2009-7-25 1
作业
P150 习题 5.6
1(5)(7)(15),2(3),3(1),
4(5),5(1)(3).
P155 综合题
23,24,30,48,63.
复习,P124— 155
预习,P158— 166
2009-7-25 2
第十五讲 不定积分（三）
一、有理函数的积分二、简单无理式的积分
2009-7-25 3
)(
)()(
xQ
xPxR
m
n?
mm
mm
m
nn
nn
n
bxbxbxbxQ
axaxaxaxP


1
1
10
1
1
10
)(
)(
其中真分式多项式代数有理函数
1
21
1
1
22
3



xx
x
xx
x例如：
一、有理函数的积分
（一）代数有理函数的积分假分式时当真分式时当,;,mnmn
2009-7-25 4
简分式的和真分式可分解为四类最?
ax
A
)1( nax
A
)()2(?
qpxx
CBx

2)3( nqpxx
CBx
)()4( 2
caxAdxax A ln)1(
c
axn
Adx
ax
A
nn 1))(1()()2(
四类最简分式的积分
2009-7-25 5
dxqpxx CBppxBdxqpxx CBx 2 2
1
2
1
2
)2()3(
qpxx dxCBpqpxxB 22 2 2ln21
)()(2 2ln21
4
2
2
2
2pp
qx
dxCBpqpxxB
2009-7-25 6
dxqpxx CBppxBdxqpxx CBx nn )( )2()()4( 2 2
1
2
1
2
12 )(
1
)1(2
n
qpxxn
B


npp qx
dxCBp
)]()[(2
2
4
2
2
2
2009-7-25 7
:
)04()()(
)(
22
1
1
10
诸因式之积与与形如都可以分解为一个常数任意一个实系数多项式


qpqpxxax
bxbxbxbxQ
lk
mm
mm
m
如何将真分式分解为最简分式之和？
定理 1：
r
s
l
rr
ll
k
s
kk
m
qxpx
qxpxqxpx
axaxaxbxQ
)(
)()(
)()()()(
2
22
2
11
2
210
21
21



2009-7-25 8
:
,
,
)(
)(
如下分解规则之和唯一地分解为最简分式则它可以是一个真分式设
xQ
xP
m
n定理 2：
)(
)1(
ax
A
一次单因式对应一项
k
k
ax
A
ax
A
ax
A
kk
)()()(
)2(
2
21

项重因式对应一次
2009-7-25 9
qpxx
CBx

2)3( 二次单因式对应一项
k
kk
qpxx
CxB
qpxx
CxB
qpxx
CxB
kk
)(
)()(
)4(
2
22
22
2
11




项重因式对应二次
2009-7-25 10
分解为最简分式的和将例
43
5]1[
23
xx
x
将分母分解因式)1(
223 )2)(1(43 xxxx
将真分式分解)2(
223 )2(2143
5

x
C
x
B
x
A
xx
x
[解 ]
CBA,,)3( 用比较系数法确定常数
)24()4()(
)1()2)(1()2(5
2
2
CBAxCBAxBA
xCxxBxAx


2009-7-25 11



524
14
0
CBA
CBA
BA
1,32,32 CBA
223 )2(
1
2
1
3
2
1
1
3
2
43
5




xxxxx
x
dxxx x 43 523
2)2(232132 x dxx dxx dx
C
xx
x?

2
1
1
2ln
3
2
2009-7-25 12
dxxxxxx xxI 122 1]2[ 2345
3
求积分例将分母分解因式)1(
222345 )1)(1(122 xxxxxxx
将真分式分解)2(
2222345
3
)1(11122
1




x
EDx
x
CBx
x
A
xxxxx
xx
[解 ]
用比较系数法确定常数)3(
)()(
)2()()(
)1)(()1)(1)(()1(1
234
2223
ECAxEDCB
xDCBAxBCxBA
xEDxxxCBxxAxx



2009-7-25 13
2
3
,
2
1
,
4
3
,
4
1
,
4
1


ED
CBA





1
1
02
1
0
ECA
EDCB
DCBA
BC
BA
dx
x
xdx
x
xdx
x
I


222
)1(
3
2
1
1
3
4
1
1
1
4
1
1431 )1(811ln41 22
2
x
dx
x
xdx
2222
2
)1(2
3
)1(
)1(
4
1
x
dx
x
xd
2009-7-25 14
xxx a r c t a n43)1ln(811ln41 2
1431 )1(811ln41 22
2
x
dx
x
xdxI
2222
2
)1(2
3
)1(
)1(
4
1
x
dx
x
xd
Cxx xx ]a r c t a n21121[231141 22
C
x
x
x
x
I?
]
1
13
1
1
[ l n
4
1
22即
2009-7-25 15
C
a
x
aax
x
a
ax
dx
aax
x
aax
dx
n



)a r c t a n
1
(
2
1
2
1
2
1
)(
222
22222222
)2,1( na
[注意 ] 计算最后一个积分时,利用了递推公式
Cx
x
x
x
dx
x
x
x
dx



a r c t a n
2
1
12
1
12
1
12
1
)1(
2
2222
2009-7-25 16
)3( 7xx
dx

dx
xx
xx
)3(3
3
7
77
dx
x
x
x
dx
)3(33 7
6
)1( 10xx
dx
)1( 1011 xx
dx
)1( 1010
9
xx
dxx或遇到有理函数的积分要灵活处理
2009-7-25 17
dxxxR )c o s,( s i n
tx?2t a n令
21
2s i n
t
tx
2
2
1
1c o s
t
tx

dttdx 21 2
dttR )(1
有理函数万能代换
（二）三角有理函数的积分代数有理函数的积分
2009-7-25 18
dx
x
I?
c o s2
1]3[ 求积分例
tx?
2
t a n令
2
2
1
1 3
1
2
1
c o s2
1
2
2 t
t
x
t
t?
dt
t
dx 2
1
2
dt
t
I?
2
3
12 Ct
3
a r c t a n
3
2
[解 ]
C
x
)
3
t a na r c t a n (
3
2 2
2009-7-25 19
三角函数有理式积分的最常用的方法是用三角恒等式将问题化简
n x d xmx c o sc o s
n x d xmx s ins in:]1[ 例
dxxnmxnm ])c o s ()[ c o s (21
dxxnmxnm ])c o s ()[ c o s (21
n x d xmx c o ss i n
dxxnmxnm ])s i n ()[ s i n (21
2009-7-25 20
xx
dx
c o ss i n1:2例?
2
c o s2
2
c o s
2
s i n2 2
xxx
dx
c
x
x
x
d

|
2
t a n1|ln
2
t a n1
)
2
t a n1(
x
dx
2s i n
:3 2例
xx
dx
22 c o ss i n4
1

dxxx
xx
xx )c s c( s e c
4
1
c o ss i n
c o ss i n
4
1 22
22
22
cxx )c o t( t a n
4
1
2009-7-25 21
dx
x
I?
2
s i n3
1]4[ 求积分例
dx
xx
x
I?
22
2
t a ns e c3
s e c
xxd 2t a n43 )( t a n
Cx t a n
3
2
a r c t a n
6
3
[解 ]
2009-7-25 22
dx
xx
I?
c o s)s i n2(
1]5[ 求积分例
dx
xx
xxI?

c o s)s i n2(
)c o s( s i n4
3
1 22
dxxxdxx x s i n2 c o s31c o ss i n231
x xdx xdxdx s i n2 )s i n2(31c o s )( c o s31c o s32
Cxxxx s i n2ln31c o sln31t a ns e cln32
[解一 ]
C
x
xxx?

s i n2
c o sln
3
1t a ns e cln
3
2
2009-7-25 23
)s i n1)(s i n2( )( s i nc o s)s i n2( c o s 22 xx xddxxx xI
)( s i n
1s i ns i n1s i n2
6
1
2
1
3
1
xd
xxx?


Cxxx s i n1ln
6
1s i n1ln
2
1s i n2ln
3
1
C
xx
x
c o s)s i n2(
)s i n1(
ln
3
1 2
[解二 ]
2009-7-25 24
dxbaxxR n ),()1(
tbaxn令 a
bt
x
n?
dtt
a
ndx n 1
dttR )(1
二、简单无理式的积分代数有理函数的积分
2009-7-25 25
dxbaxbaxbaxxR knnn ),,,,()2( 21
tbaxn令的最小公倍数为 knnnn,,,21?
dttR )(1
代数有理函数的积分
2009-7-25 26
dx
dcx
bax
xR n ),()3(?
t
dcx
bax
n?
令
dttR )(1
代数有理函数的积分
2009-7-25 27
dxcbxaxxR ),()4( 2
)04,0( 2 acba
du
au 22
1
经配方只要求
tauduau t a n22 令
tauduua s i n22 令
tau s e c?
2009-7-25 28
dx
x
x
I?
1
]5[
3
求积分例则令,66 txtx
11 2
3
3?
t
t
x
x dttdx 56?
dxt tI 16 2
8
dttttt )111(6 2246
Cxxxxx 666 36 56 7 a r c t a n
3
1
5
1
7
1(6
[解 ]
Cttttt )a r c t a n
357
(6
357
2009-7-25 29
dx
xx
I?

3 2)1)(1(
1
]6[ 求积分例先将积分化为 dx
xx
xI
1
1
1
1
3

1
1
1
1
3
3
3

t
txt
x
x令
1
21
1
11
3
3
3
3


t
t
t
tx
dt
t
tdx
23
2
)1(
6

[解 ]
2009-7-25 30
dttt tdttdttI 1211113 23




2
2
32
2
1
2
1
2
2
)()(
)(
2
3
1
)1(
2
1
1ln
t
td
tt
ttd
t
dt
tt
tt?


1
3)12(
2
11ln
2
Ct
t
tt

3
12a r c t a n3
)1(
1ln
2
1
2
2
3
1
1
x
x
t其中，
2009-7-25 31

22)1(
]7[
xxx
dx
I求积分例

2
2
1
4
9 )()1( xx
dx
I

2
4
9
2
3 )( uu
du
tu s i n23?令
2
1 xu令
tt
td t
c o s)1( s i n
c o s
2
3
2
3
2
3
[解 ]
2009-7-25 32
dt
t
s i n1
1
3
2
dt
t
t
2c o s
s i n1
3
2
C
t
t )
c o s
1( t a n
3
2
t
u
2
3
2
4
9 u?C
u
u
2
4
9
2
3
3
2
C
xx
x

22
2
3
2 C
x
x

1
2
3
2
三角形法
2009-7-25 33
等函数下列积分不能表示为初




xk
dx
dxxk
dxxdxx
dx
x
x
dx
x
x
dxx
dxxdx
x
dxe
x
22
22
22
3
s i n1
,s i n1
c o s,s i n
c o s
,
s i n
,s i n
1,
ln
1
,
2
2009-7-25 34

dxxf
CxFdxxf
xfxf
dx
x
x
)(
)()(
,)(,)(2
)1l n (
1
1
1
求且是它的反函数单调连续设练习
2009-7-25 35
以下题目不用笔算立即写出结果
dxe
x
x
1
2
1
.1
due u
dx
x
xar
2
3
1
)s i n(
.2
duu 3
dx
x
x
2
.3
2?
u
du
dxx
x
s i n
1
.4? u d us i n
2009-7-25 36
xx
dx
2c o st a n
.7 duu 2
1
dx
xx
x
1
a r c s i n
.8? udu
dxx
x2ln.6? duu
294
.5
x
xdx
u
du
2009-7-25 37
dx
x
x
lnln.9 xxx lnlnlnln
x d xxe x c o ss i n.10 2s i n? due
u