2009-7-25 1
复习,P96— 111
预习,P113— 121
P112 习题 4.3
4(2)(4),5(4),7,8(3),9(2).10,
作 业
2009-7-25 2
第十讲 极值与凸性一、极值与最值二、函数的凸性三、曲线的渐近线四、函数作图
2009-7-25 3
.,,00
0
取得极值在则两侧异号在且导数的某邻域内有一阶在点设函数
xfxf
xf
（一）极值的第一充分条件定理 1：;
,0)(),(
,0)(),(,0)1(
000
00
极小值取得在则内而在内使在若
xfxfxx
xfxx
;
,0)(),(
,0)(),(,0)2(
000
00
极大值取得在则内而在内使在若
xfxfxx
xfxx
一、极值与最值
2009-7-25 4
[证 ] (1)
0)(),(,0 00 xfxx 内使在若
)(,),( 00 xfxx 内在?
)()(,),( 000 xfxfxxx
0)(),(,0 00 xfxx 内使在又
)(,),( 00 xfxx 内在?
)()(,),( 000 xfxfxxx
.,0 取得极小值在即 xf
2009-7-25 5;,0)()1( 00 取得极小值在则若 xfxf
（二）极值的第二充分条件定理 2：
.)(,0)(,00
0
存在又且导数的某邻域内有一阶在点设函数
xfxf
xf
.,0)()2( 00 取得极大值在则若 xfxf
[证 ] (1)
0)(,0)( 00 xfxf
有根据二阶导数定义,
0)(l i m
00
xx
xf
xx
0
0
0
)()(lim)(
0 xx
xfxfxf
xx
2009-7-25 6
中有使在由极限性质 ),(,0,00 xx
0
)(
0
xx
xf
0)(,),( 00 xfxx 有内在?
0)(,),( 00 xfxx 有内在?
.,1 0 取得极小值在知根据定理 xf
2009-7-25 7
.)1()(]1[ 3 2 的极值求例 xxxf
)( 驻点和不可导点先求可能的极值点
3
3
13 2
3
25
3
2)1()(
x
xxxxxf
52,0)( xxf 得驻点令
.
5
2,0
.0,
xx
x
可能的极值点：
故有两个为导数不存在的点又
[解 ]
2009-7-25 8
x )0,( 0
)
5
2,0(
5
2 ),
5
2(
)( xf
0不存在
0
极大值 极小值
3 20
25
3?;,0)0( 极大值?f 极小值,20
25
3)
5
2( 3f
)
3
25
(
)(
3 x
x
xf
11
2009-7-25 9
的极值求例 33 )(9]2[ xaxy
)()1( 驻点和不可导点求可能的极值点
22 )(273)( xaxxf求导函数
,0)( xf令判断驻点是否为极值点)2(
.没有不可导点
axax
2
3,
4
3
21得驻点：
)89(6)(546 xaxaxy
,018)43( aay
,0 时当?a
018)23( aay
[解 ]
2009-7-25 10
有极小值时当故 yax,
4
3
3
16
9
ay?极小值为有极大值时当 yax,
2
3?
3
4
9 ay?极大值为时当同理可求得 0,?a
3
3
4
9
)
2
3
(
16
9
)
4
3
(
aayy
aayy
的极小值为的极大值为
2009-7-25 11
（二）函数的最大、最小值
( A ) 闭区间上连续函数的 最大、最小值欲求其最大、最小值设,],[,Rbaf?
方法如下,
),,2,1(:
),()1(
nix
baf
i不可导点上的所有驻点和在求
nixfbfaf
xf
i
bax
,,2,1),(),(),(m a x
)(m a x)2(
],[
2009-7-25 12
.
)(.
,)(),()1(
0
0
最大值或最小值就是所要求的则而且是极值点有唯一的驻点内如果在
xf
xxfba
.)(
,),(
)(,
,)(),()2(
0
0
小值为所要求的最大值或最则内部取得最大值或最小值必在的知道又从实际问题本身可以有唯一的驻点内如果在
xf
ba
xf
xxfba
( B ) 最大、最小值应用问题
2009-7-25 13
.
]
2
1
,1[)1()(]3[
3 2
最大、最小值的在求例 xxxf
内在由前面的例题知 )
2
1,1()(,?xf
.0,
5
2
21 xx 不可导点有驻点经计算得：,0)0(?f
,2)1(f
2)1(,0)0( m i nm a x ffff
3 20
25
3)
5
2(f
3 2
8
1)
2
1(f
[解 ]
2009-7-25 14
用料最省？时多少问底半径与高的比例为铁桶的圆柱形无盖要做一个容积为例
,
,
]4[
0
V
所需铁皮面积为高为设底半径为,,hr
)0(2 02 r
r
VrS?
[解 ]
02222)( 2 0
3
2
0
r
Vr
r
VrrS令
3 0
1?
Vr?得唯一驻点
2009-7-25 15
.
)(,
必存在的最小值从问题的实际意义知道 rS
)(lim,)(lim
0
rSrS r
r
又
.,.
),0()(,
3 0
1 是最小值点唯一驻点从而达到的内部的最小值一定在因此
V
r
rS
r
V
V
V
r
V
h rr 3 03
2
0
0
2
0 )(
1?
.,用料最省相等时与高当底半径即 hr
19
2009-7-25 16
截取？
试问应该怎样最大抗弯强度的矩形梁截取一个具有的圆形木中在直径为例
.
,]5[ d
.
o
h b
则有设比例系数为成正比的强度与具有矩形截面梁知由材料力学强度为高为设矩形底为
k
bh
y
hb
,
,
.
,,
2
2k b hy?
d
3
1
[解 ]
2009-7-25 17
.
)0()(
,
22
222
的最大值求函数所以问题化为因为
dbbdby
bdh
22 3 bdy求导数得
3
,0
d
by 得唯一驻点令
06 by因为是唯一极大值点所以
3
,
d
b?
也就是最大值点
2009-7-25 18
所以有此时,
3
2
,dh?
1:2:3:,?bhd
.
,
,
,,
所求即为线这点与直径两端点的连作点等分点作垂线交圆于一在把直径三等分这就是说
2009-7-25 19
.],[
)()()(
.],[,
1
)()()(
],,[,
.],[:)(
22112211
2121
22112211
21
函数上为上凸在则称如果函数下凸上为在则称都成立和的任意非负实数对于满足不等式如果设函数
baf
xfxfxxf
baf
xfxfxxf
baxx
Rbaxf
（一） 凸性定义及性质二、函数的凸性
2009-7-25 20
)(xfy?
1x 2x xx
y
o
都有及必要条件是上为下凸的充分在函数
,
,],,[,:
],[)(
21
2121
xxx
xxbaxx
baxf
性质：
xx
xfxf
xx
xfxf
2
2
1
1 )()()()(
2009-7-25 21
).(),(
)(:)(
],[,),(
,],[)(
非增内单调非减在函数的充分必要条件是上凸为下凸在则可导开区间在连续在闭区间设函数
ba
xf
bafba
baxf
（二） 凸性的判定定理 1,( 用一阶导数判定函数的凸性 )
[证 ] 必要性上为下凸函数在区间设 ],[)( baxf
2009-7-25 22
212121,,],,[,xxxxxxbaxx 且有性根据极限的保号都可导与在因为
,
,)( 21 xxxf
2
2
1
1 )()(l i m)()(l i m
11 xx
xfxf
xx
xfxf
xxxx?
21
21
1
)()(
)(
xx
xfxf
xf
即
2
2
1
1 )()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
有
2009-7-25 23
2
2
1
1 )()(lim)()(lim
22 xx
xfxf
xx
xfxf
xxxx?
也有
)(
)()(
2
12
12 xf
xx
xfxf?
即
)()( 21 xfxf于是有
2121 ],,[,,)( xxxbaxxx 且充分性有满足存在根据微分中值定理
,
:,,
2211
21
xxx
2009-7-25 24
)()()( 2
2
2?f
xx
xfxf
)()()( 1
1
1?f
xx
xfxf
)()(,21 ff有由已知
2
2
1
1 )()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
因此有
.
],[)(,
下凸的上是在区间函数这就是说 baxf
2009-7-25 25
定理 2,( 用二阶导数判定函数的凸性 )
).0)((0)(:
)(],[,
),(,],[)(
xfxf
baf
babaxf
的充分必要条件是函数上凸为下凸在则二阶可导内在上连续在设函数定理 3,( 用切线位置判定函数的凸性 )
))(()()(
],,[:
],[,),(
,],[)(
000
0
xxxfxfxf
bax
bafba
baxf
有分必要条件是为下凸函数的充在则可导间在开区连续在闭区间设函数切线位于曲线下方
2009-7-25 26
[证 ] 必要性
为下凸函数假设 f
有且,],,[,,1010 xxxbaxxx
01
01
1
1 )()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
)()()( 0
0
0
01 xfxx
xfxfxx
令
))(()()( 000 xxxfxfxf
2009-7-25 27
充分性曲线的切线方程为],,[0 bax
0)])(()([)()()(
],,[
000
xxxfxfxfxyxf
bax 有若
))(()()( 000 xxxfxfxy
)()()(,0
0
0
0 xfxx
xfxfxx
有时当
)()()(,0
0
0
0 xfxx
xfxfxx
有时当有且,],,[,,2121 xxxbaxxx
2
2
1
1 )()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
2009-7-25 28
.)(
))(,(,
)())(,(
)(
00
00
的拐点为曲线则称点反在该点两侧曲线凸性相上的一个点，是曲线设点拐点定义：
xfy
xfx
xfyxfx
0x
x
y
)(,( 00 xfx
o
)(xfy?
（四 ） 拐点定理 1,（拐点必要条件）
.0)(,
)())(,(
,)(
0
00
xf
xfxfx
xf
则有拐点的为若有二阶导数设
2009-7-25 29
.
))(,(,
,
000
0
个拐点的一是则两侧异号在若的某邻域内有二阶导数在点设
fxfxxf
xf
定理 2（拐点的充分条件）
[证 ]
.0)(
.)(
)(,),(,
),(,,
,)())(,(
0
000
00
00
xf
xf
xxffxx
fxx
xfxfx
所以有二阶导数存在处取得极值，且在单调非减内在非增单调内则在右侧下凸侧上凸不妨设该点左的拐点为
2009-7-25 30
.
,
,
曲线的渐近线则称该直线为于零某一定直线的距离趋近若此动点到点时动点沿曲线无限远离原
x
y
o
)( xfy?
bkxy
P
M
三、曲线的渐近线
2009-7-25 31
垂直渐近线)1(
垂直渐近线的为曲线则直线或若
)(
))()(lim(
)()(lim
xfy
ax
xf
xf
ax
ax
x
y
o
)( xfy?
a
ax?
曲线渐近线的求法
2009-7-25 32
:
)(
件是斜渐近线的充分必要条的是曲线直线 xfybkxy
)0()(l i m)1(
)(
kk
x
xf
x
x
])([lim)2(
)(
kxxfb
x
x
.)(
,)(lim
)(
的水平渐近线是曲线则直线若
xfy
bybxf
x
x
定理：
斜渐近线)3(
水平渐近线)2(
2009-7-25 33
21
)(
k
bkxxf
PM
0
1
)(
lim
2
)(
k
bkxxf
x
x
0])([lim
)(
bkxxf
x
x
)1(])([l i m
)(
bkxxf
x
x
[证 ] 必要性的渐近线是曲线设直线 )( xfybkxy
2009-7-25 34
式及极限运算法则有由已知 )1(,0
1
lim
)(
x
x
x
0
)(
l i m
)(
x
kxxf
x
x
k
x
xf
x
x
)(
lim
)(
0)
)(
(l i m
)(
k
x
xf
x
x
2009-7-25 35
[证 ]充分性 假设下列两个条件同时成立
)0()(l i m)1(
)(
kk
x
xf
x
x
])([lim)2(
)(
kxxfb
x
x
0])([lim)2(
)(
bkxxf
x
x
由
0)]()([l i m
)(
bkxxf
x
x
的渐近线是曲线即 )( xfybkxy
2009-7-25 36;
,)1(
和周期性有无奇偶性确定函数的定义域;)4( 求渐近线;,)2( 极值求函数的单调区间;)3( 间和拐点求函数的上凸、下凸区
.,)5( 描点作图计算特殊点四、函数作图
2009-7-25 37
的图形作函数例 2]6[ xey
.),,( 是偶函数定义域,
.
0,0l i m
2
是水平渐近线所以直线因为
ye x
x
22 xxey )12(2 22 xey x
[解 ]
00 xy 驻点：令
2
1
0 xy令
2009-7-25 38
y?
y
y
)
2
1,(
2
1? )0,
2
1(? 0 )
2
1,0(
2
1 ),
2
1(
0
0 0
极大下凸 下凸上凸 上凸拐点拐点
1
e
1
e
1
x
2009-7-25 39
x
y
o
2
2
2
2?
复习,P96— 111
预习,P113— 121
P112 习题 4.3
4(2)(4),5(4),7,8(3),9(2).10,
作 业
2009-7-25 2
第十讲 极值与凸性一、极值与最值二、函数的凸性三、曲线的渐近线四、函数作图
2009-7-25 3
.,,00
0
取得极值在则两侧异号在且导数的某邻域内有一阶在点设函数
xfxf
xf
（一）极值的第一充分条件定理 1：;
,0)(),(
,0)(),(,0)1(
000
00
极小值取得在则内而在内使在若
xfxfxx
xfxx
;
,0)(),(
,0)(),(,0)2(
000
00
极大值取得在则内而在内使在若
xfxfxx
xfxx
一、极值与最值
2009-7-25 4
[证 ] (1)
0)(),(,0 00 xfxx 内使在若
)(,),( 00 xfxx 内在?
)()(,),( 000 xfxfxxx
0)(),(,0 00 xfxx 内使在又
)(,),( 00 xfxx 内在?
)()(,),( 000 xfxfxxx
.,0 取得极小值在即 xf
2009-7-25 5;,0)()1( 00 取得极小值在则若 xfxf
（二）极值的第二充分条件定理 2：
.)(,0)(,00
0
存在又且导数的某邻域内有一阶在点设函数
xfxf
xf
.,0)()2( 00 取得极大值在则若 xfxf
[证 ] (1)
0)(,0)( 00 xfxf
有根据二阶导数定义,
0)(l i m
00
xx
xf
xx
0
0
0
)()(lim)(
0 xx
xfxfxf
xx
2009-7-25 6
中有使在由极限性质 ),(,0,00 xx
0
)(
0
xx
xf
0)(,),( 00 xfxx 有内在?
0)(,),( 00 xfxx 有内在?
.,1 0 取得极小值在知根据定理 xf
2009-7-25 7
.)1()(]1[ 3 2 的极值求例 xxxf
)( 驻点和不可导点先求可能的极值点
3
3
13 2
3
25
3
2)1()(
x
xxxxxf
52,0)( xxf 得驻点令
.
5
2,0
.0,
xx
x
可能的极值点：
故有两个为导数不存在的点又
[解 ]
2009-7-25 8
x )0,( 0
)
5
2,0(
5
2 ),
5
2(
)( xf
0不存在
0
极大值 极小值
3 20
25
3?;,0)0( 极大值?f 极小值,20
25
3)
5
2( 3f
)
3
25
(
)(
3 x
x
xf
11
2009-7-25 9
的极值求例 33 )(9]2[ xaxy
)()1( 驻点和不可导点求可能的极值点
22 )(273)( xaxxf求导函数
,0)( xf令判断驻点是否为极值点)2(
.没有不可导点
axax
2
3,
4
3
21得驻点：
)89(6)(546 xaxaxy
,018)43( aay
,0 时当?a
018)23( aay
[解 ]
2009-7-25 10
有极小值时当故 yax,
4
3
3
16
9
ay?极小值为有极大值时当 yax,
2
3?
3
4
9 ay?极大值为时当同理可求得 0,?a
3
3
4
9
)
2
3
(
16
9
)
4
3
(
aayy
aayy
的极小值为的极大值为
2009-7-25 11
（二）函数的最大、最小值
( A ) 闭区间上连续函数的 最大、最小值欲求其最大、最小值设,],[,Rbaf?
方法如下,
),,2,1(:
),()1(
nix
baf
i不可导点上的所有驻点和在求
nixfbfaf
xf
i
bax
,,2,1),(),(),(m a x
)(m a x)2(
],[
2009-7-25 12
.
)(.
,)(),()1(
0
0
最大值或最小值就是所要求的则而且是极值点有唯一的驻点内如果在
xf
xxfba
.)(
,),(
)(,
,)(),()2(
0
0
小值为所要求的最大值或最则内部取得最大值或最小值必在的知道又从实际问题本身可以有唯一的驻点内如果在
xf
ba
xf
xxfba
( B ) 最大、最小值应用问题
2009-7-25 13
.
]
2
1
,1[)1()(]3[
3 2
最大、最小值的在求例 xxxf
内在由前面的例题知 )
2
1,1()(,?xf
.0,
5
2
21 xx 不可导点有驻点经计算得：,0)0(?f
,2)1(f
2)1(,0)0( m i nm a x ffff
3 20
25
3)
5
2(f
3 2
8
1)
2
1(f
[解 ]
2009-7-25 14
用料最省？时多少问底半径与高的比例为铁桶的圆柱形无盖要做一个容积为例
,
,
]4[
0
V
所需铁皮面积为高为设底半径为,,hr
)0(2 02 r
r
VrS?
[解 ]
02222)( 2 0
3
2
0
r
Vr
r
VrrS令
3 0
1?
Vr?得唯一驻点
2009-7-25 15
.
)(,
必存在的最小值从问题的实际意义知道 rS
)(lim,)(lim
0
rSrS r
r
又
.,.
),0()(,
3 0
1 是最小值点唯一驻点从而达到的内部的最小值一定在因此
V
r
rS
r
V
V
V
r
V
h rr 3 03
2
0
0
2
0 )(
1?
.,用料最省相等时与高当底半径即 hr
19
2009-7-25 16
截取？
试问应该怎样最大抗弯强度的矩形梁截取一个具有的圆形木中在直径为例
.
,]5[ d
.
o
h b
则有设比例系数为成正比的强度与具有矩形截面梁知由材料力学强度为高为设矩形底为
k
bh
y
hb
,
,
.
,,
2
2k b hy?
d
3
1
[解 ]
2009-7-25 17
.
)0()(
,
22
222
的最大值求函数所以问题化为因为
dbbdby
bdh
22 3 bdy求导数得
3
,0
d
by 得唯一驻点令
06 by因为是唯一极大值点所以
3
,
d
b?
也就是最大值点
2009-7-25 18
所以有此时,
3
2
,dh?
1:2:3:,?bhd
.
,
,
,,
所求即为线这点与直径两端点的连作点等分点作垂线交圆于一在把直径三等分这就是说
2009-7-25 19
.],[
)()()(
.],[,
1
)()()(
],,[,
.],[:)(
22112211
2121
22112211
21
函数上为上凸在则称如果函数下凸上为在则称都成立和的任意非负实数对于满足不等式如果设函数
baf
xfxfxxf
baf
xfxfxxf
baxx
Rbaxf
（一） 凸性定义及性质二、函数的凸性
2009-7-25 20
)(xfy?
1x 2x xx
y
o
都有及必要条件是上为下凸的充分在函数
,
,],,[,:
],[)(
21
2121
xxx
xxbaxx
baxf
性质：
xx
xfxf
xx
xfxf
2
2
1
1 )()()()(
2009-7-25 21
).(),(
)(:)(
],[,),(
,],[)(
非增内单调非减在函数的充分必要条件是上凸为下凸在则可导开区间在连续在闭区间设函数
ba
xf
bafba
baxf
（二） 凸性的判定定理 1,( 用一阶导数判定函数的凸性 )
[证 ] 必要性上为下凸函数在区间设 ],[)( baxf
2009-7-25 22
212121,,],,[,xxxxxxbaxx 且有性根据极限的保号都可导与在因为
,
,)( 21 xxxf
2
2
1
1 )()(l i m)()(l i m
11 xx
xfxf
xx
xfxf
xxxx?
21
21
1
)()(
)(
xx
xfxf
xf
即
2
2
1
1 )()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
有
2009-7-25 23
2
2
1
1 )()(lim)()(lim
22 xx
xfxf
xx
xfxf
xxxx?
也有
)(
)()(
2
12
12 xf
xx
xfxf?
即
)()( 21 xfxf于是有
2121 ],,[,,)( xxxbaxxx 且充分性有满足存在根据微分中值定理
,
:,,
2211
21
xxx
2009-7-25 24
)()()( 2
2
2?f
xx
xfxf
)()()( 1
1
1?f
xx
xfxf
)()(,21 ff有由已知
2
2
1
1 )()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
因此有
.
],[)(,
下凸的上是在区间函数这就是说 baxf
2009-7-25 25
定理 2,( 用二阶导数判定函数的凸性 )
).0)((0)(:
)(],[,
),(,],[)(
xfxf
baf
babaxf
的充分必要条件是函数上凸为下凸在则二阶可导内在上连续在设函数定理 3,( 用切线位置判定函数的凸性 )
))(()()(
],,[:
],[,),(
,],[)(
000
0
xxxfxfxf
bax
bafba
baxf
有分必要条件是为下凸函数的充在则可导间在开区连续在闭区间设函数切线位于曲线下方
2009-7-25 26
[证 ] 必要性
为下凸函数假设 f
有且,],,[,,1010 xxxbaxxx
01
01
1
1 )()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
)()()( 0
0
0
01 xfxx
xfxfxx
令
))(()()( 000 xxxfxfxf
2009-7-25 27
充分性曲线的切线方程为],,[0 bax
0)])(()([)()()(
],,[
000
xxxfxfxfxyxf
bax 有若
))(()()( 000 xxxfxfxy
)()()(,0
0
0
0 xfxx
xfxfxx
有时当
)()()(,0
0
0
0 xfxx
xfxfxx
有时当有且,],,[,,2121 xxxbaxxx
2
2
1
1 )()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
2009-7-25 28
.)(
))(,(,
)())(,(
)(
00
00
的拐点为曲线则称点反在该点两侧曲线凸性相上的一个点，是曲线设点拐点定义：
xfy
xfx
xfyxfx
0x
x
y
)(,( 00 xfx
o
)(xfy?
（四 ） 拐点定理 1,（拐点必要条件）
.0)(,
)())(,(
,)(
0
00
xf
xfxfx
xf
则有拐点的为若有二阶导数设
2009-7-25 29
.
))(,(,
,
000
0
个拐点的一是则两侧异号在若的某邻域内有二阶导数在点设
fxfxxf
xf
定理 2（拐点的充分条件）
[证 ]
.0)(
.)(
)(,),(,
),(,,
,)())(,(
0
000
00
00
xf
xf
xxffxx
fxx
xfxfx
所以有二阶导数存在处取得极值，且在单调非减内在非增单调内则在右侧下凸侧上凸不妨设该点左的拐点为
2009-7-25 30
.
,
,
曲线的渐近线则称该直线为于零某一定直线的距离趋近若此动点到点时动点沿曲线无限远离原
x
y
o
)( xfy?
bkxy
P
M
三、曲线的渐近线
2009-7-25 31
垂直渐近线)1(
垂直渐近线的为曲线则直线或若
)(
))()(lim(
)()(lim
xfy
ax
xf
xf
ax
ax
x
y
o
)( xfy?
a
ax?
曲线渐近线的求法
2009-7-25 32
:
)(
件是斜渐近线的充分必要条的是曲线直线 xfybkxy
)0()(l i m)1(
)(
kk
x
xf
x
x
])([lim)2(
)(
kxxfb
x
x
.)(
,)(lim
)(
的水平渐近线是曲线则直线若
xfy
bybxf
x
x
定理：
斜渐近线)3(
水平渐近线)2(
2009-7-25 33
21
)(
k
bkxxf
PM
0
1
)(
lim
2
)(
k
bkxxf
x
x
0])([lim
)(
bkxxf
x
x
)1(])([l i m
)(
bkxxf
x
x
[证 ] 必要性的渐近线是曲线设直线 )( xfybkxy
2009-7-25 34
式及极限运算法则有由已知 )1(,0
1
lim
)(
x
x
x
0
)(
l i m
)(
x
kxxf
x
x
k
x
xf
x
x
)(
lim
)(
0)
)(
(l i m
)(
k
x
xf
x
x
2009-7-25 35
[证 ]充分性 假设下列两个条件同时成立
)0()(l i m)1(
)(
kk
x
xf
x
x
])([lim)2(
)(
kxxfb
x
x
0])([lim)2(
)(
bkxxf
x
x
由
0)]()([l i m
)(
bkxxf
x
x
的渐近线是曲线即 )( xfybkxy
2009-7-25 36;
,)1(
和周期性有无奇偶性确定函数的定义域;)4( 求渐近线;,)2( 极值求函数的单调区间;)3( 间和拐点求函数的上凸、下凸区
.,)5( 描点作图计算特殊点四、函数作图
2009-7-25 37
的图形作函数例 2]6[ xey
.),,( 是偶函数定义域,
.
0,0l i m
2
是水平渐近线所以直线因为
ye x
x
22 xxey )12(2 22 xey x
[解 ]
00 xy 驻点：令
2
1
0 xy令
2009-7-25 38
y?
y
y
)
2
1,(
2
1? )0,
2
1(? 0 )
2
1,0(
2
1 ),
2
1(
0
0 0
极大下凸 下凸上凸 上凸拐点拐点
1
e
1
e
1
x
2009-7-25 39
x
y
o
2
2
2
2?
