算表明
0)10(,02)1(,023)1(,043)2( ffff
根据介值定理
122)( 2 xxxf x令
)10,1(,)1,1(,)1,2()( 和在xf
各至少有一个零点因此方程至少有三个根然后证明方程最多有三个根用反证法有四个相异实根0122)( 2 xxxf x
假定方程
2009-7-25 32
至少有三个相异实根
02222ln)( xxf x
根据洛尔定理至少有两个相异实根
022)2( l n)( 2 xxf
至少有一个实根
02)2( l n)( 3 xxf 矛盾！
综上所述，方程恰好有三个实根
35
2009-7-25 33
)0)(,0)(;0)(,0)(( bfafbfaf 或者直观观察可以启发思路
)(),( bfaf在第一种情形,都不是最小值
0)()(,],[)(]2[ bfafbaxf 并且可导在设例
0)( ),,( fba 使得存在所以最小值一定在区间内部达到
ba
)(af
)(bf
y
x
a b
)(af
)(bf
y
x
2009-7-25 34
.0)(,0)( bfaf不妨设
.
)( 0)(
不是区间上的最小值也又可以推出利用条件 bfbf
,),( 达到内部某个点于是最小值在?ba
.0)(),,(, fba由费尔马定理推出可知即由 0)()(lim,0)(?
ax
afxfaf
ax
)()(,afxfax?有充分近时距当不是区间上的最小值 )( af?
[证 ]
2009-7-25 35
证明思路直观分析
[例 3]
0)(,),0(
.0)(lim,0)0(
,),0(),,0[
f
xff
fCf
x
则存在并且可导在设内部达到最大或最小值必然在 ),0()(xf
x
y
o
2009-7-25 36
[证 ] 0)(),0( xf如果在 结论自然成立不恒等于零在不妨假设 ),0()(xf
0)(),0( 00 xfx 使得 0)( 0?xf不妨设
0)(lim xfx
)()(,,0101 xfxfxxxx
根据连续函数的最大最小值定理 使得存在,],0[ 1x
}0|)(m a x {)( 1xxxff
0并且 }0|)(m a x {)( xxff?
是驻点所以内部在由于,),0( 0)(f
2009-7-25 37
证明恒等式例 4
)1(
2
a r c c o sa r c s in xxx?
)1(0
1
1
1
1)(
22
x
xx
xf则
)1(a r c c o sa r c s i n)( xxxxf令知理的推论于是由拉格朗日中值定 1
)1()()( xccxf 为常数
2
0a r c c o s0a r c s i n)0(f又
[证 ]
2009-7-25 38
时有当又 1,x
21a r c c o s1a r c s i n)1(
f
于是得到
)1(
2
a r c c o sa r c s i n xxx?
)1(
2
a r c c o sa r c s i n xxx?故
2
)1a r c c o s ()1a r c s i n ()1(f
44
2009-7-25 39
22
1
a r c t a na r c t a n
1
,05
a
ab
ab
b
ab
ba
有不等式时证明当例
],[a rc t a n)( baxxxf令且可微内在开区间上连续在闭区间满足条件：显然
,
),()2(;],[
)1()(,
baba
xf
21
1)( a r c t a n)(
x
xxf
[证 ]
2009-7-25 40
)()(
1
1a r c t a na r c t a n
2 baabab
有理于是由拉格朗日中值定,
222 111 a
abab
b
ab
因为所以有
22 1a r c t a na r c t a n1 a
abab
b
ab
2009-7-25 41
.)(,)(
,)(lim,
,)()(6
lafaxf
lxfa
aUaxf
ax
且可导在点则函数且外可导除点连续的邻域在点若函数例使得点之间至少存在一与则在定理条件上满足拉格朗日中值或在函数显然且
,
,
],[],[
)(,.),(
c
xa
axxa
xfaxaUx
)(
)()(
cf
ax
afxf?
[证 ]
2009-7-25 42
从而有时因为当,,acax
)(lim)(lim)()(lim cfcfax afxf
acaxax
即有由已知条件,)(lim,lcfac
lcfax afxf
acax
)(l i m)()(l i m
.)(
,)(,
laf
axf
且可导在点函数由导数定义知
2009-7-25 43
][注意
)()(l i m
,)(,
)(l i m,,
)(,
0
0
0
0
0
0
xfxf
xxf
xfxx
xxf
xx
xx
且必可导在则函数存在且处可导在连续附近在点只要此例说明
.,
,;
,
或是有第二类间断是连续它或在每一点处不能有第一类间断则导函数若函数在某区间内可导
2009-7-25 44
有不等式时证明：当例,1]7[x
xxxx )1l n (1
等号成立时当,0?x
x
xxxf
1)1l n ()(令 2)1()( x
xxf
则
[证 ]
.)0()(,上严格增加在从而xf
0)0(1)1l n ()( fxxxxf
0)(,0 xfx 有时当
2009-7-25 45
0)0(1)1l n ()( fxxxxf
)1ln(1 xxx即
xx
xxxg
)1l n (
)1l n ()(
同理可证令
0)(,01 xfx 有时当
.)0,1()(,上严格减少在从而?xf
)1l n (1 xxx即
2009-7-25 46
.
)(,)0(
)(
]8[
0
1
1
10
实根也仅有证明的根全是实根设实系数多项式例
xPa
axaxaxaxP
n
nn
nn
n
故设的根全是实根因为,)( xP n
mkmkkn xxxxxxaxP )()()()( 21 210
nkkk
xxx
m
m
21
21,其中
[证 ]
2009-7-25 47
)()(
])()([)()(
1
21
1
201
xfxx
xxxxaxxxP
k
k
m
kk
n
m
.0)(,)( 111?xfkxPx n 所以重根的是因为
)]()()([)(
)()()()()(
11
1
1
1
1
11
1
11
xfxxxfkxx
xfxxxfxxkxP
k
kk
n
0)()()()( 1111111 xfkxfxxxfk又
.)1()( 11 重根的是故 kxPx n
2009-7-25 48
.)1()(
,,)1()(,22
重根的是重根的是同理
mnm
n
kxPx
kxPx?
.0)(
,,,,),(,
),,(),,(,
1211
3221
xP
xx
xxxx
n
mmm
使内分别有在又根据罗尔定理
的实根个数至少为所以 0)( xP n
11)1()1()1( 21 nmkkk m?
.,10)( 故都为实根个根只有又 nxP n
2009-7-25 49
.),(
0)(:,0)(
,,0)(lim
,0)(lim,0)(
,),()(
0
0
有且仅有两个实根在方程求证使又存在一点且上二次可微在设思考题：
xfxf
xxf
xfxf
xf
x
x
.0
2
)(,
,0,0)(l i m)1(
xfax
axf
x
有时使当知由
[证 ]
有理上应用拉格朗日中值定在区间,],[ xa
2009-7-25 50
)())(()()( xaaxfafxf
有时于是当,ax? )(
2)()( axafxf
)(lim xfx由此推知
.0)(,0 bfxb 使从而
.0)(,
,,0)(
101
0
xfxx
xf
使知于是根据介值定理又知
.0)(,202 xfxx 使同理可证
.,
),(0)(
21 xx
xf
两个实根上至少有在因此
2009-7-25 51
.
),(0)()2(
个实根上仅有两在证明xf
.
,,,0)(
321
321
xxx
xxxxf
且有三个实根假设
.0)(,0)(),,(
),,(,
32
21
ffxx
xx
使得存在根据罗尔定理这与题设矛盾！得使存在再用罗尔定理
.0)(
),,(,
f
.
),(0)(,
个实根上仅有两在因此xf
作业
P88 习题 4.1
5(1),7,8(2)(4),9(1),10(3).
P122 综合题,
4,5.
复习,P80—— 88
预习,P89—— 95
2009-7-25 2
应用导数研究函数性态局部性态 — 未定型极限函数的局部近似整体性态 — 在某个区间上函数的单调性、函数的极值函数的凸性、渐近性、图形
2009-7-25 3
微分中值定理，包括：
罗尔定理、拉格朗中值定理、
柯西中值定理、泰勒中值定理微分中值定理是微分学的理论基础。是利用导数研究函数性质的理论依据。
微分中值定理的共同特点是：
在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质。
2009-7-25 4
第八讲 微分中值定理一、费尔马 ( Fermat )定理二、罗尔 ( Rolle )定理三、拉格朗日 (Lagrange )定理四、柯西 (Cauchy )定理
2009-7-25 5
).(
)(
))()(()()(
),(.
)()(
0
0
00
0
00
或极小值点的极大值点为并称或极小值取得极大值在则称函数或有若定义有的某邻域在点设函数
fx
xf
xfxfxfxf
xNx
xNxxf
一、费尔马 ( Fermat )定理
（一）极值的定义：
2009-7-25 6
0x 1x
x
y
o
)( xfy?
极大值)( 0xf
极小值)( 1xf
)( 极大值点 )( 极小值点极值的研究是微积分产生的主要动力之一
2009-7-25 7
0)(
,)(
,)(
0
0
0
xf
xxf
xxf
则必有可导在点并且取得极值在点设函数
（二）费尔马定理 (极值必要条件 )
.
.
0)(]2[
00
驻点这种点称为的一个极值点函数不一定是的点满足注意
f
xxf
.
0)(]1[ 0
必要条件是可导函数取得极值的注意 xf
2009-7-25 8
x
y
o
3xy?
0)0(
3 2
y
xy
不是极值点0?x
驻点未必是极值点！
2009-7-25 9
[证 ]
)0)(0)(:( 00 xfxf 且只须证明
.)( 0 处取得极大值在点不妨设 xxf
)()( 0xfxf?
有内的邻域在点即,),( 000 xxx
0
00 )()()(
xx
xfxf
x
xf
考察
0)()(
0
0
0
xx
xfxfxx
0)()(
0
0
0
xx
xfxfxx
2009-7-25 10
并且有都存在和所以存在因为
,
)()(,)( 000 xfxfxf
0)()(l i m)()(
0
0
00
0
xx
xfxfxfxf
xx
0)()(l i m)()(
0
0
00
0
xx
xfxfxfxf
xx
0)( 0 xf
2009-7-25 11
微分中值定理的引入
.
,.
,
平行的切线与弦在点使得曲线上至少存在一点那麽切线有连续不断且其上各点都平面曲线
ABCAB
CAB
AB
(
(
(
AB切线平行于弦
C
A
B
2009-7-25 12
x
y
C
轴切线平行于 x
o a b?
A B
0)(f
2009-7-25 13xo
AB切线平行于弦
C
A
B
)()()(?f
ab
afbf
y
a b?
2009-7-25 14xo
AB切线平行于弦
C
A
B
)(
)(
)()(
)()(
g
f
agbg
afbf
y
)(ag )(bg)(?g
)(
)(
)(
bta
tfy
tgx
:的参数方程AB
)(af
)(bf
)(?f
2009-7-25 15
使得内至少存在一点则在内可微在开区间上连续在闭区间满足条件：设函数
,),(
),()()3(;),()2(;],[)1(
)(
ba
bfaf
ba
ba
xf
)(0)( baf
二、罗尔 ( Rolle )定理
2009-7-25 16
怎样证明罗尔定理？ 先利用形象思维去找出一个 C点来！
想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！
C
x
y
o a b
A B
C
2009-7-25 17
.
],[)(,)1(
mM
baxf
和最小值最大值上达到在闭区间知由条件
].,[,)(,)1( baxMxfmM 则若
],[,0)()( baxxfxf 常数有内任取一点作为可在因此,),(,?ba
0)(f
,)2( mM?若
).(
,)()(
af
mMbfaf
不等于至少有一个和知由?
).( afM?不妨设罗尔定理的证明：
2009-7-25 18
)()( baMf
即处达到某点内部只能在最大值这就是说从而有因为
,
),(,
).(),()(
baM
bfMafbf
于是由费尔马定理知因而是极大值内部达到且在是函数的最大值又存在所以因为
.
,),(,
)(.)(),,(
ba
ffba
)(0)( baf
2009-7-25 19
使得内至少存在一点则在内可微在开区间上连续在闭区间满足条件：设函数
,),(
,),()2(;],[)1(
)(
ba
ba
ba
xf
)()(
)()(
baf
ab
afbf
三、拉格朗日 (Lagrange )定理
2009-7-25 20
怎样证明拉格朗日定理？
拉格朗日定理若添加条件,)()( bfaf?
则收缩为罗尔定理；
罗尔定理若放弃条件,)()( bfaf?
则推广为拉格朗日定理。
知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的 新问题 转化为已掌握的 老问题 。
因此想到利用罗尔定理！
2009-7-25 21xo
0)(, kakxafyAB 方程弦
C
A
B
ab
afbfk
)()(
y
a b?
满足罗尔定理条件弦线与 f(x)在端点处相等
kakxafxf )()(
设函数
2009-7-25 22
)()()()()()( ax
ab
afbfafxfxF?
).()(,
),(,],[)(:
bFaF
babaxF
且可导内在上连续在容易验证拉格朗日定理的证明：
构造辅助函数使得内至少存在一点在由罗尔定理知,),(,?ba
0)()()()(?
ab
afbffF
ab
afbff
)()()(? 拉格朗日中值公式
2009-7-25 23
ab
afbff
)()()(?
拉格朗日公式各种形式
)()()()( abfafbf
)()()()( 1212 xxfxfxf
xfxfxxf )()()( 00?
xxxfxfxxf )()()( 000?
),( ba
),( ba
),( 21 xx
),( 00 xxx
)10(
有限增量公式
2009-7-25 24
思考题：
有什麽区别？
限增量公式比较微小增量公式与有
)()()()( 000 xxxfxfxxf
xxxfxfxxf )()()( 000
2009-7-25 25
0],[ xba 上任意取定一点在
))(()()( 00 xxfxfxf
条件满足拉格朗日中值定理上或在 ],[],[)(],,[ 00 xxxxxfbax
.],[
,],[)(
上恒为常数在则上恒为零在若
ba
fbaxf?
推论 1：
[证 ]
有由拉格朗日中值定理,
0)()( 0 xfxf
之间与在 0xx?
0)(f已知常数 )()( 0xfxf
2009-7-25 26
)(
)()(],[
),()(],[
是常数其中有则有若
C
Cxgxfbax
xgxfbax
推论 2：
).(
],[),0)((
0)(],[
单调减少上单调增加在则有若
bafxf
xfbax
推论 3：
).(
],[),0)((
0)(],[
严格单调减上严格单调增在则有若
bafxf
xfbax
推论 4：
2009-7-25 27
使得内至少存在一点则在且内可微在开区间上连续在闭区间满足条件：设函数
,),(
.0)(
,),()2(;],[)1(
)(),(
ba
xg
ba
ba
xgxf
)(
)(
)(
)()(
)()( ba
g
f
agbg
afbf
四、柯西 (Cauchy )定理
2009-7-25 28
.0)()( agbg先证矛盾！这与假设条件使得存在一点由罗尔定理知
0)(,0)(
),,(,
xgcg
bac
用反证法
)()(,0)()( agbgagbg 即假设柯西中值定理的证明：
构造辅助函数
)]()([
)()(
)()()()()( agxg
agbg
afbfafxfxF?
即使得故存在满足罗尔定理条件
,0)(
),,(,)(
F
baxF
)(
)(
)()(
)()(
g
f
agbg
afbf
2009-7-25 29
辑关系：四个定理之间有如下逻费尔马定理 罗尔定理拉格朗日定理柯西定理
2009-7-25 30
]1[ 根讨论下列方程有几个实例
122 2 xxx
零点问题图形发现三个交点而且大体上能确定位置以下证明恰好有三个根
-3 -2 -1 1
1
2
3
4
2 4 6 8 10
20
40
60
80
100
120
12
2
2
xxy
y x
交点个数该方程实根个数就是两条曲线
2009-7-25 31
首先证明至少有三个根计算表明
0)10(,02)1(,023)1(,043)2( ffff
根据介值定理
122)( 2 xxxf x令
)10,1(,)1,1(,)1,2()( 和在xf
各至少有一个零点因此方程至少有三个根然后证明方程最多有三个根用反证法有四个相异实根0122)( 2 xxxf x
假定方程
2009-7-25 32
至少有三个相异实根
02222ln)( xxf x
根据洛尔定理至少有两个相异实根
022)2( l n)( 2 xxf
至少有一个实根
02)2( l n)( 3 xxf 矛盾！
综上所述，方程恰好有三个实根
35
2009-7-25 33
)0)(,0)(;0)(,0)(( bfafbfaf 或者直观观察可以启发思路
)(),( bfaf在第一种情形,都不是最小值
0)()(,],[)(]2[ bfafbaxf 并且可导在设例
0)( ),,( fba 使得存在所以最小值一定在区间内部达到
ba
)(af
)(bf
y
x
a b
)(af
)(bf
y
x
2009-7-25 34
.0)(,0)( bfaf不妨设
.
)( 0)(
不是区间上的最小值也又可以推出利用条件 bfbf
,),( 达到内部某个点于是最小值在?ba
.0)(),,(, fba由费尔马定理推出可知即由 0)()(lim,0)(?
ax
afxfaf
ax
)()(,afxfax?有充分近时距当不是区间上的最小值 )( af?
[证 ]
2009-7-25 35
证明思路直观分析
[例 3]
0)(,),0(
.0)(lim,0)0(
,),0(),,0[
f
xff
fCf
x
则存在并且可导在设内部达到最大或最小值必然在 ),0()(xf
x
y
o
2009-7-25 36
[证 ] 0)(),0( xf如果在 结论自然成立不恒等于零在不妨假设 ),0()(xf
0)(),0( 00 xfx 使得 0)( 0?xf不妨设
0)(lim xfx
)()(,,0101 xfxfxxxx
根据连续函数的最大最小值定理 使得存在,],0[ 1x
}0|)(m a x {)( 1xxxff
0并且 }0|)(m a x {)( xxff?
是驻点所以内部在由于,),0( 0)(f
2009-7-25 37
证明恒等式例 4
)1(
2
a r c c o sa r c s in xxx?
)1(0
1
1
1
1)(
22
x
xx
xf则
)1(a r c c o sa r c s i n)( xxxxf令知理的推论于是由拉格朗日中值定 1
)1()()( xccxf 为常数
2
0a r c c o s0a r c s i n)0(f又
[证 ]
2009-7-25 38
时有当又 1,x
21a r c c o s1a r c s i n)1(
f
于是得到
)1(
2
a r c c o sa r c s i n xxx?
)1(
2
a r c c o sa r c s i n xxx?故
2
)1a r c c o s ()1a r c s i n ()1(f
44
2009-7-25 39
22
1
a r c t a na r c t a n
1
,05
a
ab
ab
b
ab
ba
有不等式时证明当例
],[a rc t a n)( baxxxf令且可微内在开区间上连续在闭区间满足条件：显然
,
),()2(;],[
)1()(,
baba
xf
21
1)( a r c t a n)(
x
xxf
[证 ]
2009-7-25 40
)()(
1
1a r c t a na r c t a n
2 baabab
有理于是由拉格朗日中值定,
222 111 a
abab
b
ab
因为所以有
22 1a r c t a na r c t a n1 a
abab
b
ab
2009-7-25 41
.)(,)(
,)(lim,
,)()(6
lafaxf
lxfa
aUaxf
ax
且可导在点则函数且外可导除点连续的邻域在点若函数例使得点之间至少存在一与则在定理条件上满足拉格朗日中值或在函数显然且
,
,
],[],[
)(,.),(
c
xa
axxa
xfaxaUx
)(
)()(
cf
ax
afxf?
[证 ]
2009-7-25 42
从而有时因为当,,acax
)(lim)(lim)()(lim cfcfax afxf
acaxax
即有由已知条件,)(lim,lcfac
lcfax afxf
acax
)(l i m)()(l i m
.)(
,)(,
laf
axf
且可导在点函数由导数定义知
2009-7-25 43
][注意
)()(l i m
,)(,
)(l i m,,
)(,
0
0
0
0
0
0
xfxf
xxf
xfxx
xxf
xx
xx
且必可导在则函数存在且处可导在连续附近在点只要此例说明
.,
,;
,
或是有第二类间断是连续它或在每一点处不能有第一类间断则导函数若函数在某区间内可导
2009-7-25 44
有不等式时证明：当例,1]7[x
xxxx )1l n (1
等号成立时当,0?x
x
xxxf
1)1l n ()(令 2)1()( x
xxf
则
[证 ]
.)0()(,上严格增加在从而xf
0)0(1)1l n ()( fxxxxf
0)(,0 xfx 有时当
2009-7-25 45
0)0(1)1l n ()( fxxxxf
)1ln(1 xxx即
xx
xxxg
)1l n (
)1l n ()(
同理可证令
0)(,01 xfx 有时当
.)0,1()(,上严格减少在从而?xf
)1l n (1 xxx即
2009-7-25 46
.
)(,)0(
)(
]8[
0
1
1
10
实根也仅有证明的根全是实根设实系数多项式例
xPa
axaxaxaxP
n
nn
nn
n
故设的根全是实根因为,)( xP n
mkmkkn xxxxxxaxP )()()()( 21 210
nkkk
xxx
m
m
21
21,其中
[证 ]
2009-7-25 47
)()(
])()([)()(
1
21
1
201
xfxx
xxxxaxxxP
k
k
m
kk
n
m
.0)(,)( 111?xfkxPx n 所以重根的是因为
)]()()([)(
)()()()()(
11
1
1
1
1
11
1
11
xfxxxfkxx
xfxxxfxxkxP
k
kk
n
0)()()()( 1111111 xfkxfxxxfk又
.)1()( 11 重根的是故 kxPx n
2009-7-25 48
.)1()(
,,)1()(,22
重根的是重根的是同理
mnm
n
kxPx
kxPx?
.0)(
,,,,),(,
),,(),,(,
1211
3221
xP
xx
xxxx
n
mmm
使内分别有在又根据罗尔定理
的实根个数至少为所以 0)( xP n
11)1()1()1( 21 nmkkk m?
.,10)( 故都为实根个根只有又 nxP n
2009-7-25 49
.),(
0)(:,0)(
,,0)(lim
,0)(lim,0)(
,),()(
0
0
有且仅有两个实根在方程求证使又存在一点且上二次可微在设思考题：
xfxf
xxf
xfxf
xf
x
x
.0
2
)(,
,0,0)(l i m)1(
xfax
axf
x
有时使当知由
[证 ]
有理上应用拉格朗日中值定在区间,],[ xa
2009-7-25 50
)())(()()( xaaxfafxf
有时于是当,ax? )(
2)()( axafxf
)(lim xfx由此推知
.0)(,0 bfxb 使从而
.0)(,
,,0)(
101
0
xfxx
xf
使知于是根据介值定理又知
.0)(,202 xfxx 使同理可证
.,
),(0)(
21 xx
xf
两个实根上至少有在因此
2009-7-25 51
.
),(0)()2(
个实根上仅有两在证明xf
.
,,,0)(
321
321
xxx
xxxxf
且有三个实根假设
.0)(,0)(),,(
),,(,
32
21
ffxx
xx
使得存在根据罗尔定理这与题设矛盾！得使存在再用罗尔定理
.0)(
),,(,
f
.
),(0)(,
个实根上仅有两在因此xf
