2009-7-25 1
作 业
6(3) (6) (9) (11) (14) (17),
9(4) (8) (15) (21).
10(8),11(2),12(2),
P67 习题 3.2
2009-7-25 2
二、高阶导数第六讲 导数与微分 (二 )
一、导数与微分的运算法则
2009-7-25 3
一、导数与微分的运算法则
1,四则运算求导法则则可导在设函数,)(),( xxvxu
且可导在函数,)()()1( xxvxu?
)()(])()([ xvxuxvxu
且为常数可导在函数 ),()()2( CxxuC
)(])([ xuCxuC
2009-7-25 4
且可导在函数,)]()([)3( xxvxu?
)()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu
且可导在函数,
)(
)(
)4( x
xv
xu
2)]([
)()()()(
]
)(
)(
[
xv
xvxuxvxu
xv
xu
)0)((?xv
2009-7-25 5
)()( xvxuy设
)()()()( xxvxuxxvxxu
vxuxxvu )()(
)()()()( xvxuxxvxu
[证 ] (3)
x
vxuxxv
x
u
x
y
)()(
)()()()(
])()([l i ml i m
00
xvxuxvxu
x
v
xuxxv
x
u
x
y
y
xx
可导必连续
)()()()( xvxuxxvxxuy
2009-7-25 6
的导数求函数例
2s i nlnc o s24
]7[
35
xxxxy
x
xxx
1
s i n2125 24
[解 ]
)2( s i n)( l n)( c o s2)(4)( 35 xxxx
)2s i nlnco s24( 35 xxxxy
2009-7-25 7
)
c o s
s i n
()( t a n
x
x
x
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s i n
.s e c
c o s
1
c o s
)s i n(s i nc o sc o s
2
2
2
x
x
x
xxxx
的导数求函数例 xxf t a n)(]8[?
[解 ]
x
xx
2
2
c o s
1
s e c)( t a n
2009-7-25 8
2、复合函数导数公式
（ 1）复合函数微分法（链式法则）
且也可导在点则复合函数可导在点函数可导在点设函数
,
)]([,
)(,)(
xxgfyx
xguuufy
dx
du
du
dy
dx
dy
或
)()]([)]([ xgxgf
dx
xgdf
2009-7-25 9
[证 ]
x
y
x?
0
lim
x
u
u
y
x
u
u
y
xux?
000
limlimlim
dx
du
du
dy )())(( xgxgf
0,0 xx 时当不能保证中间变量的增量
)()( xgxxgu 总不等于零上面的证法有没有问题？
2009-7-25 10
[证 ]
可导)( ufy
)( uf
u
y )0lim(
0 u
)(lim
0
uf
u
y
u
上式化为时当,0?u?
)1()( uuufy
0)()(,0 ufuufyu 时当
(1) 式仍然成立！
x
u
x
uuf
x
y
)(
2009-7-25 11
x
u
x
uuf
x
y
xxxx?
0000
limlimlim)(lim
)()(l i m)]([
0
xguf
x
y
dx
xgdf
x
0limlim 00 ux
)()()](([ xguf
dx
xgfd
连续可导 )()( xguxgu
00 ux
2009-7-25 12
（ 2）微分的形式不变性 (复合函数微分法则 )
且其微分为也可微则复合函数函数均为可微和设函数
,)]([,
)()(
xgfy
xguufy
dxxuufduufdy )(')(')(
xxgfdy x )]([
[证 ]
xxgxgf?)()]([ duuf )(
有时当,)( xxgu
xxxgdu )( xdx
2009-7-25 13
我们将微分写成因此对于自变量,x
dxxfxxfxdf )()()(
dxxfxdf )()(
uduxxgu,)( 时当不能将微分写成对于中间变量 ),( xuu?
uufxudf?)()]([
dxxuufduufxudf )(')(')()]([
的函数，微分形式不变还是中间变量是自变量不论 uxy
但有微分的形式不变性
2009-7-25 14
.
1
1
]1[
2
3
的导数求函数例?
x
x
y
[解 ]
1
1
1
1
2
3 21
x
x
dx
d
x
x
dx
dy
2
2
1
)1(
2
1
1
2
3
xx
x
2
5
2
1
)1(
)1(3
x
x
2009-7-25 15
42
,,ln
x
vtg vuuy设
xvux
x
tg vuy )
42
()()( l n
.)]
42
l n [ t a n (]2[ 的导数求函数例 xy
[解 ]
2
1
c o s
11
2 vu
2
1
)(c o s
1
)(
1
42
2
42
xxtg
)s i n (
1
2
x xc o s
1
xs e c?
2009-7-25 16
.)1l n (]3[ 2 的导数求函数例 xxy
xx xx
xx
y )1(
1
1 2
2
1
1
1
1
1
1
22
2
2?
xx
xx
xx
])1(1[
1
1 2
2 x
x
xx
[解 ]
])1(
12
11[
1
1 2
22 x
x
xxx
2009-7-25 17
.ln]4[ 的导数求函数例 xy?
时当时当
0,)l n (
0,ln
ln
xx
xx
xy
x
xyx 1)( l n,0 时当
])[ l n (,0 xyx 时当
)0(1)( l n xxx
xxx
1)(1
[解 ]
.
lnln
同的导数公式有相与 xx
)(
)(])([ l n])([ l n
xf
xfxfxf
2009-7-25 18
.
,
,
,]1[
中间变量都便于求导应使每一个地选取中间变量恰当在于分析清楚函数关系关键：复合函数求导数时注意
.,
,
]2[
就用什麽求导法则什麽运算碰到四则运算的函数关系时又有：当遇到既有复合运算注意
2009-7-25 19
3,反函数求导法则
)(
1
])([
,
))(()(
,0)(,,
,
1
1
xf
yf
xfyyyfx
xfxf
x
且可导在反函数则它的且可导在单调且严格的某邻域连续设函数在
2009-7-25 20
的导数求函数例 xxfy a rcs i n)(][
[解 ]
22
11
yx
yx
xy
s i n
,)1,1(a r c s i n
存在反函数增加且严格上连续在
yy
x
c o s
1
)( s i n
1
)( a r c s i n?
22 1
1
s i n1
1
xy?
由反函数求导法则
2009-7-25 21
4,隐函数求导法定义：（隐函数）
.
0),())((
,0),(
,.,
的隐函数确定是方程或关系则称此对应对应唯一的由方程若设有非空数集
yxFxfyf
YyyxF
XxRYX
0)](,[, xfxFXx 有的解必是方程确定的隐函数由方程注意
0),()(
0),(][
yxFxfy
yxF
2009-7-25 22
.),(
0),(
可导并且函数隐函数能够确定假定方程
fxfy
yxF
,
)(
如何求出导数的情况下问题：在不解出显式 xfy?
隐函数求导问题的提法
2009-7-25 23
.,
0))(,(
),(
,0),(
x
yx
xyxF
x
xfy
xyyxF
解出求导两边对的恒等式：关于于是方程可看成的函数：
看成把中在方程
.
,,
求导法则因此需要应用复合函数的函数是要注意注意：左端求导时 xy
隐函数求导法
2009-7-25 24
得求导方程两边对,x
)2(02s i nc o s3
c o s)]([
222
23
xxxx
xyxyyye xy
.),(
01c o s]1[ 23
x
xy
yxfy
xxye
求隐函数确定由方程例
[解 ]
)1(0)1()c o s()( 23 xxeyye xyxy
得解出,y?
)1(
s i nc o s6c o s 2222223
xye
eyxxxx
y xy
xy
)0(,y问 0)0(1)0( yy
2009-7-25 25
5,参数方程求导法参数方程)1(
]2,0[
s i n
c o s
]1[
t
tby
tax
椭圆：例
0,
)c o s1(
)s i n(
]2[?
a
tay
ttax
摆线：例
a?
a?2
2009-7-25 26
]2,0[
s i n
c o s
]3[
3
3
t
tay
tax
星形线：例
a
内旋轮线
0,3
2
3
2
3
2
aayx隐函数方程：
2009-7-25 27
0 1 20
(2) 参数方程求导法
dx
dy如何求
).()(
,0)(,)(),(
1 xttx
ttt
存在可导的反函数且都存在设确定由参数方程：设函数
)(
)(
)(
ty
tx
xfy
2009-7-25 28
的复合函数成为通过 xty?
)( ty
分析函数关系,
)()( 1 xttx
)]([ 1 xy
利用复合函数和反函数微分法,得
)(
)(
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
2009-7-25 29
]2,0[
s i n
c o s
]9[
t
tby
tax
求椭圆：例
,
24
c o s,
4
aaxt 时当
.
4
处的切线方程在t
24
s i n bby
)
2
,
2
(,0
aa
M切点?
[解 ]
4
t a n, t
dx
dyk切线斜率
2009-7-25 30
t
a
b
ta
tb
t
t
dx
dy
c o t
s i n
c o s
)(
)(
a
b
a
b
dx
dy
k t
4
4
s i n
c o s
4?
:切线方程? )
2
(
2
a
x
a
bb
y
bx
a
b
y 2即
作 业
6(3) (6) (9) (11) (14) (17),
9(4) (8) (15) (21).
10(8),11(2),12(2),
P67 习题 3.2
2009-7-25 2
二、高阶导数第六讲 导数与微分 (二 )
一、导数与微分的运算法则
2009-7-25 3
一、导数与微分的运算法则
1,四则运算求导法则则可导在设函数,)(),( xxvxu
且可导在函数,)()()1( xxvxu?
)()(])()([ xvxuxvxu
且为常数可导在函数 ),()()2( CxxuC
)(])([ xuCxuC
2009-7-25 4
且可导在函数,)]()([)3( xxvxu?
)()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu
且可导在函数,
)(
)(
)4( x
xv
xu
2)]([
)()()()(
]
)(
)(
[
xv
xvxuxvxu
xv
xu
)0)((?xv
2009-7-25 5
)()( xvxuy设
)()()()( xxvxuxxvxxu
vxuxxvu )()(
)()()()( xvxuxxvxu
[证 ] (3)
x
vxuxxv
x
u
x
y
)()(
)()()()(
])()([l i ml i m
00
xvxuxvxu
x
v
xuxxv
x
u
x
y
y
xx
可导必连续
)()()()( xvxuxxvxxuy
2009-7-25 6
的导数求函数例
2s i nlnc o s24
]7[
35
xxxxy
x
xxx
1
s i n2125 24
[解 ]
)2( s i n)( l n)( c o s2)(4)( 35 xxxx
)2s i nlnco s24( 35 xxxxy
2009-7-25 7
)
c o s
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x
x
x
x
xxxx
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)( c o ss i nc o s)( s i n
.s e c
c o s
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c o s
)s i n(s i nc o sc o s
2
2
2
x
x
x
xxxx
的导数求函数例 xxf t a n)(]8[?
[解 ]
x
xx
2
2
c o s
1
s e c)( t a n
2009-7-25 8
2、复合函数导数公式
（ 1）复合函数微分法（链式法则）
且也可导在点则复合函数可导在点函数可导在点设函数
,
)]([,
)(,)(
xxgfyx
xguuufy
dx
du
du
dy
dx
dy
或
)()]([)]([ xgxgf
dx
xgdf
2009-7-25 9
[证 ]
x
y
x?
0
lim
x
u
u
y
x
u
u
y
xux?
000
limlimlim
dx
du
du
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0,0 xx 时当不能保证中间变量的增量
)()( xgxxgu 总不等于零上面的证法有没有问题？
2009-7-25 10
[证 ]
可导)( ufy
)( uf
u
y )0lim(
0 u
)(lim
0
uf
u
y
u
上式化为时当,0?u?
)1()( uuufy
0)()(,0 ufuufyu 时当
(1) 式仍然成立！
x
u
x
uuf
x
y
)(
2009-7-25 11
x
u
x
uuf
x
y
xxxx?
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)()(l i m)]([
0
xguf
x
y
dx
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x
0limlim 00 ux
)()()](([ xguf
dx
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连续可导 )()( xguxgu
00 ux
2009-7-25 12
（ 2）微分的形式不变性 (复合函数微分法则 )
且其微分为也可微则复合函数函数均为可微和设函数
,)]([,
)()(
xgfy
xguufy
dxxuufduufdy )(')(')(
xxgfdy x )]([
[证 ]
xxgxgf?)()]([ duuf )(
有时当,)( xxgu
xxxgdu )( xdx
2009-7-25 13
我们将微分写成因此对于自变量,x
dxxfxxfxdf )()()(
dxxfxdf )()(
uduxxgu,)( 时当不能将微分写成对于中间变量 ),( xuu?
uufxudf?)()]([
dxxuufduufxudf )(')(')()]([
的函数，微分形式不变还是中间变量是自变量不论 uxy
但有微分的形式不变性
2009-7-25 14
.
1
1
]1[
2
3
的导数求函数例?
x
x
y
[解 ]
1
1
1
1
2
3 21
x
x
dx
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x
x
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2
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2
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1
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2
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2
1
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)1(3
x
x
2009-7-25 15
42
,,ln
x
vtg vuuy设
xvux
x
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42
()()( l n
.)]
42
l n [ t a n (]2[ 的导数求函数例 xy
[解 ]
2
1
c o s
11
2 vu
2
1
)(c o s
1
)(
1
42
2
42
xxtg
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1
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2009-7-25 16
.)1l n (]3[ 2 的导数求函数例 xxy
xx xx
xx
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1
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1
1
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xx
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1
1 2
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x
xx
[解 ]
])1(
12
11[
1
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22 x
x
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2009-7-25 17
.ln]4[ 的导数求函数例 xy?
时当时当
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)0(1)( l n xxx
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[解 ]
.
lnln
同的导数公式有相与 xx
)(
)(])([ l n])([ l n
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2009-7-25 18
.
,
,
,]1[
中间变量都便于求导应使每一个地选取中间变量恰当在于分析清楚函数关系关键：复合函数求导数时注意
.,
,
]2[
就用什麽求导法则什麽运算碰到四则运算的函数关系时又有：当遇到既有复合运算注意
2009-7-25 19
3,反函数求导法则
)(
1
])([
,
))(()(
,0)(,,
,
1
1
xf
yf
xfyyyfx
xfxf
x
且可导在反函数则它的且可导在单调且严格的某邻域连续设函数在
2009-7-25 20
的导数求函数例 xxfy a rcs i n)(][
[解 ]
22
11
yx
yx
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s i n
,)1,1(a r c s i n
存在反函数增加且严格上连续在
yy
x
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1
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1
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22 1
1
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1
xy?
由反函数求导法则
2009-7-25 21
4,隐函数求导法定义：（隐函数）
.
0),())((
,0),(
,.,
的隐函数确定是方程或关系则称此对应对应唯一的由方程若设有非空数集
yxFxfyf
YyyxF
XxRYX
0)](,[, xfxFXx 有的解必是方程确定的隐函数由方程注意
0),()(
0),(][
yxFxfy
yxF
2009-7-25 22
.),(
0),(
可导并且函数隐函数能够确定假定方程
fxfy
yxF
,
)(
如何求出导数的情况下问题：在不解出显式 xfy?
隐函数求导问题的提法
2009-7-25 23
.,
0))(,(
),(
,0),(
x
yx
xyxF
x
xfy
xyyxF
解出求导两边对的恒等式：关于于是方程可看成的函数：
看成把中在方程
.
,,
求导法则因此需要应用复合函数的函数是要注意注意：左端求导时 xy
隐函数求导法
2009-7-25 24
得求导方程两边对,x
)2(02s i nc o s3
c o s)]([
222
23
xxxx
xyxyyye xy
.),(
01c o s]1[ 23
x
xy
yxfy
xxye
求隐函数确定由方程例
[解 ]
)1(0)1()c o s()( 23 xxeyye xyxy
得解出,y?
)1(
s i nc o s6c o s 2222223
xye
eyxxxx
y xy
xy
)0(,y问 0)0(1)0( yy
2009-7-25 25
5,参数方程求导法参数方程)1(
]2,0[
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c o s
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椭圆：例
0,
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摆线：例
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2009-7-25 26
]2,0[
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星形线：例
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内旋轮线
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2
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2
aayx隐函数方程：
2009-7-25 27
0 1 20
(2) 参数方程求导法
dx
dy如何求
).()(
,0)(,)(),(
1 xttx
ttt
存在可导的反函数且都存在设确定由参数方程：设函数
)(
)(
)(
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xfy
2009-7-25 28
的复合函数成为通过 xty?
)( ty
分析函数关系,
)()( 1 xttx
)]([ 1 xy
利用复合函数和反函数微分法,得
)(
)(
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求椭圆：例
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4
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[解 ]
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2009-7-25 30
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2
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