2009-7-25 1
作业
P236 习题 8.2
9.11.13.25.26.28.
35.39.41.47.
2009-7-25 2
第二十二讲常微分方程 （二）
一、一阶线性方程三、可利用微分形式求解的方程二、伯努利 (Bernoulli)方程四、积分因子
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)1()()(
)()( 1)1(1)(
xfyxa
yxayxay
n
n
nn


阶线性微分方程n
)2(0)(
)()( 1)1(1)(


yxa
yxayxay
n
n
nn?
非齐次齐次一,一阶线性微分方程
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线性方程的性质一 )(
则它们的任意线性组合的解是线性齐次方程与如果
,
)2()()( 21 xyxy
.,,)2( 21 为任意常数其中的解都是方程 CC
)()( 2211 xyCxyCy
性质 1：
必有零解。线性齐次方程 )2(
性质 2：
。为任意常数的解亦是则的解是线性齐次方程若
)(( 2 ))(
,)2()(
CxCyy
xyy
性质 3：
2009-7-25 5
.)2()()(
,)1()(),(
21
21
的解是齐次方程则的解是非齐次方程如果
xyxy
xyxy
.)1()()(
,)2()(
)1()(
*
*
的解是非齐次方程则的一个解是齐次方程的一个解，是非齐次方程如果
xyxy
xy
xy
性质 4：
性质 5：
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0)()()( xcyxb
dx
dyxa
0)( yxp
dx
dy)()( xqyxp
dx
dy
(1) 如何解齐次方程？
非齐次齐次可分离型！
0)( yxp
dx
dy
标准形式：
什麽类型？
一阶线性微分方程
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分离变量
dxxp
y
dy
)(
dxxpcey )(
是 p(x)一个原函数不是不定积分！
齐次通解解得注意：
齐次通解的结构：
)(,
0)(')(
1
1
xCyy
yxpyxy

则通解零解一个非的是设
2009-7-25 8
)1()()( xqyxp
dx
dy
(2)用常数变异法解非齐次方程假定 (1)的解具有形式
)()( 1 xyxCy?
将这个解代入 (1),经计算得到
)2(0)( yxp
dx
dy
齐次方程的对应于 )1(
)()2( 1)( xCyCey dxxp的通解为
2009-7-25 9
）的解，（是 2)(1 xy?
0)()()()(')( 11 xyxCxpxyxC
)(')()()( 11 xyxCxyxC
)()()()( 1 xqxyxCxp
化简得到
)()()( 1 xqxyxC
dxxpexqxC )()()(即
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积分
CexqxC
dxxp

)(
)()(
从而得到非齐次方程 (1)的通解
))((
)()(

dxexqCey
dxxpdxxp
非齐次通解
))((
0
00
)()(
x
x
dxxpdxxp
dxexqCey
x
x
x
x
或
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非齐次通解的结构：
的通解为则的一个解是通解的是设
)1(
,)1()()(')(
,)2(0)('
xqyxpyxy
yxpyy


)()( xyyxy
000 )( yCyxy 得给特解
))((
0
00
)(
0
)(
x
x
dxxpdxxp
dxexqyey
x
x
x
x
非齐次特解
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的通解。求例 )1(1']1[ yy
][解 的一个解易知 )2(0' yy
.)1(1)( 的一个解是观察出 xy
1)()1( xCexy的通解
,)(1 xexy
.)2( xCey 的通解
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dyeyyd xxdy y2]2[例这是线性方程吗？
是关于函数 x=x(y) 的一阶线性方程！
[解 ]
变形为：
yye
y
x
dy
dx

第一步,先求解齐次方程
0
y
x
dy
dx
齐次方程通解是
)R( CCyx
ydyCex
y
dy
x
dx?
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第二步,用常数变异法解非齐次方程假设非齐次方程的解为 yyCx )(?
代入方程并计算化简
yyeyCyCyCy )()()(
yeyC )(
积分得
CedyeyC yy)(
通解 yyeCyx
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方程证明连续有界在设例,),0[)(,0]3[ xfa
)0()( ttfax
dt
dx
.),0[ 有界每个解在
.
)0()( 0
的解是满足初始条件设 xxtxx
)0())(()(
00
tdssfexetx t asat则
[证 ]
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Mxf?)(设

t sta
dssfextx
0
)(
0 )()(

t sta
dseMx
0
)(
0
a
Mx
0
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Bernoulli
方 程 nyxqyxp
dx
dy
)()(
)()( 1 xqyxp
dx
dyy nn
ny方程两端同除
nyz 1令
dx
dyyn
dx
dz n )1(则有二、伯努利 (Bernoulli)方程
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dx
dz
ndx
dyy n

1
1
)()1()()1( xqnzxpn
dx
dz
将原方程化为
Bernoulli
方 程
nyz 1令 线性方程
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3
4
232'][ yxy
x
y解方程例
3
4?nB e r noul l i 方程
3
1
3
41
yyz令
[解 ]
将原方程化为
'
3
1
' 3
4
yyz

232'3 xz
x
z
23
1
3
4
3
2
' xy
x
yy

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解线性方程相应的齐次方程
)2(0
3
2' z
x
z
(2)的通解
3
2
3
21
3
2
)( CxeCCez
dx
x
dx
x
设 (1)的解为
3
2
)( xxCz?
代入 (1),计算化简得到
)1(
3
2' 2xz
x
z
23
2
)( xxxC
2009-7-25 21
33
2
7
3
)()( xCxxzzxz
33
2
3
1
7
3
xCxy
CxdxxxC 3
7
3
4
7
3
)(
33
2
3
7
7
3
7
3
)( xxxxz
的通解)1(
原方程的通解
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三,可利用微分形式求解的方程利用熟悉的微分公式，通过凑微分的方法将微分方程变为某些函数的微分形式,
)( xydy d xxdy
)
2
(
22 yx
dy d yxdx
)(2 xydx y d xx d y
)(2
y
xd
y
xdyy d x
例如
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)( a r c t a n22
y
xd
yx
x d yy d x?
)( a r c t a n22
x
yd
yx
y d xx d y?
)( 22
22
yxd
yx
y d yx d x
)
2
(
22
22 yxdy d yxdxxy
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[解 ]
0)(2 y d yy d xx d ydxx
0)
2
()()
3
(
23
ydxydxd
0)
23
(
23
yxyxd
通解
Cyxyx
23
23
0)()(]1[ 2 dyyxdxyx解方程例凑微分
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]2[例
0)ln( 3 dyyxdydx
x
y
0)lnln( 3 dyyx d yxyd
0)
4
()ln(
4
ydxyd
通解为
Cyxy 4
4
1ln
0)ln( 3 dyxydx
x
y解方程
[解 ] 改写为
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]3[例
022 22 dyyxdxyxxx d x
0)(2 222 dyyxxdyxx d x
0)(2 22 yxdyxxdx
通解为
Cyxx 2
3
22 )(
3
2
分将方程的左端分组凑微
0)1(2 22 dyyxdxyxx解方程
[解 ]
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0)(]4[ 2 dyxyy d x解方程例问,能否直接通过凑微分求解？
不能问,能否变为可通过凑微分求解的方程？
试试看
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(六 )积分因子
)1(0),(),( dyyxNdxyxM微分方程
，使得若能找到 ),( yx?
0)),(),()(,( dyyxNdxyxMyx?
可利用微分形式求解，
的是方程则称 )1(),( yx? 积分因子
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02 dyyxdyyd x
2y
)(
y
x
d
2y
0 dy
Cy
y
x
通解
)1( 2
y
积分因子可能会丢解！
[ ]
0)(]4[ 2 dyxyy d x解方程例
0?y
[解 ]
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解方程例 ]5[
0)1( 223 dyyxdxxy
[解 ]
y
yx 1),(积分因子
022
y
dy
y d yxdxxy
0)( l n)
2
(
22
ydyxd
222 yxCey通解
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小结
1,解、通解、特解、定解问题
2,一阶微分方程可积类型可分离型,一阶线性、
利用微分形式、
思想：方程变形 —— 变量代换可化为可分离、
伯努利方程,积分因子